Optimización por enjambre para la p-mediana continua y discreta

Transcripción

1 Optimización por enjambre para la p-mediana continua y discreta F. Javier Martínez García, José A. Moreno Pérez 1 Resumen--Éste trabajo describe la aplicación de la metaheurística de optimización por enjambres (PSO) para las versiones continua y discreta del problema de la p- mediana. Ambas son problema son problemas NP-duros y para ellos se han aplicado muchas metaheurísticas. Se proponen nuevas versiones de la optimización por enjambres para ambos problemas con la combinación de una mejora local, que se comparan con las versiones estándar de la PSO y de la PSO discreta (DPSO), incluso con un ajuste de sus parámetros. Palabras clave PSO, p-mediana, Híbridos, Logística. I.INTRODUCCIÓN La Optimización por Enjambre de Partículas (Particle Swarm Optimization, PSO) es una prometedora metaheurística relativamente reciente introducida por James Kennedy y Russel Eberhat. Se trata de un método de evolutivo inspirado en el comportamiento social de individuos dentro de enjambres en la naturaleza, como bandadas de pájaros o bancos de peces. Para ello se modela un conjunto de soluciones alternativas o potenciales del problema como miembros del enjambre que se echan a volar en el espacio virtual de las posibles soluciones. En la planificación y optimización logística hay que adoptar tres tipos de decisiones: estratégicas o a largo plazo (cada varios meses o años), tácticas o a medio plazo (cada pocas semanas o meses) y operativas (varias veces en un día o una semana). Las metaheurísticas son importantes en el apoyo de los tres tipos de decisiones, pero las características que se buscan en ellas son diferentes. Los tres tipos problemas más importante en logística, los problemas de localización, de rutas y de cargas, corresponden preponderantemente a decisiones estratégicas, tácticas y operativas respectivamente. Los sistemas evolutivos inteligentes como la PSO son relevantes sobretodo en entornos estratégicos donde es frecuente encontrar elementos nuevos en el problema que hacen inviables procedimientos específicos ajustados a un modelo. En estos entornos, los procedimientos que como la PSO no son muy exigentes con las características del problema son cada vez más necesarios. Sin embargo, las pruebas iniciales de las estrategias de aplicación de la PSO pueden hacerse en instancias de los problemas estándares de localización como es el problema de la p-mediana. En este trabajo planteamos la aplicación de las versiones estándares de la PSO y de la PSO discreta, la mejora de los parámetros aportados y una aproximación específica que tiene en cuenta la separación real entre dos soluciones y una búsqueda local. Las secciones siguientes se introducen la versión estándar de la PSO y de la PSO discreta (DPSO). Se describen el problema de la p-mediana en sus versiones continua y discreta. Se propone una nueva implementación de ambos métodos combinados con búsquedas locales. Finalmente se ofrece una descripción de la experiencia computacional realizada y unas breves conclusiones. II.OPTIMIZACIÓN DE ENJAMBRE La metaheurística de optimización por enjambre o PSO está inspirada en el movimiento continuo de las partículas que forman enjambres sometidas al efecto de la inercia y de la atracción de los miembros más relevantes que lideran el enjambre. Dos de las características más importantes en el desarrollo de esta metaheurística es la facilidad de implementación y el uso de la evolución de las relaciones sociales como modelo computacional. Otras denominaciones que ha recibido esta metodología en español son optimización de partículas, por enjambre de partículas y por cúmulo de partículas. En una heurística PSO, las partículas o miembros del enjambre son interpretados como agentes de búsqueda que recorren el espacio de soluciones. La PSO fue propuesta inicialmente como un procedimiento de solución de problemas de optimización con variables continuas. En un problema con d variables continuas, cada partícula i del enjambre S = {1, 2,, s} tiene asociada su vector de posición x i = (x i1, x i2,, x ij,, x id) y su velocidad o tasa de cambio v i = (v i1,, v ij,, v id). Cada partícula i del enjambre se comunica con un subconjunto del enjambre o entorno