CAPÍTULO I I.2. CONTEO EN EL SISTEMA DECIMAL.

Transcripción

1 Sistemas de Numeración. Sistema binario. César Sánchez Norato CPÍTULO I Sistemas de numeración. Sistema binario. I.. INTRODUCCIÓN. medida que, en la antigüedad, avanzaba la Civilización, el Hombre tuvo necesidad de contar los objetos y las cosas. Tuvo, por tanto, la necesidad de intuir o inventar un sistema de numeración. Como el hombre posee diez dedos en las manos, le resultó práctico el hacer uso de ellos para contar. Nacía así el sistema de numeración decimal o de base "diez", que se ha desarrollado y perfeccionado a lo largo de los siglos. Habremos observado cómo aún hoy los niños pequeños ( y no tan pequeños!. uién de nosotros no lo ha hecho alguna vez?) se sirven de los dedos de las manos para contar. Posteriormente le surgió la necesidad, también, de realizar elementales operaciones aritméticas, como sumar, restar, dividir, etc, para el intercambio, compra-venta, reparto, de estos objetos. Nacían así las "elementales operaciones aritméticas". El sistema desarrollado recibió el nombre de DECIML o DENRIO por ser diez los dedos de las manos del hombre. Parece ser que deriva del que utilizaban los habitantes de la India Septentrional unos 3 años antes de Cristo. nterior a este sistema hubo otros sistemas de numeración; entre ellos el utilizado por los Chinos, por los Egipcios, por Romanos, etc. Una característica muy importante, acaso la que más, del sistema hindú era que poseía un símbolo para representar el "cero" o ausencia de elementos. El sistema decimal o de base diez está formado por diez símbolos o números llamados dígitos (dedos) y que son, como todos sabemos,,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9. El siguiente número es el número diez () que es el que da el nombre a la base. La base de cualquier sistema también se llama "rádix". El sistema decimal tiene un valor de posición característico, y cada uno de los diez dígitos tiene un "peso" o "significación" que depende de la posición en que se encuentre. sí, si observamos el número 365, el número 5 nos indica las unidades, el 6 las decenas y el 3 las centenas. Es decir, que el número 365 representa unidades; o lo que es lo mismo, equivale a sumar ; lo que da 365 unidades. Obsérvese que esto es lo que conocemos como valor relativo de un número, que depende de la "posición" o el lugar que ocupa. I.2. CONTEO EN EL SISTEM DECIML. Si tratamos de contar una cantidad de objetos o elementos, es como si a cada uno de ellos le asignáramos un número, un lugar, o una posición. Tendríamos así la serie natural de los números del sistema decimal, que sería esta:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. l llegar al elemento 9 ya no hay dígitos para representar los demás. Entonces se recurre a combinar el con todos los ellos, obteniendo el,,

2 2 César Sánchez Norato. Sistemas de numeración. Sistema binario 2,...9. Pero como el ya no se puede combinar con más, se pasa a combinar el 2 con todos ellos. sí obtenemos el 2, 22, Lo mismo se haría con los demás hasta llegar al 99, con lo que se terminarían las combinaciones o números de dos cifras procediendo a continuación a formar los grupos de tres cifras, los cuales comienzan por el y terminan en el 999. Después vendrían los de cuatro, los de cinco, y así sucesivamente. Nota: Los símbolos utilizados, extendidos universalmente, son los números arábigos. I.3. SISTEMS DE NUMERCIÓN. medida que el hombre fue profundizando en los estudios sobre el sistema decimal observó que, con otra cantidad de elementos distinta a "diez", también se podían confeccionar otros sistemas de numeración y que todos seguían las "reglas generales" del sistema decimal. Como el sistema decimal sólo tiene diez dígitos, los otros sistemas surgidos los podemos clasificar en SISTEMS NUMÉRICOS, aquellos cuya base es inferior a y en SISTEMS LFNUMÉRICOS, los de base superior a diez. Dentro de los primeros tenemos los sistemas de base 2 o binario, de base 3, de base 4, de base 5, de base 6, de base 7, de base 8 u octal, de base 9 y de base. Teniendo en cuenta que el número mayor que puede tener una base es inferior en una unidad al número de la base, tendremos que el sistema de base 2 solo tendrá como números el uno y el cero. (Cada uno de estos números -el y/o el - se llama bit; del inglés inary digit = dígito binario). En base tres habrá el, el y el 2. En base cuatro habrá el, el, el 2 y el 3. En base cinco habrá el, el, el 2, el 3 y el 4. Etcétera. En los segundos o alfanuméricos se utilizan números y letras. sí un sistema de base doce, tendrá los siguientes elementos:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y. Un sistema alfanumérico muy empleados en el campo de los ordenadores, es el HEXDECIML o de base 6, cuyos 6 elementos son:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, C, D, E y F. I.4. CONTEO EN LGUNOS SISTEMS DE NUMERCIÓN. Veamos los primeros números de algunos de los sistemas de numeración. Sea que queremos contar en el sistema de base 7. La serie natural sería:,, 2, 3, 4, 5, 6,,, 2, 3, 4, 5, 6, , ,,...6, ,... Sea ahora en el sistema de base 4. La serie natural sería la siguiente:,, 2, 3,,, 2, 3, 2, 2, 22, 23, ,,, 2, 3, , ,... Sea esta vez en el sistema binario o de base dos. La serie sería:,,,,,,,,,,,,,,,,,... Sea, por último, en un sistema alfanumérico, por ejemplo en el hexadecimal. Tendríamos:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, C, D, E, F,,, 2... F, F... 9F,,... F...FF,...

