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2 Divisibilidad Contenidos Números compuestos y números primos Múltiplos y divisores Concepto de divisibilidad Criterios de divisibilidad Descomposición en factores primos Procedimiento de descomposición en factores primos Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Procedimiento de cálculo del m.c.m. Máximo común divisor (M.C.D.) Procedimiento de cálculo del M.C.D. Inteligencias múltiples

3 TAREA INTEGRADA Yincana matemática Investiga Las yincanas son competiciones lúdicas en las que puede participar gente de todas las edades y pueden celebrarse en cualquier época del año. Busca el significado y el origen de la palabra yincana. Elabora Organizad una yincana matemática para los alumnos de 5.º y 6.º de Primaria de un colegio que tiene dos grupos de 5.º con un total de 45 estudiantes y dos grupos de 6.º con 60 en total. Proponed una fecha para su celebración. Confeccionad un cartel publicitario del evento. Elaborad un documento con las normas básicas. Proponed las pruebas que deberán superar los participantes. Dibujad un plano de las instalaciones del colegio donde se observe la ubicación de las diferentes pruebas. (Utiliza el plano de tu colegio). Formad equipos conjuntos de 5.º y 6.º. En todos los equipos debe haber el mismo número de alumnos de 5.º y el mismo número de alumnos de 6.º; y no puede sobrar ni faltar ninguno. Indicad el número de grupos que proponéis y el número de componentes de 5.º y de 6.º que habrá en cada grupo. Presenta Presentad en la clase los trabajos realizados y los materiales elaborados, explicando razonadamente el porqué de las decisiones tomadas.

4 NÚMEROS COMPUESTOS Y NÚMEROS PRIMOS En la siguiente imagen hemos descompuesto el número 24 en todos los productos diferentes posibles (24 ; 6 4; 8 y 2 2). Con cada uno de los productos hemos formado rectángulos distintos, tomando como medidas de sus lados los respectivos factores Los números que pueden representarse mediante más de un rectángulo de este tipo se llaman números compuestos. Si efectuamos la comprobación de dividir 24 entre cada uno de los factores anteriores, observamos que todas las divisiones son exactas: 24 : 24 = ; 24 : = 24; 24 : 6 = 4; 24 : 4 = 6; 24 : = 8; 24 : 8 = ; 24: 2 = 2; 24: 2 = 2. Todos los números compuestos son divididos de forma exacta por números diferentes a la unidad y a ellos mismos. Veamos ahora cuántos rectángulos diferentes podríamos formar con el número 7: 7 Solo hemos podido formar un rectángulo, porque el número siete únicamente se puede descomponer en el producto de la unidad y él mismo (7 x ). Por lo tanto, 7 no es un número rectangular. Los números que no son compuestos solo son divididos de forma exacta por ellos mismos y por la unidad. Estos números se denominan números primos.. Descompón estos números en todos los productos posibles. Son primos o compuestos? 2. En este recuadro hemos escrito los primeros números primos, pero se han infiltrado varios números que no lo son. Averígualos utilizando la técnica de trabajo cooperativo El folio giratorio

5 MÚLTIPLOS Y DIVISORES Al estudiar los números rectangulares, hemos observado que con cada uno de ellos, podemos formar tantos rectángulos como número de productos posibles. También hemos comprobado que cada uno de los factores de esos productos los dividían de una forma exacta. Formemos ahora todos los rectángulos posibles con el número 2: Puedes observar que los factores de 2 son:, 2, 2,, 4, 6. Como todos esos factores dividen a 2 de forma exacta, decimos que todos ellos son sus divisores; y lo expresamos del siguiente modo: D (2) = {,2, 2,, 4, 6}. Los divisores de un número son todos aquellos números que lo dividen de una forma exacta. Vamos a formar ahora rectángulos en los que uno de los lados sea 5. El número de productos (números rectangulares) que podríamos obtener es infinito. Al producto obtenido al multiplicar los lados de cada uno de los rectángulos lo llamamos múltiplo de 5. Lo expresamos de la siguiente manera: M (5) = {5,0,5 } Los múltiplos de un número son aquellos a los que este número divide de una forma exacta.. Escribe el número más pequeño que divide de una forma exacta a cada uno de los siguientes números: 6, 24, 40,8, 50, 6,4. 4. Halla los cinco primeros múltiplos de los siguientes números: 8,,4,2, 9, 0, 24, 20, Representa de forma rectangular, utilizando una cuadrícula, los factores del número. De qué números es múltiplo? Cuáles son sus divisores? 6. Escribe los quince primeros múltiplos del número 7 y todos los divisores del múltiplo más alto que hayas obtenido. 7. Representa sobre la cuadrícula todos los rectángulos posibles que podamos obtener del número 2. De qué números es múltiplo? Cuáles son sus divisores? Qué conclusión puedes sacar? 49

