Problemas resueltos. El rango. 4.1 Calcule el rango de los conjuntos a) 12,6,7,3,15,10,18,5 y b) 9,3,8,8,9,8,9,18. SOLUCIÓN

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1 Problemas resueltos El rango 4.1 Calcule el rango de los conjuntos a) 12,6,7,3,15,10,18,5 y b) 9,3,8,8,9,8,9,18. En ambos casos, rango número mayor - número menor Sin embargo, al considerar el orden de los conjuntos: á) 3,5,6,7,10,12,15,18 b) 3,8,8,8,9,9,9,18 hay mucho más variación o dispersión en á) que en b). De hecho, b) consta principalmente de ochos y nueves. Puesto que el rango no indica la diferencia entre los conjuntos, no es una buena medida de dispersión, en este caso. Por lo general, cuando se presentan valores extremos, el rango es una mala medida de dispersión. Se consigue una mejoría eliminando los valores extremos, 3 y 18. Entonces, para el conjunto á) el rango es (15-5) 10, mientras que para el conjunto b) el rango es (9-8) 1, lo que muestra claramente que a) tiene una mayor dispersión que b). Sin embargo, el rango no se define de esta manera. El rango semiintercuartilar y el rango percentilar permiten mejorar el rango eliminando los casos extremos. 4.2 Encuentre el rango de estaturas de los estudiantes de la universidad XYZ, mostradas en la tabla 2-1. Existen dos formas de definir el rango para datos agrupados. Primer método Rango marca de clase de la clase más alta - marca de clase de la clase más baja pulg Segundo método Rango frontera superior de la clase más alta - frontera inferior de la clase más baja pulg El primer método tiende a eliminar los casos extremos en cierto grado.

2 Problemas resueltos 95 La desviación media 4.3 Calcule la desviación media de los conjuntos de números del problema 4.1. a) La media aritmética es - _ _ 76 x- - -y- 9-5 La desviación media es DM [ b)? DM El*-*! [ ] + [18-9[ l + l+ 0+ l ^ La desviación media indica que el conjunto b) muestra menor dispersión que el conjunto a), como debe ser. 4.4 Cuál es la desviación media de las estaturas de los 100 estudiantes hombres de la universidad XYZ (véase la tabla 3-2 del problema 3.20)? Del problema 3.20, X pulg. El procedimiento se ordena como en la tabla 4-1. También se puede plantear un método de codificación para calcular la desviación media (véase el problema 4.47). Tabla 4-1 Estatura (pulg) Marca de clase (X) IX-XI IX Frecuencia (/) /IX-XI yv E/ioo f\x - X\ Y) /IX - XI ^, J DM ' pulg Determine el porcentaje de estudiantes del problema 4.4 cuya esucmoaácad rango a) X ± DM, b) X ± 2DM, c) X ± 3DM.

3 UlO 4 U La desviación estándar y otras medidas de dispersión a) El rango entre y pulg es X ± DM ± Este rango incluye a todos los individuos de la tercera clase + $(65.5 _ 65.19) de los estudiantes de la segunda clase + j( ) de los estudiantes de la cuarta clase (como el tamaño del intervalo de clase es de 3 pulg, la frontera superior de la segunda clase es de 65.5 pulg y la frontera inferior de la cuarta clase es de 68.5 pulg). El número de estudiantes en el rango X ± DM es: 42+ ^(18)+^-(27) o 55 que es 55% del total. b) El rango entre y pulg es_x± 2DM ± 2(2.26) ,52. El número de estudiantes en el rango X ± 2DM es 18 -( )(18) ( )(8) u 86 que es 86% del total. c) El rango entre y pulg es_ X ± 3DM ± 3(2.26) ± El número de estudiantes en el rango X ± 3DM es que es 97% del total. 5 \ / \ - j (5) í 3 j (8) o 97 El rango semiintercuartilar 4.6 Calcule el rango semiintercuartilar para la distribución de estaturas de los estudiantes de la universidad XYZ (véase la tabla 4-1 del problema 4.4). Los cuartiles inferior y superior son g, (3) pulg y g $(3) pulg, respectivamente, y el rango semiintercuartilar (o desviación cuartilar) es Q h(qj - gi) - 2( ) 1.98 pulg. Obsérvese que 50% de los casos están entre g, y g 3 (es decir, 50 estudiantes miden entre y pulg). Se puede considerar a \{Q X + g 3 ) pulg como una medida de tendencia central (es decir, una estatura promedio). Sucede que 50% de las estaturas caen en el rango ± 1.98 pulg. 4.7 Encuentre el rango semiintercuartilar para los salarios de los 65 empleados de la empresa P&R (véase la tabla 2-5 del problema 2.3). Del problema 3.44, g, $ y g 3 $ Por lo tanto, el rango semiintercuartilar Q Qw (g 3 - gi) ($ $268.25) $ Ya que $(g, + g 3 ) $279.50, se puede concluir que 50% de los empleados reciben salarios en el rango de $ ±$ El rango percentilar Cuál es el rango percentilar de las estaturas de los estudiantes de la universidad XYZ (véase la tabla 2-1)? Aquí, ^, ft(3) pulg y P i(3) pulg. Por lo tanto, el rango percentilar es P 90 - P w pulg. Dado que l(p m + P m ) pulg y 2CP90 _ ^10) 3.97 pulg, es posible concluir que la estatura de 80% de los estudiantes cae en el rango ± 3.97 pulg.

