UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES. FACULTAD DE INGENIERIA. ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL.

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1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES. FACULTAD DE INGENIERIA. ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL. Optimización, Pauta Solemne 2. Semestre Primavera 2011 Profesores: Paul Bosch, Fernando Paredes, Pablo Rey Tiempo: 100 min. Problema 1 (2 puntos) El administrador de un fondo de inversiones está definiendo las inversiones del próximo año. Para esto, se debe seleccionar un conjunto de proyectos de un total de N (N 10) proyectos, y los montos a invertir en los proyectos seleccionados. Para cada proyecto n (n = 1,...,N) se conoce retorno esperado por peso invertido r n pesos y el monto máximo posible a invertir P n. El administrador cuenta con un presupuesto máximo para inversión de B pesos y puede seleccionar, a lo más, Q proyectos. (a). (1 punto) Formule un modelo de programación lineal entera mixta que permita definir el portafolio de inversiones que maximiza el retorno esperado total. Un modelo que permite determinar el portafolio óptimo de inversiones se puede plantear definiendo, para cada proyecto n, la variable binaria { 1 si se selecciona el proyecto i para invertir, x n = 0 en caso contrario. y la variable no negativa y n que indica el monto invertido en cada proyecto. La función objetivo es maximizar el retorno esperado de las inversiones: Las restricciones son las siguientes: max N r n y n. n=1 Sólo invertir fondos en proyectos seleccionados (relación entre variables x n e y n ) y no exceder el máximo a invertir por proyecto: Para cada proyecto n, y n P n x n. No exceder presupuesto: N y n B. n=1 N Seleccionar, a lo más, Q proyectos: x n Q. Naturaleza de las variables: Para cada proyecto n, x n {0,1} e y n 0. n=1 Considere ahora que el administrador desea que el portafolio seleccionado cumpla, adicionalmente, con las siguientes condiciones: Si se invierte en el proyecto 3 no se puede invertir en los proyectos 2 o 4; si se invierte en el proyecto 5, se debe invertir también

2 en el proyecto 8, y el monto invertido en este último debe ser, al menos, el doble de lo invertido en el proyecto 5; si se invierte en el proyecto 8, se debe invertir en el proyecto 1 o el proyecto 4; el máximo entre lo invertido en los proyectos 1, 2 y 3 no deber superar el total invertido en los proyectos 4 y 5. (b). (1 punto) Modifique el modelo propuesto en el punto anterior para considerar las nuevas condiciones. No es necesario definir nuevas variables. Para incluir las condiciones que se indican, se definen las siguientes restricciones adicionales: Siseinvierte enelproyecto 3nosepuedeinvertir enlosproyectos 2o4: x 2 1 x 3 y x 4 1 x 3. Equivalentemente, también puede ser: x 2 +x 3 1 y x 3 +x 4 1. Otra alternativa sería, 2x 3 +x 2 +x 4 2. Si se invierte en el proyecto 5, se debe invertir también en el proyecto 8, y el monto invertido en este último debe ser, al menos, el doble de lo invertido en el proyecto 5: y 8 2y 5. Lacondiciónx 5 x 8 modela elhecho quesi seselecciona 5tambiénseselecciona el proyecto 8, pero no incluye la condición sobre los montos. Definida la desigualdad entre los montos, la desigualdad con las x es innecesaria ya que está implicada por la combinación de y 8 2y 5 y las y n P n x n. Si se invierte en el proyecto 8, se debe invertir en el proyecto 1 o el proyecto 4: x 8 x 1 +x 4. El máximo entre lo invertido en los proyectos 1, 2 y 3 no deber superar el total invertido en los proyectos 4 y 5: y n y 4 +y 5 para n = 1,2,3. Problema 2 (2 puntos) Considere el modelo de optimización: min x 2 y 2 x 2 +y 1 = 0 x 2y +1 0 (P) (a). (0,5 puntos) Compruebe que todos los puntos del conjunto de factibilidad son regulares. (b). (1,5 puntos) Encuentre todos los puntos de KKT. Determine la(s) solución(es) óptima(s) de (P), justificando la optimalidad de la(s) solución(es) encontrada(s).

