PROBLEMAS GEOMETRÍA. Ubaldo Usunáriz Balanzategui Ignacio Usunáriz Sala

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1 RLES E GEETRÍ Ubaldo Usunáriz alanzategui Ignacio Usunáriz Sala 1

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3 ÍIE RÓLG 5 GEETRÍ EL L Sección Lugares geométricos (67 problemas) 7 Sección Rectas, ángulos, triángulos (103 problemas) 37 Sección onstrucción de triángulos (60 problemas) 79 Sección uadriláteros. tros polígonos (68 problemas) 101 Sección E ircunferencia (101 problemas) 19 Sección F ónicas (101 problemas) 171 Sección G Áreas (3 problemas) 01 GEETRÍ EL ESI Sección H Lugares geométricos (4 problemas) 13 Sección I lanos. iedros (41 problemas) 1 Sección J uerpos (36 problemas) 33 Sección K Áreas y volúmenes (77 problemas) 49 Sección L Geometría descriptiva (43 problemas) 83 EX nexo roblemas sin resolver (5 problemas) 37 3

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5 RÓLG Este libro, roblemas de Geometría, junto con otros dos, roblemas de atemáticas y roblemas de Geometría nalítica y iferencial, están dedicados a la presentación y resolución de problemas que se planteaban hace unas décadas, en la preparación para ingreso en las carreras de ingeniería técnica superior. Incluye 744 problemas que se presentan en dos grandes grupos: Geometría del plano, con 53 problemas referentes a lugares geométricos, rectas, ángulos, triángulos y su construcción, cuadriláteros y otros polígonos, circunferencia, cónicas y áreas. Geometría del espacio, con 1 problemas referentes a lugares geométricos, planos, diedros, cuerpos, áreas, volúmenes y geometría descriptiva. demás se incluyen en el anexo, 5 problemas para su resolución por los lectores. Esta segunda edición de roblemas de Geometría tiene por objeto su puesta a disposición de la Escuela de Ingenieros de inas de la Universidad olitécnica de adrid. adrid, verano 01 5

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7 roblemas de Geometría del lano Sección - LUGRES GEÉTRIS 1- Enunciar los lugares geométricos elementales. La línea recta es el lugar geométrico de los puntos que siguen una misma dirección. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto interior llamado centro. La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos. El lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a dos rectas fijas están en una relación dada, es un sistema de dos rectas que pasan por el punto de intersección de las rectas dadas; en el caso en que dicha relación sea la unidad, el lugar geométrico es el conjunto de las dos bisectrices de los ángulos formados por las dos rectas dadas. El lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a dos puntos fijos están en una relación dada, es una circunferencia cuyo centro está sobre la recta definida por dichos puntos y que la corta en dos puntos cuya relación de distancias a los puntos dados es la dada. El lugar geométrico de los puntos para los que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos dados es constante, es una recta perpendicular a la recta que une dichos dos puntos. El lugar geométrico de los puntos para los que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos dados es constante, es una circunferencia de centro el punto medio de dichos dos puntos. El lugar geométrico de los puntos desde los que se ve un segmento dado bajo un ángulo constante, se compone de dos arcos de circunferencia (arcos capaces), que pasan por los extremos de dicho segmento. - Hallar el lugar geométrico de los centros de los paralelogramos cuya base es fija en magnitud y posición, y cuya altura es constante en magnitud. m H E n La base es fija y la altura H h es constante. El punto, centro del paralelogramo, está en la intersección de las dos diagonales, esto es, en su punto medio. or tanto la distancia E será siempre igual a h. El lugar pedido está formado por dos rectas m y n, paralelas a, ala distancia h de esta, situadas a uno y otro lado de. 7

8 3- Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio dado, que dividen a una circunferencia dada en dos partes iguales. Sea la circunferencia de centro la que divide a la de centro en dos partes iguales, por lo que, siendo y los puntos de intersección de ambas circunferencias, la recta es un diámetro de. Siendo y constantes, también lo será el cateto. or tanto el lugar de es una circunferencia de centro yradio R r, donde R y r. 4- Hallar el lugar geométrico de los centros de los círculos inscritos en los triángulos de base fija en magnitud y posición, y cuyo ángulo es constante en magnitud., y son las bisectrices de los ángulos, y. El ángulo es igual a 1 1 1, que es constante. or tanto el lugar geométrico de está formado por los arcos capaces de 1 trazados sobre. 5- Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de las bases de los trapecios que tienen por diagonales las secantes trazadas por el punto de contacto de dos círculos tangentes exteriormente, cuando es constante el ángulo formado por estas dos secantes. T 1 Sean 1 y los centros de los círculos dados, de radios 1 y, respectivamente. Las secantes T y T subtienden cuerdas y constantes en magnitud ( 1 y son los arcos capaces de ángulo T sobre ellas), por lo que son tangentes en sus puntos medios, a circunferencias concéntricas con las dadas. Si se trazan tangentes paralelas a una dirección dada, se obtienen dos trapecios y, cuyas bases, y, son tangentes en sus puntos medios, a las circunferencias concéntricas. Luego estas circunferencias son el lugar pedido. 8

9 6- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias, paralelamente a direcciones dadas, a dos rectas fijas es constante. d d n r m r H H Sean m y n las rectas dadas, y d y d las direcciones. Las distancias según estas direcciones, de un punto a m y n, son y. Las distancias (perpendiculares) a las rectas son H y H. ualquiera que sea la posición de, los triángulos H (y los H ) serán semejantes. or tanto la relación entre las distancias H y H es constante. El lugar pedido es el conjunto de dos rectas r y r, que pasan por, intersección de m y n. 7- Hallar el lugar geométrico de los puntos de contacto de las tangentes paralelas a una dirección dada, trazadas a las circunferencias tangentes a una recta fija dada, en un punto fijo de esta. T T Sea la recta dada, el centro de una de las circunferencias tangentes a en, y sean T y T las tangentes a paralelas a la dirección dada, siendo T y T los respectivos puntos de tangencia (los ángulos de estas tangentes con la recta dada son constantes). Siendo T perpendicular a T, y perpendicular a, el ángulo T es suplementario del T y por tanto constante. omo el triángulo T es isósceles (T ), los ángulos T y T son iguales y constantes, midiendo la mitad del T. El lugar pedido es el conjunto de dos rectas T y T, perpendiculares entre sí, que pasan por y forman con la recta dada ángulos iguales alamitaddelt y a la mitad de su suplementario. 8- Hallar el lugar geométrico de los puntos tales que la relación de sus distancias a dos circunferencias dadas, sea igual a la relación de los radios de estas. Sean y las circunferencias dadas, R y r sus radios y sea un punto tal que R r. or tanto R r. Luego está en el lugar de los puntos cuya relación de distancias a dos dados, y, es constante. Este lugar es una circunferencia cuyo centro está en la recta. 9