4 Problemas resueltos La desviación estándar 4.9 Busque la desviación estándar Í para cada uno de los conjuntos de números del problema 4.1. X r_zx _ _ 76 ~ ~ 8 ~~ 8 _ 9 5 (12-9.5) 2 + (6-9.5) 2 + (7-9.5) 2 + (3-9.5) 2 + (15-9.5) 2 + (10-9.5) 2 + (18-9.5) 2 + (5-9.5) 2 \/ ? _ (9-9) 2 + (3-9) 2 + (8-9) 2 + (8-9) 2 + (9-9) 2 + (8-9) 2 + (9-9) 2 + (18-9) 2 %/Í Tales resultados deben compararse con los resultados del problema 4.3. Se podrá apreciar que la desviación estándar indica que el conjunto b) muestra menor dispersión que el conjunto a). Sin embargo, el efecto está enmascarado por el hecho de que los valores extremos afectan a la desviación estándar mucho más que a la desviación media. Esto es de esperarse, ya que las desviaciones se elevan al cuadrado al calcular la desviación estándar Las desviaciones estándar de los dos conjuntos de datos del problema 4.1 se obtuvieron por medio de Minitab, cuyos resultados se muestran a continuación. Compare las respuestas con las obtenidas en el problema 4.9. MTB > pr int el setl MTB > print c2 set MTB > standard deviation el Column Standard Deviation Standard deviation of setl 5.21 MTB > standard deviation c2 Column Standard Deviation Standard deviation of set El programa Minitab utiliza la fórmula E(x-x) 2-1

5 Z-r _.C- La desviación estándar y oirás medidas de dispersión por consiguiente, las desviaciones estándar no son iguales en los problemas 4.9 y Las respuestas del problema 4.10 se pueden obtener a partir de las respuestas del problema 4.9, si multiplica por VA//(ÍV- 1). Puesto que 8 en ambos conjuntos V/(^ 1) , y para el conjunto 1: ( )(4.87) 5.21, la desviación estándar dada por Minitab. De forma similar, ( )(3.87) 4.14, la desviación estándar dada por Minitab para el conjunto Encuentre la desviación estándar de las estaturas de los 100 estudiantes de la universidad XYZ (véase la tabla 2-1). De los problemas 3.15, 3.20 o 3.22, X pulg. El procedimiento puede ordenarse como en la tabla 4-2. Tabla 4-2 Estatura (pulg) Marca de clase (X) X-XX (X-X) 2 Frecuencia (/) ñx-x) yj / íoo Ef(x-x) Cálculo de la desviación estándar para datos agrupados 4.12 a) Pruebe que Í. / E * 2 (Hx b) Utilice la fórmula del inciso a) para calcular la desviación estándar del conjunto de 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5. á) Por definición, Entonces s> ^ X ~ ^ ~ 2 * X + X 1 ) T,X 2-2XJ2X + X* ^! _ 2 X ^ + X 2 ^ X 2 + X 2 ^ - X 2

