Formación geológica que es capaz de almacenar y transmitir el agua subterránea a través de ella en cantidades significativas.

Transcripción

1 Estimación de Parámetros y Estado para Modelos de Flujo y Transporte del Agua Subterránea Usando un Ensamble Suavizado Graciela Herrera Zamarrón Instituto de Geofísica, UNAM 5 de octubre de 2012

2 Créditos Jessica Briseño Ruiz Estudiante de doctorado titulada en junio de 2012

3 Guía de la presentación Problemática del agua subterránea Modelo general del flujo en aguas subterráneas Modelo de transporte con advección y dispersión Estimación de parámetros y calibración de modelos Modelación estocástica Simulación Monte Carlo Ejemplo sencillo en aguas subterráneas Asimilación de datos Ensamble suavizado Método para la estimación conjunta del estado y parámetros de modelos de flujo y transporte Resultados Desarrollos en proceso

4 Ciclo hidrológico

5 Acuífero Formación geológica que es capaz de almacenar y transmitir el agua subterránea a través de ella en cantidades significativas.

6 Problemática del agua subterránea

7 Problemática del agua subterránea

8 Problemática del agua subterránea

9 Contaminación del agua subterránea Desarrollo urbano ciudad planta de tratamiento de aguas residuales ganadería fábrica vertedero mal aislado agricultura contaminación difusa nivel freático fuente puntual de contaminación Contaminación difusa Abonos agrícolas Plaguicidas agrícolas Intrusión marina Contaminación puntual Actividades domésticas Actividades industriales Residuos sólidos

10 Ecuaciones para modelar el flujo Ecuación en 3D del agua subterránea x K x h x + y K y h y + z K z h z = S s h t R h -carga hidráulica [L] K -conductividad hidráulica (capacidad del medio para conducir agua) [L/T] -almacenamiento específico (depende de la elasticidad del medio) [1/L] Ss R -esfuerzos (fuentes o sumideros, p. ej. extracción de agua por pozos) [1/T]

11 Ecuación de transporte de solutos Ecuación de transporte de solutos con con advección advección y dispersión y dispersión t c V c z c D z c V y c D y c V x c D x z z y y x x = + + ), ( 1, z h K y h K x h K V z y x = θ - concentración del soluto [M/ concentración del soluto [M/L 3 ] - velocidad efectiva [L/T] velocidad efectiva [L/T] - dispersión hidrodinámica ( dispersión hidrodinámica (dep dep caract caract medio poroso medio poroso) [L ) [L 2 /T] /T] - porosidad [ porosidad [-] θ z y x θ V c D

12 Resolución de las ecuaciones Solución analítica para problemas simples Métodos numéricos Diferencias finitas Elemento finito

13 Entradas del modelo En lo anterior hemos supuesto que se conocen los parámetros hidrogeológicos, las condiciones iniciales y de frontera, y los esfuerzos. Éstos son necesarios para poder obtener soluciones de los modelos.

14 Problemas para estimar parámetros En la práctica, la distribución de los parámetros es muy difícil de obtener. Se tiene un conocimiento incompleto de las propiedades de las formaciones geológicas. Se observan normalmente en unos pocos sitios aunque exhiben un alto grado de variabilidad espacial. Con frecuencia se observan indirectamente. Zhang, 2002 Log permeabilidad Profundidad (pies)

15 Calibración de un modelo Es necesario calibrar el modelo antes de usarlo para obtener predicciones Proceso en el que entradas del modelo, tales como propiedades del sistema, condiciones iniciales y de frontera, y esfuerzos, se modifican de tal manera que los resultados del modelo se parezcan a los valores asociados medidos A A las entradas del modelo que se modifican les llamaremos parámetros A A los valores medidos asociados con los resultados del modelo les llamaremos observaciones

16 Proceso de calibración Información del sistema Ajustar valores de los parámetros Modelo Observaciones relacionadas con los resultados del modelo Comparar valores simulados y observados usando una función objetivo

17 Ejemplo calibración acuífero de la ciudad de México

18 Dominio y malla del modelo

19 Conductividad hidráulica

20 Pozos de observación

21 Comparación de resultados del modelo y observaciones

22 Problema a resolver Proponer un método para estimar la conductividad hidráulica utilizando datos de carga hidráulica y concentraciones de un contaminante Método a utilizar Basado en modelos estocásticos

23 Procesos estocásticos La teoría de los procesos estocásticos proporciona un método natural para evaluar incertidumbres. En el formalismo estocástico, la incertidumbre es representada por La probabilidad Los momentos estadísticos Los parámetros de los materiales no son puramente aleatorios, por lo que son tratados como funciones espaciales aleatorias Su variabilidad presenta algunas estructuras de correlación espacial Las correlaciones espaciales pueden ser cuantificadas por medio de distribuciones de probabilidad conjunta o momentos estadísticos conjuntos (p. ej. auto covarianzas o covarianzas cruzadas).

