Divisibilidad en Z División euclídea en Z. Máximo común divisor

Transcripción

1 Capítulo 2 Divisibilidad en Z 2.1. División euclídea en Z. Máximo común divisor Definición 2.1 Dados dos números enteros a y b, con b 0, se dice que b divide a a o que a es múltiplo de b o que b es divisor de a, si existe otro entero q tal que a = bq. Se escribe b a Naturalmente, todo número entero a distinto de 1 y 1 tiene, al menos, cuatro divisores, a saber, ±1 y ±a. A estos divisores se les conoce con el nombre de divisores (o factores) triviales de a. Otras propiedades, de todos conocidas, de la divisibilidad se recogen en la siguiente Proposición: Proposición 2.2 En las propiedades siguientes todos los números serán enteros y a denotará el valor absoluto de a. 1) d a d a d a, 2) d a, a 0 y d 0 = 1 d a, 3) d 1 = d = 1 o d = 1, 4) a b y b a = b = a o b = a, 5) a b y b c = a c, 6) a b y a c = a b + c, 7) a b y a c = a bc, 8) a b y c Z = ac bc, 25

2 26 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z 9) a b y c d = ac bd, 10) ac bc y c 0 = a b. Nota. La prueba de estas propiedades requiere el uso de la Definición 2.1 y de los axiomas que definen los números enteros. Como la prueba de dichas propiedades es sencilla, la dejaremos como ejercicio. De entre todos los números enteros, adquieren una singular importancia los conocidos como números primos que, desde siempre, han fascinado a los matemáticos y al resto de los mortales. Por poner un ejemplo, en la película Contact dirigida por Robert Zemeckis en 1997 y cuyo guión se basa en una novela de Carl Sagan, el primer mensaje que recibe de los extraterrestres la Dra. Arroway, interpretada por Jodie Foster, es una sucesión de números primos. Definición 2.3 Un entero p > 1 se dice primo si sus únicos divisores positivos son los triviales, es decir, 1 y p. Los primeros primos son: Nótese que 1 no es primo. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Teorema 2.4 (Euclides, Libro IX de los Elementos, aprox. 300 a. C.) Todo número entero mayor que 1 es producto de primos. Demostración. Inducción en la talla. En particular, todo entero no nulo es producto de uno de los números ±1 y de números primos. Veremos más adelante que esta expresión es, esencialmente, única. Teorema 2.5 (Euclides, Libro IX de los Elementos) Existen infinitos números primos. La prueba de este resultado es sencilla y su interés radica en el hecho de que es una de las primeras demostraciones conocidas en las que se utilizó la reducción al absurdo. Demostración. Supongamos que hay un número finito, digamos n, de primos a los que denotaremos por p 1, p 2,..., p n. Consideremos el número

3 2.1. DIVISIÓN EUCLÍDEA EN Z. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 27 N = p 1 p 2 p n + 1. Por el teorema anterior, sabemos que N es producto de primos. Sea, pues, p un factor primo de N. Este primo ha de ser uno de los p 1, p 2,..., p n, digamos p = p i. Entonces, p i divide a N p 1 p 2 p n que es igual a 1, con lo que hemos llegado a una contradicción. Una de las primeras tareas matemáticas (y algorítmicas) que realizamos en nuestra vida es la de aprender a dividir números naturales con resto. La forma en la que nos enseñan a dividir, basada en la búsqueda de un natural que quepa (si no la mejor desde un punto de vista de eficiencia) es, en cierto modo, la misma idea en la que se basa la demostración del siguiente teorema. Teorema 2.6 (División euclídea) Si a y b son dos enteros, b 0, existe un único par de enteros q y r tales que: a = bq + r y 0 r < b. A q y a r se les conoce, respectivamente, como cociente y resto de la división euclídea de a por b. Demostración. Empecemos por demostrar la existencia de cociente y resto. Supongamos, primero, que b > 0 y sea S = {x Z : bx a}. Este conjunto S es no vacío ( a pertenece a S) y está acotado superiormente (por ejemplo, por a ). En consecuencia, tiene máximo. Llamaremos q a este máximo y r = a bq. Por construcción, se tiene que a = bq + r. Veamos que r verifica lo exigido. En efecto, r 0 (por pertenecer q a S) r < b = b. Si r b, se tendría b(q+1) = bq+b bq+r = a y, en consecuencia q + 1 pertenecería a S contradiciendo el hecho de q es el máximo de S. Si b < 0, aplicamos el caso anterior a b. Para probar la unicidad supongamos que q 1, r 1 y q 2, r 2 verifican las condiciones del teorema, es decir, a = bq 1 + r 1 con 0 r 1 < b y a = bq 2 + r 2 con 0 r 2 < b y que r 1 r 2. Restando, se tiene b(q 1 q 2 ) = r 2 r 1. Por lo tanto, b divide a r 2 r 1, pero también se tiene que 0 r 2 r 1 < b. Esto sólo es posible si r 2 r 1 = 0. Por lo tanto, r 2 = r 1 y, en consecuencia q 2 = q 1.