6 Problemas resueltos Obsérvese que en las sumas anteriores se utilizó la forma abreviada, con X en lugar de Xjy Z en lugar de 2jL. Otro método s 2 (X - X) 2 - X 2-2XX + X 2 X 2-2XX + X 2 X 2-2XX + X 2 X 2 - X 1 yi^z* 2^ (12) 2 + (6) 2 + (7) 2 + (3) 2 + (15) 2 + (10) 2 + (18) 2 + (5) 2 _ ^_E^_' n c X -~Ñ~- 8 -Y' 9 5 Por lo tanto Í JX 2 - X 2 Vi ^ Este método debe compararse con el del problema 4.9a) Modifique la fórmula del problema 4.12a) para permitir frecuencias correspondientes a los diversos valores de X. La modificación adecuada es Igual que en el problema 4.12a), esto puede establecerse iniciando con Entonces s f(x - x) 2 f(x - xf E /(x z - 2xx + X 2 ) E fx 2-2xz fx + x 2 E / TJx^_2XTJx + x 2 ^^--2x 2 + x 2 ^J^-x 2 E/y 2 (EJX\ 2 \ J Efx (Yjxy 2 \ ) Véase que en las sumas anteriores se utilizó la forma abreviada, con X y/en lugar de Xj yfi, X en lugar de y X^i/ Con la fórmula del problema 4.13, calcule la desviación estándar para los datos de la tabla 4-2 del problema El procedimiento puede ordenarse como en la tabla 4-3, donde X CEjXYS' como se obtuvo en el problema Obsérvese que este método, al igual que d dd problema 4.11, implica muchos cálculos tediosos. El problema 4.17 murara CÓMO d método de codificación simplifica los cálculos de forma importante.

7 OrálAO 4 Lo desviación estándar y otras medidas de dispersión Tabla 4-3 Estatura (pulg) Marca de clase (X) X 2 Frecuencia (/) fx yj / íoo yj fx Sií/ X- A son las desviaciones de X, respecto de una constante arbitraria A, demuestre que Dado que d X-A, X A+ dy X A +d (véase el problema 3.18), entonces X-X {A + d)-(a + d) d-d usando el resultado del problema 4.13 y reemplazando X y X por dyd, respectivamente. Otro método j 2 {x - x) 2 {d - d) 2 d 2 -idd ? +? T 2 -d^ ^f- (Z^y cuyo resultado continúa tomando la raíz cuadrada positiva Pruebe que si cada marca de clase X en una distribución de frecuencias que tiene intervalos de clase c del mismo tamaño se codifica con un valor correspondiente u, de acuerdo con la relación X A + cu, donde A es una marca de clase dada, entonces la desviación estándar podría escribirse como Ifu 2 (Ifu) ;V«2 -u 2 Se deduce del problema 4.15, ya que d X - A cu. Por lo tanto, ya que c es una constante

8 Problemas resueltos 101 Otro método También se puede probar el resultado de manera directa sin utilizar el problema Si X A + cu, X A + cuy X - X c{u-u), entonces: s 2 (X - Xf c 2 (u - üf c 2 (u 2-2üu + ü 2 ) c 2 {u 2-2a 2 + ü 2 ) c 2 {u 2 - ü Calcule la desviación estándar de las estaturas de los estudiantes de la universidad XYZ (véase la tabla 2-1) usando a) la fórmula obtenida en el problema 4.15 y b) el método de codificación del problema En las tablas 4-4 y 4-5, A se eligió arbitrariamente como la marca de clase 67. Obsérvese que en la tabla 4-4 las desviaciones d X-A son múltiplos del tamaño del intervalo de clase c 3. Este factor se eliminó de la tabla 4-5. Como resultado, los cálculos en la tabla 4-5 están muy simplificados (compárelos con los de los problemas 4.11 y 4.14). Por ello, debe utilizarse el método de codificación siempre que sea posible. a) Véase la tabla 4-4 Tabla 4-4 Marca de clase (X) d X-A Frecuencia (/) M fd A / 100 / 45 fd b) Véase la tabla 4-5 Marca de clase (X) X-A u c Tabla 4-5 Frecuencia (/) A / 100 y f>? 97 - fu E/«2 ft.fi* 3 97_ 100 (íoo) 3^ i

9 desviación estándar y otras medidas de dispersión Tabla 4-9 K+l / /("+!) /(«+1) ?n / /(u+l) Para la segunda distribución de frecuencias del problema 2.8 indique a) la media, b) la desviación estándar, c) la desviación estándar utilizando la corrección de Sheppard y d) la desviación estándar de los datos no agrupados. El procedimiento se muestra en la tabla Tabla 4-10 X u / fu fu / 40 E fu -9 E M 95 X A + cü A + c^-^ ^-1^) b c) Varianza corregida s 2 -c 2 ñ Desviación estándar corregida 13.5 Ib.

