Modelos Autoconsistentes de Galaxias Espirales: Modelos de Halo-Disco-Núcleo

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1 Universidad Juáre Autónoma de Tabasco División Académica de Ciencias Básicas Licenciatura en Computación Modelos Autoconsistentes de Galaias Espirales: Modelos de Halo-Disco-Núcleo Tesis que presenta William de la Cru de los Santos Para obtener el grado de Licenciado en Computación Director de tesis Alejandro Gonále Sánche Cunduacán Tabasco, Méico Noviembre 25

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3 Resumen Por más de una decada un gran número de autores han mencionado la importancia de las órbitas ergódicas en modelos de potenciales de galaias espirales elípticas. Esto tiene importantes consecuencias para la construcción de modelos densidad-potencial: Merrit [3] comenta que las órbitas ergódicas son mucho menos útiles que las órbitas regulares para reforar la figura de la galaia. Por otro lado, también han mostrado que las órbitas ergódicas son un componente significante de la densidad [8, 9, 2, 3]; por ejemplo en modelos triaiales con una concentración de masa central. La construcción de estos modelos utiliando la entropía Kolmogorov Sinai es el objetivo principal de esta tesis.

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5 Índice general Índice de tablas iv. Introducción.. El problema de la autoconsistencia Solución propuesta Organiación de la tesis Dinámica de las galaias elípticas espirales Galaias Elípticas Correlación de parámetros en galaias elípticas Galaias espirales Distribución de la luminosidad del disco Correlación de parámetros en galaias espirales Materia oscura Conclusiones Modelos auto-consistentes de galaias 3.. Introducción La ecuación de Boltmann sin colisiones El método de Schwarschild Órbitas potencial gravitacional Pares densidad-potencial Modelo triaial de Disco + Halo + Núcleo Órbitas estelares en modelos de galaias triaiales Conclusiones Nueva aproimación; entropía Kolmogorov-Sinai Introducción Divergencia eponencial El máimo eponente de Lapunov La entropía Kolmogorov-Sinai Entropía para la dinámica del espacio de estados La identidad Pesin Integración Monte Carlo v

6 4.5. Conclusiones Modelos de sistemas de Halo-Disco-Núcleo; resultados Estabilidad del método Conservación de la energía Residuo fraccional de la energía Comportamiento asintótico de los eponentes de Lapunov Distribución de los eponentes de Lapunov Modelo con halo esférico sin disco sin núcleo Modelo con halo esférico + disco + bulge Modelo con halo esférico + núcleo Modelo con halo esférico + disco + núcleo Modelos con halo triaial Presencia de un núcleo central de masa Conclusiones Conclusiones trabajo futuro 65 Código fuente 69 Referencias 95

7 Índice de figuras 2.. La secuencia de Hubble es un esquema de clasificación para galaias inventado por Edwin Hubble en 926. Imagen tomada de Wikipedia Curvas de rotación de galaias espirales publicadas por Sander (996) de Blok & McGaugh (998). El radio (eje horiontal) esta dado en kpc en todos los casos la velocidad (eje vertical) esta en km s. Los puntos muestran las curvas de rotación de líneas de 2 cm observadas, las líneas punteadas son las curvas de rotación Newtonianas, las líneas solidas las medidas de MOND [6] Método de Schwarschild para calcular numéricamente la función de distribución f En la iquierda se muestra un sistema contenido en un cilindro con una división del espacio en celdas de igual volumen en la derecha se muestran órbitas pasando por una celda. El número total de órbitas que pasan por una celda se le llama número de ocupación este representa la densidad del sistema en la celda Gráfica del potencial Isochrone (arriba) la densidad generada (abajo) con b =,5 G = M = en unidades unitarias La gráfica de arriba muestra la densidad superficial del potencial de Kumin normaliado con a = la gráfica de abajo muestra la velocidad circular para a=,2,3,4,5; conforme a es más grande la densidad inicial es maor, por lo tanto la máima velocidad circular es menor lo que se observa en las curvas Gráficas de contorno de la densidad de Miamoto-Nagia para las raones b/a =.2 (arriba), b/a = (en medio) b/a = (abajo), también se muestra un ejemplo de órbita para cada gráfica de densidad con valores iniciales (R,, v R, v ) = (-.2,.,.,-.) GM = Contornos de igual densidad en el plano (R, ) para ρ L, cuando q Φ =. (arriba), q Φ =.95 (en medio) q Φ =.7 (abajo). Cuando q Φ =,7 la densidad es negativa cerca del eje para 7R c ; también se muestra un ejemplo de órbita para cada gráfica de densidad, con valores iniciales (R,, v R, v ) = (.5,-.5,.5,.2) con v = R c = vii

8 3.7. Familia de órbitas regulares que se encuentran en el modelo dado por (3.28), de halo esférico (p=q=) sin disco sin núcleo. Cada órbita tiene su proección en el plano XY, YZ XZ Familia de órbitas regulares que se encuentran en el modelo dado por (3.28), de halo triaial (p=.9, q=.8) sin disco sin núcleo. Cada órbita tiene su proección en el plano XY, YZ XZ Familia de órbitas regulares que se encuentran en el modelo dado por (3.28), de halo triaial (p=.9, q=.8) sin disco con núcleo (GM C =.2, 2 % de la masa total; b c =. kpc). Cada órbita tiene su proección en el plano XY, YZ XZ Familia de órbitas regulares que se encuentran en el modelo dado por (3.28), de halo triaial (p=.9, q=.8) con disco (GM D =.3 M, a D =3 kpc) sin núcleo. Cada órbita tiene su proección en el plano XY, YZ XZ Familia de órbitas regulares que se encuentran en el modelo dado por (3.28), de halo triaial (p=.9, q=.8) con disco (GM D =.3 M, a D =3 kpc) con núcleo (GM C =.2, 2 % de la masa total; b c =. kpc). Cada órbita tiene su proección en el plano XY, YZ XZ Eponentes de Lapunov (arriba) su mapa de bifurcación para la ecuación logística (abajo). Cuando los LEs son negativos o cero la órbita es periódica, cuando son maores que cero se observa una bifurcación en el mapa Una región de un espacio de estados dividido en pequeñas celdas, cada una de igual longitud L Gráficas de la energía para cuatro órbitas integradas con la rutina NAG D2CJF con una tolerancia de 7 con un tiempo de integración de Mr para un modelo de halo esférico (p=q=, r =. kpc, v =.2 3 km/s) sin disco sin núcleo Residuo fraccional de la energía para las órbitas integradas de la figura 5. su valor de correlación lineal del residuo fraccional el tiempo de integración LEs en función del tiempo de tres óbitas integradas, para un modelo de galaia de halo esférico (p=q=, r =. kpc, v =.2 3 km/s) sin disco sin núcleo. El tiempo de integración fue de 2 Mr. Se observan que los tres pares opuestos de LEs se mantienen durante el tiempo de integración sólo durante los tiempos iniciales no son bien definidos LEs en función del tiempo de tres óbitas integradas, para un modelo de galaia de halo triaial (p=.9, q=.8, r =. kpc, v =.2 3 km/s) sin disco sin núcleo; el tiempo de integración fue de 3 Mr. Como se espera para una órbita ergódica ha al menos un LE positivo uno igual a cero