3 Sistemas de Numeración. Sistema binario. César Sánchez Norato 3 I.5. EUIVLENCIS EN LGUNOS SISTEMS ase E U I V L E N C I S C D E F I.6. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMIC DE UN NÚMERO CULUIER. En todos los sistemas de numeración se cumple la siguiente ecuación general, llamada también expresión polinómica o factorial: N = a n b n + a n- b n- + a n-2 b n a b + a - b - + a -2 b a -q b -q donde N es el número en cuestión b es la base del sistema de numeración a es el número perteneciente al sistema n, q son los lugares que ocupan los números en el sistema. Nota: Los subíndices y exponentes positivos indican números enteros; en cambio los negativos representan las cantidades o números fraccionarios. Veamos algunos ejemplos de descomposición o expresión polinómica. * Sistema decimal.- Sea el número 2345, ,76 = 2 x x x + 5 x + 7 x x -2 * Sistema hexadecimal.- Sea el número 4F,D2 en base 6 4F,D2 = x x x 6 + F x 6 + D x x 6-2 * Sistema octal (base 8).- Sea el número 7.245, ,3 = 7 x x x x x x 8-2 * Sistema base 4.- Sea el número 23,2. 23,2 = x x x 4 + x x 4-2 * Sistema base dos (binario).- Sea el número,, = x x x x 2 + x 2 + x x 2-2

4 4 César Sánchez Norato. Sistemas de numeración. Sistema binario I.7. SISTEM INRIO O DE SE DOS. asándose en los estudios y las Leyes del ya perfeccionado sistema decimal, y de otros sistemas, Leibnitz, en el siglo XVII, introduce el sistema binario o de base dos que sólo utiliza dos tipos de símbolos -el cero y el uno-; y aunque desarrolla, según parece, algunas elementalidades con este sistema, es el matemático inglés George oole quien en el año.847 desarrolla el álgebra binaria que lleva su nombre "LGER DE OOLE". Pero es en.938 cuando Claude Shannon adapta el álgebra de oole al estudio de relés. Con la aparición de los transistores en.948 (W.H. rattain y J. ardeen, en EE UU) y el desarrollo de la lógica integrada, es cuando el lgebra de oole adquiere toda su importancia gracias a la Informática, al comparar la dualidad entre los dos elementos o bits - y - del sistema binario a otras dualidades técnicas como encendido-apagado de una lámpara; abierto-cerrado de un interruptor; si-no tensión o corriente de un circuito; conducción-no conducción de una válvula o transistor, etc, etc. Posteriormente han contribuido a "perfeccionar" el lgebra de oole matemáticos como Karnaugh, De Morgan, etc. Con los dos bits se puede escribir una serie, contar, y realizar las operaciones elementales de la ritmética. Pero basándose en otras propiedades o leyes se pueden realizar todo tipo de operaciones. un conjunto de 4 bits se llama "nibble". un conjunto de 8 bits se llama "byte u octeto". Un Kbit es igual a 2 =.24 bits. Un Kbyte es igual a.24 bytes =.24 x 8 = 8.92 bits. I.8. LOS NÚMEROS INRIOS NEGTIVOS. sí como a los números decimales negativos se le antepone el signo menos ( ), los números negativos en binario no llevan ese signo. Sin embargo, se pueden distinguir los positivos de los negativos mediante el primer bit de la izquierda, llamado bit de signo. Si este bit es un "cero" significa que el número es positivo. Para los números negativos dicho bit vale "uno". No obstante, los números negativos binarios se pueden representar de tres formas distintas: ª En la forma descrita (bit de signo y magnitud verdadera); ejemplo: = ª En notación de complemento a ; ejemplo:. 3ª En notación de complemento a 2; ejemplo:. Observación: veces se separa el bit de signo de la magnitud verdadera por medio de una coma. En los ejemplos anteriores sería: - para el primer caso, - para el segundo caso, - para el tercer caso, Nota: Si con 8 bits se pueden representar 2 8 = 256 números, utilizando el bit de signo se pueden representar el mismo número de ellos, sólo que serán 28 positivos y otros tantos negativos. Es decir desde el -27 ( ) hasta el +27 ( ).