10 Problemas resueltos 105 d) Para obtener la desviación estándar, a partir de los pesos de los estudiantes dados en el problema, es conveniente primero restar un número adecuado, por ejemplo A 150 Ib, de cada peso y después usar el método del problema Las desviaciones d X-A X-\5Qst presentan en la siguiente tabla: de donde se encuentra que X -128 y Xa" Entonces s x ^ jlál(mt jmjim) 2 V Ib y { ) \ 40 y 4o j Por lo tanto, la corrección de Sheppard proporcionó una mejora en este caso. Relaciones empíricas entre medidas de dispersión 4.23 Para la distribución de las estaturas de los estudiantes en la universidad XYZ, discuta la validez de las fórmulas empíricas a) desviación media i (desviación estándar) y b) rango semiintercuartilar i (desviación estándar). á) De los problemas 4.4 y 4.11, desviación media + desviación estándar 2.26/ , que es cercano a f. b) De los problemas 4.6 y 4.11, rango semiintercuartilar + desviación estándar 1.98/ , que es cercano a 1. Por lo tanto, las fórmulas empíricas son válidas en este caso. Obsérvese que en lo anterior no se utilizó la desviación estándar con la corrección de Sheppard para el agrupamiento, ya que no se realizó la corrección correspondiente para la desviación media o el rango semiintercuartilar. Propiedades de la desviación estándar 4.24 Determine el porcentaje de los CI para los estudiantes del problema 4.19 que caen dentro de los rangos a) X±s,b) X ± 2s y c) X± 3s. a) El rango de los CI de 85.5 a es X ± s ± El número de CI en el rango X ± s es \ / (45) ^ 4^ ^( 3 8 ) 339 El porcentaje de CI en el rango X ± s es 339/ %. b) El rango de los CI de 75.0 a es X± 2s ± 2(10.47). El numen de C el rango X ± 2s es ' / llé\^_ -i (9) ^ ( El porcentaje de CI en el rango X ± 2s es 451/ %.

11 TlAO A La desviación estándar y otras medidas de dispersión c) El rango de los CI de 64.6 a es X± 3s ± 3(10.47). El número de CI en el rango X ± 3s es 480-( )(2)479.7 o 480 El porcentaje de CI en el rango X ± 3s es 479.7/ %, que prácticamente es 100%. Los porcentajes de los incisos a), b) y c) coinciden con lo esperado en una distribución normal: 68.27%, 95.45% y 99.73%, respectivamente. Obsérvese que no se utilizó la corrección de Sheppard para la desviación estándar. Si se utiliza, los resultados en este caso coinciden con los anteriores. ótese además que los resultados pueden obtenerse también con la tabla 4-11 del problema Dados los conjuntos 2,5, 8,11,14 y 2, 8, 14, calcule a) la media de cada uno, b) la varianza de cada uno, c) la media de los conjuntos combinados y d) la varianza de los conjuntos combinados. a) Media del primer conjunto \{ ) 8. Media del segundo conjunto i( ) 8. b) Varianza del primer conjunto s] i [(2-8) 2 + (5-8) 2 + (8-8) 2 + (11-8) 2 + (14-8) 2 ] 18. Varianza del segundo conjunto s\ J[(2-8) 2 + (8-8) 2 + (14-8) 2 ] 24. c) La media de los conjuntos combinados es: " 8 d) La varianza de los conjuntos combinados es: (2-8) 2 + (5-8) 2 + (8-8) 2 + (11-8) 2 + (14-8) 2 + (2-8) 2 + (8-8) 2 + (14-8) 2 J Q Otro método (por fórmula) 2 _ { s s (5)(18) + (3)(24) \ Resuelva el problema 4.25, con los conjuntos 2, 5, 8, 11, 14 y 10, 16, 22. Aquilas medias de los dos conjuntos son 8 y 16, respectivamente, mientras que las varianzas son iguales que las de los conjuntos del problema anterior, es decir, s] 18 y s\ 24.., u Media de los conjuntos combinados _ (2- ll) 2 + (5 - ll) 2 + (8- ll) 2 + (11 - ll) 2 + (14- ll) 2 + (10- ll) 2 + (16- ll) 2 + (22- ll) Obsérvese que la fórmula 2^ is i + 2 s S i + 2 que da el valor 20.25, no es aplicable en este caso, ya que las medias de los dos conjuntos no son iguales.