9 5.5. La CDF de los LEs para un modelo de halo esférico (p=q=, r =. kpc, v =.2 3 km/s) sin disco sin núcleo, empleando el método MC (arriba) con condiciones iniciales uniformes (abajo) Histogramas de frecuencias de los LEs de la figura 5.5, para el método MC (arriba) empleando condiciones iniciales uniformes (abajo) La CDF de los LEs para un modelo de halo esférico (p=q=, r =. kpc, v =.2 3 km/s) con disco + bulge (a D =3 kpc, b D = kpc, GM D =.3 M ), para el método MC (arriba), el método tradicional (abajo) Histogramas de frecuencias de los LEs de la figura 5.7, para el método MC (arriba) empleando condiciones iniciales uniformes (abajo) La CDF de los LEs para un modelo de halo esférico (p=q=, r =. kpc, v =.2 3 km/s) con núcleo (GM C =.2 (.2 % de la masa total), b c =. kpc), para el método MC (arriba), el método tradicional (abajo) Histogramas de frecuencias de los LEs de la figura 5.9, para el método MC (arriba) empleando condiciones iniciales uniformes (abajo) La CDF de los LEs para un modelo de galaia de halo + disco + núcleo, con parámetros de la tabla 5., para el método MC (arriba) empleando condiciones iniciales uniformes (abajo) Histograma de frecuencias de los LEs de la figura 5., para el método MC (arriba) empleando condiciones iniciales uniformes (abajo) CDF de los LEs para un modelo de halo triaial (p=.8, q=.9, r =. kpc, v =.2 3 km/s) sin disco sin núcleo (arriba) para un modelo de halo triaial (p=.8, q=.9, r =. kpc, v =.2 3 km/s) con disco + bulge (a D =3 kpc, b D = kpc, GM D =.3 M ) (abajo), para el método MC (curva roja), el método tradicional (curva aul) Histograma de frecuencias de los LEs de la figura 5.3 (abajo), para el método MC (arriba) empleando condiciones iniciales uniformes (abajo) CDF de los LEs para un modelo de halo triaial (p=.8, q=.9, r =. kpc, v =.2 3 km/s) con núcleo (GM C =.2 (2 % de la masa total), b c =. kpc), para el método MC (curva roja), el método tradicional (curva aul) CDF de los LEs para un modelo de halo triaial con disco + núcleo, con parámetros de la tabla 5. (con p=.8 q=.9), para el método MC (curva roja), el método tradicional (curva aul) Histograma de frecuencias de los LEs de la figura 5.5, para el método MC (arriba) empleando condiciones iniciales uniformes (abajo) CDFs para un modelo de halo esférico (p=q=, r =. kpc, v =.2 3 km/s) con núcleo (GM C =.2 (2 % de la masa total), b c =. kpc), para los radios de -2 kpc (verde), 2-4 kpc (aul), 4-6 kpc (magenta), 6-8 kpc (negro) 2-4 kpc (rojo)

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11 Índice de tablas 4.. Tipos de movimientos que caracteria el eponente de Lapunov Parámetros del modelo de halo esférico + disco + núcleo i

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13 Capítulo Introducción Recientemente se ha mencionado la importancia de las órbitas ergódicas en modelos de potenciales de galaias. Estas son un componente significante de la densidad [8, 9, 2, 3], a que llenan todo su espacio fase disponible; por ejemplo en modelos triaiales con una concentración de masa central. Esto tiene importantes consecuencias para la construcción de modelos densidad-potencial de galaias en especial en la construcción de modelos de halo + disco + núcleo... El problema de la autoconsistencia El problema de la selección de órbitas para la construcción de modelos autoconsistentes de densidad-potencial, en el conteto del método de Schwarschild [7], ha sido el método estándar para comprobar que la densidad obtenida a través de la superposición de las órbitas, es la misma que la densidad analítica obtenida mediante la ecuación de Poisson que conecta la densidad con el potencial. La construcción de la biblioteca de órbitas se lleva a cabo empleando condiciones iniciales, posiciones velocidades, etraídas de una distribución uniforme sobre el espacio fase del sistema. Sí las órbitas ergódicas son importantes en la construcción de modelos de galaias, como halos triaiales con un disco una concentración de masa central, como se menciona en [7, 8, 9, 2, 3], entonces el muestreo uniforme es incapa de encontrar aquellas órbitas ergódicas con más peso estadístico para reforar la figura de la galaia..2. Solución propuesta La selección de las órbitas se realió calculando el Eponente de Lapunov, el cual es una medida de la divergencia eponencial de una órbita con respecto a otra órbita mu cercana. De la teoría de sistemas dinámicos se sabe que la integral de los eponentes de Lapunov sobre todo el espacio fase del sistema es una cantidad conocida como la Entropía Kolmogorov-Sinai que describe su grado de estocásticidad. Entonces se plantea el problema de la selección de órbitas como un problema de Integración de

14 2 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN Monte Carlo; encontrando sólo aquellas órbitas con eponentes de Lapunov (órbitas ergódicas) que más contribuen a la integral..3. Organiación de la tesis La organiación de la tesis es como sigue: en el capítulo 2 se revisan las propiedades generales de las galaias elípticas espirales; en el capítulo 3 se describe la construcción de modelos densidad-potencial de galaias de disco, el modelo empleado en el presente trabajo el método de Schwarschild, en el capítulo 4 se desarrolla el método propuesto, en el capítulo 5 se ehiben los resultados finalmente en el capítulo 6 se presentan las conclusiones trabajo a futuro por desarrollar.