6 CONCEPTO DE DIVISIBILIDAD El número 25 puede ser dividido de forma exacta por, 25 y 5. Es decir,, 25 y 5 son divisores de 25. Decimos entonces que 25 es divisible entre, 25 y 5 o, lo que es igual que 25 es múltiplo de, 25 y 5. En general, si un número es divisor de otro, entonces el segundo es divisible por el primero. Divisibilidad es la propiedad que tienen todos los números de ser divididos de forma exacta por otros números. Cómo se hallan los divisores de un número Para hallar los divisores de un número de forma sistemática, haremos lo siguiente: 2 Se divide el número entre los números menores que él, ordenadamente, de menor a mayor (empezando por ). Si la división es exacta, el divisor y el cociente son divisores del número. Si no lo es, se desecha y se continúa con el siguiente. El proceso se acaba cuando el cociente es igual o menor que el divisor. Ejemplo: Hallemos los divisores de 40: Son divisores el y el 40. Son divisores el 2 y el 20. La división no es exacta, y no son divisores Son divisores el 4 y el 0. Son divisores el 5 y el 8. La división no es exacta, 6 no es divisor. Los divisores son: D (40) = {, 2, 4, 5, 8, 0, 20, 40}. 8. Indica por qué números son divisibles cada uno de los siguientes: 5,, Es 86 divisible entre? Razona tu respuesta. 0. Calcula todos los divisores de estos números: a. 24 b. 78 c. 90. Calcula los seis primeros divisores del número Me han regalado una bolsa con 500 caramelos. Quiero distribuirlos en bolsas de 8 caramelos y que no sobre ninguno. Es posible? En caso afirmativo, cuántas bolsas voy a necesitar? 50

7 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Existen reglas que nos permiten saber si un número es divisible por otro sin necesidad de efectuar las divisiones. Estas reglas se llaman criterios de divisibilidad. Algunos de estos criterios son los siguientes: Es divisible entre Cuándo Un número es divisible entre 2 si su última cifra es 0 o par. Un número es divisible entre si la suma de sus cifras es múltiplo de. Un número es divisible entre 5 si su última cifra es 0 o 5. Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Un número es divisible entre 0 si la cifra de las unidades es 0. Ejemplo 24, 28, = 5 5 es múltiplo de. 45, 55, 7.525, = 9. 20, 40, Es divisible entre 240? Razona tu repuesta. 4. Comprueba cuáles de los siguientes números son divisibles entre 654: 2.478, 5.042, 6.540, De entre los siguientes números: 405, 6, 84,.085 y 40: Hay alguno que sea divisible entre? Cuáles tienen por divisor a 5? 6. Escribe un número de dos cifras que sea divisible entre 2 y entre 9. Por qué otro número es divisible? 7. Aplicando las reglas ya aprendidas, di cuáles de estos números son divisibles entre 2, entre, entre 5 o entre 0 y por qué: 84, 90, 420, 45, Calcula todos los divisores de 72, 8, 2, 55, 90, 64, De cuántas formas diferentes se pueden agrupar 275 cajas de zapatos en montones iguales y sin que sobre ninguna? Cuántos montones habrá en cada una de las agrupaciones elegidas? 20. Investiga en Internet sobre las propiedades de los divisores. Escríbelas en tu cuaderno y pon un ejemplo para la comprobación de cada una de ellas. 2. Indica si es verdadero o falso el siguiente enunciado: «Ninguna división con el divisor mayor que la mitad del dividendo, pero menor que él, puede ser exacta». Razona tu respuesta. 22. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y, aplicando los criterios de divisibilidad estudiados, completa con verdadero o falso las casillas en blanco. Es divisible entre