10 9- or un punto fijo se traza una secante que corta a un círculo fijo en los puntos y.se lleva a partir de y sobre, una distancia igual a la semisuma de y. Hallar el lugar geométrico de cuando varía la secante. Q. Luego es el punto medio de, por lo que el ángulo es recto, y está en el arco capaz de 90º sobre. Ellugarpedidoeselarco de la circunferencia de centro Q, punto medio de, yradio. 10- Se da una circunferencia y una cuerda. Haciendo centro en un punto del arco, se traza una circunferencia tangente a la cuerda y se trazan las tangentes a esta circunferencia desde y, que se cortan en. Hallar el lugar geométrico de cuando describe el arco. El ángulo es constante. omo y, el ángulo es constante pues mide. El lugar pedido es el arco capaz de, trazado sobre. 11- Se dan tres puntos alineados, y. Se trazan las perpendiculares en y alarecta. Una recta variable r corta a las perpendiculares en y, de manera que. Se proyecta sobre r en H. Hallar el lugar geométrico de H. H F r G E 10

11 Trazando la bisectriz interior del ángulo, se tiene que, luego se desplaza a lo largo de la recta F, paralela a y, siendo F F. nálogamente, siendo E la bisectriz exterior de, se tiene E, desplazándose E alo E largodelarectaeg, paralela a F, siendo G G. Elhaz, E, cortado por da la relación E 1. royectando E desde la dirección perpendicular a, se tiene el haz,fg, que cortado por da la relación FG 1. or tanto, proyectado desde H, las rectas HF y HG son las bisectrices del triángulo H. Luego el ángulo FHG es recto, por lo que el lugar de H es una circunferencia de diámetro FG. 1- Se da un círculo y un diámetro fijo. Sobre un radio variable se lleva I, siendo el pie de la perpendicular trazada desde sobre el diámetro. Hallar el lugar geométrico de I, cuando varía el radio. E I F Los triángulos IE y son iguales (E, I, y el ángulo EI igual al ). Luego el ángulo IE es recto por serlo el. or ello, el lugar geométrico de I es el conjunto de dos circunferencias iguales, tangentes exteriores en, de radio igual a la mitad del radio de la circunferencia dada, y cuyos centros son y, puntos medios de E y F, siendo EF el diámetro perpendicular a. 13- Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que cortan ortogonalmente a dos circunferencias dadas. T T r Sean las circunferencias dadas y de radios r y r,ysea un punto del lugar. La circunferencia corta en T a la circunferencia,yent ala. Siendo T perpendicular a T,y T a T,ycomoT T R, radio de la circunferencia, se tiene que R r y R r, es decir que r r, que es constante. Luego el lugar pedido es una recta perpendicular a, eje radical de las circunferencias dadas. 11

12 14- Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que cortan a otras dos dadas según diámetros. Sean las circunferencias dadas y, de radios r y r. Siendo un punto del lugar, se tiene: r r. or tanto r r que es constante. Luego el lugar es una recta perpendicular a. Esta recta es simétrica del eje radical con relación al punto medio de. 15- Hallar el lugar geométrico de los centros de los rectángulos inscritos en un triángulo dado. K I Q R H J S Sea el rectángulo QRS inscrito en el triángulo dado, estando su base RS sobre el lado, y siendo su centro. La altura del triángulo sobre el lado es H, siendo K su punto medio; es la mediana sobre dicho lado; IJ es la altura del rectángulo que pasa por. En el triángulo H, el punto se encuentra sobre la recta K que une los puntos medios del lado ydelaalturah. El lugar pedido consta de tres rectas que unen los puntos medios de cada lado del triángulo con los puntos medios de sus respectivas alturas. 16- En una circunferencia dada, se traza una cuerda fija y otra variable. Sobre estas cuerdas se construye el paralelogramo. Hallar los lugares geométricos del centro del paralelogramo y de su vértice. es el punto medio de la cuerda, por lo que el ángulo es recto. En consecuencia, el lugar de es la circunferencia de centro, punto medio de, y diámetro. Siendo, el lugar geométrico de es la circunferencia, homotética de la, siendo el centro de homotecia y la razón. 1

13 17- Se da una circunferencia y un diámetro fijo. esde un punto variable, situado sobre la prolongación de, se traza una tangente T y la bisectriz del ángulo T. Hallar el lugar geométrico del pie de la perpendicular trazada desde el centro sobre esta bisectriz. S L H T R Sean: la bisectriz de T ( está sobre S, radio perpendicular a ), H elpiedela perpendicular trazada desde sobre, TR la perpendicular desde T a, L el punto de intersección de H con T, LR la perpendicular desde L sobre. El triángulo L es isósceles ( L, H HL), siendo sus alturas H, T y LR, siendo su ortocentro. El triángulo es isósceles (SL LT), luego, es decir S T. El triángulo HTR es isósceles (HRT HTR), luego HT HR El triángulo HR es isósceles (HR HR), luego H HR. or tanto los triángulos HS y HT son iguales. e ello se deduce que SH HT HR H. Es decir que, al ser SH H, H está sobre la mediatriz de S, que es el lugar geométrico pedido. 18- En una circunferencia, está inscrito un cuadrilátero, en el que es fijo y constante en magnitud. Hallar el lugar geométrico del punto de intersección de las diagonales, así como el del punto de intersección de las rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos. Q E Siendo E el punto de intersección de las diagonales, el ángulo E es constante, pues es igual alasemisumadelosarcos y que son constantes. Luego el lugar geométrico de E es el arco capaz de dicho ángulo sobre. Uniendo los puntos medios de los lados del, se forma un paralelogramo, cuyas diagonales se cortan en, punto medio de Q, queasuvez, son los puntos medios de y. lser constante en magnitud, el lugar de Q es una circunferencia de centro. omo es punto medio de Q, su lugar geométrico es una circunferencia homotética de la anterior, con centro de homotecia y razón 1. 13