5 Sistemas de Numeración. Sistema binario. César Sánchez Norato 5 I.9. CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE SE DIEZ SE DOS. Para convertir (o pasar) un número dado en base a base 2, se pueden plantear tres casos: Primero: El número decimal es solamente un número entero. En este caso, el equivalente en binario se obtiene dividiendo el número sucesivamente por 2. El último cociente obtenido será el bit de la izquierda; esto es: el bit de mayor peso, o bit más significativo, MS, (MS Most Significant it, en inglés). El primer resto (de la primera división) será el bit de la derecha; o sea: el bit de menor peso, o bit menos significativo, bms, (LS Least Significant it, en inglés). Los distintos restos, en orden inverso a su obtención, completarán el número en binario. : 2 = 5 resto = 5 : 2 = 2 resto = 2 : 2 = resto = : 2 = resto = Veámoslo mediante un ejemplo. Sea pasar el número, dado en base, a binario (base 2). En la figura I. se muestra el algoritmo y el resultado. Por tanto el número en base es igual a Figura I. 2 Nota: Realizada la operación de esta forma, la división se termina cuando el resto valga. De otra manera: de donde = 2,375 x 2 =,75,75 x 2 =,5 Segundo: El número en base es solamente un número decimal. Sea el número,375 en base. En la figura I.2 se puede ver el algoritmo utilizado y el resultado. Por tanto el número,375 equivale a. 2,5 x 2 =,,375 equivale a. 2 Luego, Figura I.2 Nota: Para el paso de los números decimales en base al sistema binario, la multiplicación termina cuando el producto es igual a,. Tercero: El número en base diez tiene parte entera y parte decimal. Sea el número 5,625 en base. En la figura I.3 se muestra el algoritmo utilizado así como el resultado de la operación. Por tanto el número 5,625 =. 5 : 2 = 2 --> resto = 2 : 2 = --> resto = : 2 = --> resto =,625 x 2 =,25,25 x 2 =,5,5 x 2 =, Figura I.3.

6 6 César Sánchez Norato. Sistemas de numeración. Sistema binario I.. CONVERSIÓN DE INRIO DECIML. Para convertir un número del sistema binario al sistema decimal, hay que proceder por la descomposición polinómica. Ejemplo: Sea pasar el número. dado en base dos a base diez.. 2 = x x x x 2 + x 2 + x x x = ,25 +,25 = 23,375 I.. CONVERSIÓN DE UN SISTEM OTRO (ambos distintos del decimal). Para convertir o pasar un número de un sistema o base cualquiera, distinta de diez, a otro sistema o base cualquiera, también distinta de diez, hay que realizar los dos pasos siguientes: º.- Pasar de la base dada a base diez (por descomposición polinómica) y, 2º.- Pasar el número obtenido en base diez a la nueva base deseada (por medio de divisiones repetidas). Veamos un par de ejemplos: a) Sea el número 24, dado en base 5, que se quiere pasar a base 8. º.- Se pasa el número a base diez: 24 5 = x x x 5 = 39 2º.- Se pasa el número 39 de base diez a base 8 (dividiendo) Por tanto 24 5 = b) Sea que se quiere pasar el número 76 9 a base 4. º.- Se pasa el 76 a base diez = 7 x x x 9 = 582 2º.- Se pasa el 582 a base luego tenemos que 76 9 = 22 4