15 Capítulo 2 Dinámica de las galaias elípticas espirales 2.. Galaias Elípticas Las galaias elípticas son elipsoides sin estructura, compuestas principalmente por sistemas de población II o sistemas de Halo que son estrellas viejas entre a 2 M que ehiben poca o ninguna rotación, con poco gas, pero grandes velocidades σ de dispersión. Las galaias elípticas parecen tener curvas de luminosidad características la cual se allana a como el radio de la galaia R, tal luminosidad característica se puede ajustar por la le de Hubble como sigue: I(R) = I + (R/R c ) 2 (2.) donde I es la brillantes de la superficie central R c es el radio del núcleo. Las galaias elípticas pueden ehibir rotación en su eje menor o sobre sus ejes maores en muchos casos sobre ambos, algunas galaias parecen rotar primariamente cerca de sus ejes menores. Muchas galaias elípticas tienen rutas de polvo producidas por material frío interestelar distribuido en discos o anillos. Medidas cinemáticas de la velocidad muestran que en muchos casos este gas frío rota es distinto a la componente estelar subacente. Muchas galaias elípticas contienen de 9 a masas solares de gas a temperaturas de 7 K, esto es comparable al gas presente en galaias espirales. El gas caliente frecuentemente forma una atmósfera de presión alrededor de la galaia. La Masa solar es una unidad de medida utiliada en astronomía astrofísica para medir comparativamente la masa de las estrellas otros objetos astronómicos mu masivos. Su símbolo convencional su valor son: M =, kg 3

16 4 CAPÍTULO 2. DINÁMICA DE LAS GALAXIAS ELÍPTICAS Y ESPIRALES 2.2. Correlación de parámetros en galaias elípticas La luminosidad de las galaias elípticas esta altamente correlacionada con su velocidad de dispersión; esto es generalmente epresado como una le eponencial: L σ n donde L es la luminosidad de la galaia, σ es la velocidad de dispersión el eponente n es cerca de 4. La velocidad de dispersión está correlacionada con la luminosidad de acuerdo a la le de Faber-Jackson: σ p 22(L/L ),25 km s (2.2) donde L =, h 2 L 2. Otra correlación significante es también vista entre el radio efectivo R e el brillo superficial I e a ese radio, esto es: R e I e,33. La maoría de las relaciones de tipo Faber-Jackson son intrínsecas, es decir, estas reflejan las propiedades reales de las galaias. Datos modernos muestran que las galaias elípticas obedecen una relación de la forma: R e σ,4 I e,9 que define el llamado plano fundamental. El brillo superficial de una galaia elíptica decae suavemente con el radio, la brillantes superficial característica de la maoría de las galaias se pueden ajustar por la le de Vaucouleurs: I(R) = I() ep( kr,25 ) I e ep{ 7,67[(R/R e ),25 ]} (2.3) donde R e es el radio efectivo del isofoto (o superficie de igual intensidad luminosa) conteniendo la mitad de la luminosidad total I e es la brillantes superficial a R e. La función de luminosidad φ(l) describe el número relativo de galaias de diferentes luminosidades, es definida tal que φ(l)dl es el número de galaias en el intervalo de luminosidad L L + dl en una unidad de volumen representativa del universo. Una aproimación analítica a φ(l) es la le de Schechter, esta es φ(l)dl = n ( L L ) α ep( L/L ) dl L, (2.4) donde n =,2 2 h 3 Mpc 3, α =,25, L =, h 2 L en la banda visible Galaias espirales Estas son galaias como la nuestra o como M3 (la galaia Andrómeda) la cual contiene un disco prominente compuesto de estrellas de población I o sistemas de disco, son estrellas jóvenes que ehiben rotación; en estas galaias se encuentra la presencia de gas polvo. Las galaias espirales contienen un esferoide de estrellas de población II, las cuales su composición química, cinemática evolución histórica es diferente de las estrellas del disco se cree se han formado al mismo tiempo de 2 La luminosidad del sol L = 3,83 33 erg s

17 2.4. DISTRIBUCIÓN DE LA LUMINOSIDAD DEL DISCO 5 Figura 2.: La secuencia de Hubble es un esquema de clasificación para galaias inventado por Edwin Hubble en 926. Imagen tomada de Wikipedia. formación de la galaia, en contraste a las estrellas en el disco, las cuales se han formado a una raón constante a lo largo de la historia de la galaia. En todos estos sistemas el disco contiene braos espirales, los cuales varían grandemente en su longitud, grado de enrrollamiento prominencia de una galaia espiral a otra, pero casi siempre están presentes. La distribución del brillo superficial en galaias espirales de disco obedecen la le eponencial I(R) = I ep( R/R d ) (2.5) donde R d = 3,5 ±,5kpc 3 I 4L pc 2. Las curvas de velocidad circular v c de la maoría de las galaias espirales son casi planas, es decir v c (r) independiente de r, ecepto cerca del centro donde la velocidad circular cae a cero, la velocidad circular típica se encuentra entre 2 3 km s Distribución de la luminosidad del disco Fuera de sus centros, las galaias de disco típicamente tienen una luminosidad característica de tipo eponencial, i.e. la brillantes superficial decae eponencialmente con el radio. La componente más importante de la luminosidad proviene de una región pequeña que se ajusta por una función sech() característica de una capa auto-gravitatoria con velocidad de dispersión independiente de. Una función que ajusta la distribución de luminosidad en galaias de disco es: { L ep( r/h)sech 2 (/ ), si r/h < 4,2 ±,6 L(r, ) = (2.6), de otro modo, 3 El pársec o parsec (símbolo pc) es una unidad de longitud utiliada en astronomía. pársec = 3, m

