UNIDAD 6. Programación no lineal

Transcripción

1 UNIDAD 6 Programación no lineal En matemática Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales. La Programación no Lineal (PNL) es una parte de la Investigación Operativa cuya misión es proporcionar una serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función (función objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la función objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de oportunidades pueden ser no lineales. Evidentemente, la estructura del problema puede ser muy variada, según las funciones que en él intervengan (a diferencia de la Programación Lineal (PL) donde la forma especial del conjunto de oportunidades y de la función objetivo permite obtener resultados generales sobre las posibles soluciones y facilitan los tratamientos algorítmicos de los problemas). Ello ocasiona una mayor dificultad en la obtención de resultados, que se refleja también en la dificultad de la obtención numérica de las soluciones. En este sentido, hay que distinguir entre las diversas caracterizaciones de óptimo, que sólo se emplean como técnicas de resolución en problemas sencillos, y los métodos numéricos iterativos, cuyo funcionamiento se basa en estas caracterizaciones, para la resolución de problemas más generales

2 Métodos de resolución del problema de programación no lineal Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programación lineal. Si la función objetivo es concava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el método general de Optimización convexa Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un límite inferior del coste total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo coste es igual o inferior que el mejor limite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado. Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para que una solución sea óptima

3 Ejemplos Ejemplo bidimensional La intersección de la línea con el espacio de restricciones representa la solución. Un problema sencillo puede definirse por las restricciones: x 1 0 x 2 0 x x x x Con una función objetivo a ser maximizada F(x) = x 1 + x 2 Donde x = (x 1, x 2 ) Ejemplo tridimensional

4 La intersección de la superfie superior con el espacio de restricciones en el centro representa la solución. Otro problema simple se define por la restricciones:x 1 2 x x x x x Con una función objetivo a ser maximizada f(x) = x 1 x 2 + x 2 x 3 Donde x = (x 1, x 2, x 3 ) Programación cuadrática Programación cuadrática (QP) es un tipo especial de matemático optimización problema. Es el problema de optimizar (reduciendo al mínimo o maximizando) una función cuadrática de varias variables conforme a apremios lineares en estas variables. El problema de la programación cuadrática se puede formular como: Asuma x pertenece a espacio. n n matriz Q es simétrico, y c es cualquiera nvector 1. Reduzca al mínimo (con respecto a x) Conforme a unos o más apremios de la forma: (constreñimiento de la desigualdad) Ex = d (constreñimiento de la igualdad)

5 Donde indica el vector transporte de la notación significa que cada entrada del vector Hacha es inferior o igual la entrada el corresponder del vector b. Si Q es a matriz semidefinida positiva entonces f(x) es a función convexa. En este caso el programa cuadrático tiene un minimizar global si existe por lo menos un vector x satisfacción de los apremios y f(x) se limita abajo en la región factible. Si la matriz Q es definido positivo entonces este minimizar global es único. Si Q es cero, después el problema se convierte en a programa linear. De teoría de la optimización, una condición necesaria para un punto x ser un minimizar global está para que satisfaga Karush-Kuhn- Tucker Condiciones (KKT). Las condiciones de KKT son también suficientes cuando f(x) es convexo. Si hay solamente apremios de la igualdad, después el QP se puede solucionar por a sistema linear. Si no, una variedad de métodos para solucionar el QP es de uso general, incluyendo punto interior, sistema activo y gradiente conyugal métodos. La programación cuadrática convexa es un caso especial del campo más general de optimización convexa Ejercicio de Programacion Cuadratica sujeto a Podemos escribir la función objetivo en la forma: y el problema consiste en minimizar el valor de K.

6 La expresión representa la ecuación de una cónica y para ver a que tipo de cónica se refiere, calculamos el discriminante: Por lo tanto, tenemos una elipse (cuando el discriminante vale 0 la ecuación se refiere a una parábola y cuando es menor que cero a una hipérbola. Para que la elipse sea real debe cumplirse.s < 0 y tenemos: Esto nos da para la función objetivo sin restricciones un valor mínimo de K = -6. El centro de esta elipse se encuentra como sigue: Por otro lado, el campo de control corresponde a la zona rallada de la figura adjunta. Según eso, vemos que el valor mínimo de z resultará cuando la recta x 1 + x 2 = 2 sea tangente a la elipse. La ecuación de la tangente a la elipse en un punto (x' 1, x' 2 viene dada por: con lo que tendremos: x' 1 (4.x 1-2.x 2-6) + x' 2 (4.x 2-2.x' 1 ) + (- 6.x 1 - K) = 0 Y operando: (4.x' 1-2.x' 2-6).x 1 + (4.x' 2-2.x' 1 ).x 2 - ( 6.x' 1 + K) = 0

7 Esta recta tiene que tener la misma pendiente que x 1 + x 2 = 2, por lo que tendremos: Como el punto ha de pertenecer a la recta x 1 + x 2 = 2, resultará : x' 1 + x' 2 = 2? x' 1 + x' 1-1 = 2? x' 1 = 3/2 ; x' 2 = 1/2 y el valor mínimo de z será: z min = -11/2

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