PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA v1.1

Transcripción

1 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA v Asignatura: Optimización y Simulación Profesor: Ángel Felipe Ortega Alumno:: Alfonso de la Fuente Ruiz Fecha Junio de 2009 Fecha: MIM-UCM Página 1

2 INTRODUCCIÓN El alumno ha recibido una serie de prácticas de optimización y simulación para realizar con Fortran-NAG, MPL y/o SAS, con un máximo de 3 puntos y conforme a los siguientes criterios: MIM-UCM Página 2

3 PRÁCTICAS A continuación se incluye copia de los enunciados de las prácticas asignadas al alumno. Se incluyen resultados, desarrollo matemático y código fuente, a continuación de cada práctica resuelta. Cuando una práctica se ha resuelto por varios métodos, se incluyen unos a continuación de otros. Debido a causa de fuerza mayor, el alumno ha realizado las prácticas en una versión educacional doméstica de SAS ante la imposibilidad de utilizar el de las aulas de la facultad dispuesto a tal fin y efecto. La versión utilizada fue SAS 9.1. La versión de MPLWin empleada fue la recibida durante el curso NOTAS DE LA VERSIÓN: La presente versión corresponde a la 1.1, que viene a corregir los dos errores señalados en la entrega de la primera versión: - Matriz de distancias en la práctica 5 (caminos mínimos) - Transcripción de las fórmulas a código SAS en la práctica 13 (tienda de campaña) Adicionalmente, se completaron las prácticas 9 (cortes de materiales) y 11 (seguridad de una tabla). MIM-UCM Página 3

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5 CÓDIGO SAS: TITLE 'Asignación lineal'; DATA DATOS; INPUT D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10; DATALINES; ; PROC ASSIGN DATA=DATOS OUT=SALIDA; COST D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10; RUN; PROC PRINT DATA=SALIDA; SUM _FCOST_; RUN; MIM-UCM Página 5

6 RESULTADOS: Asignación lineal Obs D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 _ASSIGN FCOST_ D D D D D D D D D D MIM-UCM Página 6

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8 CÓDIGO MPL: TITLE "NTRANS"; INDEX I=1..9; J=1..13; DATA A[I]=( ); B[J]=( ); C[I,J]=(( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )); DECISION VARIABLES X[I,J]; MIN Z=SUM(I,J:C[I,J]*X[I,J]); SUBJECT TO LECONSTR[I]:SUM(J:X[I,J])<=A[I]; EQCONSTR[J]:SUM(I:X[I,J])=B[J]; END MIM-UCM Página 8

9 RESULTADOS: MPL Modeling System - Copyright (c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: NTRANS Filename: NTRANS.mpl Date: June 3, 2009 Time: 19:29 Parsing time: 0.03 sec Solver: FortMP (mps) Objective value: Iterations: 0 Solution time: 1.52 sec Constraints: 22 Variables: 117 Nonzeros: 234 Density: 9 % SOLUTION RESULT Optimal solution found MIN Z = MIM-UCM Página 9

10 DECISION VARIABLES VARIABLE X[I,J] : I J Activity Reduced Cost MIM-UCM Página 10

11 MIM-UCM Página 11

12 MIM-UCM Página 12

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14 CONSTRAINTS CONSTRAINT LECONSTR[I] : I Slack Shadow Price CONSTRAINT EQCONSTR[J] : J Slack Shadow Price END MIM-UCM Página 14

15 CÓDIGO SAS: dm 'log; clear; output; clear'; /* limpiar ventanas */ TITLE 'TRANSPORTER2'; DATA DATOS; INPUT ORIGEN $ OFERTA DESTINO1-DESTINO13; DATALINES; ORIGEN_ ORIGEN_ ORIGEN_ ORIGEN_ ORIGEN_ ORIGEN_ ORIGEN_ ORIGEN_ ORIGEN_ ; PROC TRANS COST=DATOS OUT=SALIDA; TAILNODE ORIGEN; HEADNODE DESTINO1-DESTINO13; SUPPLY OFERTA; RUN; PROC PRINT DATA=SALIDA; RUN; MIM-UCM Página 15

16 RESULTADOS: TRANSPORTER2 O b s OR IG EN OF ER TA DE ST IN O1 DE ST IN O2 DE ST IN O3 DE ST IN O4 DE ST IN O5 DE ST IN O6 DE ST IN O7 DE ST IN O8 DE ST IN O9 DES TIN O10 DES TIN O11 DES TIN O12 DES TIN O13 _D UA L_ 1 _D EM AN D_ OR IG EN _ OR IG EN _ OR IG EN _ OR IG EN _ OR IG EN _ OR IG EN _ OR IG EN _ OR IG EN _ OR IG EN _9 _D UA L_ MIM-UCM Página 16

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18 CÓDIGO MPL: MAX z = x1 + x2; SUBJECT TO x1 + x2 <= ; x1 + 3 x2 <= 17; x1 + x2 <= ; x1 + x2 >= ; x1>=0; x2>=0; MIM-UCM Página 18

