TD-01: DISEÑO DE JUEGOS PARA LA ENSEÑANZA DE FUNCIONES LINEALES, CUADRÁTICAS, HOLOGRÁFICAS Y POLINÓMICAS EN LA ESCUELA MEDIA Y EN CURSOS DE INGRESO A

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1 TD-01: DISEÑO DE JUEGOS PARA LA ENSEÑANZA DE FUNCIONES LINEALES, CUADRÁTICAS, HOLOGRÁFICAS Y POLINÓMICAS EN LA ESCUELA MEDIA Y EN CURSOS DE INGRESO A LA UNIVERSIDAD M. Valeria MACHIUNAS UBA, Argentina RESUMEN: El taller está centrado en el diseño de juegos, en este caso, de fichas (estilo memotest, dominó, etc) y el uso de las TIC en la clase de matemática, para la enseñanza de funciones lineales, cuadráticas, homográficas y polinómicas. Se formulan propuestas para que el juego sea fuente de aprendizajes, a partir de la propuesta de uso del programa gratuito Graphmatica para obtener gráficos de funciones en forma rápida. El trabajo se realizará en dos niveles: "diseño de los juegos, ayudándose mediante el software mencionado y "conceptualización de elementos teóricos didácticos para permitir fundamentar el taller. Se propone, que el docente se familiarice con el recurso, para enseñar a emplearlo a los alumnos, así éstos resolverán un problema "real": cómo diseñar un juego, bajo ciertos requerimientos del docente, y cómo ganar una partida, empleando los conocimientos matemáticos sobre funciones. Palabras Clave: Diseño de juegos didácticos matemáticos; enseñanza de funciones. Pág. -> 348

2 TD-01: DISEÑO DE JUEGOS PARA LA ENSEÑANZA DE FUNCIONES LINEALES, CUADRÁTICAS, HOLOGRÁFICAS Y POLINÓMICAS EN LA ESCUELA MEDIA Y EN CURSOS DE INGRESO A LA UNIVERSIDAD 1. Motivación y aspectos introductorios El taller se propone a partir de la investigación exploratoria que está realizando la autora en el tema "uso de juegos en la enseñanza de matemática" para la realización de la tesina de Licenciatura en Enseñanza de la Matemática, y de una experiencia realizada con alumnos de un curso de ingreso a la Universidad, en una materia de matemática común a todas las carreras de la universidad En algunos documentos curriculares y propuestas de programas de Matemática para la enseñanza media leemos que se propone enseñar matemática porque su aprendizaje contribuye a la formación y estructuración del pensamiento. Se propone para esto, no sólo la transmisión de conocimientos matemáticos, sino tratar de hacer que los alumnos entren en el juego matemático. Sin embargo, la posibilidad de que los alumnos desarrollen tal "pensamiento matemático" está fuertemente relacionada a la concepción de qué es hacer matemática, tanto del docente como de los alumnos, y al modo en que se enseña. Los enfoques constructivistas que sustentan los programas actuales subrayan el rol de la acción en la construcción de conocimientos. Acordamos con Charnay (Charnay, 1997) que debemos entender "acción" como actividad del alumno tendiente a una finalidad, en un contexto de resolución de problemas -no necesariamente como manipulación de material concreto, y evidentemente no orientada a una tarea de constatación-. La acción, entendida así, se favorece cuando los sujetos responden a una pregunta, o enfrentan un problema que se les ha formulado o que se han planteado ellos mismos. La acción matemática puede consistir en elaborar una estrategia, o un procedimiento que permita anticipar el resultado de una acción no realizada todavía. En este enfoque las producciones del alumno dan información al docente sobre su estado de saber. Pág. -> 349