social N(i) S que puede variar dinámicamente. Cada partícula guarda y usa información de su mejor posición durante el proceso de búsqueda. También puede obtener la mejor posición alcanzada por las partículas de su entorno social, que puede ser todo el enjambre o una parte. La información de las mejores posiciones influye en el comportamiento de las partículas. En todos estos casos se almacena también el valor del objetivo como función de adaptación (fitness). La posición y velocidad inicial de las partículas se suele obtener aleatoriamente dentro de unos rangos. En cada iteración, las partículas actualizan su posición y velocidad mediante unas formulas recu-

2 rrentes. La posición se modifica usando exclusivamente su velocidad, pero en la actualización de la velocidad intervienen, además del valor de la propia velocidad, la mejor posición de la propia partícula y la mejor posición del grupo de partículas del enjambre con las que se relaciona; su entorno social. Estas mejores posiciones, individuales y conjunta, actúan con distinto peso o ponderación, como focos de atracción para las partículas. Las ecuaciones vectoriales de actualización de la posición x i y velocidad v i de la i-ésima partícula del enjambre, en el procedimiento PSO estándar según la propuesta de Kennedy y Eberhart son las siguientes: v i = c 1 v i + c 2 rnd (b i x i) + c 3 rnd (g i x i) x i = x i + v i donde los vectores b i y g i son la mejor posición que ha tenido esta partícula desde que se inició el procedimiento y la mejor posición entre las que han tenido todas las partículas del grupo o entorno social de dicha partícula. El parámetro c 1 representa el efecto de la inercia cuya misión es controlar la magnitud de la velocidad y evitar que crezca indefinidamente. Los escalares c 2 y c 3 son los pesos que representan el grado de confianza de la partícula, en si misma y en su grupo social, que en muchas versiones coinciden. El término rnd hace referencia a un número aleatorio con distribución uniforme en [0,1]. Estas cantidades suelen ser positivas e inferiores a uno y en diferentes versiones se fija c 1 = 1, o bien c 2 = c 3 o incluso c 1 + c 2 + c 3 = 1. En la versión estándar PSO propuesta por Kennedy y Clerc 1, la estructura de entornos se obtiene fijando al azar el número K de partículas que informan a otra que son elegidas al azar y se renuevan cada vez que no se mejora la mejor posición global g*. Los valores por defecto en esta versión estándar son: c 1 = 1/(2+ln2) y c 2 = c 3 = ln2; además K = 3 y el tamaño del enjambre se fija en d donde d es la dimensión del espacio de soluciones. Aparte de esta selección aleatoria de la estructura de entornos, las dos topologías más corrientes para la estructura de entornos son las denominadas anillo N a y estrella N e. Con la estructura de anillo cada partícula interactúa con la anterior y posterior (en una ordenación considerada cíclica) y en la estructura de estrella cada partícula interactúa con todas las partículas. Formalmente, estos entornos vienen definidos por: N a(1) = {s, 1, 2}, N a(s) = {s 1, s, 1} N a(i) = {i 1, i, i+1}, 1 < i < s, y N e(i) = S, (1 i s). III.EL PROBLEMA DE LA P-MEDIANA El problema de la p-mediana es uno de los problemas más importantes en localización de servicios 1 y constituye uno de los focos de interés en la planificación logística,. Este problema corresponde a una situación ideal en el análisis de decisiones estratégicas importantes en logística, como son las de localización. Sin embargo, el problema de la p-mediana no suele presentarse en estado puro en situaciones reales sino con restricciones o costes adicionales, y mezclado con otros problemas, configurándose como un problema mixto de optimización. Una de las cuestiones que le confieren esa importancia al problema de la p-mediana es servir de modelo y prototipo para otros problemas relevantes en los que las soluciones alternativas se basan en escoger un número fijo de elementos. Para formalizar el problema de la p-mediana como un problema de localización de servicios se considera, en un espacio determinado E, un conjunto de n puntos de demanda donde radican los usuarios del servicio denotado por Z = { z 1, z 2,, z n }, y un conjunto L de posibles localizaciones de los puntos de servicio. Cada