7 Sistemas de Numeración. Sistema binario. César Sánchez Norato 7 EJERCICIOS DE PLICCIÓN. I. Cuántos y cuáles son los distintos signos de un sistema de numeración de base 7?. I.2 Escribe los 2 primeros números de un sistema de base 8. I.3 Escribe los 2 primeros números de un sistema de base 6. I.4 Escribe los 2 primeros números de un sistema de base 2. I.5 Cuenta los 25 primeros alumnos de la clase en base 2. I.6 Cuenta los 25 primeros alumnos de la clase en base 2. I.7 Cuál es tu número de lista en base 5?. I.8 Efectúa la descomposición polinómica o factorial del número.234,56 I.9 Efectúa la descomposición polinómica del número.234,56 6 I. Efectúa la descomposición polinómica del número.234,52 6 I. Descompon polinómicamente el número. 2 I.2 Convierte el número 325,4 8 a base. I.3 Expresa el número en base 5. I.4 Convierte el número 85E 6 a base 9. I.5 usca el equivalente al número de tu teléfono en base 5. I.6 usca el equivalente al número en base 6. I.7 usca el equivalente al número. 2 en base 7. I.8 Cuál es el equivalente de 24 8 en bases 2, 5, 8, y 6?. I.9 Escribe tu fecha de nacimiento (día, mes y año) en base 2. I.2 Cómo se escribiría la fecha de hoy en base hexadecimal?. I.2 Cuál es el equivalente de C 6 en base 2?. I.22 Dado el número 32 7 conviértelo en base 3. I.23 Cambia el número 4 6 a la base 4. I.24 Cambia el número 2 a la base 3. I.25 Expresa el número que representa tu edad, en el sistema binario.

8 8 César Sánchez Norato. Operaciones en el sistema binario CPÍTULO II Operaciones aritméticas en el sistema binario. II.. SUM. l igual que en el sistema decimal, para realizar la operación de la suma en el sistema binario, basta con tener en cuenta la "tabla" de esta operación. Esta tabla se reduce a los siguientes casos: + = ; + = ; + = ; + = OSERVCIONES: ª Si en una suma se obtiene como resultado "", se escribe el "" y se arrastra, o se acarrea, o se "lleva" "". Si el resultado fuera "", se escribe el "" y se acarrea "". Si el resultado fuera o, se escribe "" ó "", respectivamente, y se acarrea ""; así sucesivamente. En general, cualquiera que fuese el resultado obtenido, siempre se escribirá el bit de la derecha, y el resto de bits forma el acarreo -carry en inglés-. 2ª En los comienzos de este tipo de operaciones, en el sistema binario, un método eficaz consiste en pasar los números binarios a decimales y efectuar la suma en ambos sistemas para ir contrastando los resultados. 3ª Conviene que se aprenda a contar en binario todos los números que se puedan (pensar en binario) para cuando haya que efectuar la suma de varios sumandos. la siguiente columna de la izquierda de la que estamos sumando, arrastraremos todos los bits obtenidos en ésta menos el último de la derecha, que lógicamente será el "cero" o el "uno". 4ª Si hay que realizar sumas largas se pueden sumar los dos primeros sumandos y al resultado obtenido sumar el tercero, y así sucesivamente. 5ª Un método práctico, sobre todo en sumas largas, (de varios sumandos) consiste en contar el número de "unos" que aparecen en la columna que se está sumando. Si el número de ellos es par, se escribirá como solución "cero"; y si es impar se escribirá "uno"; a la siguiente columna de la izquierda se incorpora un arrastre de unos igual a la mitad de los que se contaron en la columna anterior. EJEMPLOS. 3 = + 7 = =

9 Operaciones en el sistema binario. César Sánchez Norato 9 34 = = 7 2 = = 94 3 = = 35 7 = = = II.2. REST. Para efectuar esta operación, también es suficiente con aplicar la "tabla" de restar. Esta tabla se reduce a los siguientes casos: - = ; - = ; - = * ; - = * hay un préstamo de (se pide prestado a la columna inmediata de la izquierda) OSERVCIONES. ª La resta binaria se realiza igual que en decimal. Ejemplo: 2 5 = = - = = - 4 = = 2ª La comprobación de la resta se hace sumando el sustraendo a la diferencia. Debe dar el minuendo. En el ejemplo anterior tenemos: + =. 3ª La resta se puede efectuar mediante sumas por medio de los complementos. Existen principalmente dos tipos de complementos: a "unos" y a "doses". El complemento a "unos" de un número se obtiene restando ese número de "unos". Ejemplos: el complemento a "uno" de cero es "uno", pues - = ; el complemento a "uno" de uno es "cero", pues - = ; el complemento a "uno" de es. En efecto: - =. Nota: La forma más fácil de obtener el complemento a "unos" de un número cualquiera consiste en cambiar los "unos" por "ceros" y los "ceros" por "unos". Obsérvese en el ejemplo anterior. El complemento a "doses" de un número, se obtiene sumando un "uno" al complemento a "unos". sí el complemento a "doses" del número es: el complemento a "unos" más un "uno"; esto es: + =. También se puede hallar de otra forma. Consiste en restar el número a complementar de un "uno" seguido de tantos ceros como bits tiene el número que se quiere complementar. Ejemplo: sea el número de antes:. Tendremos: - =

