TEMA 7: SMD. Longitud, Capacidad, Masa, Área y Volumen.

Transcripción

1 TEMA 7: SMD. Longitud, Capacidad, Masa, Área y Volumen. -T 7--ºESO I.- Un poco de Historia: Frecuentemente, utilizamos expresiones como la cisterna de agua gasta 6 litros (l) cada vez que la utilizamos ayer corrí 8 Km mi madre ha comprado 5 kg de naranjas me lavo los dientes en 3 minutos Todas estas cantidades son medidas. La longitud, la capacidad, la masa, el tiempo,... son ejemplos de propiedades que se pueden medir. Otras propiedades como el ánimo, el color, la belleza,... no son medibles. Por ello decimos que la longitud,... son ejemplos de magnitudes (característica capaz de ser medida). Una medida es el resultado de comparar el objeto que queremos medir con una cantidad considerada como unidad. Así, cuando decimos que la longitud de la mesa es de 3 palmos y medio, estamos comparando la longitud de la mesa con la de nuestro palmo. En el transcurso de la historia de la humanidad, el ser humano ha utilizado diferentes unidades para medir. Inicialmente se empleaban unidades de longitud que hacían referencia al cuerpo humano como la mano, el pie o el codo. Las unidades de medida que hacen referencia al cuerpo humano no son adecuadas porque varían de una persona a otra. Por ello, el ser humano se planteó la necesidad de buscar unidades que fueran invariables. Así surgieron las unidades patrón. Pero aún así, éstas tomaban valores diferentes según la zona. Para evitar confusiones y unificar criterios, los científicos del siglo XVIII se reunieron con el objetivo de establecer un sistema de unidades de carácter universal. De este modo nació el Sistema Métrico Decimal, llamado así porque cada unidad que se utiliza es 0 veces más grande que la inmediata inferior y 0 veces más pequeña que la inmediata superior (Longitud, Capacidad y Masa). II.- Las unidades de Longitud: Las unidades de longitud sirven para medir distancias en línea recta desde un punto hasta otro. La mayoría de los países utilizan el sistema métrico decimal. La unidad principal para medir longitudes en dicho sistema es el metro (m). Tiene 3 múltiplos: kilómetro (km), hectómetro (hm) y decámetro (dam), que son mayores que él. Y tiene 3 submúltiplos: decímetro (dm), centímetro (cm) y milímetro (mm), que son menores que el metro. Otras unidades de longitud utilizadas tradicionalmente son, por ejemplo, el pie que es igual a 0 259/0 302 m, la vara que es igual a 0 772/0 839 m, y las utilizadas en los países anglosajones (habla inglesa) como la pulgada = 2 54 cm, la yarda = 9 44 cm, la milla terrestre = 609 km,... Como curiosidad, el metro es la distancia, a la temperatura de 0 ºC, entre dos trazos paralelos marcados sobre una barra de platino iridiado con sección en forma de X depositado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de París. Es el metro original. A partir de él, cada país ha hecho su copia. Los instrumentos que nos permiten medir cantidades de longitud son, por ejemplo: el metro de costurera, regla graduada, escuadra/cartabón graduados, flexómetro, cinta métrica, pie de rey, odómetro (rueda de medir), cuentakm del coche/bicicleta/..., podómetro,... III.- Las unidades de Capacidad: Las unidades de capacidad sirven para medir la cantidad de líquido o gas que cabe o hay en un determinado recipiente. También la mayoría de los países usan este sistema de unidades. La unidad principal para medir capacidades en dicho sistema es el litro (l). Tiene 3 múltiplos: kilolitro (kl), hectolitro (hl) y decalitro (dal), que son mayores que él. Y tiene 3 submúltiplos: decilitro (dl), centilitro (cl) y mililitro (ml), que son menores que el litro. Otras unidades de capacidad utilizadas antiguamente son la cántara = 6 3 l., la fanega = desde 0 l. hasta 55 5 l., la carga = 2,6 l. hasta 222 l., la pinta = l. hasta l.,... El recipiente que contiene exactamente un litro, probablemente esté también en Francia. Los instrumentos que nos permiten medir cantidades de capacidad son, por ejemplo: una jeringuilla, un vaso, cubo, probeta, pipeta, cazo lechero, matraz aforado, botella, lata, contador gasolineras, pluviómetro,...