19 RESULTADOS: MPL Modeling System - Copyright (c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Problem Filename: NLINEAL.mpl Date: June 3, 2009 Time: 19:06 Parsing time: 0.04 sec Solver: FortMP (mps) Objective value: Iterations: 0 Solution time: 1.83 sec Constraints: 6 Variables: 2 Nonzeros: 10 Density: 83 % SOLUTION RESULT Optimal solution found MAX z = MIM-UCM Página 19

20 DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x CONSTRAINTS PLAIN CONSTRAINTS Constraint Name Slack Shadow Price c c c c c c END MIM-UCM Página 20

21 PROBLEMA ENTERO CÓDIGO MPL: INTEGER x1; x2; MAX z = x1 + x2; SUBJECT TO x1 + x2 <= ; x1 + 3 x2 <= 17; x1 + x2 <= ; x1 + x2 >= ; x1>=0; x2>=0; MIM-UCM Página 21

22 RESULTADOS: MPL Modeling System - Copyright (c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Problem Filename: NLINEAL2.mpl Date: June 3, 2009 Time: 19:14 Parsing time: 0.03 sec Solver: FortMP (mps) Objective value: Iterations: 0 Integer nodes: 0 Solution time: 1.34 sec Constraints: 6 Variables: 2 Integers: 2 Nonzeros: 10 Density: 83 % SOLUTION RESULT Integer optimal solution found MAX z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x CONSTRAINTS PLAIN CONSTRAINTS END Constraint Name Slack Shadow Price c c c c c c MIM-UCM Página 22

23 CÓDIGO SAS: dm 'log; clear; output; clear'; /* limpiar ventanas */ TITLE 'PL cont, ent'; PROC NLP; MAX z; DECVAR x1, x2; BOUNDS x1>=0; BOUNDS x2>=0; LINCON *x1 + x2 <= ; LINCON x1 + 3*x2 <= 17; LINCON *x1 + x2 <= ; LINCON *x1 + x2 >= ; z = *x1 + x2; RUN; MIM-UCM Página 23

24 RESULTADOS: PL cont, ent PROC NLP: Nonlinear Maximization Gradient is computed using analytic formulas. Hessian is computed using analytic formulas. PL cont, ent PROC NLP: Nonlinear Maximization Inicio de optimización Parámetros estimados N Parámetro Estimación Función objetivo gradiente Restricción de la cota inferior Restricción de la cota superior 1 x x Value of Objective Function = Restricciones lineales : >= * x * x : >= * x * x : >= * x * x : >= * x * x2 PL cont, ent PROC NLP: Nonlinear Maximization Optimización Newton-Raphson Ridge Ajuste a escala sin parámetro Estimadores de parámetro 2 Límites inferiores 2 Límites superiores 0 Restricciones lineales 4 Utilizando hessiano ralo _ Inicio de optimización Restricciones activas 0 Función Objetive Max Abs Gradient Element MIM-UCM Página 24

25 Itera ción Rein icio Llam adas de func ión Restricc iones activas Func ión obje tiva Cambio/de función/o bjetiva Elemento/grad iente/max abs Pic o Rati o entr e el camb io actu al y el pred icho 1 * * Resultados de optimización Iteraciones 2 Invocaciones de función 4 Invocaciones del hessiano 3 Restricciones activas 2 Función Objetive Max Abs Gradient Element 0 Contraer 0 Actual Over Pred Change Todos los parámetros están restringidos activamente. No se puede llevar a cabo la optimización. PL cont, ent PROC NLP: Nonlinear Maximization Resultados de optimización Parámetros estimados N Parámetro Estimación Función objetivo gradiente 1 x x Value of Objective Function = Linear Constraints Evaluated at Solution = * x * x = * x * x2 3 ACT E-16 = * x * x2 4 ACT -2.22E-16 = * x * x2 MIM-UCM Página 25

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27 CÓDIGO SAS: TITLE ' Práctica 4: Problema de la mochila (LP)'; Data datos; INFILE 'c:\documsas\lp\mochi.dat'; INPUT _ROW_ $1. _TYPE_ $ _RHS_ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 x30 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38 x39 x40 x41 x42 x43 x44 x45; PROC LP DATA=datos; RUN; DATOS (mochi.sas): z max p le binary MIM-UCM Página 27

28 RESULTADOS: Práctica 4: Problema de la mochila (LP) The LP Procedure Resumen del problema Objective Function Rhs Variable Type Variable Max z _RHS TYPE_ Problem Density (%) Variables Number Binary 45 Slack 1 Total 46 Constraints Number LE 1 Objective 1 Total 2 Práctica 4: Problema de la mochila (LP) The LP Procedure Resumen de la solución Integer Optimal Solution Objective Value 2267 Phase 1 Iterations 0 Phase 2 Iterations 36 Phase 3 Iterations 0 MIM-UCM Página 28

29 Resumen de la solución Integer Optimal Solution Integer Iterations 0 Integer Solutions 1 Initial Basic Feasible Variables 3 Time Used (seconds) 0 Number of Inversions 4 Epsilon 1E-8 Infinity E308 Maximum Phase 1 Iterations 100 Maximum Phase 2 Iterations 100 Maximum Phase 3 Iterations Maximum Integer Iterations 100 Time Limit (seconds) 120 Práctica 4: Problema de la mochila (LP) The LP Procedure Resumen de la variable Col Nombre de la variable Estado Tipo Precio Actividad Coste reducido 1 x1 BINARY x2 BINARY x3 BINARY x4 BINARY x5 BINARY x6 BINARY x7 BINARY x8 BINARY x9 BINARY x10 BINARY x11 BINARY MIM-UCM Página 29