10 César Sánchez Norato. Operaciones en el sistema binario II.2.. REST, COMO SUM, POR EL COMPLEMENTO "UNOS". l restar dos números y se pueden presentar dos casos: que > y que <. Para efectuar la resta en el primer caso, donde el minuendo es mayor que el sustraendo: * se halla el complemento a "unos" del sustraendo, * una vez complementado el sustraendo se suma al minuendo, produciéndose en la suma un "arrastre" de un "uno". * este arrastre se suma con el resultado anterior. Esa es la solución. Ejemplo: véase la figura II Figura II. Para realizar la resta en el segundo caso donde el minuendo es menor que el sustraendo, hay que dar los siguientes pasos: -se complementa el sustraendo a "unos", -se suma el sustraendo complementado al minuendo, y -se complementa el resultado; se le pone el signo "menos" y esa es la solución correcta. Ejemplo: - => + que complementando a "unos" y afectándolo del signo menos, tenemos - que es la solución correcta. Podía considerarse un tercer caso donde = (minuendo igual al sustraendo). Este caso no se puede resolver por el complemento a unos. Veámoslo. Ejemplo: => + como se ve no origina acarreo, por lo que no se puede hacer. Nota: Este caso se puede resolver como el caso anterior donde <. Como norma general se puede decir que siempre que no exista "uno" de acarreo el resultado es negativo, y cuando sí exista, el resultado es positivo. II.2.2. REST, COMO SUM, POR EL COMPLEMENTO "DOSES". En estos casos, se halla el complemento a "doses" del sustraendo y se suma con el minuendo. La suma origina un arrastre. La solución es el resultado después de despreciar el arrastre. Ejemplo: - ==> > complemento a"doses" Se desprecia el "uno" del carry, siendo el resultado.

11 Operaciones en el sistema binario. César Sánchez Norato II.3. MULTIPLICCIÓN. En principio es suficiente con aplicar la "tabla" para esta operación, que es muy sencilla. También es precisa la de la suma para sumar los productos parciales. La "tabla" de multiplicar se reduce a los siguientes casos: x = ; x = ; x = ; x = Ejemplo: 25 multiplicando x 7 x multiplicador 75 productos parciales producto total OSERVCIONES: ª.- La multiplicación en binario se realiza igual que en el sistema decimal. Ver ejemplo anterior. En caso de decimales, obsérvese el siguiente caso: 3,25. x 5,75 cuatro decimales x ,6875. cuatro decimales 2ª.- La comprobación se hace permutando el multiplicando por el multiplicador, aprovechando la propiedad conmutativa. 3ª.- Cuando el bit del multiplicador que se está multiplicando es "", basta con copiar el multiplicando. Si fuera "cero", todo su producto parcial es "cero", que bien se escriben, o bien se pasa al bit siguiente de la izquierda del multiplicador y se desplaza un lugar el primer bit del producto parcial hacia la izquierda. En general, si hubiera en el multiplicador varios "ceros", basta con dejar tantos espacios como ceros haya. Ejemplo: x 4ª.- El desplazamiento a la izquierda un lugar de un número en binario, equivale a multi- plicarlo por 2; dos lugares, por 4, etc; en el sistema decimal por,... 5ª.- Si el multiplicador es la unidad seguida de "ceros", es suficiente con escribir el multipli-cando y adosarle a su derecha un número de "ceros" igual al del multiplicador. Ejemplo: x =