18 6 CAPÍTULO 2. DINÁMICA DE LAS GALAXIAS ELÍPTICAS Y ESPIRALES donde L es la densidad de luminosidad en el medio plano al centro del disco, h es la longitud de escala radial es la altura vertical. Para las galaias espirales con un bulge (disco espiral hinchado en el centro) en los cuales domina la luminosidad total; se le puede ajustar la le de Vaocouleurs (2.3) como en galaias elípticas. El gas interestelar el polvo destacan en galaias espirales de tipo Sa posteriores según la clasificación de Hubble (vea la figura 2.). La maoría de esta materia interestelar se encontra en un disco con un ancho o grosor significantemente más pequeña que del disco estelar. La distribución radial de gas en galaias de disco no siempre sigue una distribución eponencial, algunas galaias tienen agujeros negros en sus centros, mientras que en otras el gas se etiende más allá del disco estelar a unos 5-25 kpc Correlación de parámetros en galaias espirales Alrededor de un 8 % de las galaias espirales conocidas presentan una barra en su centro, una gran fracción de galaias de disco tienen barras. El brillo superficial entre la barra con frecuencia es casi constante. Muchas galaias barradas también contienen anillos luminosos, los más notables son aquellos en los cuales el anillo encierra sólo a la barra, estos son conocidos como anillos internos, los más comunes son los anillos eteriores, los cuales tienen típicamente el diámetro de varias veces el de la barra. Esta estructura oval de luminosidad son llamados Lenses. La cercana coneión entre las barras, anillos internos lenses sugiere una coneión en la evolución formación de las galaias. Algunas observaciones establecen la presencia de halos negros, de ahí de que las curvas de rotación de las galaias de disco sean planas, lo cual sugiere la eistencia de materia oscura Materia oscura Virtualmente toda la información que poseemos del universo ha venido a nosotros a través de fotones provenientes de estrellas, gas de hidrógeno, raos-x desde gas ioniado, etc; aún no ha raón para suponer que cada tipo de materia en el universo debe de emitir un tren leíble de fotones; incluso entre un tipo dado de objetos astronómicos, no ha raón a priori porque la masa la luminosidad deban de estar bien correlacionadas. Este punto es bien ilustrado por la función de luminosidad en la Secuencia Principal, del vecindario solar. Estrellas más brillantes que el sol contribuen 95 % de la luminosidad, mientras estrellas más opacas que el sol contienen al menos 75 % de la masa. Por lo tanto, incluso modestas variaciones en el número relativo de baja-masa alta-masa de estrellas puede producir cambios sustanciales en la raón total masa-lu Υ. Sin embargo, las raones de masa-lu en partes centrales bien estudiadas de muchas galaias elípticas espirales de algún modo consiguen ser las mismas. El material de naturalea desconocida que es responsable de esta discrepancia es llamada Materia oscura. Así, se usa el término materia oscura para

19 2.6. MATERIA OSCURA 7 denotar cualquier forma de materia de quien su eistencia es inferida solamente por sus efectos gravitacionales. La primera evidencia de materia oscura fue encontrada por el astrónomo Frit Zwick en 993; Zwick basó su trabajo sobre medidas de la velocidad radial de sistemas de galaias pertenecientes al cluster Coma. El afirmaba que las galaias individuales tenían velocidades radiales que diferían de la velocidad promedio del cluster, con una dispersión RMS cerca de 7 kms. El concluo que virtualmente toda la masa del cluster esta en una forma de materia oscura invisible, que es indetectable ecepto a través de su fuera gravitacional. Ostriker (974) Einasto (974) han propuesto que ha grandes cantidades de materia oscura alrededor incluso en galaias aisladas: ellos argumentan que la materia oscura en galaias espirales esta localiada en Halos gigantes, etendiéndose varias veces el radio de la materia luminosa conteniendo la maoría de la masa total de la galaia. La evidencia más robusta de la eistencia de materia oscura proviene de las curvas de rotación de galaias espirales [9]. Empleando las emisión de hidrógeno de 2 cm, las velocidades de nubes de hidrógeno neutro se pueden medir como una función del radio r a partir del centro de la galaia. En casi todos los casos, después de alejarse del centro (r = ), las velocidades aumentan proporcionalmente a r hasta un r máimo para a partir de ahi mantenerse. Para un sistema esférico, la atracción gravitacional ejercida sobre un punto de masa a un radio r, por el segundo teorema de Newton es: donde F = dφ dr M = r ˆr = GM ˆr, (2.7) r2 ρ(r )r 2 dr (2.8) es la masa encerrada a un radio r. Se define la velocidad circular v c (r) la velocidad de escape v esc como v c 2 = r dφ dr = r F = GM r, (2.9) v esc 2 = 2 Φ(r), (2.) donde v esc es la velocidad mínima para escapar del campo de fuera gravitacional representado por Φ. De (2.9) (2.) se obtiene que la velociad circular es v c = GMr /2. Sí la velocidad circular se mantiene constante a grandes radios según los datos que se tienen actualmente, se tiene que M /2 r /2 const, M /2 const r = /2 r/2 const (2.) por lo tanto se obtiene que la masa M(r) r a grandes radios, lo que implica que la materia debe de eistir a radios maores que el disco visible de las galaias espirales. La figura 2.2 muestra algunas curvas de rotación obtenidas recientemente por Sander (996) de Blok & McGaugh (998) [6]. Las medidas ópticas fueron usualmente

20 8 CAPÍTULO 2. DINÁMICA DE LAS GALAXIAS ELÍPTICAS Y ESPIRALES restringidas a partes internas de las galaias, principalmente el comportamiento característico de las curvas de rotación del disco fueron divididas en 3 regiones [5]:. Una región en la cual la velocidad crece linealmente con la distancia desde el centro. 2. Una región donde la velocidad alcana un máimo entonces comiena a declinar (este es llamado radio de Turnover). 3. Una región Kepleriana en la cual el potencial del disco parece un punto de masa, así que la velocidad de rotación decae como r /2. Una ve que r se vuelve más grande que la etensión de la masa, uno espera que la velocidad sea r /2, pero esto no se observa, lo que muestra que no se conoce la etensión real de los halos de materia oscura alrededor de las galaias espirales. Si se aproima el halo a una configuración esférica de radio suficientemente grande tal que la fuera gravitacional del disco pueda ser ignorada, entonces una curva de rotación con velocidad constante v c implica que la masa del halo incrementa linealmente con el radio más allá del último punto medido. La densidad del halo correspondiente es ρ(r) = dm(r) 4πr 2 dr = v c 2 4πGr 2. (2.2) La densidad del halo debe caer bajo el valor dado por la densidad ρ a radios pequeños, a que curvas de rotación observadas se mantienen planas incluso cuando la masa del disco contribue una fracción sustancial a la curva de rotación. Las curvas de rotación proporcionan la más directa evidencia de materia oscura en otras galaias espirales. Sin embargo, las curvas de rotación no dan indicación de la etensión máima del halo de materia oscura a que son aun planas al punto donde la brillantes superficial cae por debajo de los límites detectables. Así, es posible que el halo de materia oscura termine cerca de los bordes del disco visible, por otro lado puede igualmente etenderse muchas veces más, quiás incluso a varios cientos de kpc, o traslaparse con el halo de otra galaia Conclusiones Es importante diferenciar los tipos de sistemas estelares, como las galaias elípticas espirales. Es necesaria una comprensión de la influencia que tiene la materia oscura sobre las galaias espirales; para entender la dinámica de las mismas poder interpretar los resultados obtenidos de acuerdo a las suposiciones hechas. La estructura de las galaias espirales está conformada por: un halo triaial de materia obscura, un disco en su centro un bulbo o concentración central, este será el sistema que analiaremos en esta tesis.

21 2.7. CONCLUSIONES 9 Figura 2.2: Curvas de rotación de galaias espirales publicadas por Sander (996) de Blok & McGaugh (998). El radio (eje horiontal) esta dado en kpc en todos los casos la velocidad (eje vertical) esta en km s. Los puntos muestran las curvas de rotación de líneas de 2 cm observadas, las líneas punteadas son las curvas de rotación Newtonianas, las líneas solidas las medidas de MOND [6].

22 CAPÍTULO 2. DINÁMICA DE LAS GALAXIAS ELÍPTICAS Y ESPIRALES

23 Capítulo 3 Modelos auto-consistentes de galaias 3.. Introducción La importancia de comprender la estructura las lees físicas subacentes que gobiernan la dinámica evolución de los sistemas galácticos es la principal meta en el estudio de sistemas estelares; a fin de comprender algunos de los problemas claves en astrofísica que relacionan el origen, evolución estructura del universo. El análisis de la morfología estabilidad de las órbitas de estrellas individuales en estos sistemas galácticos es esencial para desarrollar una teoría viable acerca del comportamiento de las galaias como un todo. Basandose en observaciones se pueden dividir a las galaias de acuerdo a su forma en espirales (barradas o no barradas), elípticas e irregulares. En la literatura las galaias elípticas se denotan como En donde n = a c a los parametros a c son los ejes maor menor, respectivamente. El rango de las elípticas va desde esféricas E hasta altamente atachadas E7. Las observaciones de galaias elípticas sólo proporcionan una proección de la línea de visión de su forma, dejando la duda de una posible simetría aial. Aunque recientemente las galaias elípticas fueron consideradas como aisimétricas (oblata) debido a su rotación. Se ha observado que la maoría de las galaias elípticas rotan significantemente más lento (de 7-8 km/h) de lo que se espera de un cuerpo fluido con la misma raón aial que seria de unos 2-3 km/h. Estas observaciones dan cabida a la siguiente pregunta: son las galaias elípticas aisimétricas o completamente triaiales?. Binne [4] ha propuesto que el atachamiento de las galaias elípticas se debe principalmente a que la distribución de velocidad es anisotrópica que por lo menos los modelos triaiales son probablemente aisimétricos. Brevemente se comenta que Schwarschild en [7] propuso un método para construir modelos triaiales auto-consistentes que se vera más adelante. Las galaias elípticas son sistemas de entre 7 a 2 estrellas tienen un radio aproimado de 5 kpc [5]. Una colisión es un encuentro entre estrellas cuando el efecto gravitacional debido a sus masas domina el campo gravitatorio del resto de la galaia. Resultados recientes muestran que el tiempo necesario para que se produca una colisión es de 9 r un factor de 9 más grande que la edad de la galaia, el

24 2 CAPÍTULO 3. MODELOS AUTO-CONSISTENTES DE GALAXIAS cual es de,5 r; esto justifica el tratamiento de las estrellas en una galaia como puntos con masa a las galaias como sistemas sin colisiones [5]. Esto también permite usar una distribución de masa continua para así obtener una aproimación al campo gravitacional de las galaias La ecuación de Boltmann sin colisiones La distribución de masa en un galaia sin colisiones se describe a través de una función de distribución (DF) del espacio fase f(, v, t) que satisface la ecuación de Boltmann sin colisiones (EBC) dada por: f f + v f Φ t v = (3.) donde Φ es el potencial gravitacional del sistema. Para que la DF tenga significado físico debe de ser no-negativa. En los modelos en equilibrio se tiene que f =. La integración de la DF sobre el espacio de velocidades t produce la densidad de masa ρ() del sistema: ρ(, t) = f(, v, t)d 3 v. (3.2) Dada la densidad de masa ρ, el potencial gravitacional Φ() se puede calcular por medio de la ecuación de Poisson: 2 Φ = 4πGρ (3.3) donde G es la constante gravitacional. No toda la densidad de masa es debido a la materia luninosa, sino también ha contribuciones importantes de materia oscura, tal como la eistencia de halos de materia oscura o agujeros negros en los centros de las galaias. Para obtener un modelo dinámico de un sistema galáctico se deben resolver las ecuaciones (3.)-(3.3) simultáneamente. Si se pueden resolver, entonces se habla de un modelo auto-consistente, para ello se pueden adoptar una de las siguientes aproimaciones:. Dada la densidad ρ resolvemos (3.)-(3.3) para f. 2. Dada la DF f resolvemos (3.)-(3.3) para ρ. En cualquiera de estas aproimaciones, es útil emplear el teorema de Jeans que relaciona la DF las coordenadas del espacio fase. Todas las integrales aisladas de movimiento I(, v) que se conservan en un potencial dado satisfacen (3.). Las integrales aisladas de movimiento la DF se relacionan por medio del teorema de Jeans, el cual dice que la DF depende de las coordenadas del espacio fase (, v) sólo a través de tres integrales aisladas de movimiento f(i, I 2, I 3 ). Si el sistema admite menos integrales de movimiento que grados de libertad las órbitas son caóticas (estocásticas o irregulares); esto significa que cada