30 Resumen de la variable Col Nombre de la variable Estado Tipo Precio Actividad Coste reducido 12 x12 BINARY x13 BINARY x14 BINARY x15 BINARY x16 BINARY x17 BINARY x18 BINARY x19 BINARY x20 BINARY x21 BINARY x22 BINARY x23 BINARY x24 BINARY x25 BINARY x26 BINARY x27 BINARY x28 BINARY x29 BINARY x30 BINARY x31 BINARY x32 BINARY x33 BINARY x34 BINARY x35 BINARY x36 BINARY x37 BINARY x38 BINARY x39 BINARY x40 BINARY MIM-UCM Página 30

31 Resumen de la variable Col Nombre de la variable Estado Tipo Precio Actividad Coste reducido 41 x41 BINARY x42 BINARY x43 BINARY x44 BINARY x45 BASIC BINARY p SLACK Práctica 4: Problema de la mochila (LP) The LP Procedure Resumen de restricciones Fila Nombre de la restricción Tipo S/S Col Rhs Actividad Actividad dual 1 z OBJECTVE p LE MIM-UCM Página 31

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33 CÓDIGO SAS: dm 'log; clear; output; clear'; /* limpiar ventanas */ TITLE 'Práctica 5: Camino minimo (NETFLOW)'; DATA datos0; INPUT inicial $ final $ DATALINES; A B 26 A C 82 A D 63 B A 71 B C 64 B E 23 C D 76 C E 52 C F 81 D C 75 D F 41 D G 68 E B 78 E F 39 E H 15 F D 21 F E 31 F G 12 F H 30 F I 32 G F 51 G I 46 H F 14 H I 43 I G 48 I H 72 ; %MACRO camino(fuente,sumidero); PROC NETFLOW SHORTPATH /* calcula un camino minimo desde el */ SOURCE=&fuente /* vertice fuente indicado en SOURCE */ SINK=&sumidero /* hasta el vertice destino indicado en SINK */ ARCDATA=datos0 /* conjunto de datos de los arcos */ ARCOUT=salida0; /* conjunto solucion sin restricciones */ TAIL inicial; /* variable de extremos iniciales de los arcos */ HEAD final; /* variable de extremos finales de los arcos */ COST longitud; /* variable de longitudes de los arcos */ RUN; PROC PRINT DATA=salida0; SUM _FCOST_; /* longitud del camino mínimo */ %MEND camino; /* la matriz D(i,j) tiene diagonal nula por definición */ /* la matriz P(i,j) tiene como elementos de la diagonal los propios coeficientes que se repiten, ya que el nodo de salida es el mismo que el de llegada. */ %camino(a,b);%camino(a,c);%camino(a,d);%camino(a,e);%camino(a,f);%cami no(a,g);%camino(a,h);%camino(a,i); %camino(b,c);%camino(b,d);%camino(b,e);%camino(b,f);%camino(b,g);%cami no(b,h);%camino(b,i); %camino(c,d);%camino(c,e);%camino(c,f);%camino(c,g);%camino(c,h);%cami no(c,i); %camino(d,e);%camino(d,f);%camino(d,g);%camino(d,h);%camino(d,i); %camino(e,f);%camino(e,g);%camino(e,h);%camino(e,i); %camino(f,g);%camino(f,h);%camino(f,i); %camino(g,h);%camino(g,i); %camino(h,i); %camino(b,a); %camino(c,a);%camino(c,b); %camino(d,a);%camino(d,b);%camino(d,c); %camino(e,a);%camino(e,b);%camino(e,c);%camino(e,d); %camino(f,a);%camino(f,b);%camino(f,c);%camino(f,d);%camino(f,e); %camino(g,a);%camino(g,b);%camino(g,c);%camino(g,d);%camino(g,e);%cami no(g,f); %camino(h,a);%camino(h,b);%camino(h,c);%camino(h,d);%camino(h,e);%cami no(h,f);%camino(h,g); %camino(i,a);%camino(i,b);%camino(i,c);%camino(i,d);%camino(i,e);%cami no(i,f);%camino(i,g);%camino(i,h); RUN; MIM-UCM Página 33

34 RESULTADOS: Nota: Se presentan exclusivamente los resultados solicitados, debido a que la gran cantidad de datos que se generan durante la ejecución dificulta su localización ; Representación tridimensional de la matriz D(i,j) MIM-UCM Página 34