punto de demanda z i suele tener asociado un peso w i, que representa la cantidad que demanda o usuarios en dicho punto. El problema de la p-mediana consiste en determinar simultáneamente las p posiciones de L (medianas) en las que establecer el servicio, de forma que se minimice el coste total del trasporte necesario para satisfacer todas las demandas de los usuarios, suponiendo que dicho coste es proporcional a la cantidad de demanda y a la distancia recorrida. Por tanto, cada usuario será atendido por el punto de servicio (mediana) más cercano que tiene una capacidad ilimitada. Los tipos más importantes de este problema son los problemas de la p-mediana continuo y discreto; según que el espacio E en el que se encuentra la demanda y se establecen los servicios, sea continuo o discreto. En el problema continuo de la p-mediana estándar el espacio E es todo el plano, y L coincide con E. En otros problemas continuos, el espacio es de mayor dimensión o es una región convexa acotada que incluye a Z. En el problema discreto de la p- mediana el espacio E consiste en los puntos de una red de comunicaciones y tanto Z como L son conjuntos finitos formados por vértices o nodos de la red; coincidentes en el caso estándar. Ambos son problemas de optimización NP-duros ( y ). El problema continuo de la p-mediana también se denomina problema múltiple de Weber y es un problema importante en localización desde el trabajo inicial de Cooper e interesante desde el punto de vista de la geometría computacional. Formalmente, el problema consiste en, dados n los puntos Z = { z 1, z 2,, z n } con sus correspondientes pesos w i, encontrar el conjunto X de p puntos del plano que hacen mínima la función: F( X ) = n i= 1 w min d( z, x) i x X El problema simple de Weber o de la mediana continua consiste en encontrar el punto del plano i

3 que hace mínima la suma ponderada al conjunto de puntos Z. No se dispone de un algoritmo que aporte la solución óptima de este problema en un número finito de pasos y el algoritmo más práctico consiste en aplicar el método iterativo de Weiszfeld. Este método aplica, a un punto arbitrario del plano la siguiente transformación de forma iterativa: n wi zi i = 1 d( x, zi) T( x) = n. wi d( x, z ) i = 1 La sucesión de puntos del plano definida por la ecuación x i+1 = T(x i) converge a la mediana de Z, a menos que en algún momento coincida en algún punto de Z. Esta situación, aunque posible es improbable, porque se ha podido determinar que el conjunto de puntos de arranque desde los que la sucesión alcanza un punto de Z que no es solución del problema, es numerable. Una modificación posterior permite resolver este caso; si la sucesión se estanca en un punto, y es sencillo comprobar si dicho punto es la solución del problema o no. En caso de que no lo sea se arranca la sucesión desde otro punto distinto, en la esperanza de que no vuelva a ocurrir lo mismo; lo que es casi seguro. El problema continuo de la p-mediana se ha extendido en múltiples direcciones; prescindiendo del número fijo de localizaciones e incluyendo, restricciones de capacidad, costes de localización, barreras, distinto tipo de normas o pseudo-normas en lugar de la euclídea, etc. Una revisión de los métodos heurísticos aplicados al problema continuo de la p- mediana se encuentra en ; con posterioridad han aparecido otras heurísticas en, y. Si el problema de la p-mediana se plantea sobre un grafo G = (V,A), donde los puntos de demanda son vértices (Z V) y el conjunto L está formado por todos los puntos sobre el grafo, incluyendo los vértices de V y todos los puntos intermedios de las aristas de A, es posible restringir la búsqueda de la p-mediana sólo los vértices (ver ). Por tanto, el conjunto L de posibles localizaciones se puede considerar restringido al propio conjunto V de los vértices del grafo, convirtiéndose también en un problema discreto de la p-mediana. En el planteamiento más común todos los vértices son a la vez los puntos de demanda y los de posible localización; Z = L = V (además todos tienen igual peso). El problema discreto de la p-mediana se aborda utilizando la matriz de distancias D entre todos los pares formados por una localización posible de L y un punto de demanda de Z. Si el problema está planteado en