12 2 César Sánchez Norato. Operaciones en el sistema binario 6ª.- Cuando el multiplicador es mayor que el multiplicando, la operación se simplifica permutándolos, ya que la operación no varía (propiedad conmutativa). 7ª.- Debido a la simplicidad de la tabla, todo se reduce a desplazar el multiplicando a la izquierda y sumar. 8ª.- Teniendo en cuenta que la multiplicación es una repetición de sumas, también se puede resolver esta operación por medio de sumas, si bien este procedimiento es más largo y engorroso. Ejemplo: x x ª Para sumar los productos parciales, al igual que en la suma, se pueden sumar los dos primeros, y el resultado obtenido con el tercero, y así sucesivamente, lo que permite realizar la multiplicación binaria con circuitos sumadores y registros de desplazamiento. II.4. DIVISIÓN. l igual que con el resto de las operaciones aritméticas, para efectuar esta operación hay que tener en cuenta su "tabla". En ella se pueden dar los casos siguientes: : = ; : = ; : = 4 ; : = Observaciones: ª En principio, la división binaria se realiza igual que en el sistema decimal. Ejemplo: ª La prueba o comprobación se realiza multiplicando el divisor por el cociente y sumándole el resto, si lo hubiere. Con ello debe obtenerse el dividendo. En el ejemplo anterior tenemos: (4 3 x 2) = 5 5 ( x ) + =

13 Operaciones en el sistema binario. César Sánchez Norato x 2 x ª Como la división es la operación contraria a la multiplicación, y ésta se puede efectuar mediante sumas sucesivas, aquella se puede resolver mediante restas sucesivas (restas repetidas). Consiste en restar repetidamente el divisor del dividendo. El número de restas realizadas es el cociente; y la última diferencia o resto es el resto de la división. Ejemplo: Ver figura II.2 43 : 8 = = 5 : = = resto Figura II.2 II.5. POTENCIS. Teniendo en cuenta que la potenciación es un producto de tantos factores iguales a la base como veces indique el exponente, esta operación se puede desarrollar como el producto o multiplicación. Veamos un ejemplo a título orientativo. 5 3 = 5 x 5 x 5 = 25 x 5 = 25 En modo binario tendríamos: = x x = OSERVCIÓN: La potenciación se puede realizar mediante sumas. Ejemplo: 3 2 = 3 x 3 = 9 = = 9 En modo binario sería: = x = + + =

14 4 César Sánchez Norato. Operaciones en el sistema binario EJERCICIOS DE PLICCIÓN II. Suma los números y. II.2 Suma los números, y. II.3 Realiza la suma, en binario, de los siguientes números: II.4 Suma, siguiendo la observación 5, los números siguientes:,,,,,,, y. II.5 Resta, por el método convencional, los números y. II.6 Resta el número del. II.7 Resta, por el complemento a unos, los números y. II.8 Resta, por el complemento a unos, los números y. II.9 Resta, por el complemento a unos, los números y. II. Resta, por el complemento a unos, los números 23 y 87. II. Resta, por el complemento a doses, los números y. II.2 Resta, por el complemento a doses, los números y. II.3 Resta, por el complemento a doses, los números y. II.4 Resta, por el complemento a doses, los números 76 y 23. II.5 Multiplica los números y. II.6 Multiplica, en binario, los números 35 y 8. II.7 Multiplica los números y. II.8 Multiplica, en binario, los números de tu año de nacimiento por el de tu día del mes. II.9 Efectúa el producto, en binario, de los números y. II.2 Divide entre. II.2 Reparte, en binario, pesetas entre 25 personas. II.22 Efectúa, en binario, la operación 9 3. II.23 Halla el valor de. II.24 Calcula, en binario, 6 4. II.25 Calcula.

15 Códigos binarios: numéricos y alfanuméricos. César Sánchez Norato 5 CPÍTULO III Códigos binarios: Códigos Numéricos y lfanuméricos III.. INTRODUCCIÓN. Los códigos binarios se emplean, en materia de información, para especificar los caracteres (ya sean números, letras o símbolos) mediante números binarios o bits, ya que las computadoras sólo "entienden" de "unos" y "ceros"; o mejor dicho: de presencia o ausencia de corriente. Los códigos binarios son, pues, unas combinaciones de unos y ceros que se utilizan para convertir (codificar) números, letras o símbolos al sistema binario para poder ser tratados (procesados) mediante circuitos electrónicos digitales. En informática y sistemas de computación se usan diversos códigos. Los códigos se clasifican en dos grandes grupos: a) códigos numéricos que sólo codifican en binario los números o dígitos. Entre ellos se pueden enumerar los distintos C D (inary-coded-decimal), iken, Gray, de Exceso 3, etc. b) códigos alfanuméricos que codifican tanto números como letras, así como símbolos (ortográficos o no), signos, etc. Entre ellos se encuentra el SCII, léase "aski" (merican Standard Code for Information Interchange: código standard americano para intercambio de información). Existen dos versiones de este código: la que utiliza 7 bits, o la que utiliza 8 bits. Es, quizás, el código más extendido. Otro de estos códigos es el E C D I C (Extended inary-coded-decimal Interchange Code -léase "ebsidik"). Este código utiliza 8 bits, y por tanto tiene más posibilidades; las mismas que el SCII de 8 bits. su vez los códigos numéricos se subdividen en: a) pesados o ponderados cuando a cada posición que ocupan las cifras binarias o bits se le asigna un valor llamado peso. Sumando los pesos se obtiene el número decimal equivalente en el código binario respectivo. b) no pesados o ponderados cuando no cumplen la condición anterior. lo largo del tiempo han sido muchos los códigos propuestos. Unos han sobrevivido y otros han desaparecido o caído en desuso.