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36 Nota: Como los problemas de esta práctica son iguales para todos los alumnos y se encuentran varios datos con formato #.d0 no definido, se han inicializado éstos arbitrariamente con los siguientes valores: 1.d0 = 1; 2.d0 = 2; 4.d0 = 4; CÓDIGO SAS: dm 'log; clear; output; clear'; /* limpiar ventanas */ TITLE 'Práctica 6'; PROC NLP TECH=QUANEW OUTDER=2 OUT=DERIV; MIN f; DECVAR x, a, b; BOUNDS 0.1 <= x; BOUNDS x <= 10; BOUNDS a = ; BOUNDS b = ; f= EXP(4*x)*(x*x+1) + EXP(2*x)*(1/(x*x)-a*x-b) - RUN; b*sqrt(2*b)*exp(x)/(a*x) + 1/(x*x) - 2*b/(a*x); proc export DATA=DERIV; outfile='c:/qn.xls' /** ".xls" lets SAS know you want an Excel 5 spreadsheet **/ ***/ replace; /** if file already exists overwrite it RUN; MIM-UCM Página 36

37 RESULTADOS: Práctica 6 PROC NLP: Nonlinear Minimization Gradient is computed using analytic formulas. El punto inicial se ha cambiado para que se ajuste a las restricciones de los límites y líneas. Práctica 6 PROC NLP: Nonlinear Minimization Inicio de optimización Parámetros estimados N Parámetro Estimación Función objetivo gradiente Restricción de la cota inferior Restricción de la cota superior Restricción de la cota activa 1 x a Equal BC 3 b Equal BC Value of Objective Function = Práctica 6 PROC NLP: Nonlinear Minimization Optimización Dual Quasi-Newton Actualización Dual Broyden - Fletcher - Goldfarb - Shanno (DBFGS) Estimadores de parámetro 3 Límites inferiores 3 Límites superiores 3 Inicio de optimización Restricciones activas 2 Función Objetive Max Abs Gradient Element Itera ción Rein icio Llam adas de func ión Restric ciones activas Funció n objeti va Cambio/de función/o bjetiva Elemento/grad iente/max abs Tam año del pas o Pendi ente de direc ción de búsqu eda MIM-UCM Página 37

38 Itera ción Rein icio Llam adas de func ión Restric ciones activas Funció n objeti va Cambio/de función/o bjetiva Elemento/grad iente/max abs Tam año del pas o Pendi ente de direc ción de búsqu eda E E- 7 Resultados de optimización Iteraciones 5 Invocaciones de función 15 Invocaciones del gradiente 10 Restricciones activas 2 Función Objetive Max Abs Gradient Element Coeficiente angular de la dirección de búsqueda E-6 Se ha cumplido el criterio de convergencia GCONV. Práctica 6 PROC NLP: Nonlinear Minimization Resultados de optimización Parámetros estimados N Parámetro Estimación Función objetivo gradiente Restricción de la cota activa 1 x a Equal BC 3 b Equal BC Value of Objective Function = MIM-UCM Página 38

39 MIM-UCM Página 39

40 CÓDIGO SAS: dm 'log; clear; output; clear'; /* limpiar ventanas */ TITLE 'Práctica 7'; PROC NLP TECH=QUANEW OUTDER=2 OUT=DERIV; MIN fun3var; DECVAR x1, x2, x3; BOUNDS 0 <= x1 <= 5, 0 <= x2 <= 10, 0 <= x3 <= 5; a1 = ; a2 = ; a3 = ; a4 = ; a5 = ; a6 = ; a7 = ; a8 = ; a9 = ; a10 = ; a11 = ; a12 = ; fun3var = x1**4 + (1+x1**2)*EXP(2*x3) + a1*x1**2 + a2*x1 + a3*x2**2 + a4*x2 + a5*x3**2 + a6*x1*x2 + a7*x1*x3 + a8*x2*x3 + (a9*x1 + a10*x2**2 + a11)*exp(x3) + a12*x2*exp(x3/2); RUN; MIM-UCM Página 40

41 RESULTADOS: Práctica 7 PROC NLP: Nonlinear Minimization Gradient is computed using analytic formulas. Práctica 7 PROC NLP: Nonlinear Minimization Inicio de optimización Parámetros estimados N Parámetro Estimación Función objetivo gradiente Restricción de la cota inferior Restricción de la cota superior 1 x x x Value of Objective Function = Práctica 7 PROC NLP: Nonlinear Minimization Optimización Dual Quasi-Newton Actualización Dual Broyden - Fletcher - Goldfarb - Shanno (DBFGS) Estimadores de parámetro 3 Límites inferiores 3 Límites superiores 3 Inicio de optimización Restricciones activas 0 Función Objetive Max Abs Gradient Element Itera ción Rein icio Llam adas de func ión Restric ciones activas Func ión obje tiva Cambio/de función/o bjetiva Elemento/grad iente/max abs Tam año del pas o Pendi ente de direc ción de búsqu eda MIM-UCM Página 41

42 Itera ción Rein icio Llam adas de func ión Restric ciones activas Func ión obje tiva Cambio/de función/o bjetiva Elemento/grad iente/max abs Tam año del pas o Pendi ente de direc ción de búsqu eda E E- 8 Resultados de optimización Iteraciones 10 Invocaciones de función 24 Invocaciones del gradiente 16 Restricciones activas 0 Función Objetive Max Abs Gradient Element Coeficiente angular de la dirección de búsqueda E-6 Se ha cumplido el criterio de convergencia GCONV. Práctica 7 PROC NLP: Nonlinear Minimization Resultados de optimización MIM-UCM Página 42