25 3.2. EL MÉTODO DE SCHWARZSCHILD 3 órbita llenara densamente la porción del espacio fase delimitado por la(s) curva(s) de la integral(es) constante de movimiento que obedece. Sí por otro lado, el número de integrales aisladas de movimiento es igual al número de grados de libertad la órbita es regular El método de Schwarschild Las galaias triaiales tienen tres planos de reflección simétricos, pero los ejes no son simétricos. En un potencial triaial, la fuera no es radial por lo que ningún componente del momento angular se conserva. Esta ausencia de simetría hace de las galaias triaiales un problema de tres grados de libertad. La maoría de las galaias triaiales tienen eactamente una sola integral de movimiento, la energía de la órbita E (definido como el valor del Hamiltoniano). Sin embargo, los modelos numéricos muestran que porciones mu pequeñas de las órbitas en sistemas triaiales son regulares [7, 8, 9, 2, 3]. Estas órbitas admiten dos integrales de movimiento I 2 I 3 además de la energía orbital entonces la DF es f(e, I 2, I 3 ). Sin embargo, a que estas integrales aisladas de movimiento no se conocen analíticamente no se puede construir una DF que represente a una galaia. En [7] se propuso un método numérico para calcular una configuración 3-dimensional auto-consistente para sistemas estelares sin colisiones en equilibrio dinámico. Densidad Potencial Programación lineal Órbitas No-negativo mínimos cuadrados Distribución de la densidad de órbitas individuales Figura 3.: Método de Schwarschild para calcular numéricamente la función de distribución f. El método de Schwarschild es una aproimación estándar para verificar sí un

26 4 CAPÍTULO 3. MODELOS AUTO-CONSISTENTES DE GALAXIAS modelo es auto-consistente o no, que a grandes rasgos consiste en 4 pasos: ) escoger una distribución de densidad, 2) calcular el potencial a partir de la ecuación de Poisson, 3) integrar n órbitas finalmente 4) reproducir la densidad por medio de la superposición orbital. Para llevarlo a cabo se divide el espacio en celdas, a sea de igual masa o volumen, así se puede saber el tiempo que una órbita estuvo en cada celda. Comúnmente se emplea programación lineal para resolver el problema en muchas otras ocasiones mínimos cuadrados. La figura 3. muestra un esquema del método de Schwarschild. En la última etapa del método de Schwarschild se calculan los números de ocupación que es el número de veces que cada órbita pasa por una celda determinada por el índice i, esto proporciona una aproimación a la función de distribución del espacio fase f(, v). La principal contribución del método de Schwarschild es que f se obtiene numéricamente sin conocimiento eplícito de las integrales de movimiento. El procedimiento general del método de Schwarschild se detalla abajo. Procedimiento general a) Escoger una distribución de densidad. La distribución de densidad se puede dar numérica o analíticamente, pero por costo computacional se recomienda en lo posible representarla analíticamente para facilitar los cálculos en el paso b. El espacio ocupado por el modelo se divide en N celdas la distribución de densidad se representara por la masa D(J) con J = hasta N lugares en cada celda. El espacio se divide a sea en celdas de igual volumen o igual masa (figura 3.2) dependiendo de la geometría de la distribución se contiene en una esfera o un cilindro. b) Derivación del potencial gravitacional. Dada la distribución de densidad, el potencial se puede calcular por medio de la ecuación de Poisson (3.3). Por costo computacional es conveniente que el potencial sus primeras tres derivadas parciales se pueden epresar al menos parcialmente algebraicas, en lugar de totalmente numéricas. Para nuestros propositos este paso no es necesario, a que se tiene la epresión del potencial, por el cual también la densidad vía (3.3). c) Cálculo de las órbitas. Dado el potencial gravitacional, cualquier órbita descrita por sus parámetros iniciales se puede calcular empleando cualquier método de integración. Es necesario que el tiempo de integración sea lo suficientemente grande, digamos oscilaciones dentro del sistema para asegurarnos que la órbita represente las características del sistema. Durante el cálculo o integración de una órbita, ciertos datos tienen que ser guardados para futuras investigaciones como las velocidades posiciones. Aquí, sólo se necesita guardar la fracción de tiempo que una órbita pasa en una celda (números de ocupación) dependiendo de la división hecha en el paso a (figura 3.2). Así, cuando el cálculo de una órbita designada por el índice I, se guarda la fracción de tiempo B(I, J) en la celda con índice J = hasta N. Los valores B se pueden considerar como una

27 3.2. EL MÉTODO DE SCHWARZSCHILD 5 representación de la distribución de densidad producida por la superposición orbital. Figura 3.2: En la iquierda se muestra un sistema contenido en un cilindro con una división del espacio en celdas de igual volumen en la derecha se muestran órbitas pasando por una celda. El número total de órbitas que pasan por una celda se le llama número de ocupación este representa la densidad del sistema en la celda. d) Reproducción de la distribución de densidad del modelo. Después del cálculo de digamos M órbitas la pregunta restante es: puede la distribución de densidad D(J) ser reproducida por una superposición de M órbitas por medio de los números de ocupacion B(I, J), si cada órbita ocupa aleatoriamente un número apropiado de celdas con números de ocupación C(I)? o más precisamente, puede el siguiente conjunto de ecuaciones: M C(I) B(I, J) = D(J) (J =,..., N) (3.4) I= tener una solución física aceptable, por ejemplo, una en la cual todos los números de ocupación sean no negativos, es decir C(I) (I =,..., M). (3.5) Las ecuaciones (3.4) (3.5) representan un problema típico de programación lineal para el cual eisten métodos para calcular una solución o probar la no eistencia de una solución. Si para un caso en particular, la programación lineal da la respuesta Sin solución para las condiciones (3.4) (3.5), dos alternativas se pueden considerar: podría ser que las M órbitas incluidas no cubren suficientemente los tipos rangos de los parámetros de todas las órbitas posibles. En este caso, se necesita calcular órbitas adicionales con el objetivo de incrementar la variedad en las tablas B(I, J), entoces el método de programación lineal se repite agregando las nuevas órbitas. Por otro lado, si la respuesta sigue siendo Sin solución entonces la interpretación posible podría ser que la distribución elegida puede no corresponder a una configuración en equilibrio en vista de la eistencia de tres integrales de movimiento para la maoría de las órbitas. En