14 19- Se da una circunferencia y un diámetro fijo. Siendo un punto variable de la circunferencia, se prolonga una longitud. Hallar el lugar geométrico de, intersección de y. En el triángulo, es su baricentro y. El punto recorre la circunferencia 3 homotética de la dada, con centro de homotecia y razón. El punto recorre la circunferencia homotética de la anterior, con centro de homotecia y razón Hallar el lugar geométrico de los baricentros de los triángulos isósceles que tienen fijo uno de sus lados iguales,, siendo móvil el otro lado igual,. G El vértice recorre la circunferencia de centro yradio. El punto medio de recorre la circunferencia concéntrica con la anterior y de radio la mitad de. El baricentro G recorre una circunferencia homotética con la que recorre, con centro de homotecia y razón Hallar el lugar geométrico de los ortocentros de los triángulos que tienen un lado fijo y el ángulo constante. H Sean y las alturas trazadas desde y sobre los lados opuestos y H el ortocentro. El ángulo H H, es constante e igual a 180º. El lugar pedido es el arco capaz de 180º trazado sobre. 14

15 - Se da una circunferencia y dos puntos fijos en ella, y. Un punto recorre la circunferencia. Se llaman,, las intersecciones de la circunferencia con las bisectrices del triángulo. Hallar el lugar geométrico de H, ortocentro del triángulo. H or ser constante, es fijo, pues es el punto medio del arco. En el triángulo, 90º 90º,omo, los puntos, y H están alineados, coincidiendo H con el incentro del. or ser H, el triángulo H es isósceles. Luego H es constante al ser igual a. El lugar pedido es el arco de centro yradio, limitado por la circunferencia dada. 3- Se dan dos rectas paralelas. or un punto fijo de la primera, se traza una secante variable que corta a la segunda en. Se traza perpendicular a, que corta a la primera paralela en. Se forma el ángulo igual al doble del. or se traza la perpendicular a, que la corta en. Hallar el lugar geométrico de. a Sea a la distancia entre las dos paralelas. y el ángulo. Se tiene que sin sin sin a sin a. El lugar pedido es una sin cos circunferencia de centro y radio a. 15

16 4- Se considera una circunferencia de centro y diámetro. or se traza un radio cualquiera. or se traza la perpendicular a que corta al diámetro en. or se traza una recta d que forma con el diámetro un ángulo mitad del que forma con dicho diámetro. or se traza una perpendicular a d, que la corta en. Hallar el lugar geométrico de cuando varía el radio. r 3 r 1 d H r 4 r Siendo el ángulo que forma d con, R el radio de, yh la distancia de a, se tiene: R sin sin H. Luego H Rsin cos sin cos sin R. El lugar pedido está formado por las semirrectas r 1, r, r 3 y r 4, paralelas a y que distan de esta una distancia igual a R. 5- Un triángulo rectángulo se mueve de manera que los vértices y, correspondientes a los ángulos agudos, describen respectivamente los lados X y Y de un ángulo recto. Hallar el lugar geométrico del vértice, correspondiente al ángulo recto. Y X Siendo rectos los ángulos y, el cuadrilátero es inscriptible. Los ángulos y son iguales, luego al ser constante este último, aquel también lo es, por lo que describe un segmento de la recta, limitado por las posiciones que toma cuando y se sitúan en. 16

17 6- Hallar el lugar geométrico de los centros de los círculos que son cortados diametralmente por otros dos dados. r Sean y los círculos dados de radios R y R, y el centro del círculo cortado diametralmente en y por, yen y por, cuyo lugar se pide. Se tiene que R y R. omo, R R, que es constante. Luego el lugar pedido es una recta perpendicular a (eje radical de y ). 7- e un cuadrilátero, se conoce en posición y magnitud, y, y en magnitud. Hallar el lugar geométrico del punto medio de la diagonal. onstruido el triángulo, el lugar geométrico de es una circunferencia de centro y radio. El lugar pedido es la circunferencia homotética de la anterior, con centro de homotecia y razón 1, es decir que su centro es el punto medio de ysuradio. También forma parte del lugar la circunferencia simétrica de con relación a. 17

18 8- Sean dos ejes perpendiculares XX, YY. Sobre X se lleva a, y sobre Y se lleva a. Siendo un punto tal que su distancia a X es, yay, Q, cumpliéndose que Q a, hállese su lugar geométrico y sus condicionantes. Y Q X X Y El lugar geométrico es la recta. Esta recta está en los cuadrantes 1º, 4º y 3º. En el cuadrante 1º se cumple siempre la condición definida. En el 4º cuadrante, es negativo, luego la condición del enunciado se transforma en Q a, es decir que en vez de restar la distancia, hay que sumarla, cumpliéndose la condición. En el cuadrante 3º, y Q son negativos, es decir Q a, por lo que hay que restar la distancia Q y sumar la, cumpliéndose así la condición del enunciado. 9- Se consideran dos rectas secantes XX e YY. Sobra la primera se consideran dos puntos y. Sobre la segunda, otros dos, y. Los puntos y son fijos, mientras que los puntos y se mueven sobre las rectas dadas, permaneciendo del mismo lado de, de manera que la relación k es constante. Hallar el lugar geométrico de, punto medio de. Y Y X Y H F G E X X Sean a, b, el punto medio de, x, y, siendo x ky, a ky, b y. Trazando por las paralelas X y Y a XX e YY, respectivamente, se tiene que a, b. Las paralelas por a las dos rectas dadas, son EF y GH. Se tiene que E F EF b y b y. nálogamente, G x. or ello se tiene que: G E x y k. or tanto, el lugar pedido es una recta que pasa por. 18

19 30- Se da una circunferencia y un punto interior, por el que se trazan las cuerdas y perpendiculares entre sí. Hallar el lugar geométrico de I, punto medio de. I En el triángulo rectángulo I, se tiene I I I I. Luego el lugar pedido es una circunferencia. 31- Un triángulo de área constante, gira en su plano alrededor del vértice, siendo el ángulo constante. El vértice recorre una recta dada m. Hallar el lugar geométrico del vértice. m Sea una posición del triángulo en la que es perpendicular a m. Girándolo un ángulo, se obtiene por ejemplo la posición.el área del es sin.yladel es sin. Luego. demás,. or tanto los triángulos y son semejantes, por lo que 90º, y el lugar pedido es una circunferencia de diámetro. 19