43 Parámetros estimados N Parámetro Estimación Función objetivo gradiente 1 x x x Value of Objective Function = MIM-UCM Página 43

44 NO FIGURA MIM-UCM Página 44

45 MIM-UCM Página 45

46 DESARROLLO: ,99 48,02 54,04 36,64 64,22 46, Uso Resma ,99 52, ,98 4, ,02 51, ,04 3, ,04 45, ,64 63, ,28 26, ,22 35, ,57 53, ,14 6, ,01 3, ,56 5, ,59 5, ,68 9, ,66 15, ,63 15, ,21 16,79 MIM-UCM Página 46

47 CÓDIGO MPL: INTEGER X01; X02; X03; X04; X05; X06; X07; X08; X09; X10; X11; X12; X13; X14; X15; X16; X17; MIN Z=52.01*X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X17; SUBJECT TO X01+2*X02+X11+X12+X16 >= 18; X03+2*X04+X11+X13+X15 >= 13; X05+X14 >= 9; X06+2*X07+X14+X15+X16+X17 >= 15; X08 >= 10; X09+2*X10+X12+X13+X17 >= 14; X01>=0; X02>=0; X03>=0; X04>=0; X05>=0; X06>=0; X07>=0; X08>=0; X09>=0; X10>=0; X11>=0; X12>=0; X13>=0; X14>=0; X15>=0; X16>=0; X17>=0; MIM-UCM Página 47

48 RESULTADOS: MPL Modeling System - Copyright (c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Problem Filename: CORTES.mpl Date: June 15, 2009 Time: 12:48 Parsing time: 0.07 sec Solver: FortMP (mps) Objective value: Iterations: 0 Integer nodes: 0 Solution time: 2.47 sec Constraints: 23 Variables: 17 Integers: 17 Nonzeros: 41 Density: 10 % SOLUTION RESULT Integer optimal solution found MIN Z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost X X X X X X X X X MIM-UCM Página 48

49 X X X X X X X X CONSTRAINTS PLAIN CONSTRAINTS END Constraint Name Slack Shadow Price c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c MIM-UCM Página 49

50 NO FIGURA MIM-UCM Página 50

51 MIM-UCM Página 51

52 CÓDIGO MPL: {NOTA: Retirar '!' en una variable cada vez, y repetir todas para MAX} MIN!MAX! xa1;! xa4;! xa5;! xb3;! xb6;! xc2;! xc3;! xc6;! xd4;! xd7;! xd8;! xe3;! xe9;! xf4;! xf5;! xg2;! xg8;! xh2;! xh9;! xi6;! xi9;! xj1;! xj7; SUBJECT TO MIM-UCM Página 52

53 !POSITIVOS: xa1>=0; xa4>=0; xa5>=0; xb3>=0; xb6>=0; xc2>=0; xc3>=0; xc6>=0; xd4>=0; xd7>=0; xd8>=0; xe3>=0; xe9>=0; xf4>=0; xf5>=0; xg2>=0; xg8>=0; xh2>=0; xh9>=0; xi6>=0; xi9>=0; xj1>=0; xj7>=0;!horizontales: xa xa4 + xa = 110; xb xb = 103; 8 + xc2 + xc xc = 112; xd xd7 + xd = 95; xe xe9 + 4 = 95; xf4 + xf = 116; 10 + xg xg = 113; 10 + xh xh9 + 9 = 83; xi xi9 + 3 = 94; xj xj = 96;!ctes: = 116;!total: = 1133;!VERTICALES: xa xj1+10=105; 17+8+xc xg2+xh =131; 17+xb3+xc3+8+xe =103; xa xd4+16+xf =119; xa xf =122; 18+xb6+xc xi6+9+10=104; xd xj7+10=99; xd xg =131; xe xh9+xi9+2+9=106;!ctes: =113; MIM-UCM Página 53

54 { I II III IV V VI VII VIII IX X total A xa xa4 xa B 19 8 xb3 4 8 xb C 8 xc2 xc xc D xd xd7 xd E 8 16 xe xe F xf4 xf G 10 xg xg H 10 xh xh I xi6 4 9 xi J xj xj K total } MIM-UCM Página 54

55 RESULTADOS: Nota: se ejecuta el procedimiento dos veces con cada variable, una para minimizar (rango inferior) y otra para maximizar (rango superior), anotando el resultado de la función objetivo en la casilla correspondiente. MIM-UCM Página 55

