Numérico Tema01: Soluciones aproximadas de Ecuaciones.

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1 1 de 18 Numérico Tema01: Soluciones aproximadas de Ecuaciones. Cálculo Numérico y Estadística. Grado en Química. Universidad de Alcalá. Fernando San Segundo Curso El problema de. El método de bisección. El método de Newton. Otros métodos y otros problemas. Soluciones empaquetadas: librerías de R. El problema de. Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado? El Teorema de Pitágoras dice que ese valor es: Y los griegos también demostraron que es un número irracional: no existe ninguna fracción con enteros para la que se cumpla: Eso nos lleva al problema inaugural del Cálculo Numérico. Cómo calculamos el desarrollo decimal de? Es importante entender el significado de un desarrollo decimal como este y muy especialmente, el significado de esos puntos suspensivos. Fracciones y desarrollos decimales. Los números racionales tienen desarrollos decimales periódicos. Recuerdas cómo se pasa de la fracción al desarrollo decimal? Y viceversa? ó Una fracción es una representación simbólica y, por tanto, exacta del número racional. Los desarrollos decimales son representaciones numéricas y, por tanto, en general, aproximadas. La representación simbólica suele ser más útil para analizar las propiedades algebráicas del número. Pero para calcular de forma eficiente o para usar en mediciones a menudo usamos la forma numérica. La computación científica requiere del uso juicioso de ambas formas de representación. Esta asignatura se centra en el punto de vista numérico. En particular, nuestros resultados numéricos vendrán dados, en general, en forma de desarrollos decimales. Hay dos ideas esenciales sobre estos desarrollos que debemos tener presentes siempre: El desarrollo decimal de un número real tiene infinitas cifras decimales. Cuando truncamos ese desarrollo y utilizamos una cantidad finita de cifras, estamos cometiendo un error de redondeo y trabajamos con una representación aproximada del número original. Por ejemplo (a pesar de la creencia popular) no es. Además, para hacer las operaciones usamos máquinas (ordenadores, calculadoras). La representación interna de los números en esas máquinas no coincide completamente con la representación que usamos al escribir los números en notación decimal. Para empezar, la representación interna utiliza otras bases (numeros binarios, hexadecimales) y la conversión de una representación a otra puede acarrear errores adicionales. Más adelante nos entretendremos en dar algunos detalles adicionales sobre la representación decimal y los problemas de precisión asociados al redondeo y la acumulación de errores, que vienen aparejados con esta representación. Álgebra. Ecuaciones. Volviendo al problema de : lo que hemos hecho es identificar los números racionales (fracciones de enteros) con los desarrollos decimales periódicos. Pero puesto que el número es irracional, no existe una fracción y por lo tanto su desarrollo decimal no puede ser periódico. Necesitamos un método para obtener ese desarrollo.

2 2 de 18 La notación del álgebra sirve para traducir el problema geométrico en una ecuación. Si es, entonces se cumple: Esta ecuación se puede escribir así: Y entonces es una raíz o cero o solución de esta ecuación (hay otra, que es ). Un problema fundamental: localizar las soluciones de una ecuación. Ahora ya podemos decir que uno de los problemas fundamentales del Cálculo Numérico y, por tanto, de esta asignatura, consiste en localizar aproximadamente las soluciones, o raíces, de una ecuación de la forma: Más adelante en el curso veremos generalizaciones de este problema básico, como la búsqueda de soluciones de sistemas de ecuaciones. Qué queremos decir con localizar aproximadamente? Se trata de disponer de un procedimiento (algoritmo, método, programa de ordenador) que nos permita construir intervalos arbitrariamente pequeños que contengan a cada una de las soluciones de la ecuación. Los intervalos de la figura deben poder hacerse tan pequeños como queramos. Separación de soluciones.