8 DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Vamos a descomponer el número 0 en un producto de factores que sean primos (números que solo tengan como divisores al y a ellos mismos). 0 = 2 5 No repetimos ningún factor. 8 = 2 Repetimos el factor. Cuando en los productos nos encontremos factores que están repetidos, simplificaremos su escritura en forma de potencia: 8 = 2 8 = 2 2 Número de veces que se repite Factor Todos los números se pueden descomponer en forma de un producto de factores primos. Solamente hay una descomposición en factores primos para cada número. En la siguiente tabla puedes encontrar los veinticinco primeros números primos: Al descomponer en factores primos un número hemos obtenido la siguiente factorización: Escribe en tu cuaderno la factorización en forma de potencia. A qué número corresponde esta factorización? 24. Descompón en un producto de factores primos los siguientes números: a. 27 b. 65 c. 78 d Es el número un número primo? En caso de no serlo, efectúa su descomposición en factores primos. 26. Por qué 95 no es un número primo?. Descomponlo en un producto de factores primos. 27. Hemos obtenido la tabla anterior, con los números primos comprendidos entre y 00, aplicando la «criba de Eratóstenes». Consulta en el siguiente enlace y explica en tu cuaderno el procedimiento que hemos seguido. Amplía esa tabla buscando los números primos hasta el

9 PROCEDIMIENTO DE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Para descomponer un número en factores primos, debemos seguir estos pasos: Primer paso Escribimos el número que queremos descomponer y a la derecha trazamos una línea vertical. Segundo paso Buscamos el menor número primo (2,, 5, 7...), por el que sea divisible el número. Aplicamos los criterios de divisibilidad que hemos aprendido y dividimos el número que estamos descomponiendo entre el número primo elegido. Tercer paso Colocamos el divisor (el número primo) en la parte superior derecha y el cociente debajo del primer número. Cuarto paso Repetimos el proceso hasta que en la parte izquierda aparezca un, lo que nos indica que la descomposición ha terminado. 28. Averigua de qué números estamos hablando dadas las siguientes descomposiciones: 2 2 7; 2 2 ; 2 2 ; Descompón en factores primos, siguiendo el procedimiento explicado, los siguientes números: 6, 9,4, 2, Hemos señalado en el calendario los días que ves en la imagen. Intenta descomponer en factores primos todos los números que aparecen. Has podido descomponer todos los números? Cuáles son los que has podido descomponer? Justifica tu respuesta.. La factorización en números primos sirve, entre otras cosas, para crear o descifrar códigos secretos basados en números. Descifra el siguiente número secreto: Primera parte: número anterior al sexto número primo. Segunda parte: Tercera parte: primer número que se encuentra entre dos números primos. 2. Completa en tu cuaderno los espacios en blanco:

10 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) Elena quiere comprar dos tipos de figuritas hechas con materiales reciclados para venderlas y desea adquirir el mismo número de cada tipo, pero se encuentra que unas se venden en cajas de unidades y las otras en cajas de 4. Cuántas figuritas tendrá que comprar, como mínimo, para tener el mismo número de unidades de ambos modelos? Para resolver este problema podemos calcular el menor de los múltiplos comunes. Observa: MÚLTIPLOS DE unidades 4 unidades MÚLTIPLOS DE 4 Como podemos observar, los números 2, 24 y 6 son múltiplos comunes de y 4. De esos múltiplos comunes elegimos el menor. Por tanto, el menor múltiplo común de y 4 es el 2. Elena tendrá que comprar como mínimo 2 figuras de cada clase. Se expresa de esta manera: m.c.m. (, 4) = 2 El mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de dichos números.. Un viajero va a Sevilla cada 8 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en la ciudad Andaluza. Dentro de cuántos días volverán a coincidir? 4. Averigua tres múltiplos comunes de los siguientes números:,2 y 8. Cuál es su mínimo común múltiplo? 5. Álvaro y Manuel van a jugar a fútbol al mismo campo. Álvaro va cada 4 días y Manuel cada 5. Hoy han ido los dos. Cuándo volverán a coincidir de nuevo? 6. Observa y contesta: MÚLTIPLOS DE 5 MÚLTIPLOS DE 6 Cuáles de estos números son múltiplos comunes? Cuál es mínimo común múltiplo de 5 y de 6? Busca cinco múltiplos más de 5 y de 6. 54