4 28 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z Definición 2.7 (Máximo común divisor) Si d a y d b decimos que d es un divisor común (o factor común) de a y b; por ejemplo, 1 es un divisor común a cualquier par de enteros a y b. Si a y b no son los dos nulos, el Teorema 2.6 prueba que ninguno de sus divisores comunes puede ser mayor que max( a, b ), por lo que podemos asegurar que de entre todos sus divisores comunes debe existir uno que sea el mayor de ellos. Este es el máximo común divisor de a y b que denotaremos por mcd(a, b); siendo el único entero d que satisface d a y d b (por ser d un divisor común), Si c a y c b, c d (pues d es el mayor de los divisores comunes de a y b). Sin embargo, el caso a = b = 0 debe ser excluido; cualquier entero divide a 0 y es, por tanto, un divisor común de a y b, por lo que, en este caso, no existe un máximo común divisor. Esta definición puede obviamente extenderse al máximo común divisor de cualquier conjunto finito de enteros (no todos nulos). Nota. Dos números enteros a y b se dicen coprimos o primos entre sí si no poseen factores comunes no triviales, esto es, si mcd(a, b) = 1. Al igual que hicimos con la divisibilidad, recogemos en la siguiente Proposición algunas propiedades básicas del máximo común divisor. Proposición 2.8 En las propiedades siguientes todos los números son enteros y a denotará el valor absoluto de a. 1) mcd(a, b) = mcd(b, a), 2) mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c) = mcd(a, mcd(b, c)), 3) mcd(a, 0) = mcd(a, a) = a, 4) mcd(a, b) = mcd( a, b) = mcd( a, b ), 5) mcd(ca, cb) = c mcd(a, b), 6) mcd(a, b) = mcd(a, b + ac), ( ) a 7) mcd mcd(a, b), a = 1, mcd(a, b) Una de las primeras aplicaciones del máximo común divisor que suele realizarse en la escuela es la reducción del tamaño de numerador y denominador en la aritmética con números racionales. Obviamente, esto requerirá, sobre todo si se piensa en números

5 2.2. ALGORITMO DE EUCLIDES. TEOREMA DE LAMÉ 29 de gran tamaño, de un algoritmo eficiente 1 para su cálculo. Afortunadamente (no siempre es el caso para otros problemas) se dispone de un método que, sorprendentemente, se hallaba ya en los Elementos de Euclides. Según D. Knuth, the oldest nontrivial algorithm that has survived to the present day Algoritmo de Euclides. Teorema de Lamé Trataremos, en esta Sección, de construir un algoritmo eficiente para el cálculo del máximo común divisor y estudiar algunas de sus propiedades. Naturalmente, la propia definición de máximo común divisor proporciona un algoritmo para calcular mcd(a, b): construir la lista de divisores de a y b y tomar el mayor de los comunes. Sin embargo, para grandes números, este algoritmo es, ciertamente, inaplicable. El algoritmo de Euclides que estudiaremos para el cálculo del máximo común divisor se basa en la sencilla observación siguiente: d a y d b d a y d r, siendo r el resto de la división de a por b. Esto quiere decir que los divisores comunes de a y b son los divisores comunes de a y r, por lo que mcd(a, b) = mcd(b, r). El algoritmo de Euclides explota la idea anterior para simplificar el cálculo del máximo común divisor reduciendo el tamaño de los enteros sin alterar su máximo común divisor. Eliminando casos triviales, podemos suponer que a > b > 0. Sean r 0 = a, r 1 = b. Dividiendo, se tendrá que r 0 = q 1 r 1 + r 2 con 0 r 2 < r 1 = b. Si r 2 = 0, entonces b a, por lo que mcd(a, b) = b y hemos terminado. Si r 2 0, dividimos r 1 entre r 2 y escribimos r 2 = q 2 r 2 + r 3 con 0 r 3 < r 2 y repetimos el proceso. Dado que la sucesión de restos es decreciente (r 1 > r 2 > r 3 >...), en algún momento habremos de encontrar un resto r n+1 igual a 0. Los dos últimos pasos podemos escribirlos de la forma r n 2 = q n 1 r n 1 + r n con 0 < r n < r n 1, y r n 1 = q n r n + r n+1 con r n+1 = 0. Teorema 2.9 En el proceso anterior, r n es el máximo común divisor de a y b. Además, el máximo común divisor es único. 1 En el contexto informático, eficiente quiere decir que, una vez convenientemente programado, pueda ser ejecutado por un ordenador en un tiempo y utilización de recursos de memoria razonables. No nos entretendremos en discutir qué quiere decir razonable, que sería objeto de la asignatura Complejidad Computacional u otras.

6 30 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z Tras las consideraciones anteriores, podemos escribir el algoritmo de Euclides como sigue, donde rem(a, b) representa el resto de dividir a entre b: Entrada : a, b Z mientras b 0, hacer t a a b b rem(t, a) salida : a Pseudo código del algoritmo de Euclides. Naturalmente, el algoritmo anterior puede extenderse al cálculo del máximo común divisor de más de dos enteros. Supongamos dados t enteros positivos a 1,..., a t y sea R 0 = (a 1,..., a t ). Supongamos que i es el índice de la coordenada más pequeña de R 0. En este caso es fácil ver que mcd(a 1,..., a t ) es igual a mcd(rem(a 1, a i ),..., rem(a i 1, a i ), a i, rem(a i+1, a i ),..., rem(a t, a i )) Esta idea conduce al siguiente algoritmo. entrada : (a 1, a 2,..., a t ) Z t Inicializar A := ( a 1, a 2,..., a t ) mientras A contenga, al menos, dos coordenadas no nulas hacer Calcular el índice i del menor entero no nulo de A A (rem(a 1, a i ),..., rem(a i 1, a i ), a i, rem(a i+1, a i ),..., rem(a t, a i )) salida : a i Pseudo código del algoritmo de Euclides para t enteros. Ejemplo 2.10 Calcular el mcd de 120, 146 y 180. En este caso, se tiene: mcd(120, 146, 180) = mcd(120, 26, 60) = mcd(16, 26, 8) = mcd(0, 2, 8) = = mcd(0, 2, 0) = 2.

