UNIDAD DIDÁCTICA I. OPERANDO CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

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1 EDUCACIÓN BÁSICA CICLO DE SECUNDARIA GRADO 10 ÁREA DE MATEMÁTICAS PRIMER PERIODO UNIDAD DIDÁCTICA I. OPERANDO CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS LOGRO: Reconoce y aplica el Teorema de Pitágoras y las operaciones con ángulos para solucionar operaciones con triángulos aplicados a su entorno social y laboral. COMPETENCIAS: Interpreta el procedimiento necesario para expresar un ángulo dado en radianes a grados y viceversa para graficarlo. Analiza diferentes figuras que observa en su entorno (salón de clases, colegio) para la aplicación del Teorema de Pitágoras, diferenciar clases de ángulos y triángulos que hay. Argumenta por medio de los teoremas vistos las diferentes clasificaciones existentes de ángulos y triángulos para diferenciarlos Participo en iniciativas políticas, democráticas en mi entorno. Utiliza las herramientas informáticas para el desarrollo de proyectos y actividades CRITERIOS DE EVALUACIÓN: Cumplimiento y responsabilidad con trabajos y tareas Participación activa, trabajos extras Puntualidad - Asistencia. GUIA No. 02 (6 semanas) 1. MOTIVACIÓN Con mi grupo de trabajo hago la consulta y cada uno copia en su cuaderno Investigar en la biblioteca o por Internet la biografía de Pitágoras, Euclides, Euler, Thales de Mileto y Arquímedes. Puede imprimir o fotocopiar lo que encuentre, pero debe escribir en su cuaderno, un texto donde resuma parte de la historia de este personaje. Mínimo 300 palabras por cada uno. 2. PRESABERES (trabajo individual). Presento mi trabajo al profesor 1 Dibuje diez triángulos rectángulos, con diferentes medidas en los ángulos y en la longitud de los lados 2. Dibuje la diagonal de un rectángulo, un cuadrado, un cubo y un paralelepípedo 3. Escriba y represente gráficamente cinco situaciones que puedan tener forma de triangulo rectángulo. No utilice gráficos, utilice sólo líneas rectas para hacer los esquemas. PAGINA 1 de 19

2 A C T I V I D A D EN EL AULA TRABAJO COLECTIVO Escribo en mi cuaderno 3. NUEVOS CONCEPTOS. Todo triangulo tiene tres lados. Para que un triangulo sea triangulo rectángulo es necesario que por lo menos uno de sus ángulos mida exactamente 90º. El triangulo rectángulo tiene como exclusividad que uno de sus lados siempre es mayor que los otros dos lados. El lado más largo se llama hipotenusa y los otros dos lados reciben el nombre de catetos. Tenga en cuenta que los dos catetos son los que forman el ángulo recto. Cateto Hipotenusa Cateto TEOREMA DE PITÁGORAS El th de Pitágoras sirve para encontrar la longitud de la hipotenusa o de uno de los catetos. Para ello es necesaria la medida de los otros dos lados. El th de Pitágoras dice: En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de la longitud de cada uno de los catetos, es decir: c 2 = a 2 + b 2 B a C b c A El ángulo C mide 90 0 Los ángulos agudos A y B son complementarios, es decir, m A + m B = 90 0 El lado AB es la hipotenusa El lado AC es el cateto opuesto al B y adyacente al A. El lado BC es el cateto opuesto al A y adyacente al B EJERCICIO Dibujo dos triángulos rectángulos e identifico en cada uno, con letras mayúsculas sus ángulos y con letras minúsculas sus lados. Esta nota es importantísima Debe recordarla a cada momento