un grafo o red, estas son distancias entre vértices que se puede obtener por conocidos algoritmos de caminos mínimos, como los de Dijkstra o Floyd. Si el problema está planteado en el plano, el conjunto L de localizaciones posibles y el conjunto de puntos de demanda Z son conjuntos finitos de i puntos y se trabaja con la matriz de distancias euclídeas. En el caso más común los conjuntos Z y L coinciden y la matriz de distancias D es una matriz cuadrada. Por tanto el problema discreto de la p-mediana se suele plantearse en términos estrictamente matemáticos a partir de los elementos de la matriz de distancias D = [d ij = d(z i, z j), i,j = 1, 2,, n], y el vector de pesos w = [w i, i = 1, 2,, n]. El objetivo es encontrar las p filas de D tal que la media, ponderada por los pesos de w, de los mínimos de cada columna en esas filas sea mínima. Es decir, se trata de encontrar el conjunto de índices J {1, 2,, n} con J = p, que minimiza: F( X ) = n i = 1 w i min d j J Para el problema de la p-mediana discreto se han propuesto muy diferentes procedimientos de resolución; desde los trabajos iniciales de Cooper se han aplicado la mayoría de los métodos exactos y heurísticas. Una reciente revisión de los procedimientos heurísticos aplicados se encuentra en y una bibliografía anotada en. Entre los procedimientos aplicados se encuentran procedimientos evolutivos como los algoritmos genéticos, y los sistemas de Colonias de Hormigas. El método PSO se ha aplicado recientemente a un problema de localización similar a la p-mediana pero con costes de localización en. IV.LA PSO PARA LA P-MEDIANA CONTINUA. Para aplicar la versión estándar de la heurística PSO al problema de la p-mediana continua en el plano representamos cada solución posible consistente en p puntos por las 2p coordenadas. Por tanto, el vector de posición y el vector de velocidades son vectores del espacio de dimensión 2d sin más restricción. Sin embargo, unas pruebas sencillas muestran que la elección por defecto de los parámetros de la versión estándar puede ser mejorada. Aquí se propone una nueva versión de la PSO que tiene en cuenta la separación real entre las soluciones entendidas como conjuntos de puntos. Además se incorpora el algoritmo de Weiszfeld para mejorar la posición de las partículas derivadas de su velocidad. La versión aquí propuesta trata de reflejar físicamente la atracción de la mejor posición de la partícula y de su grupo de informantes. En lugar de utilizar la diferencia vectorial de las posiciones líderes y la actual, componente a componente, sin tener en cuenta su ordenación, en la actualización de la velocidad, se utiliza la proximidad de las medianas de las posiciones líderes para dirigir la atracción sobre cada punto de la posición de la partícula. El segundo sumando de la ecuación de actualización de la velocidad se calcula como sigue. Para cada uno de los p puntos del conjunto representado por la posición de la partícula, se determina el punto más cercano de la solución representada por la mejor posición de la ij

4 partícula. La diferencia entre ambos puntos del plano se multiplica por el factor estocástico. Análogamente se hace intervenir la atracción de la mejor posición del grupo en el tercer sumando de la actualización. Formalmente, la posición de una partícula viene dada por el vector de dimensión 2p. La posición de la partícula i-ésima viene dada por x i = ( (x i11,x i12),, (x ij1,x ij2),, (x ipj1, x ipj2) ) o equivalentemente x i = (x i1, x i2,, x ij,, x id) donde para cada j = 1, 2,..., p, la componente x ij de la posición es el punto del plano dado por sus coordenadas x ij = (x ij1,x ij2). Si la ecuación de actualización de la velocidad de una partícula se expresa por v i = c 1 v i + c 2 rnd (b i Ө x i) + c 3 rnd (g Ө x i), entonces la operación Ө actúa, como sigue. Si x e y representan dos conjuntos de p puntos del plano, el vector z = x Ө y se obtiene de la forma siguiente. Para cada punto x j de x se determina el punto y j* de y más cercano a x j; es decir el que hace mínima d(x j,y k) y las diferencias constituyen las componentes de z que corresponden al punto x j. Formalmente: z j = x j y j* donde d(x j,y j*) = min k d(x i,y k). El otro aspecto en que se modifica la versión original de la PSO es la actualización