3 Dos factores tangenciales que se intentan tener en cuenta además en la propuesta, son la posibilidad de expresión (tan solicitada por nuestros alumnos adolescentes) y de demostrar su creatividad, en el sentido que se le da al término en el trabajo de Chevallard (Chevallard, 1997): "En el proceso de estudio de un tipo de problemas, el momento del trabajo de la técnica resulta creador de nuevos objetos matemáticos. En él emergen nuevas nociones, nuevas técnicas y nuevas relaciones entre objetos que pueden considerarse, a su vez, como nuevos objetos". La idea central de la propuesta es sencilla: proponer una actividad donde el conocimiento matemático permita la toma de decisiones, primero sobre el diseño, luego sobre la ejecución. 2. Fundamentación teórica y enfoque didáctico En los juegos hay ciertas reglas acordadas, fijadas de antemano, que deben respetarse y que a su vez permiten desarrollar diversas estrategias de juego durante una partida. El juego en grupo, en una situación de competencia, permite, por un lado, la discusión entre pares de estrategias (en nuestro caso, se intenta favorecer que estén relacionadas con la aplicación del contenido matemático objeto de estudio) y por otro lado, el control de las decisiones y los resultados por parte de los pares, cuestión que no se percibe de modo tan calificatorio (o descalificatorio) como cuando proviene del docente. Como expresa Moura en su tesis (Moura, 1995) -refiriéndose a niños, pero sus afirmaciones pueden tomarse en cuenta para alumnos de escuela media- las situaciones de juego posibilitan interactuar con los conocimientos de los compañeros de forma de aprender de los más experimentados. Es común observar las actitudes espontáneas entre compañeros de enseñar a jugar bien a otro, aclarando las reglas, sugiriendo estrategias para una mejor jugada. Pero además el aspecto social del juego de reglas posibilita al jugador el estar en contacto con diferentes niveles de entendimiento y resolución del juego. Esto hace que pueda relacionar estas diferencias y optar por la mejor. Nuestra tarea en el taller se tratará de diseñar una situación de forma que el conocimiento matemático sea el factor que posibilite jugar mejor. Además se discutirá en el taller que, en matemática, se enseñan conceptos mediante representaciones de los mismos, sin que esto sea explicitado (quizás no pueda ser explicitado a los alumnos en cierto nivel de aprendizaje, pero la autora cree que es un factor importante a tener en cuenta al planificar las acciones de enseñanza). Muchos autores consideran (y acordamos con ellos) que la construcción de un concepto matemático depende estrechamente de la capacidad de operar sobre sus representaciones. Algunos autores (D Amore, 2004) están estudiando que las dificultades evidenciadas en este sentido pueden ser una de las causas de Pág. -> 350

4 la renuncia del estudiante a la devolución (en el sentido que Brousseau da al término) y la incapacidad del estudiante para implicarse en su proceso de estudio. 3. Desarrollo El taller está centrado en el diseño de juegos, en este caso, de fichas (estilo memotest, dominó, etc; se abordarán juegos de cartas, si alcanza el tiempo) y el uso de software en la clase de matemática, orientado en particular hacia la enseñanza de funciones lineales, cuadráticas, homográficas y polinómicas. La propuesta implica que los docentes participantes intervengan en el proceso completo del diseño de juegos, con el fin de identificar las dificultades y las variables disponibles en el mismo, para luego contar con herramientas para proponer a sus alumnos la tarea de diseño de los mismos. Se propone priorizar el diseño del juego al juego con un material ya diseñado por el docente, para alumnos ya adolescentes y "no tan niños". Desarrollaremos brevemente una de las opciones, para dar más idea de la propuesta. Es conocido el juego "memotest", en el que hay que hay que localizar pares de fichas idénticas. Se propone, por ejemplo para funciones lineales, tomar como fichas "iguales" las que correspondan a dos representaciones de la misma función. La finalidad de esta decisión didáctica es "explotar" el trabajo con la relación entre registros de representación, para lo cual de desarrollará un trabajo alrededor de la identificación de unidades simbólicas o "rasgos" de significación y equivalencia entre los mismos (Camuyrano, 1998). Se sugiere el planteo de la actividad en pequeños grupos, de 2 o 3 integrantes, cada uno con el proyecto de producir un juego completo (fichas, caja e instrucciones -en el caso efectuado, la consigna contemplaba donarlos posteriormente a escuelas-). La posibilidad de que otra persona lo use, ajena al grupo, permite justificar la claridad de la redacción, y la importancia de la presentación. El trabajo en pequeños grupos se propone para favorecer el aprendizaje en un entorno colaborativo, dentro del grupo, y además se suele dar un entorno competitivo entre distintos grupos, que favorece el mantenimiento del interés en concluir la actividad. Ésta se puede desarrollar en tres etapas, iniciadas en clase, pero también continuadas fuera de clase. En una primera etapa, se propone armar en borrador el "diseño" de las fichas. Un primer requerimiento a los alumnos, de origen didáctico pero no percibido como tal, puede ser que las funciones lineales que elijan deben cortar ambos ejes en el sector que "se ve" en la ficha, y que este sector debe ser similar en todas ellas, para no ofrecer ayudas Pág. -> 351