7 2.2. ALGORITMO DE EUCLIDES. TEOREMA DE LAMÉ Teorema de Lamé Examinamos el algoritmo de Euclides sobre una entrada (a, b) tomando nota de cocientes y de restos. Si r 0 = a y r 1 = b, se tiene: r 0 = q 1 r 1 + r 2 r 1 = q 2 r 2 + r 3. (2.1) r n 2 = q n 1 r n 1 + r n r n 1 = q n r n Hemos probado con anterioridad que r n = mcd(a, b). Notemos, por otro lado, que el último cociente, q n es mayor o igual que 2 (salvo que n = 1). Denotemos por E(a, b) el número de divisiones que realiza el algoritmo de Euclides si el input es (a, b). El objetivo es probar una buena cota superior para E(a, b). Sea F n el n ésimo número de Fibonacci que, recordemos, está definido por F 0 = 0, F 1 = 1 y F n = F n 1 + F n 2 si n 2. Lema 2.11 Sean a y b enteros tales que a > b > 0 y supongamos que E(a, b) = n. Entonces, a F n+2 y b F n+1 Demostración. Utilizaremos la notación de 2.1 y probaremos que r 0 F n+2 y r 1 F n+1 por inducción en n. El enunciado es cierto para n = 1. En este caso, el algoritmo de Euclides consta de una única división, r 0 = q 0 r 1 y puesto que r 0 > r 1, los menores enteros que lo verifican son r 1 = 1 = F 2 y r 0 = 2 = F 3. Supongamos ahora que el enunciado es cierto para i < n; queremos probarlo para n. El primer paso del algoritmo de Euclides es r 0 = q 0 r 1 +r 2 y sabemos que E(r 1, r 2 ) = n 1. Por lo tanto, r 1 F n+1 y r 2 F n. Por lo tanto, r 0 r 1 + r 2 F n+2. A partir del Lema anterior y utilizando que donde α = y β = 1 5 2, se tiene F n = αn β n 5, Corolario 2.12 Si a > b > 0, E(a, b) < c 1 log(u) + c c 3 u 1, donde c 1 = 1 = 2,08, c log α 2 = log 5 = 1,67 y c 1 log α 3 = 5 log α = 0,93. (log logaritmo natural). Si se escribe la cota anterior en términos de la talla binaria de a (es decir, log 2 a) se obtiene, redondeando, que E(a, b) 1,90 log 2 a 0,33

8 32 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z Demostración. Supongamos que E(a, b) = n. Por el lema 2.11, sabemos que, en ese caso, a F n+2. Entonces, a αn+2 β n+2 5 > αn En consecuencia, (n + 2) log α log(1 + a 5). Ahora, usando el hecho de que log(x + 1) = log x + log ( ( ) 1 + x) 1 y la estimación log x < 1 para obtener x se obtiene el resultado. (n + 2) log α < log(a 5) + 1 a 5, Observación 2.13 Queda algo alejado del curso hacer consideraciones sobre la eficiencia de los algoritmos introducidos. Sin embargo, deje el lector que se le ofrezca un resultado que demuestra bien a las claras las posibilidades del Algoritmo de Euclides. A partir del resultado anterior se puede probar que el número de operaciones binarias necesarias para calcular el mcd usando Euclides es k (log 2 a)(log 2 b) Olvidándonos de la constante k, si los enteros a y b tienen talla binaria (aproximadamente 3000 dígitos en base 10), habrá que realizar, más o menos, cien millones de operaciones binarias. Dado que, por ejemplo, los primeros procesadores Pentium realizaban entre 100 y 112 millones de operaciones binarias por segundo, un ordenador equipado con uno de dichos procesadores, nos daría la respuesta en algo menos de un segundo. Por otro lado, si usamos la factorización en producto de primos para calcular el máximo común divisor, la situación no es, ni mucho menos, tan boyante. En la práctica, el mejor de los algoritmos de factorización conocidos (que utiliza técnicas matemáticas ciertamente sofisticadas) no puede factorizar, ni aún usando el Super- Computer de IBM, enteros de varios cientos de dígitos (aunque nadie ha probado aún que nunca pueda encontrarse un algoritmo eficiente). Esta dificultad de la factorización es una de las ideas claves por la que el sistema criptográfico RSA que estudiaremos más adelante se haya convertido en el sistema criptográfico de uso común. Por último, señalemos que la falta de una prueba que demuestre que no es posible encontrar un algoritmo eficiente para la factorización está estrechamente ligada a uno de los problemas centrales de la Informática como es la Conjetura de Cook 2. 2 En la página del Clay Mathematics Institute existe información (sencilla descripción del problema, artículo más profundo sobre el asunto e incluso un vídeo de una charla divulgativa) sobre esta conjetura. De hecho, el Instituto Clay ofrece un millón de dólares a quien sea capaz de resolver esta conjetura.

9 2.3. IDENTIDAD DE BÉZOUT. ALGORITMO EXTENDIDO DE EUCLIDES Identidad de Bézout. Algoritmo extendido de Euclides Definición 2.14 Dados enteros a y b y su máximo común divisor d = mcd(a, b), se denomina identidad de Bézout a una expresión de la forma ax + by = d x, y Z. El objetivo fundamental de esta sección, junto a la prueba del Teorema Fundamental de la Aritmética, es el demostrar que siempre existen tales enteros x e y y encontrar un algoritmo para su cálculo. Pero antes, veamos un ejemplo. Aplicando el algoritmo de Euclides a a = 180 y b = 146, se tiene la siguiente sucesión de identidades: 180 = (2.2) 146 = (2.3) 34 = (2.4) 10 = (2.5) 4 = 2 2 (2.6) Supongamos que queremos encontrar una identidad de Bézout, es decir, encontrar enteros x e y tales que 180 x y = 2 Para ello, podemos volver hacia atrás en las identidades anteriores, es decir, de (2.5) se tiene 2 = Ahora, de (2.4) podemos despejar 4 y llegar a De nuevo, usando (2.3) llegamos a 2 = Finalmente, usando (2.2) se tiene 2 = = Esta forma de proceder implicaría que para resolver una identidad de Bézout, habríamos de aplicar el algoritmo de Euclides (tomando nota de restos y cocientes)

10 34 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z y después volver hacia atrás utilizando dichos restos y cocientes. Sin embargo, podemos organizar los cálculos de manera que esto no sea necesario. Para ello, usaremos los cocientes para construir x k e y k tales que: ax k + by k = r k (0 k n). De este modo, si k = n, tendríamos resuelto nuestro problema. Para k = 0, basta tomar x 0 = 1 e y 0 = 0 y si k = 1, x 1 = 0 e y 1 = 1. Ahora supongamos que hemos encontrado x k e y k para todo índice 0 k s y queremos calcular x s+1 e y s+1. Se tendría: r s+1 = r s 1 r s q s = ax s 1 + by s 1 q s (ax s + by s ) = a(x s 1 q s x s ) + b(y s 1 q s y s ) Lo que hemos visto es que las sucesiones de enteros definidas por: x 0 = 1, x 1 = 0, x k+1 = x k 1 q k x k verifican y 0 = 0, y 1 = 1, y k+1 = y k 1 q k y k ax k + by k = r k De paso, esta construcción demuestra que: (0 k n). Teorema 2.15 Para todo par de enteros a y b no los dos nulos, existen enteros x e y tales que se verifica la identidad de Bézout: ax + by = mcd(a, b) Ejercicio. Probar que a y b son coprimos si, y sólo si, existen enteros x e y tales que ax + by = 1. Interpretación matricial del Algoritmo extendido de Euclides Llamemos, al igual que antes, r 0 = a y r 1 = b. Asimismo, consideremos las matrices ( ) x0 x R 0 = 1 = I S y 0 y 0 = r 0 r 1 x 0 x 1 1 y 0 y 1 Obsérvese que det(r 0 ) = 1. El primer paso en el algoritmo de Euclides extendido consiste en dividir r 0 por r 1, r 0 = r 1 q 1 + r 2, sustituir el par (r 0, r 1 ) por (r 1, r 2 ) y

11 2.3. IDENTIDAD DE BÉZOUT. ALGORITMO EXTENDIDO DE EUCLIDES35 calcular x 2 = x 0 x 1 q 1 e y 2 = y 0 y 1 q 1. En consecuencia, podemos pensar que si llamamos Q 1 a la matriz ( ) 0 1 Q 1 =, 1 q 1 se tiene ( ) x1 x R 1 = 2 = R y 1 y 0 Q 1 y S 1 = r 1 r 2 x 1 x 2 = S 0 Q 1 2 y 1 y 2 Además, es fácil ver que este producto por Q 1 consiste, en realidad, en restar a la primera columna de S 0 la segunda multiplicada por q 1 e intercambiar las columnas de S 0. Por otro lado, se tiene que det(r 1 ) = 1, es decir, x 1 y 2 x 2 y 1 = 1 lo que implica que mcd(x 2, y 2 ) = 1. Este proceso se continúa obteniendo matrices ( ) xk x R k = k+1 = R y k y k 1 Q k = R 0 Q 1 Q k k+1 y que verifican S k = r k r k+1 x k x k+1 = S k 1 Q k = S 0 Q 1 Q k y k y k+a det(r k ) = ( 1) k, ax k + by k = r k, ax k+1 + bx k+1 = r k+1, lo que, en particular, implica que mcd(x k, y k ) = 1. El algoritmo sigue hasta que en el lugar (1, 2) de una de las matrices S k aparezca un cero. De este modo, si en el algoritmo extendido de Euclides se realizan n divisiones, se tendrá ( ) xn x R n = n+1 = R y n y n 1 Q n y S 1 = r n 0 x n x n+1 = S n 1 Q n, n+1 y n y n+1 con lo que se tiene: ax n + by n = mcd(a, b), ax n+1 + by n+1 = 0, mcd(x n, y n ) = mcd(x n+1, y n+1 ) = 1. La última de las igualdades se obtiene de det(r n ) = ( 1) n. En particular se tendrá, si b 0, que la fracción y n+1 x n+1 es reducida e igual a a. Dicho de otra manera, b x n+1 = b mcd(a, b) e y n+1 = a mcd(a, b)