de la posición. Una vez obtenida la posición x i al añadirle algebraicamente la velocidad se asignan los puntos de demanda al punto más cercano de la solución representada por la partícula. Con cada uno de estos puntos como punto de arranque se aplica el algoritmo de Weiszfeld con los puntos de demanda que le han sido asignados. Formalmente, se definen los conjuntos Z j = { z Z: d(z,x j) = min k d(z,x k)} y se reemplaza cada punto x j de la partícula por el resultado x j* de aplicar el algoritmo Weiszfeld al conjunto Z j con el punto x j como punto de arranque. V.DISCRETIZACIONES DE LA PSO El método de optimización por enjambre o PSO fue originalmente propuesto para problemas de optimización continua, pero dado que, en palabras de sus autores, no es posible echar a volar las partículas en un espacio discreto, se han propuesto varias formas de adaptar el método a problemas discretos. Un grupo de individuos (agentes de búsqueda) que recorren un espacio discreto dando saltos de forma simultánea de unas soluciones a otras sin hundirse en posiciones intermedias rememora naturalmente el comportamiento de un grupo ranas saltando de piedra en piedra en un estanque. El correspondiente método de optimización, como método bio-inspirado, se denominaría optimización por el salto de la rana o JFO (Jumping Frog Optimization); sobre todo si, como ocurre en nuestra propuesta, se prescinde de la componente de la velocidad y en su lugar aparecen esporádicamente saltos aleatorios. La versión de la PSO propuesta por sus creadores para problemas de optimización con variables binarias, denominada PSO discreta o DPSO (Discrete Particle Swarm Optimization), permite tratar conjuntos de puntos mediante el vector característico (ver ). La posición de cada partícula es un vector binario x i = (x i1, x i2,, x ij,, x id) del espacio d-dimensional binario, x ij {0,1} d, pero la velocidad sigue siendo un vector dimensional v i del espacio continuo de dimensión d. R d. La velocidad sigue interpretándose como la tasa de cambio de cada componente del vector de posición y se actualiza por misma la fórmula: v i = c 1 v i + c 2 rnd (b i x i) + c 3 rnd (g x i). Sin embargo la posición se obtiene exclusivamente de la velocidad por un nuevo procedimiento. La propuesta original de los autores de la PSO utiliza la función sigmoidal y consiste en que cada variable x ij de cada partícula toma el valor 1 con probabilidad (1 + exp( v ji)) 1, y 0 en otro caso. Para evitar la explosión en la velocidad, además de usar un coeficiente de inercia c 1 pequeño se suele establecer una cota para sus componentes v ij (los valores típicos están en torno a 6.0). Otras propuestas para tratar problemas con variables dinámicas son las siguientes. En se considera una versión de la DPSO con una forma distinta de actualizar la velocidad. En se utiliza un método basado en la DPSO cuyas partículas se ven influenciadas alternativamente por la mejor posición de su recorrido particular y de todo su entorno en lugar de simultáneamente. En se usa la modulación angular con sólo cuatro parámetros en la PSO continua. Para problemas donde las soluciones son permutaciones, como en el problema del vendedor o TSP, se ha propuesta una versión que se ha aplicado en, y. La PSO ha sido aplicada a varios problemas de programación entera en. En se propone una versión de la PSO para variables discretas con varios valores; no sólo binarias. Las posiciones de las partículas que son unidimensionales en la PSO y bidimensionales en la DPSO, pero son tridimensiona-les para la PSO discreta con múltiples valores (MVP- SO). Las posiciones de las partículas vienen dadas por las cantidades x ijk, que representan las probabilidades de que en la i-ésima partícula, la j-ésima variable tome su k-ésimo valor posible. Por tanto la evaluación de las partículas es en todo momento estocástica y la velocidad también es tridimensional. Correa y Freitas proponen en una discretización de la PSO para el problema de la selección de atributos en minería de datos adaptable directamente al problema de la p-mediana, y a cualquier otro problema cuyo espacio de soluciones esté constituido por una selección de elementos de un universo finito. En esta versión se utilizan vectores característicos para representar los subconjuntos de variables. Si d es el número de variables entre las que hacer la selección, la posición y la velocidad de cada partícula son vectores de dimensión d. Los vectores de posición son vectores binarios pero los vectores de velocidad es-