3 TEOREMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es 180º. 4. INTERPRETACIÓN DE LA NUEVA INFORMACIÓN Escribo en mi cuaderno 1. Para calcular la hipotenusa o la medida de uno de los catetos en un triángulo rectángulo se aplica: hipotenusa cateto 2 segundocateto 2 h 2 2 a b Ecuación para hallar el valor de la hipotenusa. 2 2 NOTA: En los triángulos, cateto el nombre hipotenusa de los ángulos cateto se marca por lo general con letras mayúsculas y los lados con letras minúsculas. a h b y b h a Ecuaciones para hallar el valor de los catetos. 5. AMPLIACIÓN DE CONCEPTOS Escribo en mi cuaderno Para determinar si tres longitudes determinan un triángulo se debe de tener en cuenta que: a b c, a c b, c b a. TERNAS PITAGÓRICAS son tres números que satisfacen el teorema de Pitágoras, los dos menores corresponden a catetos y el mayor a la hipotenusa. 3, 4, 5 5, 12, 13 9, 40, 41 16, 63, 65 8, 15, 17 39, 80, 89 24, 45, 53 7, 24, 25 48, 55, 73 36, 77, 85 Me gusta mi colegio EJERCICIOS DE PRACTICA Demostremos la terna 5, 12, 13. Vamos a trabajar con 5 y 13. Como en la terna el numero mayo es el 13, quiere decir que esta es la medida de la hipotenusa. El 5 es la longitud de uno de los catetos = = = 169 Recuerde que la hipotenusa es la medida más larga

4 Ahora veamos, si nos dan dos números de una terna y nos indican que son los mayores o los menores, entonces aplicamos el teorema de Pitágoras y resolvemos la terna. Así: 80 y 89 son los dos números mayores de una terna pitagórica. Hallar el tercer número. a = hipotenusa = 89 b = cateto = 80 c= cateto a 2 = b 2 + c 2, entonces: a 2 = b 2 + c 2 como la incógnita es el cateto c, se despeja c 2 = a 2 - b 2 Luego reemplazamos los datos c 2 = (89) 2 (80) 2 c = 39 El tercer número de la terna pitagórica es 39. Con mis compañeros de grupo discuto sobre estas aplicaciones No escribo Algunas aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en las Matemáticas. Una de las aplicaciones del teorema de Pitágoras más importantes es la definición de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo. Aunque estas también pueden ser definidas a partir de la circunferencia unidad, es mediante el teorema de Pitágoras cuando estas cogen más sentido y utilidad. La resolución de triángulos rectángulos se hace muy fácil haciendo uso del teorema de Pitágoras acompañado de las razones trigonométricas de los ángulos. El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Por ejemplo: Se desean bajar frutos de un árbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los frutos y la distancia del árbol a la base de la escalera. El famoso Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para determinar la medida de algunas montañas lunares. Conocer la altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que proyecta y la distancia del punto más alto del edificio al extremo de la sombra. Cálculo de la altura de un triángulo isósceles Cálculo de la diagonal de un cuadrado de lado l. No debo rayar las guías TRABAJO CON MI PROFESOR ESTE PROBLEMA Y ESCRIBO EN EL CUADERNO, ÉSTE Y LOS DEMAS.

5 EJEMPLO1: Resolver el triangulo rectángulo ABC, donde el cateto a mide 3cm y la hipotenusa mide 5cm. B 3 cm C 5 cm A Tenga en cuenta que los nombres de los catetos se ponen teniendo en cuenta el nombre del ángulo opuesto (ángulo que esté al frente). Por ejemplo, al frente del ángulo A estará el cateto a, es decir, a= 3 cm; luego c = 5 cm Solución: Hallamos el valor del cateto b, utilizando el teorema de Pitágoras, luego se halla el área y perímetro del triángulo rectángulo. Para hallar el valor del cateto b se emplea la ecuación b c² a² Al resolver la raíz tenemos que b 4cm Para hallar el área del triángulo rectángulo se aplica b h 3cm 4cm A A 6cm². 2 2 Como el perímetro es la suma de los lados, entonces P 3cm 4cm 5cm P 12cm EJEMPLO2: Dos barcos salen del mismo puerto con una diferencia de rumbo igual a 30º. El primero viaja a 65 Km/hora y el segundo que lleva inclinación de cero grados viaja a razón de 63 km/hora. Al cabo de una hora están en posición perpendicular, qué distancia los separa? a =? c 65 km a b = 63 Km c = 65 Km b 63 km Observe que a y b son catetos y el lado c es la hipotenusa. c 2 = a 2 + b 2, recuerde que las letras a usar, van de acuerdo a la ubicación que usted les puso en el triangulo rectángulo de su ejercicio. Para este caso están como debe ser, entonces: c 2 = a 2 + b 2 como la incógnita es el cateto a, se despeja a 2 = c 2 - b 2 Luego reemplazamos los datos a 2 = (65 km) 2 (63 km) 2 a = 16 Km

6 La distancia que separa los dos barcos después de una hora es de 16 Km. EJEMPLO3: Un niño está en la playa a las 5:50 PM. La estatura del niño es de 13 dm y la longitud de la sombra que despliega es de 84 dm. Cuánto mide la distancia desde el borde de la sombra a la cabeza del niño? B c 13 dm a 84 dm a = 84 dm b =? c = 13 dm c 2 = a 2 + b 2, recuerde que el teorema va de acuerdo a la posición de las letras en el triangulo b 2 = a 2 + c 2, ahora reemplazamos b 2 = (84 dm) 2 + (13 dm) 2, recuerde b 2 = 7056 dm dm 2 b= 85 dm La distancia desde el borde de la sombra a la cabeza del niño mide85 dm. EJEMPLO4: Encuentre la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 5 2 cm a =? b = 5 2 cm c = 5 2 cm Ojo c = b porque la figura es un cuadrado. c 2 = a 2 + b 2, recuerde que el teorema va de acuerdo a la posición de las letras en el triangulo a 2 = b 2 + c 2, ahora reemplazamos a 2 = (5 2 cm ) 2 + (5 2 cm) 2, recuerde a 2 = 50 cm cm 2 a= 10 cm La diagonal del cuadrado mide 10 cm PARTICIPO ACTIVAMENTE EN LA ELECCION DEL PERSONERO ESTUDIANTIL Y DEL REPRESENTANTE DE LOS ESTUDIANTES. ELIGIENDO LOS MEJORES

7 C O N S U L T E Y R E S U E L V A 8. TRABAJO COLECTIVO Realice los siguientes ejercicios en grupos de trabajo máximo cuatro estudiantes. Cuando llegues al ejercicio 9 preséntale tu trabajo al profesor. 1. Consulte la biografía de Thales de Mileto y Euclides. 2. Hallar la distancia entre cada par de puntos, analítica y gráficamente a) (-2, 5) y (1, 3) b) (-2, -2) y (2, 2) c) 5, 3 y 1,1 3. Calcule la altura de un triángulo equilátero de 14 cm de lado. 4. Calcule la diagonal de un cuadrado de 9 cm de lado. 5. Halle la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 6,8 cm y base 6 cm. 6. Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 mm y 24 mm. 7. Una escalera de 6,5 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 2,5 m de la pared. a) A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared? b) A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie de la escalera para que la parte superior se apoye en la pared a una altura de 5,2 m? 8. Cuánto mide la diagonal de un paralelepípedo, si sabemos que el polígono base en es rectángulo de largo 12 cm y ancho 5 cm. La altura del paralelepípedo es 84 cm. 9. En un triángulo rectángulo, sus catetos miden 3 cm y 5 cm. Cuánto mide su hipotenusa? 10- En un triángulo rectángulo, su hipotenusa mide 11 cm y uno de los catetos, 7 cm. Calcula el valor del otro cateto. 11- Completa los datos de los siguientes triángulos rectángulos, en los que r es la hipotenusa; t y c son los catetos: a) t = 3, c = 4 b) r = 6, t = 3 c) t = 4, c = 7 d) r = 6, c = 5 e) r = 5, t = 2 f) c = 4, r = Intenta averiguar el valor de cada cateto de un triángulo rectángulo sabiendo que entre los dos suman 22 cm y que su hipotenusa mide 15 cm Calcula la altura de un triángulo equilátero de 10 cm de lado. 14. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 8 cm. Averigua cuánto miden sus catetos. (Es más fácil de lo que parece. Ayúdate de un dibujo)