24 Modelos estocásticos Las ecuaciones de flujo y transporte se convierten en estocásticas cuando son aleatorios: Las propiedades de los materiales, como la conductividad hidráulica o la porosidad. Las condiciones iniciales o de frontera. Los esfuerzos. Las soluciones ya no son funciones deterministas, sino distribuciones de probabilidad de las variables dependientes. Con frecuencia se trabaja únicamente con los primeros momentos de la distribución Media, varianza, covarianza, etc.

25 Métodos de solución Ecuaciones de los momentos Diferenciales Se derivan ecuaciones diferenciales para los momentos con base en las ecuaciones originales Integrales Se derivan ecuaciones integrales para los momentos con base en las ecuaciones originales Simulación Monte Carlo La idea es aproximar la distribución probabilísticas de los procesos estocásticos por un gran número de realizaciones igualmente probables

26 Simulación Monte Carlo Consiste en tres pasos: Generar múltiples realizaciones de la propiedad de interés en base a la distribución probabilística de la misma. Cada realización es determinista. Para cada realización resolver las ecuaciones diferenciales deterministas por métodos numéricos (p. ej. diferencias finitas y elementos finitos). Promediar sobre las soluciones de muchas realizaciones para obtener los momentos estadísticos o distribuciones de las variables dependientes. Las primeras aplicaciones a problemas de flujo en medios porosos se llevaron a cabo en 1961.

27 Ejemplo en 1D Tomado de Zhang, h( x) 2 x x = w( x) h( x) = H en x = 0 0 h( x) = H en x = L L

28 Realizaciones y momentos Suponemos que w es un campo Gaussiano completamente correlacionado w = 0.1 σ = 0.1 w

29 Asimilación de datos La existencia de incertidumbres en los modelos sugiere no utilizarlos como la única fuente de información del comportamiento del sistema, sino en combinación con observaciones. Estas observaciones también tienen incertidumbre. Se necesitan métodos para combinar estas informaciones diferentes. A este proceso de combinar datos con modelos se le llama asimilación de datos. Surgió para controlar trayectorias de misiles en los años sesenta. Se ha aplicado en un gran número de áreas. Recientemente se ha utilizado con éxito en ciencias de la tierra Ciencias de la atmósfera Oceanografía Hidrología

30 Filtro de Kalman Método de asimilación de datos para problemas lineales Proporciona una estimación lineal sin sesgo y de variancia mínima del estado de un sistema utilizando datos con ruido Establece un método secuencial para actualizar las estimaciones cuando se proporcionan datos nuevos, sin necesidad de hacer referencia a datos anteriores

31 Ecuaciones filtro de Kalman Ecuación estocástica lineal en diferencias ˆ l X = E{ X m m Estimación inicial X X + w + 1 = A Z = HX + v Se puede demostrar que el estimador lineal sin sesgo y de mínima varianza es Ecuación de muestreo Xˆ 0, 0 Z,..., Z } 1 l Requiere una estimación inicial y la matriz de covarianza del error de esta estimación Ecuaciones para la predicción P Predicción del estado ˆ + 1 X = AXˆ 2. Predicción de la covarianza del error T P +1 = AP A + Q X Z H A w, v Q, R variable a estimar o estado mediciones Matriz de dimensión que relaciona el estado en el tiempo con la medición Z Matriz que relaciona el estado en el tiempo con el estado en -1 representan el error del proceso y de las mediciones respectivamente. covarianza del error del proceso y del error de las mediciones, respectivamente. Ecuaciones para la actualización 1. Cálculo de la ganancia de Kalman (K+1) K ˆ T T = P + 1H ( HP + 1H + R ) 2. Actualización estimación con observaciones ˆ = X + K ( Z HXˆ + 1 X Actualización covarianza del error P = ( I K + 1H) P + 1 )

32 Filtro de Kalman ensamblado Se propuso originalmente en oceanografía por Evensen en 1994 para tratar problemas no lineales. Sustituye las predicciones por un conjunto de realizaciones (ensamble) producidos con simulación Monte Carlo.

33 Ensamblado suavizado Propuesta original van Leeuwen y Evensen en 1996 y una variación de este de forma independiente por Herrera en El vector de estado X contiene la variable en todos los tiempos de interés. La matriz P es una matriz en espacio-tiempo Aplicación original de la versión de Herrera Diseño óptimo de redes de monitoreo de la calidad del agua subterránea.