28 6 CAPÍTULO 3. MODELOS AUTO-CONSISTENTES DE GALAXIAS contraste, en la situación en que la programación lineal proporciona una solución para las condiciones (3.4) (3.5) se puede concluir que la distribución de densidad escogida corresponde a una configuración dinámica en equilibrio que esta configuración se puede representar por medio de una superposición de órbitas donde cada celda es ocupada por un número de estrellas dada por la solución de la programación lineal. La librería de órbitas empleando la aproimación de Schwarschild se puede contruir como sigue: muestrear uniformemente el espacio fase para obtener las condiciones iniciales (posiciones velocidades), integrar las ecuaciones de movimiento sobre grandes escalas de tiempo calcular los números de ocupación. Esto no asegura de que siempre se tendrán las órbitas que más peso estadístico tengan para reforar la forma de la galaia; por otro lado, varios autores mencionan la importancia de las órbitas ergódicas en modelos de potenciales de galaias. La ergodicidad de cada órbita se puede determinar vía su Eponente de Lapunov (LE), el cual mide la raón a la cual una órbita eperimenta una perturbación lineal desde su traectoria imperturbada. Una órbita regular tiene un LE igual a cero, mientras una órbita ergódica tiene al menos un LE positivo Órbitas potencial gravitacional Mucha de la masa de una galaia reside en estrellas. Para calcular el potencial de un gran número de estrellas se debe en principio sumar el potencial de cada punto de masa de todas las estrellas. Por supuesto, esto no es práctico para estrellas en una galaia típica, para la maoría de los propositos es suficiente modelar el potencial como una distribución de densidad uniforme que sea proporcional a la densidad local en la galaia. Para calcular la fuera F() sobre una unidad de masa a la posición que es generado por la atracción gravitacional de una distribución de masa ρ() se emplea la le del inverso al cuadrado de la gravitación de Isaac Newton. La fuera F() se puede obtener sumando las pequeñas contribuciones de la fuera total de cada pequeño elemento de volumen δ 3 localiada a, es decir: Entonces, δf() = G 3 δm( ) = G 3 ρ( )δ 3. (3.6) F = G d3 ρ( )d 3. (3.7) Se define el potencial gravitacional Φ(X) como ρ( ) Φ() = G d3 (3.8) del cual se deriva que

29 3.3. ÓRBITAS Y POTENCIAL GRAVITACIONAL 7 F() = Gρ( ) d3 = Φ. (3.9) El potencial es útil porque siendo un campo escalar, es más fácil de visualiar que el campo de fuera. Además, en muchas situaciones la mejor forma de obtener F es primero calcular el potencial entonces tomar su gradiente Pares densidad-potencial La densidad generada por un potencial gravitacional se puede conocer a través de (3.3) considerando que cada estrella es un punto de masa donde no eisten colisiones. A esta relación del potencial con la densidad se le conocen como modelos de galaias densidad-potencial. Los siguientes son ejemplos de modelos densidad-potencial. Potenciales esféricos Punto de masa: el potencial la fuera Kepleriana están dados por: Φ(r) = GM r, f r = Φ(r) = GM ˆr. (3.) r2 El movimiento de las órbitas se describe por la ecuación m r = m Φ(r), su mometum angular por unidad de masa es J = r (mṙ), del mismo modo J = r (m r) + ṙ (mṙ) = r F a que ṙ (mṙ) =. Sí Φ(r) depende únicamente de r no de r, entonces por lo tanto f = Φ = dφ ˆr (3.) dr dj = r (mf) = mdφr ṙ =. (3.2) dt dr El momentum angular alrededor del origen se conserva, lo que quiere decir que el movimiento se sustenta sobre un plano (r ˆr en el plano). Potencial Isocrono: Un potencial más realista es el potencial isocrono, el cual fue diseñado para dar una densidad constante alta cerca del centro decae como ρ r 4 para r grande (figura 3.3), consistente con muchos resultados empíricos de astronomía galáctica. El potencial isochrone tiene una escala longitud b masa total M GM Φ(r) = b + (3.3) b 2 + r 2

30 8 CAPÍTULO 3. MODELOS AUTO-CONSISTENTES DE GALAXIAS la densidad es [ ] 3(b + a)a 2 r 2 (b + 3a) ρ(r) = M 4π(b + a) 3 a 3 (3.4) donde a = b 2 + r Phi Rho r Figura 3.3: Gráfica del potencial Isochrone (arriba) la densidad generada (abajo) con b =,5 G = M = en unidades unitarias. Potenciales aisimétricos

31 3.3. ÓRBITAS Y POTENCIAL GRAVITACIONAL 9 Potencial de Plummer: Considere el potencial esférico Φ P = GM r2 + b, (3.5) 2 de la ecuación de Poisson (3.3) se tiene que la densidad correspondiente al potencial, es ( ) ) 5 3M ρ P (r) = ( + r2 2. (3.6) 4πb 3 b 2 En 9 H.C. Plummer usó este par densidad-potencial (3.5)-(3.6) para ajustar observaciones de cúmulos globulares, es conocido como el modelo de Plummer. Potencial de Plummer-Kumin: también conocido como el modelo de Toomre está dado por GM Φ K (R, ) =, (3.7) R 2 + (a + ) 2 con densidad superficial Σ K (R) = am. (3.8) 2π(R 2 + a 2 3/2 ) La densidad superficial se define como Σ K = ρ(r, )d. La figura 3.4 muestra la densidad superficial velocidad circular del potencial de Kumin; la densidad en R = es M/2πa 2 ; la velocidad circular en R = es infinita donde la densidad superficial sería cero, v c crece desde R = para a hasta alcanar la velocidad máima que le permite la densidad inicial en R = 2a. Potencial Miamoto-Nagai [4]: es una combinación del modelo de Plummer- Kumin (3.7) el modelo esférico de Plummer (3.5) para cúmulos globulares está dado por: Φ M (R, ) = GM R 2 + (a + b ) 2. (3.9) Cuando a =, Φ M se reduce al modelo esférico de Plummer (3.5), cuando b =, Φ M se reduce al modelo de Kumin (3.7). Dependiendo de la elección de los parámetros a b, Φ M puede representar el potencial de cualquier disco infinítamente delgado hasta un disco con una concentración de masa central. De (3.3) la densidad generada por el potencial es

32 2 CAPÍTULO 3. MODELOS AUTO-CONSISTENTES DE GALAXIAS Sigma Vc R Figura 3.4: La gráfica de arriba muestra la densidad superficial del potencial de Kumin normaliado con a = la gráfica de abajo muestra la velocidad circular para a=,2,3,4,5; conforme a es más grande la densidad inicial es maor, por lo tanto la máima velocidad circular es menor lo que se observa en las curvas.