8 15. Disponemos de una escalera de mano de 2,20 m de longitud. La apoyamos en una pared a 1,80 m de altura. A qué distancia de la pared hemos situado la base de la escalera? 16. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 6 cm de lado. 17. Calcular el cateto del triangulo rectángulo de la figura 8 cm 10 cm 18. El teleférico de la ciudad A sale de la base de una montaña, sube hasta su cima y acaba en la ciudad C. Observe el siguiente esquema y calcule: Qué distancia recorre el teleférico desde la Ciudad A hasta la cima? Qué distancia hay entre las ciudades B y C 19. Cuánto mide la diagonal del siguiente rectángulo? 8 cm

9 15 cm 10. TRABAJO EXTRACLASE COLECTIVO En grupos máximos de cuatro estudiantes presentar la siguiente actividad como trabajo escrito. Dejar constancia en el cuaderno. 1. Dados los siguientes valores determinar si existe triángulo, en caso de que exista diga si el triángulo es isósceles, escaleno o equilátero. Además decir si el triángulo es rectángulo, en caso de serlo encontrar el área y el perímetro. a. 2cm 6cm 3cm b. 5cm 7cm 4cm c. 7cm 7cm 7cm d. 3cm 4cm 4cm e. 3cm 4cm 5cm f. 9cm 8cm 8cm 2. La siguiente formula me permite encontrar las ternas pitagóricas para diferentes valores. b hip b i a 2i 1 2i i Teniendo en cuenta el anterior ejemplo encontrar las ternas pitagóricas para 6 cantidades diferentes. 3. Consulte diez profesiones en las cuales sea necesario utilizar el concepto (Medida a escuadra) y explique qué significa ese concepto. 4. Para cada uno de los siguientes ejercicios realice la grafica correspondiente, resuelva utilizando teorema de Pitágoras, encuentre el perímetro y el área de: a. Un triángulo isósceles de lado 1mt. b. Un triángulo equilátero de lado 5cm. c. Un triángulo rectángulo de lado 15cm e hipotenusa 30cm. d. Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 10cm respectivamente.

10 PROFUNDIZACION DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS El principio fundamental de todo en Geometría analítica es la existencia de una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y los pares ordenados de números reales. Dicha correspondencia puede lograrse por medio de un sistema de coordenadas rectangulares, representando cada punto con un par de coordenadas, veamos cómo podemos obtener la distancia entre dos puntos a partir de ellas. Nota: siempre se ponen primero las abscisas y después las ordenadas para expresar una coordenada (1,-2) ( x, y) PLANO CARTESIANO Respeto las guías y a mis profesores Para representar cualquier punto en un plano necesitamos una abscisa (eje de las x) y una ordenada (eje de las y), a este plano se le llama plano cartesiano. Estás dos rectas numéricas se cruzan perpendicularmente y se subdividen en espacios equidistantes de tal forma que a cada extremo se le asignan un número (positivo hacia la derecha, y negativo hacia la izquierda) El punto donde se unen las 2 líneas se le llama origen y se le asigna el número cero (0); de tal manera que forman 4 cuadrantes. Para obtener la distancia d entre dos puntos, a partir de sus coordenadas. Donde, P x y y P x,, 1 1, y2 Construimos el triángulo P 1QP2, trazando P 1 Q paralelo al eje x y P 2 Q paralelamente al eje y.