2 2-T 7--ºESO IV.- Las unidades de Masa: Las unidades de masa sirven para medir el peso de las cosas materiales (materia). Pues sí. La mayoría de los... La unidad principal para medir longitudes en dicho sistema es el kilogramo (kg) si bien, para confeccionar la lista de los múltiplos y submúltiplos se tiene en cuenta al gramo (g). Tiene 3 múltiplos: kilogramo (kg), hectogramo (hg) y decagramo (dag), que son mayores que el gramo. Y tiene 3 submúltiplos: decigramo (dg), centigramo (cg) y miligramo (mg), que son menores que el mismo gramo. Otras unidades de masa utilizadas de antaño son la arroba que es igual desde 5 hasta 2 5 kg, la libra = 372 g hasta 579 g, la onza = 23 g hasta 37 g (la dieciseisava parte de una libra),... Como curiosidad, el kilogramo es la masa que posee un cilindro de platino iridiado depositado en la Oficina Internacional de Peses y Medidas de Sèvres (París), al lado izquierdo del río Sena. Los instrumentos que nos permiten medir cantidades de masa son, por ejemplo: balanza de pesas, básculas, pesacartas, peso de comida, balanza de precisión,... V.- Cambio de cantidades de una unidad a otra: A pesar de lo que ponga el libro y de lo que ya estemos acostumbrados a hacer, a partir de este año vamos a pasar las cantidades a otra unidad diferente utilizando el factor de conversión, que será de uso obligatorio. Para hacerlo se siguen una serie de pasos: se coloca la cantidad que vamos a pasar a otra unidad a la izquierda, seguido por un signo de multiplicar (x). O sea, la cantidad será el primer factor. 2 a continuación se coloca una raya de fracción (2º factor) que es el factor de conversión. Éste se tendrá que rellenar siguiendo así: arriba al final se pone la unidad a la que lo queremos pasar, y debajo al final se pone la unidad en la que está expresada la cantidad. Luego se le pone un a la unidad mayor de las dos, y su equivalencia a la otra. 3 después se tacharán las unidades repetidas y hacemos la multiplicación en dos pasos. El resultado será la solución deseada. Ahí van dos ejemplos: 34 hg cg hg x cg hg x = hg hgcg cg = cg 530 dl kl dl x kl dl dl x kl = 0.000dl 530 kl = kl De la página 37 del libro, los n os 4 ae, 5 bd y Expresa en centímetros las siguientes cantidades: 23 m y 2 4 hm. Por otro lado, pasa a decilitros las cantidades 4 l y 0 2 kl. Por último, convierte en kilogramos las cantidades 5 q y 73 dg. 3.- De la página 38 del libro, los n os 9 b y 0. De la página siguiente, los n os 4, 5 y De la página 40 del libro, los n os 8 ad, 9 b, 2 y 22. De la página siguiente, los n os 23 y Un ciclista, en cada golpe de pedal, recorre 4 76 m. Cuántos golpes de pedal necesitará para recorrer un total de 0 km? 6.- Cuántas botellas de agua de 3/4 de litro se pueden llenar con un barril que contiene 6 7 hectolitros? 7.- Un barco lleva 2600 toneladas de carbón. Cuántos vagones de 80 q se necesitan para transportarlo? 8.- Un ladrillo tiene una masa de 2 4 kg. Cuál es la masa, en gramos, de 200 ladrillos iguales a él? 9.- La masa de una caja de cereales es de 375 g. Se ha diseñado un nuevo envase con un 5 % más de masa. Cuántos mg tiene el nuevo envase? VI.- Expresión Incompleja y Compleja de una cantidad: Os voy a decir el peso de vuestro profesor de matemáticas justo cuando vino de un viaje que hizo con dos amigos a los Pirineos aragoneses (valle de Ordesa y Monte Perdido, Torla): 72 4 kg ó 0 7 q, kg y 4 hg

3 3-T 7--ºESO Cuál de las dos cantidades, que vienen a ser la misma masa, os parece más fácil o menos compleja? La respuesta es obvia, pues habréis dicho que la primera de las formas. Por ello, la primera de las formas (72 4 kg) está expresada en forma incompleja y la segunda de las formas (0 7 q, kg y 4 hg) está de forma compleja. Es así de sencillo. Pues si una cantidad nos la dan en forma compleja nos pueden decir que la pasemos a forma incompleja, y viceversa. Qué cómo se hace? Vamos a explicarlo: a) Paso de forma Compleja a Incompleja Tenemos entre las manos, o escrito en el papel, una cantidad que está expresada en varias unidades. Si no nos dice nada el ejercicio, lo más normal que habéis pensado hacer es pasarlo todo a una misma unidad y luego sumarlo. El resultado de esa suma ya estará en forma