Códigos. Códigos. Conceptos generales. Conceptos generales. Códigos binarios. Definiciones. Sistemas Digitales Mario Medina C.

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1 Códigos Prof. Mario Medina Códigos Conceptos básicos Definiciones Tipos de códigos numéricos Códigos ponderados Códigos autocomplementados Códigos de largo variable Códigos detectores y correctores de errores Códigos alfanuméricos Conceptos generales Código: conjunto de símbolos usados para representar letras, números, palabras, conceptos u otros símbolos. Ejemplos: código morse, emoticones, etc. En un número codificado, las cifras representan algo, y sólo podremos saber su significado si conocemos el código que las generó Conceptos generales Usos comunes de codificación Transmisión de información fácil y rápida Compresión para optimizar el espacio de almacenamiento Expresar adecuadamente los datos para su procesamiento Detección y corrección de errores Códigos binarios Difícil comprensión para el humano, pero lenguaje natural en circuitos Representación fácil y eficiente en Circuitos eléctricos, mecánicos o hidráulicos Medios de almacenamiento ópticos y magnéticos Definiciones Capacidad de un código Número de valores distintos en el código Depende del número de dígitos en el código Código de bits tiene capacidad = 8 Utilización de un código Número de valores distintos definidos como válidos en el código Utilización del código puede ser menor que la capacidad Existencia de palabras no válidas Mario Medina C.

2 Definiciones Distancia entre palabras de un código Número de símbolos de una palabra que deben modificarse para obtener la otra Distancia mínima de un código Mínima distancia entre palabras válidas cualesquiera de un código Código adyacente Todas las palabras tienen distancia con sus vecinos Tipos de códigos Códigos ponderados Códigos BCD Códigos autocomplementados Códigos adyacentes Código Gray Códigos de largo variable Códigos detectores y/o correctores de errores Códigos ponderados Palabras del código son generadas por un polinomio cuyos dígitos tienen una ponderación establecida Binary Coded Decimal (BCD) Códigos ponderados más usados Cada cifra decimal se representa por 4 bits Capacidad del código: 6 Utilización del código: 5/8 Existen diferentes tipos de BCD, dependiendo de las ponderaciones de cada bit Códigos ponderados BCD 84 (Similar a binario puro) Secuencias a no son válidas Usa 4 bits para representar un dígito decimal Dec 4 BCD 84 Dec BCD 84 Códigos ponderados BCD Existen otros códigos BCD BCD 4, BCD 4, BCD 4, BCD 6, etc. En algunos, un decimal no tiene representación única Ej: 6 en BCD 4 puede ser o Se prefiere : dígitos a 4 comienzan con Es necesario definir normas particulares BCD 84 asegura representación única Códigos BCD son válidos para números enteros y fraccionarios Permite operaciones aritméticas de gran tamaño Ejemplo de códigos BCD Representación del número 5 En binario En BCD 4 En BCD 4 Se prefiere que dígitos a 4 empiecen con Decimal BCD 4 BCD 4 ó ó ó ó ó Mario Medina C.

3 Códigos autocomplementados Códigos en que el complemento disminuido de una palabra también es una palabra válida En binario, el complemento a se obtiene invirtiendo cada uno de los bits originales Especialmente útiles para realizar restas Simplifican circuitos de complementación Más utilizados Exceso : código BCD 84 + BCD 4 ó código Aiken Códigos autocomplementados Decimal Exceso BCD Códigos autocomplementados Ejercicio: Representar el numero 9 en BCD exceso- y usar complemento a para encontrar el complemento a la base disminuida del número (complemento a 9). Exc 9 9 encomplementoa 9 Exc Demostrar que el resultado está correcto El complemento a 9 de 9 es = 9 Transiciones en códigos BCD BCD 84: cambiar de a 8 Cambiar de a Qué pasa si los 4 bits no cambian simultáneamente? Válido Inválido Inválido Válido Válido Códigos adyacentes Llamados también códigos cíclicos Números sucesivos difieren sólo en bit Especialmente útiles en: Conversión análoga-digital Control de máquinas-herramientas Los más utilizados son Código Gray Reflejado exceso Códigos adyacentes Decimal Codigo Gray Reflejado Ex. Código Johnson Mario Medina C.