56 CÓDIGO SAS: dm 'log; clear; output; clear'; /* limpiar ventanas */ TITLE 'PL cont, ent'; data TABLE; format _id_ $6.; input _id_ $ Y1-Y23 _type_ $ _rhs_; datalines; incog min. /* NOTA: Ejecutar con una variable cada vez y repetir para MAX */ /* Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Y10,Y11,Y12,Y13,Y14,Y15,Y16,Y17,Y18,Y19,Y20,Y21,Y22,Y23; */ /* xa1,xa4,xa5,xb3,xb6,xc2,xc3,xc6,xd4,xd7,xd8,xe3,xe9,xf4,xf5,xg2,xg8,xh2,xh9,xi6,xi9,xj1, xj7; */ /* POSITIVOS */ pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 pos ge 0 /* xa1>=0, xa4>=0, xa5>=0, xb3>=0, xb6>=0, xc2>=0, xc3>=0, xc6>=0, xd4>=0, xd7>=0, xd8>=0, xe3>=0, xe9>=0, xf4>=0, xf5>=0, xg2>=0, xg8>=0, xh2>=0, xh9>=0, xi6>=0, xi9>=0, xj1>=0, xj7>=0; */ /* HORIZONTALES: */ /* Los coeficientes de igualdad salen de restar las constantes al subtotal de FILA */ hor eq 14 hor eq 17 hor eq 16 hor eq 26 hor eq 15 hor eq 28 hor eq 32 hor eq 6 hor eq 24 hor eq 21 /* xa xa4 + xa = 110, xb xb = 103, 8 + xc2 + xc xc = 112, xd xd7 + xd = 95, xe xe9 + 4 = 95, xf4 + xf = 116, 10 + xg xg = 113, 10 + xh xh9 + 9 = 83, xi xi9 + 3 = 94, xj xj = 96, */ /*!ctes: = 116,!total: = 1133; */ /*!VERTICALES: */ /* Los coeficientes de igualdad salen de restar las constantes al subtotal de COLUMNA */ ver eq 10 ver eq 26 ver eq 20 ver eq 24 ver eq 18 MIM-UCM Página 56

57 ver eq 18 ver eq 20 ver eq 35 ver eq 37 /* Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Y10,Y11,Y12,Y13,Y14,Y15,Y16,Y17,Y18,Y19,Y20,Y21,Y22,Y23; */ /* xa1,xa4,xa5,xb3,xb6,xc2,xc3,xc6,xd4,xd7,xd8,xe3,xe9,xf4,xf5,xg2,xg8,xh2,xh9,xi6,xi9,xj1, xj7; */ /* xa xj1+10=105, 17+8+xc xg2+xh =131, 17+xb3+xc3+8+xe =103, xa xd4+16+xf =119, xa xf =122, 18+xb6+xc xi6+9+10=104, xd xj7+10=99, xd xg =131, xe xh9+xi9+2+9=106; */ /*!ctes: =113 */ ; proc lp; run; /* I II III IV V VI VII VIII IX X total A xa xa4 xa B 19 8 xb3 4 8 xb C 8 xc2 xc xc D xd xd7 xd E 8 16 xe xe F xf4 xf G 10 xg xg H 10 xh xh I xi6 4 9 xi J xj xj K total */ RUN; MIM-UCM Página 57

58 RESULTADOS: Nota: Resultado idéntico al método MPL. Se adjunta como muestra la salida de programa que obtiene el umbral inferior para la primera incógnita. PL cont, ent The LP Procedure Resumen del problema Objective Function Min incog Rhs Variable Type Variable _rhs type_ Problem Density (%) 0.00 Variables Number Non-negative 23 Total 23 Constraints Number Objective 1 Total 1 PL cont, ent The LP Procedure Resumen de la solución Terminated Successfully Objective Value 0 Phase 1 Iterations 0 Phase 2 Iterations 0 MIM-UCM Página 58

59 Resumen de la solución Terminated Successfully Phase 3 Iterations 0 Integer Iterations 0 Integer Solutions 0 Initial Basic Feasible Variables 2 Time Used (seconds) 0 Number of Inversions 2 Epsilon 1E-8 Infinity E308 Maximum Phase 1 Iterations 100 Maximum Phase 2 Iterations 100 Maximum Phase 3 Iterations Maximum Integer Iterations 100 Time Limit (seconds) 120 PL cont, ent The LP Procedure Resumen de la variable Col Nombre de la variable Estado Tipo Precio Actividad Coste reducido 1 Y1 NON-NEG Y2 ALTER NON-NEG Y3 ALTER NON-NEG Y4 ALTER NON-NEG Y5 ALTER NON-NEG Y6 ALTER NON-NEG Y7 ALTER NON-NEG Y8 ALTER NON-NEG Y9 ALTER NON-NEG Y10 ALTER NON-NEG MIM-UCM Página 59

60 Resumen de la variable Col Nombre de la variable Estado Tipo Precio Actividad Coste reducido 11 Y11 ALTER NON-NEG Y12 ALTER NON-NEG Y13 ALTER NON-NEG Y14 ALTER NON-NEG Y15 ALTER NON-NEG Y16 ALTER NON-NEG Y17 ALTER NON-NEG Y18 ALTER NON-NEG Y19 ALTER NON-NEG Y20 ALTER NON-NEG Y21 ALTER NON-NEG Y22 ALTER NON-NEG Y23 ALTER NON-NEG PL cont, ent The LP Procedure Resumen de restricciones Fila Nombre de la restricción Tipo S/S Col Rhs Actividad Actividad dual 1 incog OBJECTVE MIM-UCM Página 60

61 NO FIGURA MIM-UCM Página 61

62 MIM-UCM Página 62

63 DESARROLLO: = +,,? min ; = =4 2 =8 ; = =4 ; = = + ; = = + ; = = + = + + ; =2 2 = ; =4 ; =8 +4 = ; = 3 =4 3 =4 3 ; =2 2 =4 ; = ; MIM-UCM Página 63