12 36 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z De hecho, la construcción anterior no sólo proporciona una prueba del Teorema sino que nos da un algoritmo para su cálculo. 3 En la forma en la que aparece descrito a continuación, coc(a, B) denota el cociente de la división euclídea de A por B. Input : a, b Z Inicializar : S := a b while s 12 0, do ( ) 0 1 Q 1 coc(s 11, s 12 ) S S Q endwhile Output : s 11, x = s 21, y = s 31 Algoritmo Extendido de Euclides. Obsérvese que como subproducto del algoritmo anterior, se obtienen x n+1 e y n+1 cuya utilidad se verá en la resolución de ecuaciones diofánticas lineales A partir del Teorema 2.15, podemos demostrar la anunciada unicidad de la factorización de un número entero, pero antes un resultado previo. Teorema 2.16 Si a bc y mcd(a, b) = 1, entonces a c. En particular, si p es primo y p ab, entonces p a o p b. Demostración. Gracias a la identidad de Bézout sabemos que existen enteros x e y tales que ax + by = 1. Multiplicando por c se tiene c = cax + cby, con lo que a divide a los dos sumandos a la derecha y, por lo tanto, a c. A partir del Teorema anterior y pagando un bajo precio, en forma de sencillo argumento inductivo, se puede probar que Si p es primo y p a 1 a k, entonces p divide a algún a i Todas estas disquisiciones realizadas sobre la relación entre números primos y divisibilidad nos ponen en condiciones de probar la unicidad, ya anunciada, de la expresión de un número entero como producto de ±1 y números primos. 3 En clase de problemas veremos cómo extender este algoritmo para más de dos enteros.

13 2.4. ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES 37 Teorema 2.17 (Teorema fundamental de la aritmética) Todo entero positivo puede expresarse como producto de potencias no triviales de números primos n = p α 1 1 p α 2 2 p α k k y, salvo, reordenación de los factores, esta factorización es única. Demostración del Teorema Fundamental de la Aritmética. La existencia de la factorización se sigue del Teorema 2.4 y, por lo tanto, sólo queda probar la unicidad. Sea S el conjunto de enteros positivos que admiten dos factorizaciones distintas y, supongamos, por reducción al absurdo, que este conjunto es no vacío. Por la buena ordenación de N, sabemos que, en ese caso, el conjunto S admite mínimo, digamos n. Se tendrán dos factorizaciones distintas de n: n = p α 1 1 p α 2 2 p α k k y Es claro que p 1 divide a q β 1 1 q β 2 2 q βs s n = q β 1 1 q β 2 2 q βs s. y, por lo tanto, a alguno de los q β i i. Aún más, se tendrá que p 1 divide a alguno de los q i lo que implica que es igual a alguno de los q i. Reordenando los q i, podemos suponer que p 1 = q 1. En consecuencia, se tendrá que n = p α p α 2 2 p α k k = q β q β 2 2 qs βs. p 1 Puesto que las factorizaciones de n consideradas eran distintas, tenemos dos factorizaciones distintas del entero positivo n p 1 < n, lo que contradice el hecho de que n sea el mínimo de S Ecuaciones diofánticas lineales Se llaman ecuaciones diofánticas a aquéllas de las que nos interesan las soluciones enteras. Un caso interesante es de las ecuaciones diofánticas lineales en dos variables ax + by = c a, b, c Z (2.7) Puesto que el caso a = b = 0 no tiene ningún interés, supondremos que (a, b) (0, 0). Utilizando el Algoritmo de Euclides extendido, sabemos encontrar una solución si c = mcd(a, b). Del mismo modo, es obvio encontrar una solución si mcd(a, b) divide a c. Dicho de otra manera, la ecuación diofántica tiene solución si c divide a mcd(a, b).

14 38 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z Y si mcd(a, b) no divide a c? En este caso, no puede haber solución: si existiesen enteros x e y tales que ax + by = c, se tendría que todo factor común de a y de b también lo sería de c. En particular, el máximo común divisor de a y de b dividiría a c. Recopilando, hemos demostrado que la ecuación diofántica 2.7 tiene solución si, y sólo si, c divide a mcd(a, b). De hecho, sabemos cómo encontrar una solución: aplicamos el algoritmo extendido de Euclides a a y b obteniendo x 0 e y 0 tales que c ax 0 + by 0 = mcd(a, b). Es claro que ( x c mcd(a,b) 0, y mcd(a,b) 0) es solución de 2.7. Sin embargo, hasta ahora no nos hemos preocupado por saber si hay más de una solución y, en el caso de que haya más de una, saber cuáles son todas las soluciones. Para analizar este problema, estudiemos la ecuación diofántica ax + by = 0 (2.8) por cuanto si (x 1, y 1 ) es solución cualquiera de la ecuación diofántica 2.7 y (x 0, y 0 ) solución de 2.8, es fácil ver que (x 1 + x 0, y 1 + y 0 ) es solución de 2.7. Una solución obvia ( y la más pequeña ) a la ecuación diofántica 2.8 es ( ) b mcd(a, b), a, mcd(a, b) pero también lo son todas las de la forma ( ) b t mcd(a, b), t a, con t Z. mcd(a, b) Así pues, si (x 1, y 1 ) es solución cualquiera de 2.7 el conjunto ( ) b { x 1 + mcd(a, b) t, y a 1 mcd(a, b) t : t Z}, es un conjunto de infinitas soluciones de 2.7. Hay más? Para verlo, sea (x, y) una solución de 2.7. Por lo tanto, ax 1 + by 1 = c y ax + by = c. Restando, se tiene a(x x 1 ) + b(y y 1 ) = 0 y, dividiendo por mcd(a, b), a mcd(a, b) (x x b 1) + mcd(a, b) (y y 1) = 0. (2.9)

15 2.5. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 39 Ahora, supongamos que b 0 (si b = 0 y a 0, haríamos el mismo argumento que sigue con a). Como ( ) a mcd mcd(a, b), b = 1 mcd(a, b) y b divide a (x x a mcd(a,b) 1) mcd(a,b) Sustituyendo en 2.9, se obtiene que, se tiene que b b x x 1 = t, para algún t Z. mcd(a, b) b y y 1 = t mcd(a, b). divide a (x x mcd(a,b) 1), es decir, Los argumentos anteriores prueban que el siguiente resultado es cierto. Proposición 2.18 Dados enteros a, b, c la ecuación diofántica ax + by = c tiene solución si, y sólo si, mcd(a, b) divide a c. En caso de que tenga solución tiene infinitas, dadas por ( ) b { x 1 + mcd(a, b) t, y a 1 mcd(a, b) t : t Z}, donde (x 1, y 1 ) es una solución particular cualquiera. De hecho, hemos encontrado un algoritmo para resolver ecuaciones diofánticas de la forma 2.7, ya que basta encontrar una solución particular cualquiera y, para ello podemos utilizar el algoritmo extendido de Euclides Mínimo común múltiplo Definición 2.19 Si a y b son dos enteros, un múltiplo común de a y b es un entero c tal que a c y b c. Si a y b son ambos no nulos, existen múltiplos comunes positivos (por ejemplo ab ), por lo que la buena ordenación de N nos asegura la existencia de un mínimo común múltiplo, es decir, el menor múltiplo común positivo. Normalmente, se escribe mcm(a, b). De hecho, se tiene que el mínimo común múltiplo de a y b es el único entero positivo m que verifica: 1) a m y b m (por ser múltiplo común)