34 Ecuaciones ensamble suavizado de Herrera Ecuación estocástica no lineal Ecuación de muestreo X + w + 1 = f ( X ) Z = HX + v X Z w, v Estado contiene todos los tiempos de interés mediciones (datos u observaciones) representan el error del proceso y de las mediciones respectivamente Estimación inicial Requiere una estimación inicial y la matriz de covarianza del error de esta estimación cˆ P 0 = c 1 X ˆ, P 0 ˆ 0 Ecuaciones de predicción cambian por los cálculos de ensamble determinados Nr ip = c ip Nr = 1 1 Nr 0 = Cov ip: jq = N r 1 =1 ( c c )( c c ) ip Xˆ = c + 1 ip + 1 ˆ0 P = P Ejemplo para la concentración jq 0 jq Ecuaciones para la actualización 1. Calculo de la ganancia de Kalman (K+1) K T T = P + 1H ( HP + 1H + R ) 2. Actualización la estimación con observaciones ˆ + 1 ˆ ( ˆ + 1 = X K + 1 Z + 1 HX ) 1 X + 3. Actualización la covarianza del error Q, R P = ( I K + 1H) P + 1 covarianza del error del proceso y del error de las mediciones, respectivamente.

35 Uso en la estimación de parámetros Estos métodos de ensamble se pueden usar también para estimar parámetros Generalmente se incorporan los parámetros a estimar en el vector estado Resulta en un método que estima a la vez los parámetros y las variables que simula el modelo

36 Problema en aguas subterráneas Objetivo: Estimar Ln K, H y C usando combinaciones de datos de Ln K, H y C Se usa el ensamble suavizado Vector estado X LnK = H C Las medias de los ensambles de Ln K, H y C se utilizan como estimaciones a priori para cada variable La matriz de covarianza cruzada del ensamble se utiliza como estimación a priori de la matriz de covarianza cruzada

37 El método de estimación de parámetros y estado propuesto 1 Dadas la media de la conductividad hidráulica (K) y el semivariograma de Ln K, se obtienen realizaciones aleatorias de este parámetro con un método de simulación. 2 Usando cada realización de K, se emplea el modelo estocástico de flujo y/o transporte para producir una realización de la carga hidráulica y/o de la concentración del contaminante, el total de las realizaciones se emplea para obtener la media de Ln K y del estado (h y/o c), así como la matriz de covarianza cruzada espacio temporal del parámetro y el estado (Ln K-h-c). 3 Empleando el ES se realiza la estimación del parámetro de Ln K, utilizando como estimación y covarianza a priori a la media de las realizaciones y su correspondiente matriz de covarianza. Se puede emplear para realizar la estimación observaciones de Ln K, h o c o mediante combinaciones de Ln K y/o h y/ó c.

38 1 Dadas la media de la conductividad hidráulica (K) y el semivariograma de Ln K, se obtienen realizaciones aleatorias de este parámetro con un método de simulación. Análisis geoestadístico Puntos con mediciones de Ln K Se determina el modelo del semivariograma del Ln K Realizaciones de K Para obtener las realizaciones aleatorias de K. Se emplearon simulación secuencial gaussiana (SGSim) y Muestreo por Hipercúbo Latino (LHS).

39 2 Para cada realización de K, se resuelve numéricamente la ecuación de flujo y/o transporte y se obtienen realizaciones de h y c para un periodo de tiempo. Ecuaciones para modelar el flujo y el transporte del agua subterránea c t h t ( K h) Ss + Q = 0 K V = h φ donde w ( D c Vc) + Qc = 0 h carga hidráulica [L] K conductividad hidráulica [L/T] Q fuentes o sumideros [1/T] Ss coeficiente de almacenamiento específico [L-1 ] t tiempo [T] V velocidad [L/T] φ porosidad efectiva [-] c concentración del soluto [M/L 3 ] D dispersión hidrodinámica [L2 /T] w c concentración del fluido bombeado [ML -3 ] Resolución de ecuaciones Métodos Numéricos Las ecuaciones se resuelven empleando el modelo en elemento finito Princent Transport Code (PTC)

40 Modelo estocástico de flujo y transporte Parámetros aleatorios Conductividad hidráulica Resolución de las ecuaciones Con simulación estocástica o Monte Carlo Realizaciones de K Obtener realizaciones de los parámetros aleatorios Resolver el modelo de flujo y de transporte para cada realización Calcular momentos a priori espacio-temporales