4 Código Gray Código adyacente no ponderado Digitos decimales consecutivos difieren en un solo bit Simplifica la transición entre estados Útil para sistemas físicos con transiciones mecánicas Mucho ruido y elevado consumo de potencia Codificador de posición rotatorio Aplicación común: determinar posición y velocidad de ejes (rotary encoder) Con código Gray todas las posiciones son adyacentes Generación código Gray Gray de bit Los dos valores posibles son y Gray de bits Copiar el Gray de bit dos veces, la segunda en forma invertida Anteponer un a la formación original y un a la parte reflejada Gray de n bits Repetir lo anterior con código Gray de n- bits Generación código Gray Código Gray Código reflejado exceso Código Gray y código reflejado exceso Código Gray es adyacente Distancia entre dígitos al 9 Distancia entre el 9 y el Código reflejado exceso es adyacente y circular (cíclico) Distancia entre dígitos al 9 Distancia entre 9 y Se obtiene sumando a código Gray Conversión binario a Gray A veces, es necesario convertir de código binario a Gray y vice versa Para ello, primero definimos la operación lógica de OR exclusivo (XOR) También llamado operador de desigualdad = = = = Mario Medina C. 4

5 Conversión binario a Gray La relación para pasar de binario a Gray es g i = b i b i+ Ejemplo: pasar a Gray g = b b = = g = b b = = g = b b = = g = b b 4 = = (último bit b 4 es ) Entonces, es Gray Conversión Gray a binario Regla de conversión: b MSB b i g b MSB i g Se copia el bit más significativo Se usa XOR para calcular bits siguientes i Ejemplo: Transformar el dato Gray a binario b = g = b = b g = b = b g = b = b g = Entonces, Gray es Ejercicios Represente el número decimal 986 en Código BCD 84 Código BCD 4 Código BCD 4 Código Gray Código Exceso- Código Reflejado exceso- Códigos de largo variable Códigosanterioresson de largo fijo Todos los símbolos se representan usando el mismo número de bits Código Huffman Asigna largo de representación en función de la frecuencia del símbolo Secuencias más cortas corresponden a símbolos más frecuentes Reduce largo promedio de mensajes Propiedad prefijo Para que un código de largo variable esté completamente definido, debe cumplirse la propiedad prefijo si a a a k es una palabra válida del código, entonces no puede existir otra palabra válida definida como a a a j, para j < k Construcción de un código Huffman Construir el árbol de decodificación Agregar cada símbolo a una hoja del árbol Identificar los nodos de más baja frecuencia que no poseen predecesores y construir el nodo predecesor Frecuencia será suma de frecuencias de los dos nodos Repetir hasta que quede sólo un nodo sin predecesor Mario Medina C. 5

6 Construcción de un código Huffman Rotular los arcos del grafo Asignar un a uno de los arcos que salen del nodo raíz y un al otro arco Repetir recursivamente hasta haber cubierto todos los nodos Asignar a cada nodo la secuencia de s y s correspondientes al camino desde la raíz al nodo en cuestión EjemplocódigoHuffman Dada la siguiente frecuencia de símbolos Dato A B C D E Frecuencia Se genera el siguiente árbol (.6) (.4) A (.5) C (.5) B (.5) (.5) D (.5) E (.) EjemplocódigoHuffman Este código cumple con la propiedad prefijo Largo promedio de un símbolo:.5 bits Dato A B C D E Frecuencia Código Ejercicio código Huffman Símbolo Frecuencia Código A,5 B, C, D,5 E,5 F,5 G, Códigos detectores de errores Ruido aditivo en los medios de transmisión Puede invertir los bits de datos Bit Error Rate (BER): Tasa de errores en la transmisión Normalmente del orden de -9 Depende de la tasa de transmisión y potencia de la señal Códigos detectores de errores Se desea detectar errores y pedir la retransmisión de datos erróneos Deben existir palabras no válidas en el código Inversión no deseada de un bit genera palabra no válida Distancia mínima de un código debe ser mayor que n n: número de errores a detectar Inversión de hasta n bits da palabra no válida Mario Medina C. 6