5 tán formados por números positivos. Cada componente del vector de velocidad se interpreta como la verosimilitud relativa de la correspondiente componente binaria del vector de posición de la partícula. La ecuación de actualización de la velocidad es: v i = v i + c 1 x i + c 2 b i + c 3 g i. Nótese que, para cada partícula, los vectores x i, b i y g i corresponden a posiciones de partículas y son binarios pero no es así la velocidad v i. Para inicializar el enjambre, se selecciona al azar el número de variables de cada partícula. Este número, posiblemente distinto de unas partículas a otras, se mantiene fijo a lo largo del proceso. A continuación se seleccionan al azar tantas variables como corresponda para cada partícula. El vector de posición inicial de todas las partículas está constituido por unos. Para obtener la posición de la partícula a partir de la correspondiente velocidad, se multiplica cada una de sus componentes por un número al azar con distribución uniforme en [0,1]. A continuación se asigna 1 a las variables que alcanzan mayor valor, dejando el resto de las variables a 0. El número de variables que alcanza el valor 1 es el que corresponda a cada partícula. VI.LA PSO PARA LA P-MEDIANA DISCRETA. De las discretizaciones o versiones discretas de la PSO propuestas en la literatura, la más apropiada para el problema discreto de la p-mediana es naturalmente la reciente propuesta de Correa y Freitas. El único aspecto que hay que modificar es el número de elementos de cada partícula que viene fijado en p, en lugar de ser generado al azar en la inicialización de cada partícula. En este trabajo proponemos una nueva versión de la PSO para el problema de la p-mediana discreta que utiliza sólo conjuntos de puntos. Al carecer de continuidad el movimiento, la idea de velocidad pierde sentido, por lo que prescindimos de esta componente, aunque no de la atracción de las mejores posiciones. Utilizamos para la actualización de la posición de la partícula una expresión similar a la de Correa y Freitas para la actualización de la velocidad. Sin embargo, los pesos de la ecuación los interpretamos como las probabilidades de que se de un comportamiento aleatorio, y de una atracción por la mejor posición de la propia partícula, por la mejor posición de su entorno social y por la mejor posición global. La atracción de estas posiciones hace que la posición de la partícula evolucione acercándose a alguno de estos atractores mientras que se mejora. Expresamos formalmente la ecuación de actualización de la posición de cada partícula por x i = c 1 x i c 2 b i c 3 g i c 4 g*. El resultado de esta operación consiste realizar movimientos aleatorios con probabilidad c 1, movimientos de acercamiento con mejora hacia la mejor posición de la propia partícula b i con probabilidad c 2, hacia la mejor posición de su entorno social g i con probabilidad c 3, o hacia la mejor posición global g* con probabilidad c 4. Los movimientos consisten en reemplazar una de las p medianas por otro punto. Este punto se elige totalmente al azar en los movimientos aleatorios. En los movimientos de atracción se elige al azar entre las medianas del atractor correspondiente. Los movimientos de atracción que no producen mejora se rechazan. Este resultado se obtiene de la siguiente forma. Se divide el intervalo unidad [0,1] en cuatro segmentos con probabilidades c 1, c 2, c 3 y c 4 = 1 (c 1 + c 2 + c 3). A continuación se genera un número al azar en [0,1] y en función del segmento al que pertenezca el número aleatorio resultante, se aplican a la posición de la partícula movimientos aleatorios de mejora hacia el atractor correspondiente. El número de movimientos aplicado en cada generación a la posición de una partícula se elige al azar según una distribución de probabilidades geométrica con media igual al producto de p por el correspondiente coeficiente; c i. Para ello tras cada movimiento se genera un número al azar con distribución [0,1] que se multiplica por p y por el correspondiente