64 CÓDIGO: dm 'log; clear; output; clear'; /* limpiar ventanas */ TITLE 'Tienda de campaña'; PROC NLP; MIN S; DECVAR X, Y, Z; BOUNDS X>0; BOUNDS Y>0; BOUNDS Z>0; LINCON Y+Z = ; /* = H */ NLINCON V = ; V = (X**2)*Z*4/3 + 4*Y*(X**2); S1=8*X*Y; S2=4*X*SQRT((X**2)+(Z**2)); S = S1+S2; RUN; MIM-UCM Página 64

65 RESULTADOS: Tienda de campaña PROC NLP: Nonlinear Minimization Gradient is computed using analytic formulas. Jacobian of nonlinear constraints is computed using analytic formulas. El punto inicial se ha cambiado para que se ajuste a las restricciones de los límites y líneas. Tienda de campaña PROC NLP: Nonlinear Minimization Inicio de optimización Parámetros estimados N Parámetro Estimación Función objetivo gradiente Función Lagrange gradiente Restricción de la cota inferior Restricción de la cota superior 1 X Y Z Value of Objective Function = Valor de la función Lagrange = Restricciones lineales 1 0 : ACT == * Y * Z Valores de restricciones no lineales Restricción Valor Residual Multiplicador Lagrange [ 2 ] V Violat. NLEC Tienda de campaña PROC NLP: Nonlinear Minimization Optimización Dual Quasi-Newton Algoritmo VMCWD de Powell (1978, 1982) modificado Actualización Dual Broyden - Fletcher - Goldfarb - Shanno (DBFGS) Actualización de multiplicador Lagrange de Powell(1982) Estimadores de parámetro 3 Límites inferiores 3 Límites superiores 0 MIM-UCM Página 65

66 Restricciones lineales 1 Restricciones no lineales 1 Restricciones de igualdad no lineales 1 Inicio de optimización Función Objetive Uso indebido de la restricción máxima Gradiente máximo de la función Lagrange Iteració n Reinici o Llamada s de función Función objetiv a Violación de restricció n máxima Reducció n de función predicha Tamañ o del paso Elemento gradient e máximo de la función Lagrange 1 ' E E E-6 Resultados de optimización Iteraciones 9 Invocaciones de función 21 Invocaciones del gradiente 12 Restricciones activas 2 Función Objetive Uso indebido de la restricción máxima E-9 Máximo gradiente proyectado E-6 Función Lagrange del valor MIM-UCM Página 66

67 Resultados de optimización Gradiente máximo de la función Lagrange E-6 Coeficiente angular de la dirección de búsqueda E-8 Se ha cumplido el criterio de convergencia FCONV2. Tienda de campaña PROC NLP: Nonlinear Minimization Resultados de optimización Parámetros estimados N Parámetro Estimación Función objetivo gradiente Función Lagrange gradiente 1 X Y Z Value of Objective Function = Valor de la función Lagrange = Linear Constraints Evaluated at Solution 1 ACT 0 = * Y * Z Valores de restricciones no lineales Restricción Valor Residual Multiplicador Lagrange [ 2 ] V E Active NLEC MIM-UCM Página 67

68 CÓDIGO (Nelder-Mead Simplex): dm 'log; clear; output; clear'; /* limpiar ventanas */ TITLE 'Tienda de campaña'; PROC NLP TECH=NMSIMP; MIN S; DECVAR X, Y, Z; BOUNDS X>0; BOUNDS Y>0; BOUNDS Z>0; LINCON Y+Z = ; /* = H */ NLINCON V = ; V = (X**2)*Z*4/3 + 4*Y*(X**2); S1=8*X*Y; S2=4*X*SQRT((X**2)+(Z**2)); S = S1+S2; RUN; MIM-UCM Página 68

69 RESULTADOS: Tienda de campaña PROC NLP: Nonlinear Minimization Gradient is computed using finite difference approximations (2). El punto inicial se ha cambiado para que se ajuste a las restricciones de los límites y líneas. Tienda de campaña PROC NLP: Nonlinear Minimization Inicio de optimización Parámetros estimados N Parámetro Estimación Función objetivo gradiente Restricción de la cota inferior Restricción de la cota superior 1 X Y Z Value of Objective Function = Restricciones lineales 1 0 : ACT == * Y * Z Valores de restricciones no lineales Restricción Valor Residual [ 2 ] V Violat. NLEC Tienda de campaña PROC NLP: Nonlinear Minimization Optimización Nelder-Mead Simplex Algoritmo COBYLA por M.J.D. Powell (1992) Estimadores de parámetro 3 Límites inferiores 3 Límites superiores 0 Restricciones lineales 1 Restricciones no lineales 1 Restricciones de igualdad no lineales 1 MIM-UCM Página 69