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4 Problema 3 (2 puntos) Una fábrica de aberturas produce tres modelos de ventanas con marcos de aluminio. Los insumos principales para estos productos son el vidrio y los perfiles de aluminio. Diariamente, se dispone de un total de 220 planchas de vidrio y de 300 perfiles de alumnio. Los materiales necesarios para fabricar cada uno de los modelos de ventanas, se muestran en la tabla. Modelo A Modelo E Modelo U Vidrio (planchas) Aluminio (perfiles) Cada unidaddel modelo Atrae unbeneficio para la empresa de 6 mil pesos, cada unidad de tipo E, un beneficio de 5 mil pesos y una unidad del modelo U, un beneficio de 4 mil pesos. Para planificar la producción, la empresa ha formulado el siguiente modelo de programación lineal: max 6x 1 +5x 2 +4x 3 x 1 +2x 2 +x x 1 + x 2 +x x 1,x 2,x 3 0 donde las variables son: x 1 : unidades del modelo A a fabricar; x 2 : unidades del modelo E a fabricar; x 3 : unidades del modelo U a fabricar. (a). (0,4 puntos) Plantee el problema dual del modelo de planificación utilizado por la empresa. min 220y y 2 y 1 +3y 2 6 2y 1 + y 2 5 y 1 + y 2 4 y 1,y 2 0 (b). (0,4 puntos) Resuelva gráficamente el problema planteado en el punto (a). Explique el significado de los valores de las variables en la solución óptima encontrada. INCLUIR GRAFICO El problema tiene solución óptima: si bien el conjunto factible no es acotado, la función objetivo sí está acotada en este conjunto. Además, si el problema tiene óptimo finito y hay soluciones básicas, al menos una de ellas es óptima. Las soluciones básicas factibles corresponden a los vértices del cojunto factible, que

5 como se ve en la figura, en este caso son cuatro. Vamos a evaluar la función objetivo en cada uno de ellos para ver cuál de ellos es óptimo. De la figura se ve rápidamente que dos de los vértices son los puntos (6,0) y (0,5) con valores objetivo 1320 y 1500, respectivamente. Los otros dos vértices corresponden a las intersecciones de dos rectas que definen la frontera de dos restricciones: R1 con R3: El punto satisface el sistema y 1 +3y 2 =6 y 1 +y 2 =4. La única solución de este sistema es y 1 = 3, y 2 = 1. El valor de la función objetivo en este punto es 960. R2 con R3: El punto satisface el sistema 2y 1 +y 2 =6 y 1 +y 2 =4. La única solución de este sistema es y 1 = 1, y 2 = 3. El valor de la función objetivo en este punto es Por lo tanto, el óptimo es el punto y = (3,1). (c). (0,6 puntos) A partir de la solución óptima del dual encontrada en la parte (b), encuentre una solución óptima para el problema primal, utilizando el teorema de holguras complementarias. En el óptimo del dual calculado en el punto anterior, ambas variables son positivas, por lo que en el primal ambas restricciones son activas. Además, como la segunda restricción del dual, 2y 1 +y 2 5 no es activa (2y 1 +y 2 = = 7 > 5) entonces, en el óptimo del primal x 2 = 0. A partir de esta información, sabemos entonces que las otras variables del primal deben satisfacer el sistema: x 1 +x 3 =200 3x 1 +x 3 =4. Por lo tanto, el óptimo del dual es x 1 = 40, x 2 = 0, x 3 = 180. (d). (0,6 puntos) Verifique la optimalidad de la solución encontrada en (c), aplicando el criterio correspondiente del método simplex. Indicación. Recuerde que para aplicar el método simplex, el problema debe estar en la forma estándar.

6 Para poder aplicar el criterio de simplex, primero debemos escribir la forma estándar del problema primal y determinar la base que corresponde a la solución básica x determinada en el punto anterior. La forma estándar del modelo de producción que usa la fábrica es: min 6x 1 5x 2 4x 3 x 1 +2x 2 +x 3 +x 4 + = 220 3x 1 + x 2 +x 3 + +x 5 = 300 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 0 El problema tiene dos restricciones cuyos lados derechos son linealmente dependientes, por lo tanto, las bases del problema consisten de dos variables. Como en la solución x las variables x 1 y x 3 toman valores positivos, la base está formada por estas variables. Entonces, B = [ ] lo que implica que (B ) 1 = [ 1/2 1/2 3/2 1/2 Ahora, calculamos los costos reducidos de las variables no básicas (x 2, x 4, x 5 ): ] c R = c R c B R [ 1/2 1/2 = ( 5,0,0) ( 6, 4) 3/2 1/2 [ ] = ( 5,0,0) ( 3, 1) = ( 5,0,0) ( 7, 3, 1) = (2,3,1). ][ ] Como ninguno de los costos reducidos de las variables no básicas es negativo, podemos concluir que el punto x es efectivamente el óptimo del problema primal.