12 Problemas resueltos a) Compruebe que w 2 + pw + q, donde p y q son constantes dadas, es un mínimo si y sólo si w - -\p. b) Usando el inciso a), pruebe que es un mínimo si y sólo si a X. o brevemente a) Se tiene w 2 +pw + q(w+jp) 2 + q-\p 2. Dado que (q-\p 2 ) es una constante, el valor de la expresión es mínimo (es decir, es un mínimo) si y sólo si w+jp0 (es decir, w-jp). b ) Z(X-af ^Z(X 2-2aX + a 2 ) ZX 2-2aj:x + a 2 _ j 2 ^ X E* 2 Comparando esta última expresión con (w 2 + pw + q), el resultado es *L1 q-^x Por lo tanto, la expresión es un mínimo cuando a -ip (}JQI X, usando el resultado del inciso a). Dispersión absoluta y relativa: coeficiente de variación 4.28 Un fabricante produce dos tipos de dispositivos para televisiones, A y B, los cuales tienen una duración media de X A horas y X B horas, respectivamente, así como desviaciones estándar de s A 280 horas y s B horas. Cuál dispositivo posee á) la mayor dispersión absoluta y b) la mayor dispersión relativa? a) La dispersión absoluta de A es s Á 280 horas y la de B es s B 310 horas. Por lo tanto, el dispositivo B tiene la mayor dispersión absoluta. b) Los coeficientes de variación son A i % B Í % X A 1496 X B 1875 Por lo tanto, el dispositivo A cuenta con la mayor variación o dispersión relativa Cuál es el coeficiente de variación V para los datos a) del problema 4.14 y b) del problema 4.18? Utilice las desviaciones no corregidas y las corregidas para encontrar el resultado. \ A \ í(nocorregida) a) Vino corregida) % 6 X V(corregida) ^ c o r r fg' d a ) 2J1. 0,0413 4,1% 6 X p0rel problema4.21«), 1// -A x -s(no corregida) b) V(no corregida) ^ ^ ' B X V(corregida) l s ( C 0 T T g d a ) ^ * por d protei4jz»t X

13 - ^VIUIO 4 Lo desviación estándar y otras medidas de dispersión 4.30 a) Defina una medida de dispersión relativa que pueda utilizarse para un conjunto de datos cuyos cuartiles son conocidos. b) Ilustre el cálculo de la medida definida en el inciso a), usando los datos del problema 4.6. a) Si se conocen Q x y g 3 de un conjunto de datos, entonces J(2I + Q->) es una medida de tendencia central o promedio de los datos, mientras que Q \(Q 3 - Qi), el rango semiintercuartilar, es una medida de dispersión de los datos. Por tanto, una medida de dispersión relativa se puede definir como: k(q 3 -QÚ Qi-Qx r (1 el cual se llama el coeficiente de variación cuartilar o coeficiente de dispersión relativa cuartilar. b) V Q Q *LZ*L J L /c Qi + Qi Variable estandarizada: medidas estándar 4.31 Un estudiante obtuvo una calificación de 84 en un examen final de matemáticas, cuya calificación media fue 76 y cuya desviación estándar fue 10. En el examen final de física, donde la media fue 82 y la desviación estándar 16, el mismo estudiante obtuvo una calificación de 90. En qué materia tuvo una posición relativa mayor? La variable estandarizada z (X - X)ls mide la desviación de X respecto de la media X en términos de la desviación estándar s. Para matemáticas, z (84-76)/10 0.8; para física. z (90-82)/ Por lo tanto, el estudiante obtuvo una calificación a 0.8 de una desviación estándar sobre la media de matemáticas, pero sólo 0.5 de una desviación estándar sobre la media en física. Así, su posición relativa fue más alta en matemáticas. La variable z (X - X)ls con frecuencia se utiliza en pruebas académicas, donde se conoce como una medida estándar á) Convierta los CI del problema 4.19 en medidas estándar y b) construya una gráfica de frecuencias relativas contra medida estándar. FIGURA 4-2 a) El procedimiento para la conversión de los datos en medidas estándar puede ordenarse como en la tabla Frecuencia relativa (%)

14 Problemas complementarios 109 Tabla X 96.0, s 10.5 CI(X) X-X X-X s Frecuencia (/) Frecuencia relativa (/)/JV(%) En la tabla, para su uso en el inciso b), se agregaron las marcas de clase de los CI 66 y 130, cuya frecuencia es cero. Además, no se utilizó la corrección de Sheppard para la desviación estándar; las medidas corregidas para este problema serían prácticamente las mismas (con la precisión indicada) a las que se muestran en la tabla b) La gráfica de frecuencias relativas contra medidas z (polígono de frecuencias relativas) se muestra en lafigura4-2. El eje horizontal se mide en unidades de desviación estándar s. ótese que la distribución es moderadamente asimétrica y que está un poco sesgada hacia la derecha.