3 3 de 18 Concretamente: si la ecuación tiene soluciones (raíces), entonces dada una precisión arbitraria (siempre pensamos que es muy pequeño) queremos un procedimiento que nos permita construir intervalos de manera que: + el intervalo contiene a la solución. + los intervalos separan las raices (no solapan; son disjuntos). + la anchura de cada intervalo es menor que. Además, nos interesa por supuesto que el método sea bueno, bonito y barato. Es decir que sea: Eficiente: que los cálculos se pueden hacer rápidamente (y usando poca memoria, aunque esto es menos relevante). General: que funcione para una gran cantidad de ecuaciones distintas. Sencillo: cuanto más sencillo sea un método, más fácil resulta usarlo sin errores (errores humanos esencialmente). La raíz de dos por tanteo. Puesto que se cumple que De la misma forma, puesto que y por otro lado, concluimos que Con esto hemos localizado con una precisión de una décima. Podemos seguir así, desde luego. Puesto que y por otro lado se tiene: Ya tenemos precisión de centésimas. Te animas a obtener las milésimas? Una revisión crítica del método de tanteo. Vamos a examinar el método de tanteo desde el punto de vista de las tres virtudes que esperamos de un buen método. Eficiencia: lo discutiremos con más calma al hablar del método de bisección. Pero podemos adelantar que este método es muy poco eficiente, cuando se compara con otros métodos que vamos a ver más adelante. Generalidad: El método de tanteo resulta engañosamente sencillo, porque estamos partiendo de una ecuación muy sencilla. Pero si piensas en una ecuación como esta, comprenderás que necesitamos algo mejor. El método de bisección que veremos a continuación resuelve esta dificultad, y se puede aplicar a un conjunto muy amplio de situaciones. La generalidad es la mejor característica del método. Sencillez: este es otro punto fuerte del método, que también hereda el método de bisección. El método de bisección. Como hemos dicho, generalizamos la idea del método de tanteo a funciones más complicadas. La clave es este resultado: Teorema de Bolzano: si una función continua en el intervalo cumple es decir, y tienen signos opuestos, entonces el intervalo contiene al menos una solución de. La idea intuitiva es muy sencilla: una curva continua no puede pasar del semiplano superior al inferior sin cruzar el eje:

4 4 de 18 Cómo aplicamos esta idea al cálculo aproximado de? La función es continua y se cumple. Así que el teorema garantiza al menos una solución en. Ves la relación con el método de tanteo? Para obtener un intervalo más preciso (más pequeño) podemos dividir este por la mitad. Hallamos el punto medio: Y ahora calculamos el signo de en el punto medio: Puesto que, el teorema dice ahora que hay solución en el intervalo. Podemos repetir el proceso dividiendo este intervalo por la mitad, y así sucesivamente. Los intervalos que obtenemos pueden hacerse tan pequeños como queramos. El método de bisección paso a paso. Entrada: Una función, un intervalo y la precisión deseada. Salida: un intervalo de anchura que contiene una raíz de. Es? Si no es así, el método se detiene, Calculamos la anchura del intervalo. Repetir estos pasos mientras se cumpla : Calculamos el punto medio. Si es cambiamos por. En caso contrario, cambiamos por. Calcular. Al final devolver como salida el intervalo (o su punto medio si se desea un único número). Esta descripción del metodo es lo que se conoce como pseudocódigo. En este curso normalmente veremos primero el pseudocódigo, que más adelante se implementará en un programa que el ordenador puede ejecutar de forma automática. Como adelanto, veamos el programa en R. Bisección en R Primero tenemos que definir los datos de entrada:

5 5 de 18 Ahora definimos la función. El código necesario es sólo un poco más complicado: Hacemos el cálculo inicial de la anchura del intervalo: Hemos rodeado toda la línea con paréntesis para ver el resultado, que es 0.5. El programa contiene un bucle while Y una vez que el bucle termina podemos ver el intervalo que hemos obtenido: La anchura del intervalo que hemos obtenido es: que, como ves, es menor que 1e-06. Como comprobación, podemos elevar los extremos del intervalo al cuadrado: Así que cualquiera de los dos extremos del intervalo es una aproximación razonable de. Cuántas iteraciones necesita el método para alcanzar una determinada precisión? La parte esencial del método de iteración es el bucle. Cada repetición de las instrucciones del bule se llama una iteración. El número de iteraciones necesarias para alcanzar la precisión deseada está estrechamente relacionado con la eficiencia del método. La anchura del intervalo inicial es. En cada iteración la anchura se reduce a la mitad. Así pues, al cabo de iteraciones la anchura del intervalo será: Si queremos alcanzar una precisión, tiene que ser, así que despejando (con ayuda del logaritmo), debe ser:

6 6 de 18 Cuando es muy pequeño, su logaritmo es un número negativo grande en valor absoluto. Eso hace que el numerador de esta fórmula sea grande y el método necesite muchas iteraciones. Para y (como antes) se obtiene Para cifras necesitaríamos Es importante comprender que el método, en general, no proporciona una solución exacta (o simbólica) de la ecuación. Lo que obtenemos es una sucesión de iteraciones: y una estimación de la distancia entre Limitaciones del método de bisección. Aparte de su baja eficiencia, el método es muy general, porque la continuidad es un requisito poco exigente. Pero si la función no es continua, el método puede fallar, claro. Por ejemplo, si aplicamos el método a la función: de la figura en el intervalo, el resultado será un intervalo pequeño que contiene al, pero que no contienen ninguna raíz de la función ( porque no existen raíces en ese intervalo!). Nos gusta este ejemplo porque la función, aunque no es continua, es acotada en el intervalo. Pero desde luego, sucederia lo mismo con otras funciones no continuas, como. Se cumple, por ejemplo,, pero si buscas una solución en el intervalo no la encontrarás. En este caso la función no es acotada, porque cerca de toma valores cada vez más grandes (negativos si, positivos si )

7 7 de 18 Una limitación adicional del método de bisección es que no sirve para localizar raíces en las que no hay cambio de signo, como sucede en este ejemplo: para una función tan sencilla como cuya raíz (doble) es. En este caso es imposible encontrar un intervalo en el que sea. El método de Newton. Hay algún método más eficiente que el de bisección? Es decir, de conseguir la misma o mejor precisión con menos iteraciones. La respuesta es que esos métodos existen y uno de los mejores es el método de Newton, que es a la vez muy eficiente y muy fácil de usar. La idea básica se ilustra en esta figura, para el caso del cálculo de : El problema es el mismo de antes. Tenemos la función y queremos aproximar la raíz (positiva) de la ecuación. Vamos

8 8 de 18 a empezar con una aproximación inicial, que ni siquiera nos vamos a esforzar en que sea muy buena. Por ejemplo, tomamos. La idea de Newton consiste en trazar la recta tangente a la gráfica de en el punto y buscar su punto de corte con el eje, al que llamaremos. Y la genialidad de la idea consiste en observar que está más cerca de la raíz que la anterior aproximación. Así que empezamos por, pasamos a y repitiendo la idea (recta tangente, punto de corte con el eje ) pasamos a, etcétera. En la figura ese esquema se ilustra con las flechas azules y rojas. Y para experimentarlo por ti mismo, aquí tienes un enlace a la construcción GeoGebra (MetodoNewton.ggb) de la que procede esa figura. Naturalmente el paso clave es que debemos ser capaces de calcular la recta tangente a la gráfica de en y para eso es necesario derivar (afortunadamente, el propio Newton fue uno de los fundadores del Cálculo Diferencial ). Recuerda que la ecuación de la recta tangente a en el punto es esta: Y por lo tanto, que es el punto de corte de esta recta tangente con el eje, se obtiene haciendo ) en esta ecuación y despejando : Con esto estamos listos para escribir el pseudocódigo del método de Newton. El método de Newton paso a paso. Entrada: Una función, una aproximación inicial y la precisión deseada. Salida: la sucesión de valores. Calculamos el siguiente valor Si es nos detenemos. En caso contrario, hacemos y volvemos al paso anterior. El método de Newton en R (primera versión). Para aplicar el método podemos usar este código. Como ves, debemos introducir la función f, pero también su derivada Df (enseguida volveremos sobre esto). Además se necesita un valor inicial x0 y la precisión deseada. Para ver en acción al método de Newton vamos a pedirle a R que trabaje con 20 cifras significativas y lo aplicaremos al problema de la raíz de. También le pediremos a R el valor de calculado por la función interna sqrt para compararlo con el que proporcionan las iteraciones del método, calculando las diferencias entre las iteraciones y ese valor.