7 Códigos detectores de errores Tipos de códigos detectores Códigos de paridad Agregar un bit a la palabra para verificar si número de bits en es par o impar Códigos de peso constante También llamados códigos m de n Mantiene un número constante de bits en CRC (Cyclic Redundancy Check) Códigos de paridad Paridad: cardinalidad de los s en una palabra Puede ser par o impar Código de paridad Agregar un bit a palabras transmitidas para asegurar que el número de s sea par o impar Transmisor y receptor se ponen de acuerdo Duplica la cantidad de palabras del código Igual número de palabras válidas e inválidas Código de paridad asegura una distancia mínima de Códigos de paridad EMISOR DE INFORMACIÓN b Información En ASCII De bits b b 6 Generador / / Detector de paridad Información en ASCII con paridad constante Bit de paridad RECEPTOR DE INFORMACIÓN b b Generador / Detector de b 6 paridad b Información En ASCII De bits Bit de verificación de paridad Códigos de paridad Expresar el binario en un código de paridad par Paridad Dato Palabras como y son inválidas en el código Número de s es impar Código sólo detecta número impar de errores Códigos de peso constante Mantienen un número constante m de bits en en las palabras del código Más usados: códigos pentádicos (5 bits) Walking code de 5 BCD 6 Códigos de bits Qui-binario (-864) Bi-quinario (5-4) Usado en ábacos romanos y chinos, y en lenguajes Khmer y Wolof Códigos de peso constante Decimal de 5 BCD Mario Medina C.

8 Cyclic Redundancy Check (CRC) Número binario de n bits corresponde a un polinomio M(x) => x 5 + x + CRC divide polinomio M(x) de n bits por un polinomio generador G(x) de orden r < n (r bits) El cuociente de la división es Q(x) El resto de la división es R(x) Se cumple que M(x)*x r /G(x) = Q(x) R(X)/G(x) Cyclic Redundancy Check (CRC) Se transmite mensaje de (n+r) bits formado por M(x) seguido de R(x) T(x) = M(x)*x r +R(x) El receptor divide la palabra codificada por el mismo polinomio G(x) Resto es : no hubo errores O, no son detectables Resto es distinto de : error en la transmisión Ejemplo de CRC Mensajes M de bits es M(x) = x +x +x 8 +x 5 +x 4 +x +x+ Polinomio generador G(x) = x 5 +x 4 +x + Dividir por Resto de la división R(x) = Palabra transmitida es Ejemplo de CRC División mediante restas sin préstamo Completar mensaje con s hasta n+r bits Alinear MSB con er bit en Realizar XOR entre los bits Repetir hasta obtener el resto de la división Fácil de implementar con desplazamientos y XORs Ejemplo de CRC Supongamos que un error de transmisión modifica bits sucesivos Dato recibido es Resto de división por G(x) es distinto de : Error! Supongamos que un error de transmisión modifica bits sucesivos Dato recibido es Resto de división por G(x) es : Error no detectado! Cyclic Redundancy Check (CRC) Un CRC de r bits detecta una cadena de error en bits consecutivos de largo menor a r CRC detecta ráfagas de errores Elección del polinomio generador es crítica Existen combinaciones de errores no detectables por un polinomio dado Pueden obtenerse del análisis matemático Mario Medina C. 8

9 Cyclic Redundancy Check (CRC) Polinomios usados en CRC se encuentran estandarizados para aplicaciones específicas CRC- (x+): bit de paridad CRC-5-USB (x 5 + x + ): USB token packets CRC-6-CCITT (x 6 + x + x 5 + ): (Bluetooth) CRC- (x + x 6 + x + x + x 6 + x + x + x + x 8 + x + x 5 + x 4 + x + x + ) (Ethernet, gzip, SATA, MPG) Códigos correctores de errores Paridad permite detectar pero no corregir errores Corrección requiere inserción de más bits redundantes Distanciamínimaal menos Muy usados para respaldo de información Código Hamming Transmisión de bloques Códigos correctores de errores Código corrector de errores de n bits m bits corresponden al dato k=n-m son la información redundante Se debe cumplir M = C + D, C D M: distancia mínima del código D: número de errores a detectar C: número de errores a corregir M C D ó ó 4 ó ó 5, ó 4, ó 6, ó 5, 4 ó Código Hamming Código que detecta y corrige un error d i : bits del dato original p i : bits dedundantes p i en las posiciones que son potencias de d i en las posiciones restantes Un dato de 4 bits d d d d 4 requerirá bits de validación p p p 4 Posición Bit p p d 4 p 4 5 d 6 d d 4 Generación de Código Hamming Cada bit de validación verifica paridad de un subconjunto de bits del dato Estas posiciones están dadas por: Posición (p ):,, 5,, 9,,, Posición (p ):,, 6,,,, 4, 5, Posición 4 (p 4 ): 4, 5, 6,,,, 4, 5, Posición 8 (p 8 ): 8, 9,,,,, 4, 5, 4, Bit de validación se escoge para formar paridad par sobre bits verificados Generación de Código Hamming El bit de paridad de la posición k comprueba los bits en las posiciones que tengan al bit k en su representación binaria P P P 4 4 P 8 8 Binario Posición P P P 4 P 8 X X X X 4 X 5 X X 6 X X X X X 8 X 9 X X X X X X X X x Mario Medina C. 9