5 adicionales a los jugadores. También, para que el juego visualmente sea atractivo, se debe procurar "variedad" en las representaciones (por ejemplo, no todas las rectas con ordenada al origen negativa y pendiente positiva). Y como se trata de un juego que se supone será jugado sin papel ni lápiz, sólo usar valores enteros para los valores de pendiente y ordenada al origen, de forma que se facilite el cálculo mental. Esto es sólo un ejemplo del conjunto de restricciones que el docente puede plantear inicialmente, con buenas razones apoyadas en el juego en sí. Se espera que los alumnos tracen en borrador los gráficos, guiándose por los valores donde quieren que "corten" las funciones a los ejes, y obtengan las fórmulas respectivas. La idea de empezar con un borrador permite a los alumnos mayor libertad en la exploración, sin sentirse evaluados desfavorablemente por sus errores, como es de esperar que se produzcan en el proceso de aprendizaje Para no tener necesidad de recurrir al docente para la verificación de que el conjunto de funciones seleccionado cumple los tres requerimientos anteriores, se propone el uso del programa Graphmatica, en el cual simplemente se tipea la fórmula de la función y éste la grafica. Es un programa sencillo de usar, básico (se puede ejecutar desde un disquete) y gratuito (distribución shareware). Permite utilizarlo con poco entrenamiento. Al trazar los gráficos, se puede observar que si todas las rectas tienen diverso valor en la ordenada al origen, o el mismo valor y distinto signo de pendiente, no se estaría necesitando como dato para jugar el valor de la raíz, y se simplificaría la partida. Entonces, para agregar un poco de dificultad al juego, se puede plantear (si no surge como propuesta entre los mismos alumnos), que haya dos rectas, al menos, con la misma ordenada al origen e igual signo de pendiente, entonces la raíz es la que permite decidir entre las mismas. Esto favorece el surgimiento de estrategias personales para hallar o verificar el valor de la raíz mentalmente, y en forma rápida, para no detener la partida. La segunda etapa, es la construcción de las fichas propiamente dicha, a estos efectos se puede usar, con buenos resultados, cartón corrugado. Se pegan con cuidado los gráficos obtenidos, cuidando que en el reverso de la ficha que no haya "pistas" para los jugadores. El programa Graphmatica se combina con la capacidad de editar gráficos del procesador de textos Word. Para unificar el formato de las fichas se puede requerir por ejemplo que los únicos números visibles sean el origen de coordenadas y los valores donde la recta interseca a los ejes; se puede requerir que dejen la grilla de fondo, o no, o que agreguen sólo los valores fraccionarios y marquen la unidad en la grilla, como se muestra en la Figura 1 y Figura 2. Pág. -> 352

6 Figura 1 Figura 2 La ficha del par correspondiente contendrá sólo la ecuación de la recta, en el ejemplo: y = 2x - 3. Con este formato de ecuación, por ejemplo, se hace hincapié en identificar que tiene pendiente positiva y ordenada al origen negativa. La idea es que las fichas sean fácilmente manipulables y lo suficientemente robustas como para que duren varias partidas. Y la construcción de una caja para contenerlas y proteger su trabajo. En esta etapa, más de un grupo puede sorprendernos con su creatividad y sus toques personales. La tercera etapa, sería, en la jerga de los fabricantes de software, la de "beta-testers": hay que probar el juego, y redactar las instrucciones, adaptándolas a la cantidad de fichas que se produjeron. Se puede pedir que registren una partida, indicando qué fichas usaron, no sólo "levantó dos iguales", sino cuáles en particular, de forma que la partida pueda ser reproducida por otras personas. La forma de testear si las instrucciones que redactaron son claras y suficientes, es pedir a otro grupo que juegue siguiéndolas al pie de la letra. Aquí se puede analizar grupalmente qué estrategias se les han ocurrido para jugar rápido, y reflexionar que "avivarse" de las mismas es lo que se pretende de los jugadores (que no las coloquen en las instrucciones del juego, sino, según el nivel de madurez del grupo, en un escrito hecho como recomendaciones a los jugadores, como se suele publicar en Internet, las pistas para "pasar" de nivel en los video juegos y juegos en red). Por ejemplo, sucede bastante inmediatamente que los alumnos identifican que la expresión de la función lineal en el formato y = m x + b les permite agrupar las fichas en 4 categorías, según los signos de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b), para facilitar su ubicación al jugar una partida, como se muestra en las figuras 3 a, b, c y d. Pág. -> 353

7 a: m>0, b<0 Figura 3 Figura 3 b: m>0, b>0 Figura 3 c: m<0, b>0 d: m<0, b<0 Figura 3 Con cada tipo de funciones se puede realizar un análisis de las características que permiten identificar un gráfico de otro, y de las diversas formas en que puede expresarse la fórmula de la función. Surge el tema de las raíces y la factorización en las funciones cuadráticas y su extensión de forma natural a polinomios de mayor grado. En el trabajo autónomo de los alumnos pueden presentarse episodios que nos permitan obtener información valiosa para orientar su proceso de aprendizaje. Por ejemplo, con funciones homográficas, como el software grafica sólo las "ramas" de la hipérbola, y no las asíntotas (a menos que se dé explícitamente sus ecuaciones) se evidencia la necesidad de describirlas mediante una ecuación, y no sólo por el valor donde cortan el eje. Con este trabajo, la autora ha notado avances (en las producciones gráficas de los alumnos y en la escritura de las expresiones algebraicas que definen las funciones) en el parcial correspondiente a estos temas, en alumnos con dificultades del curso de ingreso citado. Cabe aclarar que el parcial se toma de forma unificada, no se "adaptó" a los requerimientos del grupo. Quedó pendiente probar en clase un trabajo posterior, de análisis de jugadas incompletas, o de planteo de otros problemas, para extender el uso didáctico del material producido en el curso. 4. Conclusión Para llevar adelante el proceso de estudio de una obra matemática (Chevallard, 1997) son necesarios distintos momentos de estudio. Uno de ellos es el trabajo con la técnica. El entorno del diseño de juegos permite una interacción prolongada con dicho trabajo, de forma lúdica, con el que quizá aumente la motivación y la persistencia en la tarea de los alumnos. Pág. -> 354