9 9 de 18 Como puedes ver, el valor de (la séptima iteración) tiene sus primeras 20 cifras iguales a las que se obtienen con sqrt. Recuerda que con el método de bisección necesitábamos 20 iteraciones para conseguir las seis primeras cifras de (y más de 60 para obtener 20 cifras). Fíjate también en los exponentes de las diferencias (la parte tras e ). Verás que aparecen los números 0, 0, -1, -2, -4, -8 hasta llegar a la iteración final en la que, al ser 0 la diferencia, el exponente vuelve a 0. Esta lista de valores nos indica que en cada iteración el método de Newton está doblando el número de cifras exactas. No es de extrañar que el método de Newton, a pesar de ser un veterano de más de 300 años de edad, siga siendo una de las herramientas básicas de la computación numérica. Un ejemplo algo menos sencillo. La ecuación tiene dos soluciones. Una es, pero además hay otra solución positiva en el intervalo. Te animas a calcular una aproximación para esta raíz? Algunas observaciones sobre esta versión del método. Recordemos que nuestro objetivo es obtener una raíz. Esto es, una solución de. Pero nuestra condición para detener las iteraciones tiene que ver con la distancia entre dos iteraciones consecutivas. No está, en principio, claro que las dos cosas sean iguales. Sería mejor que la condición de detención del bucle tuviera que ver con el tamaño de, siendo la última iteración que hemos calculado. Pero esto todavía plantea una dificultad: si usamos como condición para detener el bucle, entonces necesitaremos alguna forma de estimar la distancia desde hasta la raíz que estamos tratando calcular. Vamos a suponer que hemos calculado unas cuantas iteraciones del método de Newton, y que por lo tanto la distancia entre y, aunque desconocida, es pequeña. En ese caso se puede mostrar que si se cumple, se tendrá, aproximadamente:

10 10 de 18 Esta ecuación nos muestra algo que la intuición ya señalaba: que el método de Newton se porta tanto mejor cuanto mayor sea la derivada en la raíz. Y, al revés, si la derivada está cerca de, puede que tengamos más problemas lo cual nos lleva a la primera de las preguntas que hasta ahora hemos esquivado. Qué sucede si la derivada es 0? Influye esto en la velocidad del método, en el número de iteraciones que se necesitan para alcanzar una cierta precisión? Más en general cómo podemos medir esa velocidad? Podemos garantizar que el bucle del método de Newton siempre termina? O podemos encontrarnos con situaciones en las que después de miles de iteraciones el método no se detiene, ni se acerca a una raíz de la ecuación? Supongamos que la ecuación tiene más de una raíz. Si tomamos un valor podemos saber de antemano a cuál de las posibles raíces se va a aproximar la sucesión que obtenemos con el método de Newton? Tenemos malas noticias en todos esos frentes. Pero antes de afrontarlas, vamos con las buenas noticias. Existencia de soluciones Si la función es ranozablemente buena (tiene dos derivadas continuas) y se cumplen las dos condiciones entonces cualquier valor inicial suficientemente cercano a produce una sucesión de iteraciones que se aproximan (convergen) a. El problema, por supuesto, es la frase que hemos destacado: suficientemente cerca. No hay una forma sencilla de saber qué significa, en cada caso, suficientemente cerca. Velocidad de convergencia. Cómo podemos medir la velocidad de un método como el método de Newton o el método de bisección que hemos discutido antes? Una posibilidad es seguir con una idea que hemos encontrado antes, en el primer ejemplo del método de Newton. Podemos tratar de ver como cambia el error al pasar de una iteración a la siguiente. que es. Es decir, podemos tratar de comparar las cantidades: Por ejemplo, si un método nos garantiza algo como que nos parecerá bien, porque eso significa que cada iteración reduce el error a la mitad de lo que era en el paso anterior. Esto era lo que pasaba, por ejemplo, en el método de bisección. Pero luego hemos visto que el método de Newton era mucho más rápido. A primera vista podrías pensar que lo que ocurre en el método de Newton es algo como o, en general, para un valor grande de. Evidentemente, aumentar el valor de indica que estamos aumentando la velocidad del método. Pero esos aumentos de velocidad son muy pequeños comparados con los que se consiguen con el método de Newton. Veamos lo que sucede en realidad. Para empezar, hay que tener en cuenta que estamos interesados en el caso en el que las cosas van bien y el método produce valores que se parecen cada vez más a. Si es así, entonces tanto como son valores positivos pequeños. El último ingrediente que necesitamos es el hecho de que cuando un número positivo es pequeño, su cuadrado es todavía más pequeño. Así que otra forma de decir que un método es rápido es diciendo que Para entenderlo, imagínate que inicialmente (para ) el error es de aproximadamente una décima Entonces sería: y, sucesivamente:

11 11 de 18 Fíjate en los exponentes y en cómo se duplican en cada paso. Si ese comportamiento te ha recordado al del método de Newton, estás en lo cierto. Definición: un método de aproximación de la solución de una ecuación tiene orden de convergencia (velocidad) cuadrático si para todos los suficientemente grandes se cumple para alguna constante. La constante rápidamente. no es lo más importante aquí. Lo esencial es el exponente 2, que es el que nos garantiza que el error se va a hacer pequeño muy Por otro lado, un método tiene convergencia lineal (más lenta que la cuadrática) si se cumple: El exponente en este caso es 1 en lugar de 2. Con este lenguaje ya podemos comparar a los dos métodos que hemos visto hasta ahora: El método de Newton es un método de velocidad cuadrática, siempre que se cumpla. En cambio, el método de Bisección es un método de velocidad lineal. Desde luego, es muy fácil imaginar cómo debería ser un método para ser más rápido que el método de Newton. Por ejemplo, si se cumpliera: diríamos que el método es de velocidad cúbica y eso haría que el error se hiciera pequeño aún más rápidamente de lo que sucede en el método de Newton. Existen métodos cúbicos? Desde luego que sí. Pero lo que no es fácil es encontrar un método rápido y que a la vez sea tan sencillo de usar como el método de Newton. Eso explica porque el método de Newton sigue usándose tanto tiempo después de su invención. Además, enseguida vamos a ver que nuestra preocupación por la complejidad del método está más que justificada. Volvamos a nuestra lista de malas noticias. Velocidad en el caso en el que la derivada en la raíz es 0. Ya hemos tenido varios avisos: el método de Newton puede tener problemas si Es decir, si la derivada es 0 en la raíz que estamos tratando de aproximar. En ese caso la velocidad del método puede resentirse y, de hecho, dejar de ser cuadrática. Es más, si se anulan las dos primeras derivadas, los problemas de velocidad se agravan. Y, en general, a medida que se anulan más y más derivadas las cosas pueden ir a peor. Un caso extremo. El siguiente ejemplo es, en este sentido, una función bastante patológica. La función: tiene la propiedad de que todas sus derivadas en el origen valen 0 (la propia función también vale 0).

12 12 de 18 En un caso como este, la convergencia del método de Newton puede resultar extremadamente lenta, como veremos en breve. Fíjate en que el método de bisección tampoco nos soluciona el problema. Ciclos en el método de Newton. Vamos con la segunda cuestión que habíamos dejado pendiente en nuestra lista de posibles problemas del método de Newton. Para ilustrar este problema vamos a considerar el ejemplo de la función: Esta función tiene una única raíz en (aunque en ese punto su derivada es ). Si empezamos las iteraciones del método de Newton en cualquier valor, la siguiente figura muestra como, al cabo de dos iteraciones, volvemos al punto de partida. Por ejemplo, si empiezas en, se obtiene: En esta construcción GeoGebra (MetodoNewton_BucleInfinito.ggb) puedes experimentar este fenómeno, eligiendo el punto de partida de las iteraciones. Por lo tanto, en este caso el bucle repeat de nuestro programa en R nunca se detendría. Puedes comprobarlo, pero asegúrate de que sabes cómo detener el programa antes de ejecutarlo (en RStudio pulsando sobre el botón rojo de Stop que aparece en la esquina superior derecha de la Consola de Comandos). Podemos prevenir situaciones como esta añadiendo al programa un contador del número de iteraciones y usando el valor de ese contador para detener el programa si al cabo de un cierto número de iteraciones no se ha alcanzado la precisión deseada. El código quedaría así, donde ahora el argumento Nmax contiene el número máximo de iteraciones que calcula el programa:

13 13 de 18 Aplicándolo a la función del ejemplo se obtiene: Como habíamos anunciado, el método queda atrapado en un 2-ciclo de iteraciones. Y este ejemplo es también, en algún sentido, un caso extremo, porque el método queda atrapado en un 2-ciclo con independencia del valor incial. Hay muchos otros ejemplos, más o menos complicados, en los que el método de Newton queda atrapado en ciclos de distintas longitudes, y el destino de las iteraciones depende del punto inicial. Cómo podemos saberlo? En general, no podemos. Para concluir este repaso por las dificultades que podemos tropezarnos en el método de Newton, vamos a ver un ejemplo más desconcertante que todos los anteriores. Uno que tiene consecuencias importantes incluso para nuestra visión del mundo. Caos determinista en el método de Newton. La función que vamos a usar en este ejemplo es, a primera vista, completamente inofensiva: un polinomio de grado 3:

14 14 de 18 Como se ve en la figura, la función tiene una raíz negativa, con derivada 0 y que vale aproximadamente. Supongamos que empezamos el método de Newton con el valor : Como ves, las iteraciones han quedado atrapadas en una especie de 2-ciclo, en el que los valores se repiten casi exactamente (pero no exactamente) cada dos iteraciones. Si, en cambio, empiezas en, sólo una centésima antes, la historia es bien distinta: Ahora las iteraciones convergen hacia la raíz negativa. Sólo ha hecho falta una centésima para alterar el comportamiento de las iteraciones de una forma radical. Puede ser aún peor. Prueba, por ejemplo, a usar y después, con una diferencia de una milésima. Para expolorar lo que ocurre puedes usar esta construcción GeoGebra (MetodoNewton_Caos.ggb). Inicialmente se muestran sólo las 20 primeras iteraciones, pero puedes aumentar el número con un deslizador. También puedes, desde luego, modificar el valor inicial, moviendo el punto verde. En situaciones como esta, en las que el comportamiento del sistema es extremadamente sensible a las condiciones iniciales y además se entremezclan comportamientos cualitativamente muy distintos (2-ciclos frente a convergencia a una raíz u otros comportamientos más extraños) se describen como caos determinista. Caos porque nuestra capacidad de predecir el comportamiento de las iteraciones es muy limitada. Pero determinista, porque esa impacacidad para predecir no se debe a la presencia de elementos aleatorios en el sistema, del que tenemos un conocimiento completo. Conocemos con exactitud la función, el valor inicial, etc.