20 3- ados dos puntos y y tres números a, b, c, hallar el lugar geométrico de los puntos tales que a b c. H Se toma sobre un punto tal que b a. En el triángulo se tiene: H. En el triángulo, se tiene: H. ultiplicando la primera igualdad por a, y la segunda por b, y sumándolas, se tiene: a b c a b a b, pues los otros dos sumandos se anulan. Luego c a b, que es constante. or tanto a b describe una circunferencia de centro yradio c a b. a b 33- Se dan dos círculos y secantes en y. Sobre la secante variable se construyen triángulos semejantes a uno dado. Hallar el lugar geométrico de. E Siendo constantes los ángulos en y, y E son fijos, siéndolo también E, por lo que el vértice está sobre el arco capaz de sobre E.(esta circunferencia pasa también por ). 34- Se da una circunferencia yundiámetro. Se traza una cuerda, que se prolonga, Hallar el lugar geométrico de. describe una circunferencia homotética de, con centro de homotecia yrazón. 0

21 35- Hallar el lugar geométrico de los polos de inversión que transforman dos círculos dados en otros dos de igual radio. T T 1 S 1 T 1 Sean 1 y 1 los círculos dados de radios R 1 y R 1, S el polo de inversión, y y los círculos transformados de igual radio R. Se tienen las siguientes igualdades: ST 1 ST ST 1 ST, ST S R ST, ST ST 1 S 1 R 1 S 1 R 1, S R, 1 ST 1 S 1 R 1 ST 1 S 1 R 1. perando se obtiene la igualdad: R 1 S 1 R 1 S 1 R 1 R 1 R 1 R 1, luego el lugar geométrico de S es una circunferencia. Si en la recta 1 1 se toma un punto tal que se cumple la igualdad: 1 1 R 1, llamando H a la proyección de S R 1 sobre 1 1, se tienen las igualdades: S 1 S 1 1 H, y S 1 S 1 1 H. Sustituidos estos valores en se obtiene: S R 1R 1 R 1 R 1 R 1 1 R 1 1. Luego la citada circunferencia tiene como R 1 R 1 centro el punto definido en, siendo su radio S. 36- Hallar el lugar geométrico de los puntos de contacto de los pares de círculos tangentes entre sí y tangentes cada uno a dos círculos dados exteriores entre sí. T 1 T El lugar geométrico de los polos de inversión que transforman dos círculos exteriores en otros dos de igual radio, es una circunferencia (ver 35). on polo de inversión un punto cualquiera de esta circunferencia, los dos círculos dados se transforman en dos de igual radio ( y.en este caso, el lugar geométrico de los puntos de contacto de dos circunferencias tangentes entre sí (de centros y ), y tangentes a las dos circunferencias de igual radio (la inversión mantiene las tangencias), es la mediatriz de la recta que une los centros de los dos círculos iguales. Luego el lugar pedido es la circunferencia inversa de dicha mediatriz. 37- Hallar el lugar geométrico de los polos de inversión que transforman los vértices de un triángulo dado, en los de un triángulo isósceles, de forma que. Siendo S el polo de la inversión, se tiene que S k S y S k S. Luego S S. or tanto el lugar pedido es una circunferencia, lugar de los puntos cuya relación de distancias a dos puntos dados y, es constante e igual a. 1

22 38- Se da un punto yuncírculo Se trazan pares de secantes y variables. Hallar el lugar geométrico de los puntos de corte de los círculos y. S R El lugar geométrico de, intersección de con, es la polar de respecto a. l invertir la figura con centro en y potencia la de respecto a, los círculos y se transforman en las rectas y, perpendiculares a y,oseaenlos ejes radicales ( eje radical de y, de y ), ya que R S. El lugar geométrico de es la circunferencia inversa de la polar. 39- Hallar el lugar geométrico de los centros de los círculos circunscritos a los triángulos autopolares con respecto a una circunferencia dada, que tienen un vértice fijo. El círculo circunscrito es ortogonal al de onge (ortóptico) de, y como pasa por el punto dado, que se puede considerar como un círculo de radio nulo, también es ortogonal a él. Luego el lugar pedido es el eje radical del círculo de radio nulo (punto ) y del círculo ortóptico de, es decir la mediatriz de.

23 40- Se da una circunferencia y dos puntos y. Se trazan secantes variables, yse llevan ángulos iguales a uno dado, X y X. Hallar el lugar geométrico de X. X Los puntos,,, X son concíclicos (círculo ) pues y X están en el arco capaz del ángulo dado sobre El punto está en el eje radical de y, luego, por lo que el punto es fijo, y el ángulo X también lo es. or tanto el lugar pedido es una recta que forma con dicho ángulo. 41- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyas polares respecto a tres circunferencias dadas, son concurrentes. R Sean las tres circunferencias,,, sea un punto del lugar, y sea R el punto en que se cortan las tres polares. La circunferencia, de diámetro R, pasa por, y, pies de las tres polares de respecto a, y. Se tiene que R, luego es ortogonal a. ela misma forma, es ortogonal a y. Luego todo punto del lugar está en. Sea un punto cualquiera de. Se une con y se traza la perpendicular a en, que pasa por R que es diametralmente opuesto a, teniéndose, por ser ortogonal, que R. Luego R es la polar de respecto a. Lomismopara y. or tanto, las tres polares pasan por R, por lo que, punto cualquiera de, es del lugar pedido. El siguiente razonamiento conduce a la misma solución: ara que las polares de sean concurrentes, es necesario y suficiente que lo sean los ejes radicales de respecto a los tres círculos. El punto de intersección de los tres ejes radicales tiene la misma potencia respecto a los tres círculos, luego un punto común debe coincidir con el centro radical de los tres círculos. Siendo el centro radical, es igual a la tangente trazada desde a cada círculo. Luego tiene que estar en la circunferencia de centro que corta ortogonalmente a los tres círculos. 3

24 4- Se hace girar una circunferencia alrededor de uno de sus puntos y en cada posición se le trazan tangentes paralelas a una recta fija. Hallar el lugar geométrico de los puntos de tangencia. Q Sea el círculo dado que gira alrededor de. El centro describe un círculo de centro y radio. Los puntos de tangencia son y, de forma que, siendo perpendicular a la dirección dada. El lugar consta de dos circunferencias iguales a la dada, cuyos centros están a un lado y otro de, en la dirección perpendicular a la dada, siendo tangentes entre sí en. 43- Siendo G el centro de gravedad del triángulo, demostrar que para todo punto del plano se cumple que 3G G G G. En el triángulo G se tiene: G G G G, siendo la proyección de sobre G. e forma similar, en el triángulo G se tiene G G G G, y en el G, G G G G. Sumando las tres igualdades, y teniendo en cuenta que por ser G el centro de gravedad se cumple que G G G 0 (cada sumando con su signo correspondiente), se tiene 3G G G G. 44- Hallar el lugar geométrico de los puntos para los que la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices de un triángulo, es constante e igual a k. En el problema anterior 43, haciendo k, se tiene 3G G G G k. Luego G 1 3 k G G G. or tanto el lugar pedido es una circunferencia cuyo centro es el centro de gravedad del triángulo y su radio 1 3 k G G G. 45- Se hace girar una circunferencia alrededor de un punto fijo y en cada posición se le trazan tangentes paralelas a una dirección dada. Hallar el lugar geométrico de los puntos de tangencia. Q El centro del círculo dado describe un círculo de centro yradio. Trazando por la perpendicular a la dirección dada y tomando en uno y otro sentido el radio R de, se tendrán los dos puntos de tangencia y. El lugar pedido está formado por dos círculos y Q, de radio, tales que Q R, siendo perpendicular a la dirección dada. 4