11 Así, las coordenadas de Q son x 2, y 1 Observe que P 1 Q P2 es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es P 1P2. Además x2 x1 es la longitud del cateto P1 Q y y2 y1 la longitud de Q P2 Obviamente, la distancia entre P 1 y P 2 es la longitud de P 1 P2. Como en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, sacando raíz cuadrada 2 obtenemos: d x x y y1 Escribo en el cuaderno estos ejemplos EJEMPLO1: encontrar la distancia entre los puntos 7,1 y 5, 4 Solución: d = distancia P entonces d ( 5 7)² ( 4 1)² 13 Sea,1 y P 5, TRANSVERSALIDAD PRAES Un conjunto residencial debe pagar por concepto de recolección de basuras, la suma de $ Esta suma se cancelará en una cuota inicial de $ y el saldo en 10 cuotas iguales. El bloque 1 pagó de cuota inicial $ ; el Bloque 2 pagó $ ; el Bloque 3 pagó $ ; el bloque 4 pagó $ y el bloque 5 pagó el saldo restante de la cuota inicial. Cuánto pagará cada bloque en cada cuota mensual y cuánto pagó en total cada bloque. Cómo puedo contribuir en la reducción de agentes contaminantes en mi entorno?

12 PRUEBAS SABER Marque la respuesta correcta y márquela encerrándola dentro de un círculo. 1. Dados los valores 3cm. 9cm. 5cm a) El triangulo es escaleno b) El triangulo es rectangular c) No existe triangulo d) El triangulo es escaleno rectangular 2. La medida del ángulo 315 0, expresado en radianes es: a) b) c) d) Al expresar rad en grados. Se obtiene: 5 a) 210 b) 215 c) 216 d) 220 de: a) Para un ángulo de rad. su complemento en radianes y grados es 36 23, b) 23, c) 5, d) 5, Los catetos de un triángulo rectángulo miden 20cm. cuál es el valor de la hipotenusa? a) 40 cm b) 80 cm c) 20 2 cm d) N.A. 6. Si la base de un triangulo se incrementa en un 10% y la altura se disminuye en un 10%, el cambio en el área del triangulo es: a) Un incremento del 1% b) Una disminución del 0.5% c) Un incremento del 0.5% d) Una disminución del 1% 7. En un triangulo ABC. El ángulo con vértice en B es recto y la medida del ángulo C es el doble del ángulo A. entonces a) El triangulo ABC. Es un triangulo isósceles b) El ángulo A mide 30 y el ángulo B mide 60 c) El cateto BC mide la mitad del cateto AB d) La hipotenusa mide el doble de la longitud del cateto BC Recuerde que el El th de Pitágoras sirve para encontrar la longitud de la hipotenusa o de uno de los catetos de un triangulo rectangulo. Para ello es necesaria la medida de los otros dos lados. El th de Pitágoras dice en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de la longitud de los catetos, es decir:

13 c 2 = a 2 + b 2 Con base en lo anterior responda los problemas del 8 al La altura de una chimenea mide la cuarta parte de la altura de una casa. Si la sombra de la casa mide 21 mts y la distancia desde el borde de la sombra hasta el techo de la casa mide 29 mts. Cuánto mide la chimenea. a. 20 mts b. 5 mts c. 4 mts d. 10 mts 9. De acuerdo a la siguiente figura, resolver a. 15 cm b. 10 cm c. 9 cm d. 12 cm Si ED es tres cuartos de AB; y DC es tres cuartos de BD. Cuánto mide EC? Cuánto mide AC? 10. En una decima de segundo, un helicóptero toma la fotografía de un globo que se eleva en forma perpendicular desde un estadio. El helicóptero está separado del globo 21 Dm y el globo ya se ha elevado 20 Dm. Qué distancia hay entre el helicóptero y el estadio. a. 20 Dm b. 200 mts c. 38 Dm d. 29 Dm 11. En el piso 20 de un edificio hay una ventana a 63 mts del piso del edificio. Una persona se asomó por la ventana y miró que al frente esta su carro a una distancia de 65 mts. Que distancia separa al carro del edificio. a. 12 mts b. 16 mts c. 24 mts d. 1,6 Km b. 12. Con referencia al triangulo ABC, se puede decir que NO es cierto que el ángulo B esta:

14 a. Opuesto a C c. Opuesto a CA b. Opuesto a b d. Adyacente a AB AUTO EVALUACIÓN Estudiante: Fecha: Responda las siguientes preguntas de acuerdo a tu opinión personal y con mucha sinceridad. 1. Mi desempeño durante el segundo periodo en la asignatura de matemáticas fue: ( ) Superior ( ) Alto ( ) Básico ( ) Bajo Justifique tu respuesta: 2. Los temas que mas me agradaron fueron: 3. El tema que me causo mayor dificultad fue: 4. Mi compromiso es:

15 ACTIVIDADES DE REFUERZO 1. Resuelva las siguientes operaciones con ángulos: Calcular la suma de los siguientes ángulos: 0 ' '' 0 ' '' 0 ' '' a) con b) con ' '' Calcular la diferencia de: 0 ' '' a) con 0 ' '' b) Hallar el valor de: 0 ' '' a) 5 veces mas '' b) El triple producto de ' 3254 menos 0 ' '' con '' ' '' Exprese en grados cada uno de los siguientes ángulos 7 rad b. rad rad a. c d. 9 rad 6 3. Exprese en radianes cada uno de los siguientes ángulos. a. 258 b. 315 c d Dados los siguientes valores determine si existe triangulo, en caso de que exista determine si es isósceles, escaleno o equilátero. Demuestre aplicando el teorema de Pitágoras si el triangulo es rectángulo u obtusángulo. En cada caso encuentre el área y perímetro. a. 2 cm 6cm 5cm b. 5 cm 5cm 2 5cm c. 3 cm 3cm 3cm d. 4 cm 4cm 6cm e. 5 cm 6cm 61cm f. 1 cm 5cm 3cm 5. Qué son ternas pitagóricas?, construya y grafique triángulos rectángulos para i 1,2,3,4,5, 6 de acuerdo a la formula de ternas pitagóricas dada en clase. Encuentre el área y perímetro para cada uno de ellos. 6. En cada una de las siguientes figuras determine la medida de los ángulos, de la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. 8. Para cada uno de los siguientes ejercicios construya un plano cartesiano respectivo y trace los puntos que determinen la línea recta o el polígono. Encuentre la distancia entre los puntos. a. A 3,2 y B 3, 2 b. P 7, 1 y Q 8, 5 c. A 8,9 y B 3, 5 d. X 4, 12 y Y 9, 1 9. Mediante el uso de la calculadora calcular los siguientes valores. a. tan 4 54' 182'' cos18 54' 12' ' sec387 53' 12'' b. csc43 43' 11''

16 c. cos15 cot 55 2( sen 47 ) d. sec8 cot 35 sen Utilizando transportador dibujar los siguientes ángulos. b. 179 c rad d. 4 e. 500 rad g. 390 f Represente gráficamente un paralelogramo, un rombo, un cuadrado, un rectángulo un trapecio. Cómo se halla el área en cada uno de ellos? 12. Qué es un polígono regular? 13. Construya polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12 lados. Qué nombre reciben?. Utilice para la construcción un transportador. 14. Un cuadrado mide de lado cm. Cuánto mide su diagonal? 15. El perímetro de un cuadrado es 96 dm. Un triangulo equilátero tiene el mismo perímetro. Cuánto mide su altura? 16. La sombra de un árbol mide 21 mts. La distancia desde el borde de la sombra hasta la copa del árbol es de 29 mts. Cual es la altura del árbol? 17. Los dos catetos de un triangulo isósceles forman angulo de 90º en el punto A. Si uno de esos catetos mide 45 cm, cuánto mide el cateto ma largo? 18. La diagonal de un rectángulo mide 25 cm y su largo mide 17 cm más que el ancho. Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 19. Con cinco ejemplos, verifique que las siguientes formulas le permiten formar ternas pitagóricas a = m 2 n 2 b= 2mn c=m 2 + n Un trapecio mide de base mayor 16 cm; de base menor 10 cm. La altura del trapecio es dos quintos de la base menor. Cuánto mide el lado inclinado?