coeficiente c i. Si el resultado es mayor que 1 se aplica otro movimiento, en otro caso se detienen los movimientos hasta la próxima generación. Además, a esta versión, JFO, de la PSO para la p-mediana discreta se puede incorporar una búsqueda local similar a la utilizada para la p-mediana continua. Esta búsqueda local es la propuesta por Maranzana que consiste en la aplicación alter-nativa de movimientos de asignación y localización, hasta que no se obtenga mejora. La asignación consiste en asignar cada punto de demanda a la mediana más cercana de la solución representada por la posición de la partícula. La localización consiste en determinar por inspección la mediana de cada uno de estos conjuntos. Formalmente, se definen los conjuntos Z j = {z Z: d(z,x j) = min k d(z,x k)} y se reemplaza cada punto x j de la partícula por la 1-mediana de Z j; el punto que minimiza max j d(x,z j). VII.EXPERIENCIA COMPUTACIONAL. Para la experiencia computacional, se seleccionaron problemas de la OR-Library que son usados asiduamente para probar heurísticas para los problemas continuo y discreto de la p-mediana. El objetivo de la experiencia es mostrar el comportamiento de las nuevas versiones de la PSO propuesta en comparación con las versiones estándares de la literatura. Para el problema de la p-mediana continua se utilizó un conjunto de 287 puntos, con sus pesos correspondientes originarios de que se ha utilizado también en, y. Se abordaron problemas con p desde 2 hasta 10. La tabla I muestra los resultados de la comparación de la versión estándar de la PSO con los parámetros propuestos por los autores (PSO- 2006), con esta versión con un ajuste de parámetros

6 para mejorar su rendimiento (PSO-2006*) y con la versión de la PSO aquí propuesta, tanto sin la búsqueda local (PSO-LS) como con ella (PSO+LS). TABLA I RESULTADOS PARA LA P-MEDIANA CONTINUA p PSO-2006 PSO-2006* PSO-LS PSO+LS Óptimos , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,04 Los estudios sobre los valores adecuados de los parámetros de la PSO, aunque no escasos, son poco concluyentes (,,,,, ), excepto en que el tamaño del enjambre debe crecer, al menos hasta 50 para problemas de gran tamaño. Para realizar comparaciones sobre la p-mediana continua se implementó la versión estándar PSO-2006 para 2p variables. Sin embargo, unas sencillas pruebas permitieron modificar algunos de sus parámetros para mejorar su rendimiento. Uno de los valores de los párame-tros más importantes es el tamaño del enjambre que en la versión estándar se fija a partir del número de variables d = 2p por la ecuación: s = 2 donde. es la parte entera. Este valor se mantiene para las cuatro versiones comparadas. La estructura de entorno de PSO-2006 es la aleatoria con el número de partículas en cada grupo k = 3. Este número se mostró insuficiente por lo que en la versión estándar mejorada se usa k = 30 y en nuestras propuestas k = 20. Por último, los coeficientes de inercia y de confianza en la versión estándar son c 1 = 1.7 y c 2 = c 3 = Sin embargo, para la versión mejorada se usó c 2 = c 3 = 0.2 y en la JFO c 1 = 1.5 y c 2 = c 3 = Para comparar las versiones consideradas para la p-mediana discreta se seleccionaron 10 problemas de los 40 que están disponibles en la OR-Library y que son utilizados con frecuencia para probar procedimientos heurísticos para este problema desde que aparecieron en. Se trata de problemas definidos sobre grafos y sin ponderaciones. En la tabla II se muestran los resultados obtenidos con la adaptación de la propuesta de Correa y Freitas (DPSO) y nuestra propuesta, tanto sin búsqueda local (JFO-LS) como con ella (JFO+LS). TABLA II RESULTADOS PARA LA P-MEDIANA DISCRETA Caso N p DPSO JFO-LS JFO+LS Óptimos Los valores de los parámetros elegidos para las pruebas con la p-mediana discreta fueron similares para los tres procedimientos. El tamaño del enjambre se fijó en 50 y el tamaño de los entornos aleatorios en 15. Los coeficientes de la ecuación de actualización de la velocidad en DPSO se fijaron en c 1 = 0.1, c 2 = 0.2 y c 3 = 0.5. Los coeficientes de atracción en nuestra propuesta JFO se fijaron en c 1 = 0.1, c 2 = 0.2, c 3 = 0.5 y c 4 = 0.1. VIII.CONCLUSIONES. En este trabajo se ha analizado la aplicación de la metaheurística de Optimización por Enjam-