16 6 César Sánchez Norato. Códigos binarios: numéricos y alfanuméricos En el siguiente cuadro aparecen algunos de estos códigos binarios numéricos, entendemos que los más utilizados, así como las equivalencias entre ellos. Número en decimal C Ó D I G O S P E S D O S O P O N D E R D O S inario CD 842 CD 422 CD 542 Natural Decenas Unidades Decenas Unidades Decenas Unidades Figura III. lgunos códigos numéricos pesados o ponderados Número en Decimal inario Natural C Ó D I G O S N O P E S D O S IKEN (Complemento a 9) CD EXCESO 3 (CD XS 3) Decenas Unidades Decenas Unidades CÓDIGO GRY Figura III. 2 lgunos códigos numéricos no pesados

17 Códigos binarios: numéricos y alfanuméricos. César Sánchez Norato 7 OSERVCIONES GENERLES. ª) Los códigos CD 842, CD 422, CD 542, CD XS3, y IKEN 242 utilizan cuatro bits para codificar cada dígito. 2ª) El código Gray no es pesado y tiene la cualidad de que al contar números seguidos en este código, sólo cambia un bit para cada paso de contaje. Se le conoce como código de error mínimo. De ahí que se utilice para posicionar los elementos de los robots. 3ª) Los códigos CD 422 y CD 242 son muy parecidos pero no iguales; sin embargo, ambos son complementados a 9. Obsérvense los números 4 y 5; ambos bits son complementos a "unos" recíprocamente. Igual ocurre con el 3 y 6; con el 2 y 7; con el y 8; y finalmente con el y 9. 4ª) El código CD XS3 no es pesado, por tanto, cada bit no tiene un peso especial. No obstante, es paralelo al binario natural y excede a éste siempre en tres unidades. Véase la tabla anterior. La principal aplicación de este código se encuentra en los circuitos aritméticos. Es útil para las substracciones o restas. 5ª) l código CD 842 se le acostumbra a llamar "CD natural" por corresponderse sus pesos con los del propio sistema binario. 6ª) El código iken está basado en el complemento a 9. III.2. PSO DE UNOS CÓDIGOS OTROS: LGUNOS EJEMPLOS. a) CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DECIML L CÓDIGO CD 842 Para convertir un número decimal al código CD 842, se convierte cada dígito a dicho código. Ejemplos: > 243,65 --->. b) CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DDO EN CD 842 DECIML Para efectuar esta conversión: º se separan los bits en bloques de cuatro bits, 2º se convierte cada bloque de cuatro bits a decimal Ejemplos: > > >. ---> 989,3 c) CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DDO EN CD 842 INRIO. Para ello: º se pasa el número dado en CD 842 a binario 2º se pasa del decimal a binario por divisiones. Ejemplo: Sea pasar el número a binario º ---> 72 2º >

18 8 César Sánchez Norato. Códigos binarios: numéricos y alfanuméricos d) CONVERSIÓN DE UN NÚMERO INRIO NTURL L CÓDIGO CD 842 Para resolver este caso: º se pasa el binario natural a decimal (por descomposición polinómica) 2º se codifica el decimal en bcd 842 Ejemplo: Sea convertir el número binario. al CD 842 º > 89,625 2º 89, >. Nota: Igualmente se podía hacer con los otros códigos CD, por ejemplo, con los CD 542 y el CD 422. e) CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DDO EN CÓDIGO CD 842 CD EXCESO 3 Para ello: º se descompone el número (dado en CD 842) en bloques de 4 bits 2º se suman 3 unidades ( en binario) a cada bloque Ejemplo: Sea convertir el número en binario al CD EXCESO 3 º -----> 2º + = + = Luego, el número será f) CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DDO EN CD EXCESO 3 CD 842 Para ello: º se descompone el número (dado en CD EXCESO 3) en bloques de 4 bits 2º se restan 3 unidades ( en binario) a cada bloque Ejemplo: Sea convertir el número dado en CD EXCESO 3 al CD 842. º ---> 2º - = - = Luego, el número será g) CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DECIML L CÓDIGO XS3 Para ello: º o bien se suman tres unidades a cada dígito y se convierte en binario, 2º o bien se pasa el decimal a binario CD 842 y se suman tres unidades ( en binario) a cada bloque de cuatro bits del CD 842. Ejemplo: Sea pasar el número 36 al código XS3. a) = 6 = = 9 = > b) > + = > + =