8 Como reflexiona Araújo en su tesis (Araújo, 2000), si el alumno es desafiado convenientemente, le será imposible dejar de ejecutar las acciones esperadas, y si además la tarea fuera lúdica, el alumno sigue trabajando con satisfacción porque está interesado en buscar un resultado. Está incentivado a buscar soluciones, y para eso termina organizando su propio conocimiento. Además, acordamos con Douady (Douady, s/d) en que, para que: "la acción [del alumno] sea real, es necesario que el alumno tome iniciativas, haga elecciones entre posibilidades diversas, que pueda plantear preguntas anexas y relacionar jalones intermediarios pertinentes para su problema. Recordemos oportunamente que la acción es eficaz si el alumno tiene un control sobre los efectos producidos; esto le permite modificar las condiciones de producción cuando los efectos no son los esperados. Para que el juego de la acción pueda desarrollarse de manera satisfactoria, la situación debe dejar un margen de libertad al alumno, que le permita especialmente explotar lo contingente y hacer jugar sus comportamientos cognoscitivos propios. Es decir, la situación debe implicar una parte de incertidumbre". En el diseño de un juego se encaran diversas "tareas" matemáticas y se toman diferentes decisiones que al jugar con el mismo. Ambos procesos se complementan y se refuerzan, y permiten variadas articulaciones entre los registros gráfico, algebraicos, verbal y tabla de un mismo objeto matemático, una función determinada. El uso del software permite cierto control autónomo sobre los resultados. Al enfrentar el diseño de una cierta cantidad de fichas, se favorece la práctica de las competencias que deseamos que pongan en juego. Al jugar varias partidas, se ponen en juego otras. Las sesiones de discusión de estrategias y análisis de partidas (reales o ficticias) e institucionalización se vuelven necesarias para imbricar el juego en un contexto áulico de clase. Al jugar y reflexionar sobre lo jugado se enseña y se aprende, además, a ponerse en el lugar del otro (descentración), a respetar y escuchar al otro, a argumentar para defender el propio punto de vista o señalar errores en el ajeno... tareas que hacen lugar a la formación de una "comunidad matemática" dentro del aula, al menos dentro de ciertos momentos, y dan lugar a reflexionar sobre qué es hacer matemática. La incorporación del diseño de juegos como los propuestos puede llegar a constituirse en una herramienta útil para integrar contenidos, reflexionar sobre los mismos y fortalecer el trabajo en equipo, el aprendizaje cooperativo, la comunicación de las ideas matemáticas y la capacidad de expresión. Bibliografía Pág. -> 355

9 Araújo, I. R. oe O. A utilização de lúdicos para auxiliar a aprendizagem e desmistificar o ensino da matemática. Disertación de maestrado, Florianópolis Camuyrano, M. B. Algunos aspectos de la enseñanza de las funciones. En Matemática. Temas de su didáctica, Camuyrano et al. Prociencia Conicet. Buenos Aires Charnay, R. Aprender (por medio de) la resolución de problemas. En: "Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones". Cecilia Parra e Irma Saiz (comps.) Ed. Paidós Educador. Buenos Aires Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. Unidad 4- La estructura del proceso de estudio. Las matemáticas "en vivo".en: Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Ed. ICE -HORSORI. Univ. de Barcelona D Amore, B. Conceptualización, registros de representaciones semiótica y noética. Interacciones constructivistas en el aprendizaje de los conceptos matemáticos e hipótesis sobre algunos factores que inhiben la devolución. Revista Uno Nº 35, monográfico sobre "Texto y matemáticas". Ed. Graó. Barcelona Douady, R. Relación enseñanza-aprendizaje. Dialéctica instrumento-objeto, juego de marcos. En: Cuaderno de didáctica de la matemática Nº 3. S/D Moura, A. R. L. de. A medida e s crianca pre-escolar. Tesis de doctorado. Campinas Pág. -> 356