7 bre (PSO) a los problemas de la p-mediana continuo y discreto. Se han implementado las versiones más estándares de la PSO para los problemas de la p-mediana continua y discreta haciendo un ligero ajuste de parámetros. Se han propuesto nuevas versiones para ambos problemas que tienen en cuenta la atracción entre las soluciones representadas por las partículas siguiendo una interpretación fiel al problema. Además se ha propuesto la incorporación de una búsqueda local para mejorar las posiciones de las partículas tras cada actualización. Los resultados experimentales obtenidos muestran que es necesario un ajuste de los parámetros de las versiones estándar para conseguir de ellas un rendimiento apropiado. Se muestra como nuestras dos propuestas mejora considerablemente la calidad de las soluciones aportadas. También se muestra como la introducción de la búsqueda local consigue mejorar aún más la calidad de las soluciones aportadas alcanzando la solución óptima en bastantes casos. Como investigaciones futuras se profundizará en el estudio experimental de los aspectos aquí considerados. Además se estudiará la posibilidad de utilizar otras estructuras de entornos y de paralelizar el procedimiento. Así mismo se considerará la aplicación a otros problemas estándares de la planificación logística y a problemas mixtos y más realistas. AGRADECIMIENTOS Este trabajo ha sido parcialmente subvencionado por los proyectos TIN C04-03 (70% FEDER) y PI042005/044. REFERENCIAS [1] B. Al-kazemi, C.K. Mohan (2000). Multiphase Discrete Particle Swarm Optimization. Fourth International Workshop on Frontiers in Evolutionary Algorithms. [2] O. Alp, E. Erkut, D. Drezner (2003). An efficient genetic algorithm for the p-median problem. Annals of Operations Research, 122: [3] N. Aras, K.C. Özkısacık, İ.K. Altınel (2006). Solving the uncapacitated multi-facility Weber problem by vector quantization and self-organizing maps. Journal of the Operational Research Society, 57(1): [4] J.E. Beasley (1985). A note on solving large p-median problems. European Journal of Operational Research, 21: [5] J.E. Beasley (1990). OR-Library: Distributing test problems by electronic mail. Journal of the Operational Research Society, 41: [6] I. Bongartz, P.H. Calami, A.R. Conn (1994). A Projection Method for L p Norm Location-Allocation Problems. Mathematical Programming, 66: [7] J. Bramel, D. Simchi-Levi (2005) "The Logic of Logistics: Theory, Algorithms, and Applications for Logistics Management" Springer. [8] J. Brimberg, P. Hansen, N. Mladenovic, E. Taillard (1997). Improvements and comparison of. heuristics for solving the multisource Weber problem. Operations Research, 48: [9] M. Clerc (2006). Particle Swarm Optimization. ISTE (International Scientific and Technical Encyclopaedia), [10] L. Cooper (1963). Location-allocation problem. Operations Research, 11: [11] L. Cooper (1964). Heuristic methods for location-allocation problems. SIAM Review. 6, [12] E.S. Correa, S.A. Freitas, C.G. Johnson (2006) A new Discrete Particle Swarm Algorithm Applied to Attribute Selection in a Bioinformatic Data Set. Proceedings of GECCO 2006, [13] R.C. Eberhard, J. Kennedy, (1995) A new optimizer using particle swarm theory, Proceedings of the Sixth International Symposium on Micro Machine and Human Science, Nagoya, Japan, [14] R.C. Eberhart, Y. Shi, (2000). Comparing inertia weights and constriction factors in particle swarm optimization, Proceedings of the 2000 Congress on Evolutionary Computation, vol. 1, [15] A.I. El-Gallad, M.E. El-Hawary, A.A. Sallam, A. Kalas (2002). Enhancing the Particle Swarm Optimizer via Proper Parameters Selection. Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering, [16] M.D.H. Gamal, S. Salhi (2003) A cellular heuristic for the multisource Weber problem. Computers and Operations Research, 30(11) [17] M.R. Garey, D.S. Johnson (1979). Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. Freeman, [18] O. Kariv, S.L. Hakimi (1979). An algorithmic approach to network location problem. Part 2: The p-median. SIAM Journal of Applied Mathematics, 37: [19] J. Kennedy, Small worlds and megaminds: Effects of neighborhood topology on particle swarm performance, Proceedings

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