11 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DEL M.C.M. Vamos a calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los números 6 y 24: Primer paso Descomponemos en factores primos los números, siguiendo el procedimiento visto anteriormente Segundo paso Expresamos cada uno de los números como producto de factores primos. 6 = = Tercer paso Expresamos en forma de potencia los factores repetidos. 6 = = = = 2 Cuarto paso Seleccionamos tanto los factores comunes como los no comunes elevados al mayor exponente. El resultado que hemos obtenido es 48 y se expresa así. m.c.m. = (6, 24) = 2 4 = Aplica la técnica de trabajo cooperativo El número para calcular el mínimo común múltiplo de 24, 2, 2 y Un faro se enciende cada 2 segundos, otro cada 8 segundos y un tercero cada minuto. A las 6:0 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. 9. Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes grupos de números: a. 8 y 24 b. 2, 5 y 26 c. 54 y De la estación de nuestro barrio salen doslíneas de autobuses para realizar la ruta urbana diaria. Uno pasa cada 6 minutos y el otro cada 24 minutos. Si acaban de coincidir los dos autobuses, cuándo volverán a coincidir? 4. Sonia ha iniciado un tratamiento médico para su alergia. Debe tomar dos medicamentos distintos: unas pastillas, y unos sobres. También debe ponerse una crema. Debe tomar las pastillas cada tres horas, los sobres cada cuatro y aplicarse la crema cada dos horas. Si Sonia tomó todos los medicamentos y se puso la crema a las 8:00 de la mañana, a qué hora tiene que volver a repetir todo el tratamiento? 55

12 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Para adornar unas mesas, Daniel quiere repartir 28 piruletas y 20 bastones de caramelo en cestos, de modo que en cada cesto haya el mismo número de piruletas o bastones sin mezclarlos y sin que sobre ninguno. Qué cantidad como máximo puede poner en cada cesto? Esta vez buscaremos todos los divisores de 28 y de 20, y veremos los divisores comunes que hay entre ambos. Más tarde pasaremos a elegir el máximo divisor que tengan en común. Observa: DIVISORES DE DIVISORES DE Aquí podemos observar que los números, 2 y 4 son los divisores comunes de 28 y 20; por tanto, elegiremos el mayor divisor común. Daniel deberá poner en cada cesto 4 piruletas o 4 bastones. Tendrá que preparar 7 cestos para las piruletas y 5 para los bastones de caramelo. El mayor divisor de 28 y 20 es el 4. Se expresa así: M.C.D. (20, 28) = 4 El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de dichos números. 42. Obtén todos los divisores de cada una de estas parejas de números y después calcula el M.C.D. 6, 20 2, 28 5, 5 4. María es una forofa de las manualidades y esta tarde ha decidido crear pulseras con su amiga Julia. Quiere adornarlas con perlas. Si tiene 48 perlas rojas y 72 verdes, cuántas pulseras podrá confeccionar como máximo, sin que le sobre ninguna perla? 44. Halla el máximo común divisor de los siguientes grupos de números: a. 24 y 0 b. 266 y 2 c. 65, 0 y Una habitación mide 460 cm de largo por 240 cm de ancho. Queremos cubrir el suelo con baldosas cuadradas lo más grandes posibles. Cuánto tienen que medir estas baldosas? Cuántas baldosas serán necesarias? 46. María quiere dividir una cartulina de 40 cm de largo y 0 cm de ancho en cuadrados iguales, tan grandes como sea posible, de forma que no le sobre ningún trozo de cartulina. Cuánto medirá el lado de cada cuadrado? 47. Ángel tiene una cuerda azul de 6 m y una naranja de 0 m. Quiere cortarlas en trozos de la misma longitud y lo más largos posible, de manera que no le sobre ningún trozo de cuerda. Cuánto medirá cada trozo?