25 46- Hallar el lugar geométrico del pie de las alturas sobre las hipotenusas, de todos los triángulos rectángulos que teniendo el vértice, correspondiente al ángulo recto, común y fijo, tienen el vértice sobre el eje Y, yel sobre el eje X. Y H H X Sea el triángulo rectángulo. Trazando por las perpendiculares a los ejes, se tiene el. Siendo igual al, por ser sus lados perpendiculares, los triángulos y son semejantes, por lo que À. Luego los triángulos y también lo son por la relación anterior y tener el ángulo en igual. e ahí que los triángulos H y H (H y H son los pies de las perpendiculares desde ) también son semejantes. Luego girando el triángulo alrededor de un ángulo H y multiplicándolo por la relación H (homotecia), se obtiene el triángulo. or ello el lugar pedido es la recta. 47- ado un triángulo isósceles, halla el lugar geométrico de los puntos tales que su distancia a la base del triángulo sea media proporcional entre sus distancias a los otros dos lados. Si desde un punto exterior a un círculo se trazan las tangentes y y la polar, la distancia de un punto de la circunferencia a la polar es media proporcional entre las distancias de ese punto a las tangentes. Luego dado el triángulo, el lugar pedido es el círculo tangente en y a los lados y. 5

26 48- Sea un triángulo. Sobre se marca un punto, y sobre un punto, tales que se verifique constantemente. 1º) Encontrar cómo varía la recta, cuando y se desplazan satisfaciendo la condición anterior. º) En se traza la perpendicular a, yen la perpendicular a. Hallar en las mismas condiciones, el lugar geométrico de la intersección de ambas perpendiculares. 3º) Se reemplaza el punto por sobre de forma que. La perpendicular a por corta a la perpendicular a por en. Hallar el lugar geométrico de. 1º) ycomo es constante, todos los triángulos son semejantes y se conserva paralela a sí misma. º) En todos los triángulos, se conserva paralela a sí misma,ylomismo y por construcción, luego son semejantes, y como y describen y, describe la recta. 3º) Lo mismo sucede con todos los triángulos, que son semejantes, y como y describen las rectas y, describe la recta. 49- Se da un cuadrilátero. 1º) emostrar que existe una infinidad de paralelogramos Q inscritos en él ( sobre, sobre, sobre, Q sobre ). º) Encontrar el lugar geométrico de los puntos de intersección de las diagonales de estos paralelogramos. Q F R H E S 1º) Se fijan los puntos,, y Q de forma que Q Q m n. Luego Q es paralela a, teniéndose que Q Q m Q m n,y m m n. Luego Q y son paralelas a, y y Q lo son a. or tanto Q es un paralelogramo. Variando la relación m n se tienen infinitos paralelogramos inscritos en. º)E y F son los puntos medios de y, luego E es la mediana de, ye la de. Luego H es el centro de Q. El punto H está siempre en EF, pues EH es mediana de ERS, yef lo es de E. Luego el lugar de H es la recta EF. ota: Estos mismos argumentos son válidos en el espacio cuando es un cuadrilátero alabeado. 6

27 50- Se consideran los rectángulos circunscritos a un cuadrilátero de diagonales perpendiculares. emostrar que son semejantes y hallar el lugar geométrico de sus centros. S F G K L H Q E R Sea el cuadrilátero y un rectángulo el Q. orserr S (R es perpendicular a S, yr a S), se tiene Q y Q, con lo que se demuestra que los rectángulos son semejantes. El lugar geométrico de es el arco capaz de 90º sobre KL, puntos medios de y 51- Se dan dos círculos y, tangentes exteriores en. Se considera una de sus tangentes comunes TT. Un círculo variable que pasa por y que es tangente a TT,cortaa ya en yen, respectivamente. Sea el polo de respecto a.ysea el punto de intersección de con. Hallar el lugar geométrico de y. o n o W T T o Invirtiendo con centro y potencia cualquiera, los círculos y se invierten en dos rectas paralelas, o y o (figura de la derecha), la tangente TT en un círculo que pasa por, es tangente a las dos rectas anteriores y cuyo centro es W, el círculo se invierte en una recta o tangente al círculo anterior, y las tangentes y en dos circunferencias que pasan por yson tangentes a o en los puntos de corte 1 y 1 de esta con las rectas o y o. Tras la inversión, la potencia de 1, inversa de, respecto a las circunferencias inversas de y, es, siendo 1 el inverso de, Luego 1 es el punto medio de 1 1,ysu lugar geométrico es la recta n, paralela media de o y o, limitada por la circunferencia W. omo el ángulo 1 W 1 es recto, se tiene que W, luego W, por lo que 1 está en una circunferencia que pasa por yes tangente en W a la recta n. eshaciendo la inversión, el lugar geométrico de es una circunferencia con centro el de semejanza de y, limitada por TT. El lugar de es la tangente a la circunferencia lugar geométrico de. 7

28 5- Hallar el lugar geométrico de los puntos de corte de las rectas de Simson correspondientes a dos puntos diametralmente opuestos de la circunferencia circunscrita a un triángulo. Q L E G J H T V F K S U Sea el triángulo, H su ortocentro, punto de corte de las alturas T y J, el centro del círculo circunscrito, y dos puntos diametralmente opuestos de dicho círculo, Q y K los pies de las perpendiculares trazadas desde sobre y, S y U los de las trazadas desde sobre y, QK y US las respectivas rectas de Simson que se cortan en. Trazando por H las paralelas a dichas rectas, se tienen HF y HG. Haciendo las construcciones para la demostración de la recta de Simson, se obtiene que el cuadrilátero JHT es inscriptible, pues son rectos los ángulos HJ y TH, luego JHT 180º. or tanto JHT GHF JHG THF 180º. e ahí que GHF arco arco 180º JHG THF 180º JEG TF 180º arco arco 360º arco arco arco arco 360º 180º 90º. or tanto, las rectas de Simson correspondientes a y son perpendiculares. Las rectas H y H cortan respectivamente a las dos rectas de Simson, en L y. or las características de las rectas de Simson, se tiene que L LH, H, L. La recta H corta a L en, de forma que H. Luego es fijo, y como el triángulo L es rectángulo, se tiene que L R, siendo R el radio de. or tanto el lugar geométrico de es el círculo de los nueve puntos o de Euler. 8