10 Verificación de código Hamming Calcular los bits de comprobación C j Cada bit verifica paridad para el subconjunto asociado a la posición j (tabla anterior) c = b b 5 b b c = b b 6 b b c 4 = b b 6 b 5 b 4 El valor decimal equivalente a c 4 c c indicará la posición donde hubo un error Si no hubo error, c 4 c c será EjemploCódigoHamming Enviar BCD codificado en Hamming Calcular bits de paridad p p p 4 p = b b 5 b = = p = b b 6 b = = p 4 = b 5 b 6 b = = Posición Bit Hamming p p d p 4 d d d 4 EjemploCódigoHamming Dato recibido es Calcular bits de comprobación c 4 c c c 4 = b 4 b 5 b 6 b = = c = b b b 6 b = = c = b b b 5 b = = El error está en el bit c 4 c c = Receptor puede invertir bit 6 y corregir el error Se debió haber recibido Dato transmitido correcto es Código Hamming(, 4) Código Hamming(, 4) es el más usado En conjunto con BCD 84 Este código puede corregir cualquier error en un bit, y detectar todos los errores de bits Probabilidad de errores es bajísima Código Hamming(, 4) es ineficiente Agrega bits de paridad por cada 4 bits de datos Ejercicios Codifique el número decimal en código Hamming(, 4) Detecte la presencia de un error en el código Hamming(, 4) y corríjalo Transmisión de bloques Transmitir bloques de datos Dato tiene bit de paridad (paridad horizontal) Bloque incluye palabra de validación (paridad vertical) Error en un bit modifica ambas paridades Error puede ser identificado y corregido Eficiente para grandes cantidades de datos Disminuye los bits redundantes en cada dato Permite detectar múltiples errores Aunque no corregirlos Mario Medina C.

11 Transmisión de bloques Transmisión de bloques Transmitir 5 datos usando paridad par vertical y horizontal Paridad Dato Error en la transmisión puede ser corregido Paridad Recibido VRC: Vertical Redundancy Check LRC: Longitudinal Redundancy Check BPI: Bit de Paridad Impar Información a transmitir A L A R LRC BPI (VRC) b 6 b 5 b 4 b b b b BPI BPI BPI BPI BPI error LRC R A L A t Códigos alfanuméricos Códigos alfanuméricos Permiten transmisión de información para equipos complejos de procesamiento de datos Letras, números, símbolos y señales de control Más comunes con ASCII y Unicode UNICODE (utf-8) Utiliza bits => símbolos diferentes Incluye casi todos los alfabetos conocidos Aún quedan códigos libres Posibilidad de programación internacional Código ASCII es el más usado hoy en día American Standard Code for Information Interchange Codifica utilizando bits (8 dígitos diferentes) Un octavo bit se utiliza como bit de paridad ASCII Extendido (8 bits) Permite representar 56 símbolos Engorroso e incompatible entre lenguajes No hay estándar definido para ASCII-8 Unicode Estándar de codificación de caracteres Incluye todos los caracteres de uso común en la actualidad Versión 5. contiene caracteres Alfabetos, sistemas ideográficos y símbolos diversos UTF-8: codifica caracteres en,, ó 4 bytes bytes: US-ASCII bytes: caracteres romances, griegos, signos bytes: casi todo el resto, grupo CJK 4 bytes: lenguajes académicos, símbolos matemáticos Mario Medina C.

12 Código de barras UPC (Universal Product Code) Se puede leer de izquierda a derecha o de derecha a izquierda Digit Izquierdo Derecho Digit Izquierdo Derecho Código QR Código QR (Quick Response Code) Código de barras bidimensional Desarrollado por la industria automotriz Código incorpora corrección de errores, puede estar encriptado Capacidad ~ KB 6 Mario Medina C.