70 Inicio de optimización Función Objetive Uso indebido de la restricción máxima Iteración Reinicio Llamadas de función Función objetiva Violación de restricción máxima Función de mérito Cambio de función de mérito Ratio entre el cambio actual y el predicho E E E Resultados de optimización Iteraciones 7 Invocaciones de función 32 Reinicio 0 Función Objetive Uso indebido de la restricción máxima E-9 Función Merit Actual Over Pred Change Se ha cumplido el criterio de convergencia ABSXCONV. Tienda de campaña PROC NLP: Nonlinear Minimization Resultados de optimización Parámetros estimados N Parámetro Estimación Función objetivo gradiente 1 X Y Z Value of Objective Function = MIM-UCM Página 70

71 Linear Constraints Evaluated at Solution 1 ACT 0 = * Y * Z Valores de restricciones no lineales Restricción Valor Residual [ 2 ] V E-9 Active NLEC MIM-UCM Página 71

72 CÓDIGO (Quasi-Newton dual Broyden, Fletcher, Goldfarb & Shanno): dm 'log; clear; output; clear'; /* limpiar ventanas */ TITLE 'Tienda de campaña'; PROC NLP TECH=QUANEW OUTDER=2 OUT=DERIV; /* Bastaría OUTDER=1 */ MIN S; DECVAR X, Y, Z; BOUNDS X>0; BOUNDS Y>0; BOUNDS Z>0; LINCON Y+Z = ; /* = H */ NLINCON V = ; V = (X**2)*Z*4/3 + 4*Y*(X**2); S1=8*X*Y; S2=4*X*SQRT((X**2)+(Z**2)); S = S1+S2; RUN; PROC EXPORT DATA=DERIV outfile='c:/qn.xls' /** Exportar a Excel **/ replace; /** sobreescribir si existe ***/ RUN; MIM-UCM Página 72

73 RESULTADOS: Tienda de campaña PROC NLP: Nonlinear Minimization Gradient is computed using analytic formulas. Jacobian of nonlinear constraints is computed using analytic formulas. El punto inicial se ha cambiado para que se ajuste a las restricciones de los límites y líneas. Tienda de campaña PROC NLP: Nonlinear Minimization Inicio de optimización Parámetros estimados N Parámetro Estimación Función objetivo gradiente Función Lagrange gradiente Restricción de la cota inferior Restricción de la cota superior 1 X Y Z Value of Objective Function = Valor de la función Lagrange = Restricciones lineales 1 0 : ACT == * Y * Z Valores de restricciones no lineales Restricción Valor Residual Multiplicador Lagrange [ 2 ] V Violat. NLEC Tienda de campaña PROC NLP: Nonlinear Minimization Optimización Dual Quasi-Newton Algoritmo VMCWD de Powell (1978, 1982) modificado Actualización Dual Broyden - Fletcher - Goldfarb - Shanno (DBFGS) Actualización de multiplicador Lagrange de Powell(1982) Estimadores de parámetro 3 Límites inferiores 3 Límites superiores 0 MIM-UCM Página 73

74 Restricciones lineales 1 Restricciones no lineales 1 Restricciones de igualdad no lineales 1 Inicio de optimización Función Objetive Uso indebido de la restricción máxima E-6 Gradiente máximo de la función Lagrange Iteració n Reinici o Llamada s de función Función objetiv a Violación de restricció n máxima Reducció n de función predicha Tamañ o del paso Elemento gradient e máximo de la función Lagrange 1 ' E E E-6 Resultados de optimización Iteraciones 9 Invocaciones de función 22 Invocaciones del gradiente 12 Restricciones activas 2 Función Objetive Uso indebido de la restricción máxima E-9 Máximo gradiente proyectado E-6 Función Lagrange del valor MIM-UCM Página 74

75 Resultados de optimización Gradiente máximo de la función Lagrange E-6 Coeficiente angular de la dirección de búsqueda E-8 Se ha cumplido el criterio de convergencia FCONV2. Tienda de campaña PROC NLP: Nonlinear Minimization Resultados de optimización Parámetros estimados N Parámetro Estimación Función objetivo gradiente Función Lagrange gradiente 1 X Y Z Value of Objective Function = Valor de la función Lagrange = Linear Constraints Evaluated at Solution 1 ACT 0 = * Y * Z Valores de restricciones no lineales Restricción Valor Residual Multiplicador Lagrange [ 2 ] V E Active NLEC DERIVADAS (outfile QN.xls): _OBS TYPE_ S _WRT_ X Z Y V S1 S2 1 15, , , , , , , ANALYTIC 15,71237 X 1, , , , , , ANALYTIC 3, Z 1, , , , , , ANALYTIC 8, Y 1, , , , , ,15107 MIM-UCM Página 75

76 14: OTRAS PRÁCTICAS A) Función de Dixon (1973). Programación No Lineal. 10 variables. Minimización por mínimos cuadrados. CÓDIGO SAS: PROC NLP RANDOM=98765 TECH=LM MAXIT=100 MAXFU=500 ABSXTOL=1e-10; RUN; ARRAY t[11] t1-t11; ARRAY x[10] x1-x10; LSQ t1-t11; /* MIN t1** t11**2 */ DECVAR x1-x10; DO i = 1 TO 9; END; t[i]=x[i]**2-x[i+1]; t[10]=1-x[10]; t[11] = 1-x[1]; MIM-UCM Página 76