29 53- Se da un ángulo recto XY y un punto en su plano. lrededor de gira un ángulo recto cuyo vértice es y cuyos lados encuentran a X y Y en y. Sea el cuarto vértice del rectángulo. Hallar el lugar geométrico de, así como los lugares de los baricentros de los triángulos y. Y X Sea el punto medio de. omo el cuadrilátero es inscriptible, es el centro del círculo circunscrito por lo que su lugar geométrico es la mediatriz de. omo es el simétrico de respecto a, su lugar geométrico es una recta homotética de la mediatriz de, con centro de homotecia y razón. El lugar del baricentro del triángulo es otra recta homotética de dicha mediatriz, con centro de homotecia y razón 3.El lugar del baricentro E del triángulo es otra recta homotética de la citada mediatriz, con centro de homotecia y razón E or un punto, situado en el interior de un ángulo XY, se traza una secante fija y una secante móvil E ( y están sobre X; y E sobre Y). Se circunscribe una circunferencia al triángulo, yotraale. Halla el lugar geométrico de, segundo punto de intersección de estas dos circunferencias. X E Y Sea el ángulo que forman ambas secantes entre sí; sean y los ángulos fijos que forma con X y Y. Se tiene que,, de donde. Luego el lugar pedido es el arco capaz de sobre. 9

30 55- Se da un círculo y dos diámetros perpendiculares X, Y. La tangente en un punto cualquiera de este círculo encuentra a X en yay en. El eje radical de y del círculo circunscrito al triángulo, encuentra a X en, yay en. Hallar el lugar geométrico del punto medio de. Y X Siendo R el radio de, y a, ar. Las rectas y son antiparalelas con a R relación a XY. Luego a ar a R, R, R, R a, R a R a, R 4, R. Luego el lugar pedido es la circunferencia de centro yradio R. 56- ado un punto y una circunferencia, se traza por una transversal variable que corta al círculo en y. En cada posición se trazan las circunferencias de diámetros y, que cortan a en y. Hallar el lugar geométrico del punto H, intersección de y. H H es el centro radical de las tres circunferencias (, y ). El eje radical de y es la perpendicular por a la transversal, que ha de pasar por H. Luego H H R, siendo R el radio de. El lugar pedido es una recta perpendicular a. 30

31 57- Se dan dos lados opuestos y de un cuadrilátero, que se cortan en. El lado es fijo, y el gira alrededor de. Hallar el lugar geométrico de, punto donde se cortan los otros dos lados y, yelde, punto de intersección de las diagonales y. En el triángulo cortado por la transversal, se tiene 1. omo,, y son constantes, se tiene que k, constante. or tanto 1 1 k, por lo que describe una circunferencia homotética de la descrita por, con centro de homotecia y razón 1 1 k. En el triángulo cortado por la transversal, se tiene 1. omo,, y son constantes, se tiene que q, constante. or tanto q 1 q, por lo que describe una circunferencia homotética de q la descrita por, con centro de homotecia y razón 1 q. 58- Se da una circunferencia yundiámetro. El punto es el vértice de un ángulo recto variable cuyos lados encuentran en y alatangenteen. or y se trazan al círculo las tangentes E y F. Hallar el lugar geométrico del punto, intersección de estas tangentes. r E F Siendo,,,,, siendo R el radio de y siendo H la proyección de sobre, se tienen las siguientes relaciones: tan R R t, R, Rt, R t t 1, tan t R t 1, tan R t, tan H H 4t 4t 1, H H 4t 1, tan 4t H H 4t 4 t, H H 4 4t t, H H R t 1 H 3 t 1, H t 4t 8 R. Luego el 3 lugar geométrico de es la perpendicular r a, a una distancia de igual a 8 3 R. 31

32 59- Hallar el lugar geométrico de los puntos, tales que, siendo y dos puntos fijos dados, y, y tres constantes dadas. H Sean a, H la proyección de sobre, ysea un punto de tal que d. Enel triángulo se tiene a d a d H. En el triángulo se tiene d dh. Luego se obtiene la siguiente igualdad: d dh a d a d H 0. perando: H d d a d da a 0. a nulando el coeficiente de H, se tiene d, y por tanto a. Luego el lugar geométrico pedido es una circunferencia de centro el punto que está sobre a una distancia d de, y cuyo radio es. 60- emostrar que si se tienen en un triángulo tres rectas antiparalelas iguales, son concíclicos sus seis puntos de corte con los lados del triángulo. Hallar el lugar geométrico del centro del círculo. S R Q Sea el triángulo, y las antiparalelas iguales S, y QR. Los cuadriláteros QR, QRS, QRS, RS, S, Q son cada uno de ellos inscriptibles en una circunferencia, por tener sus ángulos opuestos suplementarios (por ejemplo, siendo,,, 180º, R, QR 180º ). Los círculos circunscritos a los dos primeros cuadriláteros coinciden, pues están circunscritos al triángulo QR. Razonamientos análogos son válidos para los seis cuadriláteros formados, luego los seis puntos,,, Q, R y S son concíclicos. El centro de estos círculos está definido por las mediatrices de, Q, QR, R, etc. y sus sucesivas paralelas, cuyos vértices describen los lados del, por lo que su lugar es una recta. En el caso en que las antiparalelas sean de longitud nula, este centro coincide con el circuncentro del. Enelcasoenque y coincidan en un punto de, se tiene que cevianas, pues b c a b a c a b ba a c bc a c cevianas, forma parte del lugar pedido. b c a b, ac b c ab b c a c a b, siendo las tres rectas,, 1, luego el punto, intersección de estas 3