incompleja. El paso a otra unidad de medida, como ya sabéis, se haría con el factor de conversión: Ej. 0 7 q kg y 4 hg Al no decirnos nada lo pasaremos a la 00kg kg 0 7 q x = = 70 kg q unidad más pequeña + kg kg 4 kg 4 hg x = = 4 kg 0hg 0 que aparece, los hg, aunque lo suyo sería T O T A L : 72 4 kg SOLUCIÓN pasarlo a kg, la unidad fundamental de masa. B) Paso de forma Incompleja a Compleja Tenemos en este caso una cantidad expresada en una única unidad. Para ponerla en varias unidades se siguen estos simples pasos: Ej dal - a la cifra que esté en el lugar de las unidades del nº se le coloca la unidad de medida en la que esté expresada la cantidad (en el ejemplo la cifra sería el 2, y le correspondería dal ). - a las cifras que hayan antes a las de las unidades se les asignan las unidades de medida inmediatamente superiores (tenemos únicamente la cifra 7, y le correspondería hl ). - a las cifras posteriores se les asignarían las unidades de medida inmediatamente inferiores (en el ejemplo, tan solo tenemos un 4 y le correspondería l ). Otros ejemplos podrían ser: 3076 mg 3 g 7 cg 6 mg,, kg 5 q 9 hg 8 dag 0.- Pasa a forma compleja o incompleja, según corresponda: 2 kg 32 dg 7 cg 2 mg,, 34 dag 5 dg,, cl,, dam,, 9345 dam,, kl hg,, cl,, 245 mm,, dag..- En un bidón de 5 litros se han echado257 cl. Cuántos dl faltan para su llenado total? 2.- Un rinoceronte de mediana edad pesa 768 kg. Se lo han llevado a una reserva de la biosfera que hay en el Congo para que viva en libertad y en compañía de otros de su misma especie, ya que lo han visto un poco triste y flacucho. Si en 3 meses que ha estado allí ha engordado 34 kg 234 hg, cuántos quintales pesa ahora? VII.- Las unidades de Área o Superficie: Las unidades de área sirven para conocer el espacio que hay encerrado dentro de un polígono o figura plana cerrada. La unidad principal para medir longitudes en dicho sistema es el metro cuadrado (m 2 ). Tiene 3 múltiplos: kilómetro cuadrado (km 2 ), hectómetro cuadrado (hm 2 ) y decámetro cuadrado (dam 2 ), que son mayores que él. Y tiene 3 submúltiplos: decímetro cuadrado (dm 2 ), centímetro cuadrado (cm 2 ) y milímetro cuadrado (mm 2 ), que son menores que el metro cuadrado.

4 Estas unidades, al estar elevadas al cuadrado, van de 00 en 00 4-T 7--ºESO (a diferencia de las 3 magnitudes anteriores). Esto significa que cada unidad es 00 veces más grande que la unidad inmediatamente inferior y 00 veces más pequeña que la inmediata superior. Y qué es un metro cuadrado? Lo primero que se nos ocurriría decir es que es la unidad fundamental de área o superficie, y sería cierto. Pero debemos definirla como la superficie que ocuparía un cuadrado cuyo lado mide metro. Asimismo, el dam 2 sería la superficie que..., y un hm 2 sería la superficie que ocuparía un cuadrado de hm de lado, o lo que es lo mismo, 00 metros de lado. En la realidad, siempre hemos dicho que algo así podría ser el césped de un campo de fútbol. Cabe recordar que existen otras tres unidades más de superficie, que son las que están relacionadas con el sector agrícola. Son las unidades agrarias y son ha a ca y equivalen a: ha = hm 2 - a = dam 2 - ca = m 2 Para pasar una cantidad de área a otra unidad es preciso hacerlo también con el factor de conversión, si bien habrá que contar doble nº de ceros por cada salto de unidad debido a que estas unidades van de 00 en 00. Vaya este ejemplo: 2 34 hm 2 dm hm dm 2 34x000000dm x 2 = hm 2 = dm 2 Si lo que queremos es pasarlo de forma compleja a incompleja lo haríamos con el factor de conversión. Si por el contrario quiero pasarlo de forma incompleja a compleja se hace de forma parecida. En este caso, y ya que las unidades de área o superficie van de 00 en 00, lo primero es hacer parejas con las cifras de la cantidad a partir de la coma teniendo cuidado con la última de las parejas (la que está más a la derecha). Después, a la pareja que haya justo antes de la coma se le asigna la unidad en la que está expresada la cantidad. A las parejas anteriores se le asignan las unidades inmediatamente superiores, y a las parejas posteriores se le asignan las unidades inmediatamente inferiores. Valga este ejemplo: dm 2 las parejas son 0 =, 40, 78 y 50 Quedará entonces así: dm 2 = m 2 40 dm 2 78 cm 2 50 mm 2 Otros ejemplos serían: ha = 3 ha 78 a 96 ca 8 dm 2,, m 2 = 2 m 2 43 dm 2 45 cm Qué es un dm 2? Y un km 2? Cuántos dam 2 son 350 cm 2? 