41 2 Momentos a priori. El total de las realizaciones se emplea para obtener la media de Ln K y del estado (h y/o c), así como la matriz de covarianza cruzada del parámetro y el estado (Ln K-h-c). cˆ P 0 0 c e ip Media y matriz de covarianza de la concentración = c 1 Nr ip = c ip Nr = 1 ˆc 0 cip Nr 1 m ( ip jq ) ip jq ( cip cip )( c jq c jq ) c = Cov e, e = Cov : = N r 1 =1 p c = c ip c ip Los puntos de estimación se determinan de acuerdo al número de posiciones en las que se quiera estimar el Ln K, y el número de posiciones en espacio y tiempo en las que se quiera estimar cada una de las variables de estado. Nr 0 P c vector en espacio-tiempo, incluye una estimación de c para todas las posiciones y tiempos denota la -ésima realización de c en la posición x i... t p=1... p = 1 mc en el tiempo c número de nodos de la ME número de tiempos de estimación número de realizaciones Matriz de covarianza del error de c en espaciotiempo En los ejemplos presentados las estimaciones se hacen sobre submallas del modelo numérico, que pueden ser diferentes para LnK, h y c. Posibles puntos con datos puntos de estimación.

42 3 Empleando el ES se realiza la estimación de Ln K, utilizando como estimación y covarianza a priori a la media de las realizaciones y su correspondiente matriz de covarianza. Se puede emplear para la estimación observaciones de Ln K, h o c.

43 Casos de estudio

44 Casos de estudio El método de estimación conjunta estado-parámetro se probo en los siguientes casos: Estimar el Ln K y del estado (h). Caso de estudio: Querétaro flujo. Estimar el Ln K y el estado (h y c). Caso de estudio: Querétaro flujo y transporte. Estimar el Ln K y el estado (h y c). Caso de estudio: Pozo de bombeo con fuente de contaminante. Estimación empleando SGSIM para el calculo de covarianza a priori. Estimación empleando LHS para el calculo de covarianza a priori. Comparación de SGSIM VS LHS para la estimación. Análisis de sensibilidad del ensamble suavizado.

45 Prueba Dominio: 700 x 700 m 2 Malla: 1702 nodos, 1306 elementos Modelo de flujo transitorio Hay un pozo en la zona centro Ss = K es aleatorio su media es 1.6 m/day Modelo de transporte Hay una fuente de contaminante del lado oeste Periodo 12 años

46 Datos y puntos de estimación Datos de h (25 cada 2 años) Datos de Ln K (no se usan) Datos de c (25 cada 2 años) Puntos de estimación 48 Tiempos de estimación 6

47 Estimación de la carga hidráulica 4000 realizaciones, datos h y c

48 Estimación de la concentration 4000 realizations, h and c data

49 Estimación LnK, datos de h y c

50 Reducción del error h - 64% c - 77% LnK- 21%

51 Desarrollos en proceso Método para calibrar la recarga en el modelo estocástico (Ingrid Kohn) Paralelización del código (Esther Leyva y Luis Miguel de la Cruz)

52 Bibliografía Zhang D., Stochastic methods for flow in porous media, Academic Press, Graciela Herrera de Olivares, Cost Effective Groundwater Quality Sampling Networ Design, tesis para obtener el grado de doctor, University of Vermont, Herrera, Graciela S. y George F. Pinder, ``Cost Effective Groundwater Quality Sampling Networ Design''. Water Resources Research, vol. 41, W12407, doi: /2004wr003626, diciembre de Zhang, Yingqi, George F. Pinder y Graciela S. Herrera, ``Least cost design of groundwater quality monitoring networs''. Water Resources Research, vol. 41, W08412, doi: /2005wr003936, agosto de Herrera, G.S. y J. Briseño, ``Hydraulic conductivity and state estimation for stochastic flow and transport models'', en las memorias del 13th International Conference on Water Roc Interaction, llevado a cabo en Guanajuato, México, del 16 al 20 de agosto del Briseño Ruiz, Jessica Vanessa, Graciela del Socorro Herrera Zamarrón y Júnez Ferrerira Hugo Enrique, ``Método para el diseño espacio-temporal de redes de monitoreo de los niveles del agua subterránea''. Tecnología y Ciencias del Agua, Briseño Ruiz, Jessica Vanessa, Método para la Calibración de Modelos Estocásticos de Flujo y Transporte en Aguas Subterráneas, para el Diseño de Redes de Monitoreo de Calidad del Agua. Tesis para obtener el grado de Doctor, Posgrado de Ingeniería UNAM, 2012.