13 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DEL M.C.D. Vamos a calcular el máximo común divisor de los números 5 y 25. Primer paso Descomponemos los números en factores primos siguiendo el procedimiento visto anteriormente Segundo paso Expresamos cada uno de los números como producto de factores primos. 5 = 5 25 = 5 5 Tercer paso Expresamos en forma de potencia los factores repetidos. 5 = 25 = 5 5 = Cuarto paso Seleccionamos solamente los factores comunes con el menor exponente. El resultado que hemos obtenido es 5 y lo expresamos así: M.C.d. = (5, 25) = 5 Para hallar el M.C.D de dos o más números factorizados, multiplicamos los factores comunes elevados al menor exponente. 48. Irene tiene 8 bolígrafos azules y 24 negros. Quiere colocar el mayor número posible de bolígrafos en cada lapicero sin mezclar colores y sin que sobre ninguno. Cuántos bolígrafos irán en cada lapicero? Cuántos lapiceros utilizará? 49. Halla el M.C.D. de los siguientes números: 24, 42, 54 40, 20 20, 64 8, 29, 4 280, Para calcular el M.C.D. de dos números existe otro procedimiento llamado algoritmo de Euclides. Consulta el siguiente enlace y calcula por este procedimiento el M.C.D. de 40 y Tenemos toneles con diferentes tipos de vino, cuyas capacidades son: 250 L, 60 L y 540 L. Queremos envasar su contenido en garrafas iguales. Calcula las capacidades máximas de estas garrafas para envasar el vino sin mezclarlo. 57

14 practica 52. Sustituye a por una cifra que haga que el número 7a sea múltiplo de. 5. Halla todos los divisores de Escribe todos los múltiplos de 5 comprendidos entre 20 y Calcula todos los divisores comunes de 66 y Enumera todos los números primos comprendidos entre y 50, y suma todos los que sean pares. Qué número has obtenido? 57. Aplica los criterios de divisibilidad aprendidos y di si los siguientes números son divisibles entre 2,, 5 y 9. a. 25 b. 6 c. 44 d. 72 e Descompón en factores primos los siguientes números: a. 2 b. 25 c. 9. d Escribe tres números de cuatro cifras que sean divisibles entre 9 y 2 al mismo tiempo. Explica por qué lo son. 60. Pedro y Juan trabajan en el mismo gremio, Juan es de Córdoba y Pedro de Murcia. Ambos salen con sus camiones desde sus respectivas ciudades hasta Jaén. Si Pedro va a Jaén cada 2 días y Juan cada 5, cuándo volverán a encontrarse de nuevo si han coincidido hoy? Qué día será el próximo encuentro si hoy es lunes? 6. De cuántas formas distintas se pueden agrupar 50 monedas de modo que todos los grupos tengan el mismo número de monedas? 62. Se tienen tres terrenos de.675 m 2,.575 m 2 y m 2 de superficie y se quieren dividir en parcelas iguales sin que sobre ningún trozo en ningún terreno. Cuál es la superficie máxima que puede tener cada parcela? 6. Las instrucciones de mantenimiento de una marca de coches recomiendan que se debe cambiar el aceite del motor cada km, el filtro del aire cada km y las bujías a los km. Acabo de poner el coche en marcha. Cuántos kilómetros habré recorrido cuando deban realizarse todos los cambios a la vez? 64. Una empresa de informática fabrica pendrives de 6 GB y 6 GB. Disponen en el almacén de unidades de 6 GB y.465 de 6 GB. El jefe de la fábrica quiere empaquetarlos por separado en cajas que tengan el mismo número de unidades y, además, que este número sea el mayor posible. Cuantos pendrives debe contener cada caja? Cuántas cajas se precisarán para el empaquetamiento de cada modelo? 58