33 61- Sobre una circunferencia de centro, se dan dos puntos fijos y, y un tercer punto móvil. Sea H el ortocentro del triángulo. 1º) Hallar el lugar geométrico del baricentro G del triángulo H. º) Hallar el lugar geométrico del pie de la bisectriz interna del ángulo de dicho triángulo. 3º) eterminar para que la bisectriz tenga una magnitud dada. G H 1º) El ángulo H es suplementario del, luego el lugar geométrico de H es el círculo simétrico del respecto a. El punto medio de H, describe el círculo de centro el punto medio de y radio el de. or tanto G describe el círculo homotético del que describe, con centro de homotecia y razón G H 3. º) omo H H k, H k 1 k, luego describe el círculo homotético al que describe H, con H centro de homotecia y razón H k, siendo k.3º) pasa por el punto 1 k H medio del arco ( y son los puntos de intersección de y H con la circunferencia ). omo los triángulos H y son semejantes, H H, H, H H H. Luego dado, se conoce, y con centro en yradio se corta en (hay otra solución 1, simétrica de con relación a ). 6- En un círculo dado se tiene una cuerda fija y otra variable que pasa por, punto medio de. Hallar el lugar geométrico de la intersección de y. r La polar de, punto de intersección de y, pasa por. Luego describe la polar de, que es una paralela a. 33

34 63- ados dos círculos y, que se cortan en y, se traza una secante. Hallar el lugar geométrico de, punto medio de. r Sea el punto medio de, y el simétrico de respecto a. Se tiene que,. Siendo,, y siendo,,. En el cuadrilátero, se tiene:, 1. En el triángulo, se tiene:. En el triángulo, se tiene:. Luego los triángulos y son iguales, pues tienen dos lados iguales, y, e iguales los ángulos y. or tanto, por lo que está en la mediatriz de y 90º. El lugar geométrico de es el arco capaz de 90º sobre, es decir, una circunferencia de centro yradio. 64- Se da un ángulo V, de vértice V. Una circunferencia que pasa por V y por un punto dado, corta a los lados del ángulo en los puntos y. Hallar el lugar geométrico del baricentro del triángulo V. V Los triángulos, al variar la circunferencia, se mantienen semejantes, puesto que V, y V. Siendo el punto medio de, los ángulos y son constantes. La circunferencia corta a V en el punto. Se tiene que V, luego V es constante, y consecuentemente es fijo. nálogamente, es fijo. or tanto, V. Luego está en la recta. El lugar del baricentro del triángulo V, es la recta homotética de, con centro de homotecia V y razón 3. 34

35 65- or un punto interior al ángulo XY, pasan dos círculos y, inscritos en el ángulo. Hallar el lugar geométrico de cuando la suma de los radios de los dos círculos, es constante. Y V H m X Las circunferencias y son tangentes en y, respectivamente, a X. Sus centros están sobrelabisectrizv del ángulo XY. La perpendicular por a V es el eje radical de ambas circunferencias, que corta en a X. Luego, siendo el punto medio de, por lo que. omo esta cantidad se conoce, el punto es fijo (intersección de V con la paralela m a X a la distancia ). or se traza la perpendicular a X. La recta H, perpendicular a V, es el eje radical de y, sobre el que está. or tanto el lugar pedido es la recta H. 66- or un punto interior al ángulo XY, pasan dos círculos y, inscritos en el ángulo. Hallar el lugar geométrico de cuando el producto de los radios de los dos círculos, es constante. Y H V H X Sea V la bisectriz de XY, H (perpendicular a V) la raíz cuadrada del producto de los dos radios, y y los radios perpendiculares a X (los centros y están sobre V, y y son los puntos de tangencia con X). Luego H es conocido. Se tiene que H H, H H, y multiplicando las dos igualdades,. omo H H H, H, por lo que los círculos y son inversos, con centro de inversión y potencia H. onsiderando a como puntos homólogos de una y otra circunferencia, se tiene H. Luego es constante e igual a H, sean cuales sean y, por lo que el lugar de es el círculo de centro yradioh. 35

36 67- Sea un círculo de diámetro. Se traza una cuerda perpendicular a. or se traza una secante que corta a en E y al círculo en F. Se traza la tangente en F, que corta en ala perpendicular a trazada por E. Hallar el lugar geométrico de. F E H G La intersección de F y es H. La polar de H es E, yh es la polar de. omoh pasa por un punto fijo, su polo describe una recta, que es la polar de, es decir la tangente. 36

37 Sección - RETS, ÁGULS, TRIÁGULS 1- oblando una punta de un cuadrado, se forma un triángulo rectángulo de catetos b y c. alcular en función de b y c, las distancias del vértice del nuevo triángulo rectángulo a los lados del primitivo. E Se dobla la esquina por E, pasando el vértice a ocupar la posición, siendo b y E c, y se piden las distancias y. En el triángulo E, se tiene que c c c c. e la misma forma, en el triángulo, se tiene que b. perando, b c b c, bc b c. - emostrar que la suma de distancias desde un punto de la base de un triángulo isósceles a los otros dos lados, es constante. Sea el triángulo, cuyos lados y son iguales. Sea el triángulo simétrico del respecto a. Ysea un punto cualquiera de, cuyas distancias a y son y, siendo el simétrico de. Los ángulos, y son iguales por ser complementarios de. Luego los puntos, y están alineados, siendo la suma de las distancias de a los dos lados iguales del triángulo. omo esta distancia corresponde a la existente entre las paralelas y, es constante. 3- Se dan dos rectas a y b, un punto sobrelaprimerayotro fuera de ellas. Trazar una recta XY que corte en X alarectaa, yeny alab, de modo que X Y. a X c b Y H El triángulo XY es isósceles, siendo H el punto medio de su base XY, por lo que está sobre la paralela media c de a y b. omoh es perpendicular a XY, H está sobre el arco capaz de 90º sobre. Luego la recta pedida XY pasa por H, intersección de c con el citado arco capaz. 37

38 4- Encontrar sobre la base de un triángulo dado, un punto tal que trazando por él las paralelas a los otros dos lados, se obtenga un paralelogramo de perímetro dado. E G F Sobre se lleva G p, siendo p el perímetro dado. Sobre se lleva F p. La recta FG corta a en, que es el punto pedido. En efecto, en el triángulo isósceles GF, se tiene que E F G p. Luego E E p. 5- ado un triángulo, hallar un punto X sobre y otro Y sobre, de modo que XY X Y, siendo XY paralela a. X Y Se trazan las bisectrices y de y, que se cortan en, por donde se traza la paralela XY a. Se tiene que X X, Y Y, luego XY X Y. 6- Se dan dos puntos y, sobre un lado de un ángulo recto. Hallar sobre el otro lado un punto tal que. Q Se traza la mediatriz Q de, y la mediatriz de. La intersección de con la circunferencia de diámetro, determina el punto, que unido con, determina el punto pedido. En efecto, Q Q, Q Q, Q Q, luego. 38

39 7- Inscribir en un triángulo dado, otro de perímetro mínimo. H H es el simétrico de respecto a ; es el simétrico de respecto a. El triángulo es igual al. Se trata de hallar la mínima distancia HH entre puntos homólogos de y. En efecto, la mínima distancia entre y es H, y entre y es H. La recta HH corta a en. El triángulo de perímetro mínimo que se puede inscribir en, con un vértice en H, eselh, de forma que H H. El triángulo H es el pedido. ota: Ver el problema Inscribir en tres rectas paralelas, un triángulo equilátero. m n r Sean m, n y r las tres rectas paralelas y se toma un punto sobre n. Sean y las distancias de a m y r. on centro se rotan y un ángulo de 60º, obteniéndose y.la perpendicular a,cortaam en. Y la perpendicular a,cortaar en.el triángulo es el pedido. 9- Inscribir en tres círculos concéntricos de centro, un triángulo equilátero. Tomando como centro un punto cualquiera del círculo central, se rota el círculo interior 60º, pasando su centro a y cortando al exterior en. Rotando el exterior 60º, su centro pasa a, cortando al interior en. El triángulo pedido es el. 39

40 10- ado un ángulo de vértice, dos puntos y, uno en cada lado, y un punto exterior al ángulo, trazar por una recta que corte a los lados del ángulo en E y F, de manera que,, E y F sean concíclicos. E G F ara que sean concíclicos, ha de cumplirse que F EF y E FE, siendo las rectas y EF antiparalelas con respecto al ángulo dado. Se lleva el ángulo conocido F sobre G, siendo un punto cualquiera de. Trazando por la paralela EF a G, se obtienen los puntos E y F. 11- Sobre los lados de un triángulo se construyen cuadrados hacia el exterior del triángulo. alcular los lados del triángulo conociendo en magnitud los segmentos, Q y RS (ver figura), que unen los vértices de los citados cuadrados S T V U R Q Sea el triángulo, y S,, RQ los tres cuadrados, siendo m, n Q y p RS, los tres segmentos que se conocen en magnitud. Girando 90º las rectas, y R, en torno a, y, respectivamente, sus nuevas posiciones son T, U y V, prolongaciones de, y. En el triángulo T se tiene, por ser el punto medio de T, que T T, es decir a m b c. Similarmente, b n a c y m n p n p m c p b a. e donde a, b, 3 3 p m n c Se da una recta XY y dos puntos y, situados a un mismo lado de la recta. Encontrar un punto sobre XY, tal que el ángulo X sea doble del Y. X Y Se obtiene el simétrico, de respecto a XY. Se traza la circunferencia de centro, tangente a XY. esde se traza la tangente que corta a XY en. El ángulo X Y Y Y. 40

41 13- Se da un triángulo y su circunferencia circunscrita. Las tangentes en, y, cortana los lados opuestos en, y. emostrar que estos tres puntos están alineados. Hay que deducir que 1 (). En el triángulo, se tiene 1(). En el triángulo, se tiene 1(). En el triángulo, se tiene 1(). Tomando de (), de () y de () y sustituyéndolos en (), se tiene:. En el triángulo cortado por, se tiene: 1. e estas dos últimas igualdades, se obtiene: Se da un triángulo. En el sentido se lleva un segmento y otro igual en la prolongación de a partir de, es decir. robar que divide a siempre en la misma relación. En el triángulo cortado por, se tiene 1. omo,, que es constante. 15- Inscribir en un triángulo dado, otro, semejante a uno conocido, con el vértice en. or un punto cualquiera de, se traza una paralela a. or y se trazan paralelas a y, respectivamente, que se cortan en. La recta corta a en.las paralelas por a y, determinan y. 41

42 16- Inscribir en tres paralelas dadas, un triángulo semejante a uno dado. m n m r r Sean las paralelas m, n y r, ysea el triángulo dado. on centro un punto de n, segiram un ángulo, obteniéndose m. Se traza r, paralela a r y tal que las distancias de a r y r estén en la relación ; m y r se cortan en. Se deshace el giro de r, pasando a sobre m. Se lleva el ángulo sobre, obteniéndose. El triángulo es el pedido. 17- Se dan dos rectas X y X. Sobre la primera hay un punto fijo, y sobre la segunda otro punto fijo. Trazar por un punto fijo, una recta que corte en a X, yen a X, de modo que tenga una longitud dada k. 1 X X Se toman sobre X una serie de puntos 1,,... y sobre X la serie 1,,... de forma que 1 1 k, etc. Se proyecta desde y sobre X, la serie de puntos situados en X, obteniéndose la serie 1,,...El punto doble de las dos series situadas sobre X ( 1,,... y 1,,...), da la recta solución. 18- Inscribir en un segmento circular dado, un triángulo equilátero con un vértice en un punto dado, situado sobre la cuerda, y los otros dos sobre el arco H Sea el círculo dado de centro, y la cuerda que determina el segmento circular. Supuesto resuelto el problema, sea el triángulo pedido. El círculo de centro yradio, corta al arco del segmento en y. El eje radical de los dos círculos es la cuerda común, perpendicular a en H, punto medio de, estando alineados, y H. or tanto, llevando a unoyotroladodeh (altura y bisectriz correspondientes al vértice ) un ángulo de 30º, se obtienen y. 4

43 19- adas dos rectas a y b, que se cortan fuera de los límites del dibujo, trazar por un punto dado, una recta c que concurra con las dos citadas. a c b Tomando dos puntos cualesquiera y, situados respectivamente en a y b, se tiene el triángulo. or un punto cualquiera de a se trazan las paralelas y a y. or se traza la paralela a, obteniéndose. La recta es la recta c pedida. ota: Ver el problema. 0- ado un triángulo, se construyen los triángulos L, y, directamente semejantes entre sí. eterminar la posición relativa de los baricentros de los triángulos y L. G L Sean G, G, G y G, los baricentros de los triángulos, L, L y L. Las medianas y L están divididas por G y G en la razón 1, siendo GG paralela a L e igual a L 3.or tanto, se pasa del baricentro del al del L, por medio de la quebrada GG G G, cuyos lados son paralelos a L,,, e iguales a sus terceras partes. G coincidirá con G, sil, y son iguales y paralelas a los lados de un mismo triángulo. omo L, y son proporcionales a, y, estando igualmente inclinadas sobre estos lados, representan en magnitud y dirección los lados de un triángulo semejante al. or tanto los baricentros del ydell coinciden. 1- Siendo, demostrar que : :. Luego ambiando de signo y teniendo en cuenta que, queda demostrado. 43

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