15 15 de 18 Otros métodos y otros problemas. Métodos de punto fijo. Además del método de Newton y el método de bisección, existen muchos otros métodos para resolver de forma aparoximada ecuaciones de la forma: En las lecturas recomendadas al final de este tema puedes encontrar información adicional sobre esos métodos. Aquí sólo queremos destacar por su importancia el método del punto fijo, que consiste en sustituir el problema por un problema de la forma donde es una función relacionada con la del problema original. Las soluciones de esta ecuación se llaman puntos fijos de. Por ejemplo, si hacemos, entonces cada solución de cumple: Lo que hace interesante este método es que, en muchos casos, para aproximar una solución de valor inicial e ir calculando las iteraciones: (un punto fijo) basta con tomar un Y el fundamento teórico básico de este método es este: si la función es continua en y se cumple para todo tal que entonces tiene un punto fijo en el intervalo. Si además existe una constante tal que para todos los, entonces el intervalo contiene un único punto fijo. No nos vamos a entretener demasiado en este método. Sólo queremos subrayar que la velocidad del método depende realmente de si la derivada (o derivadas) de se anula en el punto fijo. Además, estos métodos de punto fijo pueden presentar los fenómenos de ciclos o caos determinista que hemos visto en el caso del método de Newton. Finalmente, como hemos dicho, hay más de una manera de convertir un problema de cálculo de raíces (de la forma ) en un problema de punto fijo. Y tanto la velocidad de convergencia como la propia convergencia pueden depender de la forma concreta que se haya elegido para hacer esa conversión. Solución de ecuaciones polinómicas. Las ecuaciones de la forma donde es un polinomio constituyen un caso especialmente importante del cálculo de raíces. En el caso de polinomios cuadráticos (grado 2) todos conocemos la fórmula para el cálculo de las raíces que se aprende en las matemáticas escolares: Desde el Renacimiento se conocen generalizaciones de estas fórmulas a los polinomios de grados 3 y 4. Desde el siglo XIX se sabe (gracias a Abel y Galois) que no existe ninguna fórmula general (usando raíces) que permita obtener las raíces de todos los polinomios de grado y que de hecho hay ecuaciones de grado, algunas tan simples como cuyas raíces no se pueden expresar mediante radicales. En cualquier caso, el estudio de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones polinómicas es una rama completa de las matemáticas, en la que aquí no vamos a profundizar. Soluciones empaquetadas: librerías de R. Hemos escrito nuestro propio código en R para los métodos de bisección y de Newton, porque creemos que hacerlo tiene un valor intrínseco cuando estamos aprendiendo a usar estos métodos por primera vez. Pero nuestros programas son muy simples, lejos de la sofisticación de los

16 16 de 18 métodos que se emplean profesionalmente. Para trabajar con seguridad, lo mejor es a menudo utilizar las implementaciones de estos métodos que los programadores ponen a nuestra disposición en el software que utilicemos. En R, por ejemplo, disponemos de la función uniroot para resolver una ecuación de la forma en un intervalo. Por ejemplo, para aproximar con un error menor que basta con hacer: La respuesta de R es una lista que contiene, entre otras cosas: El valor aproximado de la raíz. El valor de en esa raíz aproximada. El número de iteraciones que se han usado. Qué metodo utiliza uniroot? En realidad usa una combinación de métodos para lograr un compromiso entre la generalidad de un método como el de bisección con la velocidad de un método como el de Newton. La premisa de la que parte el método es, por esa razón, similar a la del método de bisección: debe cumplirse que ; en caso contrario, uniroot producirá un mensaje de error, como en este ejemplo: Para evitar este problema y para localizar a la vez varias raíces puedes instalar la librería adicional rootsolve que contiene la función uniroot.all. Veámosla en acción en el problema anterior: La función proporciona menos información, pero consigue encontrar la raíz. Para ver un ejemplo algo más divertido. Vamos a localizar las dos raíces de, que se representa en esta figura:

17 17 de 18 Ves las raíces de la función? A simple vista, no parece que vayamos a tener problemas para localizar la raíz positiva. Y, en efecto, usando primero la función uniroot localizamos esa raíz, pero sólo esa raíz. A la vista de nuestra experiencia previa, podemos recurrir a uniroot.all : y sorprendentemente, descubrimos que hay dos raíces negativas. En efecto, representando de cerca esa parte de la gráfica: Fíijate en que la versión básica de uniroot, en este caso, ha terminado eligiendo la raíz positiva, a pesar de que hay cambios de signo en las tres raíces. Si, a posteriori, seleccionamos el intervalo con más cuidado, podemos obtener las raíces con muchos más detalles.

18 18 de 18 De esta forma, combinando uniroot y uniroot.all se pueden resolver muchos problemas de la forma caos, que la representación gráfica de la función es un aliado con el que siempre debemos contar para estas tareas.. No olvidemos, en cualquier Lecturas recomendadas. 1. Numerical Analysis, 8th. Edition. Richard L. Burden, J. Douglas Faires. Thomson ISBN: Capítulo Using R for Numerical Analysis in Science and Engineering. Victor A. Bloomfield. Chapman & Hall ISBN: (ebook). 3. Introduction to Scientific Programming and Simulation Using R. Owen Jones, Robert Maillardet, Andrew Robinson. CRC Press ISBN: