MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS

Transcripción

1 MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS APLICACIONES Luis Gracia Calandín Profesor Colaborador Universidad Politécnica de alencia Carlos Pérez idal Profesor Colaborador Universidad Miguel Hernández

2 Título: Modelado de sistemas dinámicos: Aplicaciones Autores: Luis Gracia Calandín Carlos Pérez idal I.S.B.N.: Depósito legal: A Edita: Editorial Club Universitario Telf.: C/ Cottolengo, 5 - San icente (Alicante) Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma Telf.: C/. Cottolengo, 5 - San icente (Alicante) gamma@gamma.fm Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright

3 Prefacio El modelado es el proceso por el cual se plantean y establecen las ecuaciones matemáticas, con las variables asociadas (variables de estado, variables de entrada y variables de salida), que rigen el comportamiento de un sistema. En general, este comportamiento dependerá tanto de las entradas al sistema como de sus condiciones de partida. Esta dependencia de las condiciones iniciales es lo que caracteriza al sistema como dinámico. Prácticamente, cualquier actividad de ingeniería precisa, en uno de sus primeros estadios, de la obtención del modelo (conjunto de ecuaciones) del sistema bajo estudio, ya que a partir de éste se puede entender y mejorar su funcionamiento. Queda pues justificada la importancia de la fase de modelado. Ante un sistema modelado, establecer una causalidad computacional, determinar el punto de equilibrio, linealizar las ecuaciones no lineales y obtener una representación interna a partir de sus ecuaciones, constituyen tareas principales a abordar. En este sentido, el presente libro presenta un interesante abanico de APLICACIONES en las que se obtiene, caracteriza y analiza el modelo del sistema propuesto en cada caso. La caracterización planteada comprende tres aspectos: º) erificar la correcta definición del modelo a través de su compatibilidad. º) Determinar una causalidad computacional entre variables en las ecuaciones del sistema. 3º) Obtener una representación matricial compacta del sistema (representación interna), muy utilizada en el área de ingeniería de control para sistemas multivariables. Por otro lado, aunque los sistemas pueden ser de muy distinta naturaleza, esta publicación se centra en los sistemas físicos, ya sean de evolución temporal continua, bien de tipo eléctrico, mecánico, térmico, etc.., ya de evolución temporal discreta. 3

4 Es justo agradecer aquí a nuestros compañeros (tanto de alencia como de Elche) del área de conocimiento de Ingeniería de Sistemas y Automática, y en especial a los profesores José Luis Navarro y Sebastián Dormido, las sugerencias y consejos que más tarde se han concretado en aplicaciones de esta publicación. Tampoco queremos olvidarnos de los alumnos de la asignatura Modelado e Identificación de Sistemas que han pasado por nuestras aulas y que han participado en el planteamiento y tratamiento de algunas de las aplicaciones descritas en el texto. Por último, esperamos que la temática tratada y el modo en que se presenta sea útil no sólo al alumno de la disciplina, sino también para el ingeniero necesitado de recurrir a la formulación de un sistema dinámico para llevar a cabo un Proyecto de Ingeniería. Con ese ánimo se ha realizado el trabajo de elaboración y redacción del libro, y con el estímulo gratificante de abordar una obra nueva, no exenta de esfuerzo y responsabilidad, donde la imaginación se combina con un sentido práctico de utilidad. Porque la utilidad que el lector encuentre en este texto será nuestra mejor recompensa. Los Autores 4

5 Índice General - Introducción Aplicaciones de Sistemas Eléctricos y Electrónicos... Circuito electrónico Puente de Wheatstone... 3 Circuito eléctrico 3R, L, C... 6 Circuito eléctrico 3R, L, C, I, E... 0 Circuito trifásico Bobina-resistencia en estrella... 3 Circuito electrónico con Amplificador operacional... 8 Circuito electrónico Amplificador en cascada Circuito electrónico con Amplificadores operacionales Aplicaciones de Sistemas de Fluidos y Térmicos Sistema de Dos depósitos... 5 Sistema térmico Calentador Sistema de Fluidos con balance térmico Sistema de Dos depósitos con balance térmico... 7 Globo aerostático Sistema de Control de nivel de líquido Aplicaciones de Sistemas Mecánicos Carro con masa, amortiguador y muelle Sistema de Amortiguación de un vehículo... 0 Carro con varias masas Trazador con plumilla... 4 Posicionador electro-mecánico... Puente grúa... 7 Péndulo invertido Doble péndulo invertido Biela manivela deslizadera Grúa con cabestrante accionado Sistema mecánico con Carro y bloque Cuadrilátero articulado con bola... 9 Robot tipo Pórtico Triángulo de poleas accionadas Aplicaciones de Sistemas Discretos Sistema de Animales en peligro de extinción Almacén de cooperativa de pescadores

6 Sistema de entanillas de atención al público Almacén de Madera Anexos Anexo I - Modelado de sistemas discretos Anexo II Aproximación lineal de sistemas no lineales... 6 Anexo III Análisis de las ecuaciones del modelo Anexo I Representación interna de un sistema

7 - Introducción 7

8

9 A continuación se precisan algunos aspectos formales del presente libro. Se suponen conocidas por el lector las ecuaciones de la Física General (ley de Ohm, leyes de Kirchoff, leyes de Newton, ley de Hooke, etc.). En consecuencia, su utilización en las APLICACIONES no requiere explicaciones o aclaraciones previas. Para la escritura de las ecuaciones se utiliza el siguiente criterio: variables en cursiva, vectores y matrices en negrita y constantes en texto normal. Por otro lado, las APLICACIONES están agrupadas por campos temáticos y dentro de cada uno, en orden de dificultad creciente. Los cuatro campos temáticos tratados son los correspondientes a: Sistemas Eléctricos y Electrónicos Sistemas de Fluidos y Térmicos Sistemas Mecánicos Sistemas Discretos La estructura característica de las APLICACIONES es la siguiente: - Definición del sistema a modelar - Obtención de las ecuaciones de cada una de las partes del sistema - Análisis del modelo: erificar la compatibilidad y establecer una causalidad - Linealización: Obtener punto de equilibrio y aproximación de Taylor - Obtención de la Representación Interna del sistema El penúltimo punto de los anteriores sólo procede para sistemas no lineales. Además, algunas aplicaciones abordan adicionalmente problemas de diseño y/o implementación. Por otra parte, a pesar de ser éste un libro eminentemente de aplicaciones, se han incorporado anexos con aquellos aspectos conceptuales con los que el lector puede estar menos familiarizado. El primero de ellos, Modelado de sistemas discretos, pretende ser una introducción al modelado de estos sistemas, menos habituales que los continuos (clásicos en las asignaturas de Física básica). El segundo anexo recuerda la forma de obtener la Aproximación lineal de un sistema y su particularización para sistemas continuos y discretos. 9

10 Introducción El tercer anexo describe la forma de, en el análisis del modelo, verificar la compatibilidad y establecer una causalidad computacional del sistema. Y, finalmente, el cuarto y último anexo desarrolla brevemente los conceptos relativos a la Representación interna de un sistema. 0

11 - Aplicaciones de Sistemas Eléctricos y Electrónicos

12

13 Circuito electrónico Puente de Wheatstone Se desea obtener el modelo matemático del circuito electrónico de la figura de abajo, compuesto por dos resistencias, de valores R y R, y dos condensador, de capacidades C y C, en configuración de puente de Wheatstone, teniendo como entrada la tensión. Ecuaciones de elementos: = R i () = R i () dc i = C dt (3) dc i = C dt (4) Ecuaciones de mallas: = + (5) C C = C + AB + (6) = (7) i0 A C i C i R C i C B i R AB Ecuaciones de nudos: i = + (8) 0 i i Ecuaciones del sistema: 8 ariables del sistema: {,, C, C,, AB, i 0, i, i } 9 ariables (8 incógnitas + entrada ()) ariables de salida: AB ariables de estado: ariables de estado { } C, C Analizadas las ecuaciones, se trata de un sistema compatible determinado de 8 ecuaciones lineales y 8 incógnitas. 3

14 Aplicaciones de sistemas eléctricos y electrónicos Causalidad Computacional: C = R [ i ] () R [ i ] d = i dt C = () dc (3) C = i dt = [ ] (5) = [ ] C + C C + [ AB ] = (7) [ i 0] i + i (4) + (6) = (8) Resuelta la causalidad computacional, se observa que el sistema de ecuaciones no tiene lazos algebraicos, por lo que operando se obtiene la representación interna deseada. Para la primera variable de estado: C d C C C C = = = dt R R dt C R C R d (9) Para la segunda tenemos: C d dt d + + C C C C C C = = = dt R R R = C R C R C C (0) Y, por último, de la ecuación de salida obtenemos: ( ) = = + = + AB C C C C C C = + + = () AB C C C C C C Reescribiendo matricialmente: d C 0 dt C R C C R = dc + C 0 dt C R C R () 4

15 Modelado de sistemas dinámicos. Aplicaciones AB C = ( ) + ( 0) C (3) Las expresiones () y (3) son las ecuaciones estado y de salida, respectivamente, de la representación interna, que responde a la estructura: x = A x+ B u (4) y = C x+ D u (5) 5

16 Aplicaciones de sistemas eléctricos y electrónicos Circuito eléctrico 3R, L, C Se desea obtener el modelo matemático del circuito eléctrico de la figura de abajo, compuesto por tres resistencias (R, R y R 3 ), un condensador C, una bobina L y una fuente de tensión variable E. Ecuaciones de componentes: i R = R i () i d = () dt C C = R i (3) E i R i3 R3 3 L di dt 3 = L (4) C C L L = R i (5) Ecuaciones de mallas: Ecuaciones de nudos: E = + + C (6) + C = 3 + L (7) i = i + i3 (8) Ecuaciones del sistema: 8 Ecuaciones,, 3, E, L, C, i, i, i 3 9 ariables (8 incógnitas + entrada (E)) 3 + L Se trata, por lo tanto, de un sistema SISO (simple input simple output) independientemente de que la única salida que tenemos es una combinación lineal de dos variables. ariables del sistema: { } ariables de salida: Una variable de salida { } ariables de estado: ariables de estado { C,i 3 } Analizadas las ecuaciones, se trata de un sistema compatible determinado de 8 ecuaciones lineales y 8 incógnitas. 6

17 Modelado de sistemas dinámicos. Aplicaciones Análisis de la causalidad computacional: dc = R [ i] () i = C dt () di3 [ ] = R i (3) L = L dt (4) [ ] = R i (5) E = [ ] + + C (6) * + C = 3 [ L ] (7) i [ i ] + i3 + = (8) Resuelto el análisis de la causalidad computacional, vemos que el sistema de ecuaciones tiene un lazo algebraico, que hemos roto suponiendo que la variable i es calculable de la ecuación (8), suposición que después es comprobada (ver Anexo III). El lazo algebraico de i en la ecuación (8) se puede resolver, dado que el sistema es lineal, tanto por técnicas matriciales (regla de Cramer, método de eliminación de Gauss, etc.) como por manipulación simbólica. Para resolverlo por manipulación simbólica, se sustituyen todas las variables a la derecha del igual en (8), llegándose una expresión en la que i depende de las variables de estado, de la entrada y de sí misma, quedando por tanto despejar i. El proceso es el siguiente: () (6) (3) i = i i = i = E i = E i i De (8) ( ) ( R ) 3 3 C 3 C 3 R R R Despejando: E C R i3 R i + R i = E C R i3 i = R + R A partir de este momento, se utiliza (9) en lugar de (8) a la hora de calcular y sustituir i. Por otro lado, para expresar las derivadas de las variables de estado en función de ellas mismas y de la entrada, se parte de () y (4) y se van sustituyendo las variables de la ecuación en la que se calculan: (9) 7

18 Aplicaciones de sistemas eléctricos y electrónicos De () (9) dc E C R i = i = dt C C R + R De (4) 3 di3 dt (7) (3)(5) (9) = L = ( + C 3) = ( R i + C R3 i3) = L L L (9) R E+ R C R R i3 = R 3 i3 L R+ R Reescribiéndolo matricialmente: R d C dt C ( R+ R) C ( R+ R) C ( R R) C + = + E di3 R R R i 3 R R 3 + dt L ( R ) L ( R R) R L R R (0) Procediendo análogamente con la ecuación (7), se obtiene la ecuación de salida: (7) (3) (9) = + = + + = + = R i + = s 3 L 3 C 3 C C R E+ R R R i = R + R C 3 R R R C R Matricialmente: s = + E R+ R R+ R i 3 R+ R () Se observa que, debido a la salida considerada, existe acoplamiento entre la entrada y la salida, es decir, una variación brusca de la entrada provoca una variación brusca de la salida. Esto se refleja mediante la matriz D, que es distinta de cero (D 0). Las ecuaciones (0) y () son las ecuaciones de estado y de salida de la representación interna, que de forma compacta resulta: 8

19 Modelado de sistemas dinámicos. Aplicaciones con: x = A x+ B u () y = Cx + D u (3) R C ( R+ R) C ( R+ R) A = R R R R 3 + L ( R+ R) L R+ R C ( R+ R) B = R L ( R+ R) R R R C = R + R R + R D R = R+ R 9

20 Aplicaciones de sistemas eléctricos y electrónicos Circuito eléctrico 3R, L, C, I, E Se desea obtener el modelo matemático del circuito eléctrico de la figura que va a continuación, compuesto por tres resistencias R, R y R 3, un condensador C, una bobina L, una fuente de corriente I y dos fuentes de tensión, E constante y variable. Ecuaciones de componentes: L i R = R i () R di dt L = L () dc I = C (3) dt R = R i (4) R R i L I C C E I R R3 R3 = R i (5) R3 3 Ecuaciones de mallas: Ecuaciones de nudos: = (6) i = I + i (8) R L C I + = + E + (7) C I R R3 Ecuaciones del sistema: 8 Ecuaciones R, R, R3,, I, L, C, i, i, I 0 ariables (8 incógnitas + entradas), I (E también es entrada al sistema, pero constante) R, R, R 3 Se tiene por tanto un sistema MIMO (multiple input multiple output). ariables del sistema: { } ariables de entrada: { } ariables de salida: { } ariables de estado: { C,i } 0