19 Códigos binarios: numéricos y alfanuméricos. César Sánchez Norato 9 h) CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DD EN CD XS3 DECIML Para ello: º se forman bloques o grupos de 4 bits en el número dado. 2º a cada grupo se le restan 3 ( en binario). Ya está pasado a CD º se pasa el número obtenido en CD 842 a decimal. (partado III.2.b). Ejemplo: Pasar el número de CD XS3 a decimal. º ---> 2º - = - = - = 3º ---> 84 Nota: si los números no fueran enteros (que fueran decimales, por ejemplo) los grupos de cuatro bits se forman comenzando a partir del punto decimal. i) CONVERSIÓN DE UN NÚMERO INRIO L CÓDIGO GRY El código GRY no es pesado. En cada incremento (aumento en la cuenta) sólo cambia de estado un bit. Obsérvese la tabla de equivalencia (apartado III.). Para pasar de binario a Gray deben seguirse los siguientes pasos: º El bit de la izquierda es el mismo que en binario (bit de mayor peso ). 2º Se suma cada bit del binario al inmediato de su derecha y se anota la suma (se desprecia cualquier acarreo si lo hubiere). sí se va obteniendo el número en código Gray. 3º El número en código Gray tiene el mismo número de bits que el binario para el mismo número decimal que ambos representen Número binario Número Gray Figura III.3 Ejemplo: sea convertir el número de binario a Gray. Mediante el algoritmo anterior queda explicado. Número Gray Número binario resultante Figura III.4 j) CONVERSIÓN DEL CÓDIGO GRY INRIO Esta conversión se lleva a cabo por medio del algoritmo de al lado. En él se trata de convertir el número dado en código Gray al código inario. º El primer bit de la izquierda es el mismo en ambos casos. 2º El primer bit de la izquierda (que ya lo es en binario) se transfiere al 2 bit de la izquierda del número en Gray y se suma con él, formando el segundo bit de la izquierda del número binario, (despreciando los arrastres si los hubiera); y así sucesivamente hasta terminar el proceso.

20 2 César Sánchez Norato. Códigos binarios: numéricos y alfanuméricos III.3. SISTEMS OCTL Y HEXDECIML CODIFICDOS. Estos dos sistemas son muy interesantes ya que casi todos los ordenadores personales trabajan con estos sistemas. SISTEM OCTL CODIFICDO. Como ya hemos visto, el sistema octal o de base 8 consta de ocho números (octadígitos). Estos son:,, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada uno de ellos se puede representar en binario por medio de tres bits que van desde el al. SISTEM HEXDECIML CODIFICDO. Como también hemos visto, este sistema consta de 6 símbolos llamados hexadígitos: Estos son:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, C, D, E y F. Cada uno de ellos se puede representar mediante cuatro bits: desde el hasta el. Decimal Octal Octal codificado Hexadecimal C D E F Hexadecim codif k) CONVERSIÓN DE OCTL INRIO CODIFICDO Para realizar esta conversión, basta con pasar cada octadígito a binario (en grupos de a tres) Ejemplo: sea convertir el número 257 de octal a binario > l) CONVERSIÓN DE INRIO CODIFICDO OCTL Lo primero que hay que hacer es dividir el número binario dado en grupos de tres bits comenzando por la derecha. Si se tratara de un número decimal -con punto decimal- los grupos se comienzan a formar a partir de la coma a ambos lados. Luego se traduce cada grupo al sistema octal. Ejemplo: convertir el número binario a octal codificado. -->. --> 356,4 m) CONVERSIÓN DE HEXDECIML INRIO CODIFICDO Y VICEVERS Estas operaciones se llevan a cabo igual que para el octal; nada más que los grupos son de cuatro bits en lugar de tres como en el octal. Ejemplos: 8 E 2 ---> ; ---> C 5 E D