33 3.3. ÓRBITAS Y POTENCIAL GRAVITACIONAL 2 ρ M (R, ) = ( ) b 2 M ar 2 + (a b 2 )(a b 2 ) 2 4π [ R2 + (a b 2 ) 2], (3.2) 5/2 (2 + b 2 ) 3/2 la cual es no-negativa en cualquier lugar en el espacio. El potencial de Miamoto-Nagai involucra pocos parámetros: la dimensión de la galaia a, el grosor galáctico b, la masa de la galaia M. Con estos tres parámetros, el modelo de Miamoto-Nagai cubre un amplio rango de configuraciones aisimétricas de galaias. La figura 3.5 muestra contornos de la densidad generado por el potencial como función de la raón b/a; conforme b/a decrementa la distribución de masa se vuelve cada ve más llana; también se muestra un ejemplo de órbita para cada densidad generada. La ecuación (3.2) muestra que la disposición de materia es oblato en lugar de prolato, a que ρ(, ) > ρ(, ) para a. Pero que la distribución de masa es generalmente esferoidal, ecepto cerca del centro galáctico donde el campo de densidad (3.2) tiende a una forma esferoidal oblata. Potencial logarítmico: a que los modelos de Plummer-Kumin (3.5)-(3.7) tienen una masa finita, la velocidad circular asociada con este potencial decae en una manera Kepleriana, es decir v c R /2 para R grande. Si para R grande, v c v es una constante entonces dφ/dr R por lo tanto Φ v 2 ln R + constant en esta región. Por lo tanto considere el siguiente potencial Φ L = ) 2 v 2 ln (R 2 c + R constant, (3.2) donde R c es el radio del núcleo, v es constante, q Φ. De la ecuación (3.3) la densidad generada por el potencial Φ L es q 2 Φ ( ) v 2 ρ L (R, ) = (2q 2 Φ + )Rc 2 + R 2 + 2( 2 q 2 Φ )2 4πGqΦ 2 (Rc 2 + R q 2. (3.22) Φ )2 Para R pequeños, ρ L tiende al valor ρ L (, ) = (4πG) (2 + q 2 Φ )(v /R c ) 2, cuando R o es grande ρ L decae como R 2 o 2. Las superficies equipotenciales de Φ L son elipses de raón aial q Φ, pero de la figura 3.6 muestra que las superficies equidensidad son algo más planas, también se muestra un ejemplo de órbita para cada densidad generada. La velocidad circular v c al radio R en el plano ecuatorial (R, ) de Φ L es v c = v R R 2 c + R 2. (3.23)

34 22 CAPÍTULO 3. MODELOS AUTO-CONSISTENTES DE GALAXIAS R R Figura 3.5: Gráficas de contorno de la densidad de Miamoto-Nagia para las raones b/a =.2 (arriba), b/a = (en medio) b/a = (abajo), también se muestra un ejemplo de órbita para cada gráfica de densidad con valores iniciales (R,, v R, v ) = (-.2,.,.,-.) GM =.

35 3.3. ÓRBITAS Y POTENCIAL GRAVITACIONAL 23 Este potencial se puede generaliar para simular una figura triaial el cual ha sido estudiado con detalle en [5]. En general, sepuede escribir en términos de coordenadas cartesianas como Φ H = 2 v2 ln(r p 2 + q 2 ). (3.24) Las equipotenciales son elipsoides con raones /p 2 /q 2 entre el medio eje largo corto largo respectivamente Modelo triaial de Disco + Halo + Núcleo Se generaliaron los modelos anteriores en tres dimensiones espaciales, para el modelo de una galaia con componentes de halo, disco núcleo, el potencial total es igual a la suma de cada componente individual a que los potenciales son conservativos. Se empleó un potencial logarítmico (3.24) para modelar el halo de la galaia (con parámetros de triaialidad p q): Halo: Φ H = 2 v2 ln(r p 2 + q 2 ). (3.25) Se modeló el disco bulge usando el potencial de Miamoto-Nagai (3.9) donde los parámetros a b determinan la concentración de masa central llanura del sistema: GM D Disco: Φ D = (a D + ( 2 + b 2 D )/2 ). (3.26) 2 Se incluó una esfera de Plummer (3.5) para modelar el núcleo central de masa para el sistema Así, el potencial total es GM C Núcleo: Φ C =. (3.27) b 2 c la densidad en cualquier región del sistema es Φ = Φ Halo + Φ Disco + Φ Núcleo (3.28) ρ(,, ) = 2 Φ 4πG. (3.29) Los parámetros del halo v la máima velocidad de rotación r el radio del núcleo donde el potencial es casi armónico están en unidades de km/s kpc respectivamente. Los valores que se emplearon fueron v =.2 igual a 2 km/s r = igual a kpc, respectivamente. Los parámetros del disco GM D que representa la masa del disco esta en unidades para la cual la constante gravitacional es la unidad, a D la concentración de masa central está dada en kpc b D que determina la llanura del disco también esta

36 24 CAPÍTULO 3. MODELOS AUTO-CONSISTENTES DE GALAXIAS R R R R Figura 3.6: Contornos de igual densidad en el plano (R, ) para ρ L, cuando q Φ =. (arriba), q Φ =.95 (en medio) q Φ =.7 (abajo). Cuando q Φ =,7 la densidad es negativa cerca del eje para 7R c ; también se muestra un ejemplo de órbita para cada gráfica de densidad, con valores iniciales (R,, v R, v ) = (.5,-.5,.5,.2) con v = R c =.5.