Cálculo diferencial. [1.1] Cómo estudiar este tema? [1.2] Nociones matemáticas básicas. [1.3] Funciones matemáticas. [1.4] Funciones derivables TEMA

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1 Cálculo diferencial [1.1] Cómo estudiar este tema? [1.2] Nociones matemáticas básicas [1.3] Funciones matemáticas [1.4] Funciones derivables TEMA

2 Esquema TEMA 1 Esquema

3 Ideas clave 1.1. Cómo estudiar este tema? Para estudiar este tema debes leer el capítulo 9 (páginas ) del libro Curso básico de matemáticas para la economía y la dirección de empresas I de Miguel López Cachero y Ángel Vegas Pérez. Además, debes leer los documentos Nociones matemáticas básicas y Conceptos de funciones matemáticas de Ángel Ruiz Cueva. Las matemáticas son base fundamental en el desarrollo actual de las ciencias sociales, jugando un papel fundamental en el desarrollo actual de la economía y las finanzas. Las aportaciones de las matemáticas a la economía no han sido siempre unidireccionales. Si bien es cierto que los desarrollos matemáticos han aportado rigurosidad a las teorías económicas, también han generado problemas no resueltos con anterioridad que han obligado a un mayor desarrollo matemático en algunas áreas. El propósito de este curso no es adentrarnos en fundamentos matemáticos complejos, sino más bien dotar al alumno de unas nociones conceptuales básicas que le ayuden a comprender los conceptos que sustentan los desarrollos matemáticos más comunes en el mundo financiero. Comenzaremos desde los fundamentos matemáticos más básicos para continuar con el análisis y la interpretación de las funciones matemáticas de una y varias variables, para concluir con la conceptualización e interpretación de las funciones derivables y su cálculo matemático teórico y práctico. El presente tema se estructura en tres apartados fundamentales: Nociones matemáticas básicas Funciones matemáticas Funciones derivables TEMA 1 Ideas clave

4 1.2. Nociones matemáticas básicas En este apartado recordaremos aspectos básicos matemáticos fundamentales para construir los conceptos teóricos que nos permitirán desarrollar sus aplicaciones económicas y financieras. Dentro de estas ideas recordaremos los siguientes conceptos: Notación matemática: repasaremos los principales logogramas que se utilizarán a lo largo de esta asignatura. Su conocimiento e interpretación facilitará el entendimiento correcto del lenguaje matemático. El conjunto de los números reales: breve descripción del conjunto de los números reales y sus subconjuntos numéricos normalizados. Nociones sobre teoría de conjuntos: recordaremos las propiedades y operaciones entre conjuntos recordando su interpretación bidimensional a través de los conocidos diagramas de Venn Funciones matemáticas En esta sección analizaremos los conceptos matemáticos de límite y continuidad en un intervalo de una función, así como realizaremos una breve introducción a las series de funciones. Límite de una función Diremos que una función tiene un límite en cuando dando valores de próximos a en valor de se aproxima a tanto como deseemos. Lo cual se expresa de manera matemática del siguiente modo: Analizaremos la interpretación geométrica del límite y ampliaremos su conocimiento analizando sus propiedades y estudiando el concepto de límite lateral y sus formas indeterminadas. TEMA 1 Ideas clave

5 Continuidad de una función Estudiaremos la hipótesis de la continuidad de una función real: función definida dentro del conjunto de los números reales. Diremos que una función es continua en un punto si existe el y éste coincide con el valor de la función en dicho punto, y éste es único: Posteriormente analizaremos la lateralidad de los límites así como algunas propiedades de las funciones continuas y teoremas de aplicación con dichas funciones. Series de funciones Las series matemáticas se definen como la suma de los términos de una sucesión matemática. Y definimos sucesión matemática como al conjunto de elementos, finitos o infinitos, definidos por una misma función. Por ejemplo definamos la sucesión, en donde, y definida por la función. Y la sucesión quedaría representada por el siguiente conjunto:,,,, Y su serie correspondiente: Las sucesiones y sus series correspondientes pueden ser principalmente de dos tipos en función de su progresión: aritméticas o geométricas. Las sucesiones aritméticas modifican su valor mediante una función del tipo, mientras que las geométricas lo modifican mediante funciones del tipo, en donde y. Al argumento se le denomina razón de la serie y/o sucesión. Diremos que una serie converge cuando existe un límite único cuando tiende a infinito, y que diverge en el caso contrario: Observemos que si la serie diverge, el límite de su sucesión es distinto de. TEMA 1 Ideas clave

6 En el caso de la convergencia de series no es condición suficiente, aunque si necesaria, que el límite de su sucesión sea igual a Funciones derivables Estudiaremos la hipótesis de la continuidad de una función real, función definida dentro del conjunto de los números reales, así como el concepto de derivada de dicha función en un punto, su interpretación geométrica y algunas de sus propiedades. En donde Una vez asimilado el concepto de derivada en un punto, desarrollaremos los conceptos de derivada en un intervalo, derivadas segundas y derivadas parciales en el caso de funciones reales de varias variables. Para concluir con este apartado, presentaremos las derivadas de las funciones más comunes: función compuesta, inversa, constante, suma, producto, cociente, potencial, exponencial, logarítmica y trigonométrica. Una vez asimilados los conceptos fundamentales, realizaremos una serie de ejercicios prácticos para afianzar los conocimientos desarrollados durante el primer tema. TEMA 1 Ideas clave

7 Lo + recomendado Lecciones magistrales Extremos de funciones reales El profesor Ángel Ruíz Cueva describe en esta lección magistral el cálculo de máximos y mínimos en funciones reales de una variable real. El vídeo está disponible en el aula virtual TEMA 1 Lo + recomendado

8 No dejes de leer La utilidad de lo trivial: la matemática en economía Hernando Sánchez Ruiz, Profesor del Departamento de Economía de la Universidad Autónoma de Colombia, explica en este artículo los roles que cumple la matemática en la construcción de conceptos en economía y en el proceso de la corroboración empírica. El artículo está disponible en el aula virtual o en la siguiente dirección web: Aportaciones de la matemática a la metodología económica Ángeles Cámara Sánchez, Profesora de la Facultad de Ciencias Jurídicas y Sociales de la Universidad Rey Juan Carlos de Madrid, aclara en este artículo que Las matemáticas son beneficiosas para la economía en varios aspectos, hacen más explícitos los supuestos y las premisas, hacen más concisa y más precisa la presentación de la teoría económica y permiten al economista tratar con mayor facilidad los problemas económicos con más de dos dimensiones. El artículo está disponible en el aula virtual o en la siguiente dirección web: Derivabilidad de funciones reales de variable real Juan Medina Molina, profesor de la Universidad Politécnica de Cartagena, desarrolla en este artículo la interpretación geométrica de la derivada, la representación gráfica de funciones, las derivadas sucesivas, etc. El artículo está disponible en el aula virtual o en la siguiente dirección web: TEMA 1 Lo + recomendado

9 No dejes de ver Derivadas Interesante serie documental con vídeos explicativos sobre los fundamentos matemáticos del cálculo diferencial. Aquí podéis encontrar seis vídeos de gran interés didáctico: Lenguaje Ciencias, Pendiente e Inclinación, Pendiente de una Curva, Derivada, Reglas de Derivadas y Regla de la Cadena. Los vídeos están disponibles en el aula virtual o en la siguiente dirección web: El Universo Matemático Serie que comprende una colección de once documentales de índole matemática, de 24 minutos de duración cada uno. Producida en el año 2000 para el programa La aventura del saber de TVE2, fue galardonada con el Premio a la Divulgación Científica en el Festival Internacional Científico de Pekín. De entre todos los documentales, recomendamos la visualización de El mundo de las gráficas. Los vídeos están disponibles en el aula virtual o en la siguiente dirección web: TEMA 1 Lo + recomendado

10 El campo de los números reales Vídeo en el que se explica la evolución histórica de los números (números naturales, números enteros, números racionales, etc.). El vídeo está disponible en el aula virtual o en la siguiente dirección web: Cálculo diferencial: Derivadas Vídeos que explican de forma sencilla qué es una derivada, su aplicación, evolución histórica, etc. Los vídeos están disponibles en el aula virtual o en la siguiente dirección web: Parte I: Parte II: TEMA 1 Lo + recomendado

11 + Información A fondo Funciones derivables. Aplicaciones Artículo de la Facultad de Ingeniería Técnica Forestal de la Universidad de Huelva que trata sobre los conceptos básicos de derivabilidad y ejemplos de sus aplicaciones en diferentes disciplinas. El artículo está disponible en el aula virtual o en la siguiente dirección web: Webgrafía Números reales En esta página web podrás encontrar información sobre los números reales, naturales, decimales, mixtos, etc. TEMA 1 + Información

12 En defensa de la formalización matemática en economía En este blog podrás ampliar tus conocimientos sobre las matemáticas en economía, distintas teorías de los ciclos económicos, etc. El papel de la matemática en la economía moderna Aquí puedes encontrar información sobre el método matemático, la teoría del equilibrio general o el cómputo del equilibrio económico, entre otros. TEMA 1 + Información

13 Proyecto Descartes (Ministerio de Educación) En esta página del Ministerio de Educación encontrarás información sobre la historia y perspectivas del Proyecto Descartes Bibliografía BALBÁS, A., GIL, J., GUTIÉRREZ, S. Análisis Matemático para la Economía Vol. I Ediciones AC..Madrid CABALLERO, R., GONZÁLEZ, A., TRIGUERO, F. Métodos Matemáticos para la Economía. Editorial McGraw-Hill. Madrid CHIANG, A. Métodos Fundamentales de Economía Matemática. Editorial McGraw- Hill. México GUERRERO, F.M., VÁZQUEZ, M.J. Manual de Cálculo diferencial e integral para la Economía y la Empresa. Editorial Pirámide. Madrid JARNE, G., PÉREZ-GRAS, I, MINGUILLÓN, E. Matemáticas para la Economía. Editorial McGraw-Hill. Madrid LÓPEZ, M., VEGAS, A. Curso Básico de Matemáticas para la Economía y Dirección de Empresas I. Editorial Pirámide SYDSAETER, K., HAMMOND, PETER J. Matemáticas para el Análisis Económico. Editorial Perentice Hall TEMA 1 + Información

14 Actividades Trabajo: Diferencial de una función de una variable: concepto, significado, interpretación gráfica y reglas operativas En este trabajo deberás investigar el significado de diferencial de una función de una variable y resumir con tus propias palabras su concepto, diferenciándolo específicamente del de derivada de una función. También deberás desarrollar la interpretación geométrica de la diferencial en un punto y enumerar las principales reglas operativas del cálculo diferencial: suma, producto, cociente, potencia y exponencial de funciones reales de una variable y desarrollar un ejemplo práctico para cada una de ellas. TEMA 1 Actividades

15 Test 1. Dados tres conjuntos, definidos en el conjunto, determina cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: A. B. C. D. 2. Sean dos funciones y definidas en y tal que y. Entonces se verifica que : A. Es igual a B. Es igual a C. Es igual a 0 D. Es un valor indeterminado 3. Dada la función indica cuál de las siguientes afirmaciones es cierta: A. Es continua en todo B. Es continua en 1,1 C. No es continua en 1,1 D. Ninguna de las anteriores 4. Una serie de términos positivos A. Siempre es convergente B. Puede converger a 0 C. No puede converger a 0 D. Siempre es divergente 5. Señala cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: A. Toda serie geométrica de razón 1 es convergente B. Si la serie es convergente, entonces 0 C. Toda serie geométrica es convergente D. Ninguna de las anteriores TEMA 1 Test

16 6. Sea la función definida en y continua en un punto, entonces podremos afirmar que la función : A. Es derivable en B. No es derivable en C. Puede ser derivable en D. Es continua y derivable en 7. Dada la función indica cuál de las siguientes afirmaciones es cierta: A. La función no es derivable en todo B. La función es derivable en 1,1 C. Las derivadas laterales de en 1 son iguales D. Ninguna de las anteriores 8. Dada una función definida en, calcula : A. 9 8 B. 37 C. 9 8 D La derivada de una función en el punto vale, entonces se verifica que: A. La pendiente de la recta tangente a la curva en 4, 4 vale 6 B. La ecuación de cualquier recta tangente es 4 6 C. La ecuación de cualquier recta tangente es 6 4 D. Ninguna de las anteriores 10. La ecuación de la recta, tangente a la curva en el punto,, se representa por la función: A. 2 B. C. 2 D. 3 TEMA 1 Test