4.- Pasa a forma compleja o incompleja, según corresponda: a) 4 km 2 39 dam 2 9 m 2 b) 42 8 dm 2 c) 64 dam 2 89 a 45 dm 2 6 mm 2 d) hm 2 e) 6009 mm 2 f) cm De la página 42 del libro, los n os 26 adgj y 28. De la página siguiente, los n os 3 y 34. VIII.- Las unidades de Volumen: Las unidades de área sirven para conocer el espacio que hay encerrado dentro de un poliedro. La unidad principal para medir longitudes en dicho sistema es el metro cúbico (m 3 ). Tiene 3 múltiplos: kilómetro cúbico (km 3 ), hectómetro cúbico (hm 3 ) y decámetro cúbico (dam 3 ), que son mayores que él. Y tiene 3 submúltiplos: decímetro cúbico (dm 3 ), centímetro cúbico (cm 3 ) y milímetro cúbico (mm 3 ), que son menores que el metro cúbico. Y qué es un metro cúbico? Lo primero que se nos ocurriría decir es que es la unidad fundamental de volumen, y sería cierto. Pero debemos definirla como el espacio que hay encerrado dentro de un cubo de metro de arista. Asimismo, el dam 2 sería la superficie que..., y un hm 2 sería el espacio que hay encerrado dentro de un cubo de hectómetro de arista, o lo que es lo mismo,.000 metros de arista. Para pasar una cantidad de área a otra unidad es preciso hacerlo también con el factor de conversión, si bien habrá que contar triple nº de ceros por cada salto de unidad debido a que estas unidades van de.000 en.000. Vaya este ejemplo:

5 m m 2 34 hm 3 m hm 3 x = = m 3 3 hm 5-T 7--ºESO Si lo que queremos es pasarlo de forma compleja a incompleja lo haríamos con el factor de conversión. Si por el contrario quiero pasarlo de forma incompleja a compleja se hace de forma parecida. En este caso, y ya que las unidades de área o superficie van de.000 en.000, lo primero es hacer tríos con las cifras de la cantidad a partir de la coma teniendo cuidado con el último de los tríos (el que está más a la derecha). Después, al trío que haya justo antes de la coma se le asigna la unidad en la que está expresada la cantidad. A los tríos anteriores se le asignan las unidades inmediatamente superiores, y a los posteriores se le asignan las unidades inmediatamente inferiores. Valga este ejemplo: dm 3 los tríos son 004 = 4, 40 y 785 Quedará entonces así: dm 3 = 4 m 3 40 dm cm 3 Otros ejemplos serían: hm 3 = 3 hm dam m 3,, dm 3 = 2 m 3 4 dm cm Qué es un dm 3? Y un km 3? Cuántos dam 3 son 350 m 3? 7.- Pasa a forma compleja o incompleja, según corresponda: a) 4 km hm 3 9 m 3 b) 42 8 dm 3 d) hm 3 e) 6009 mm 3 f) cm De la página 44 del libro, el n o 35. De la página siguiente, los n os 38 ace y 39. DEL TRABAJO: se hacen los n os 53 b, 55 bef, 56 bde, 59 d, 6, 62 ceg, 63 a, 65 bd, 66, 67, 72, 73, ac, 74 b, 76, 80, 82 bd, 83, 89, 93, 94, 95, 99, 00, 03, 04 y 07. QUE HAN SIDO CAMBIADOS: (Seguro 80) 80.- Un grifo de una bañera está estropeado y desprende una gota de agua cada segundo. Se ha calculado que 5 gotas equivalen a ml. Cuántos litros se perderán en un día? 94.- Pasa a compleja estas cantidades: a) dm 3 b) hm c) q d) dam 2 e) dal 95.- La masa de 295 litros de aceite es de kg. Cuál es la masa de dal de aceite? U A HISTORIA CURIOSA, BO ITA Y HERMOSA UNIDADES Y UNIDADES! Para medir grandes distancias utilizamos los kilómetros; así, decimos que entre Madrid y Barcelona hay 62 kilómetros, y no metros. Pero y si queremos medir longitudes aún mayores como las distancias entre los planetas? Para eso se creó la Unidad Astronómica (UA), que equivale a los 50 millones de kilómetros que separan la Tierra y el Sol. Así, Plutón, el planeta más alejado del astro rey, está a 30 2 UA. Fuera del sistema solar las distancias son aún mayores y la Unidad Astronómica se queda pequeña. Por eso se utiliza el año-luz: la distancia que recorre la luz en un año. Y teniendo en cuenta que la luz se desplaza a kilómetros por segundo, un año luz son 9 46 billones de kilómetros. El objeto más lejano descubierto hasta ahora en el universo está a millones de años luz!! O, lo que es lo mismo, a kilómetros. Para marearse! Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez Profesor de matemáticas de º de ESO