15 CÁLCULO MENTAL 65. Tus padres te encargan la tarea de ir al supermercado para comprar fruta y verdura. Después de pasar por la caja te dicen que la cantidad que debes pagar asciende a 7,85 euros. Tu madre te ha dado un billete de 20 euros. Tras pagar recibes la vuelta y te paras a comprobar si es correcta. Qué cantidad exacta tienen que devolverte? 66. Calcula mentalmente: a h b i c j d k e l f m g n MUEVE EL PENSAMIENTO Rutina Círculos Veo - Pienso de puntos - Me pregunto de vista Esta rutina estimula tu creatividad y tu curiosidad, y sirve para explorar la realidad con detalle e interpretarla con originalidad. Fases a. Veo Observa el entorno de la clase: la mesa del profesor, los pupitres, la decoración, las cajas de materiales, etc. Dibuja un plano de la clase con la ubicación de todos esos elementos. b. Pienso Piensa en otras posibles combinaciones de todos los elementos del aula c. Me pregunto Qué consecuencias positivas o negativas habría según qué cambios? 59

16 PARA TERMINAR PON EN PRÁCTICA En Barcelona han abierto una nueva planta envasadora de zumos, en la que se llenan los briks, se empaquetan y se distribuyen a los diferentes clientes. Celia y Alejandro han sido contratados para dirigir y planificar todo el proceso de envasado por lo que tienen que calcular muy bien cuál es el ritmo de producción de la planta. Para ello, disponen de los siguientes datos: Una de las máquinas envasadoras llena 240 envases de litro de zumo cada hora. La sección de almacenaje, por cuestión de costes, necesita empaquetarlos en cajas que contengan un número de envases par y menor que 20. Competencias. Para resolver la situación, Celia y Alejandro han confeccionado una tabla de envasado para efectuar sus cálculos. Completa la tabla en tu cuaderno con todas las posibles formas de hacerlo y el número de cajas necesarias, en cada caso, para almacenar los envases producidos en una hora. ENVASES DE UN LITRO 2 4 CAJAS Acaban de traer otra máquina envasadora, pero los técnicos no saben exactamente cuántos briks llena a la hora. Solo les han informado que llena entre 250 y 00, y que la cantidad exacta puede empaquetarse en cajas de 5 envases y también en cajas de 7 y de 20 envases. Ayuda a Celia y Alejandro a calcular el número exacto de envases que llena la nueva máquina en una hora. 60

17 PON EN PRÁCTICA. Parece que al final han decidido envasar el zumo en briks de,2 litros cuyas dimensiones son cm, y se agrupan en cajas de 6 cm de largo, 20 cm de ancho y 20 cm de alto. a. Los mozos del almacén quieren saber cuántos envases caben en una caja. Recuerda que los envases se colocan siempre en la misma posición. Competencias b. El departamento de logística de la empresa quiere saber si merece la pena que las cajas sean cúbicas. Te piden que colabores en el estudio. Cuántos envases de litro son necesarios para formar un cubo con la menor arista posible? 4. Para un pedido especial, la empresa necesita empaquetar 96 briks de zumo de naranja y 26 briks de zumo de melocotón en cajas de cartón lo más grandes posible, pero sin mezclar los dos tipos de zumos. Cuántos briks deben ponerse en cada caja? Cuántas cajas son necesarias para cada tipo de zumo? EMPRENDE Diseñad el baúl de la clase. Formad grupos e idead un baúl para guardar el material con las siguientes normas: Tenemos que dividir el baúl en tres partes iguales, una para cada trimestre, midiendo de largo más de 85 cm y de ancho más de 40 cm. La altura deberá ser la de un número divisible entre 7, comprendido entre el 57 y el 69. Cuánto medirá cada lado? REFLEXIONA Diario de aprendizaje A lo largo de la unidad, dónde has encontrado más dificultad? Cómo lo has resuelto? Cuáles son los contenidos que tú crees que tienen más aplicación en la vida cotidiana? En qué situaciones se te ocurre que podrías utilizarlos? Hay algo que te gustaría conocer más sobre el tema? 6

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