16 40 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z 2) Si c es un entero que verifica a c y b c, entonces, m c (por ser el menor de los múltiplos comunes). El mínimo común múltiplo está estrechamente ligado al máximo común divisor. Esta ligazón viene dada por el siguiente resultado. Teorema 2.20 Sean a y b dos enteros. Se tiene ab = mcd(a, b) mcm(a, b). Demostración. Se trata de probar que el entero positivo m = ab mcd(a, b) es el mínimo común múltiplo de a y b, es decir, que verifica las dos propiedades anteriores. En primer lugar, es claro que a m por cuanto mcd(a, b) divide a b y, por lo tanto, podemos escribir m = a De igual forma puede verse que b m. b mcd(a, b). Por otro lado, supongamos que c es un entero que es múltiplo común de a y b, es decir, Se tiene, entonces que y, como a mcd(a,b) y c = au para algún entero u y c = bv para algún entero v. b mcd(a,b) Finalmente, se tendrá a mcd(a, b) u = b mcd(a, b) v son primos entre sí, que a a v = k mcd(a, b) mcd(a,b) para algún entero k. divide a v, es decir, ab c = bv = k mcd(a, b) para algún entero k.

17 2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS Problemas propuestos Problema (Expresión de números natural en bases distintas de la decimal) Demostrar que, dado un natural q > 0, todo número natural n puede expresarse de manera única en la forma a k q k + a k 1 q k a 1 q + a 0, con 0 a k < q, donde k el único natural para el que se verifica q k n < q k+1. Problema Sea a k a k 1... a 1 a 0, a i {0, 1} la expresión en base 2 (binaria) de un cierto número natural. Expresar, en base 2, cociente y resto de la división por 2 de dicho número. Problema Si (A, +, ) es un anillo conmutativo con elemento unidad, un subconjunto I se llama ideal si a + b I para todo a, b I x A y a I = xa I. (1) Probar que si a 1,..., a n son elementos cualesquiera del anillo A, el conjunto (a 1,..., a n ) = {a 1 x 1 + a 2 x a n x n : x i A} es un ideal de A. Todo ideal que se puede expresar de esta forma, se dice finitamente generado. Si n = 1, se denomina principal. (2) Probar que en Z todo ideal es principal. Un anillo sin divisores de cero y que verifica esta propiedad se dice dominio de ideales principales. (3) Sean ahora, (a) y (b) dos ideales de Z. Quién es el menor ideal que contiene a ambos? Quién es la intersección de (a) y (b)? Problema Dados a y b enteros no nulos, los podemos escribir en la forma a = ± n i=1 p α i i, a = ± n i=1 p β i i, α i, β i 0. donde los p i son todos los primos que dividen a ab. Comprobar que mcd(a, b) = n i=1 p min{α i,β i } i y mcm(a, b) = n i=1 p max{α i,β i } i

18 42 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z Problema Para cada uno de los pares de enteros siguientes, calcular el máximo común divisor utilizando el algoritmo de Euclides: (i) 34, 21; (ii) 136, 51; (iii) 481, 325; (iv) 8711, 3206; (v) 1134, 1221; En cada uno de los casos, resuelve la correspondiente identidad de Bézout. Problema El algoritmo de Euclides puede hacerse ligeramente más rápido si permitimos restos negativos en la forma que sigue r i 1 = r i q i + r i+1 con r i /2 < r i+1 r i /2. Por ejemplo, si aplicamos este método para calcular el máximo común divisor de 59 y 49, se tiene mcd(59, 49) = mcd(49, 10) = mcd(10, 1) = mcd( 1, 0) = 1. Utilizar este algoritmo, conocido como del mínimo resto, para calcular los máximos comunes divisores del ejercicio anterior y resolver las correspondientes identidades de Bézout. Problema Demostrar las siguientes propiedades del máximo común divisor. 1. ( a Si a y b son pares, mcd(a, b) = 2mcd 2, b ) 2 2. ( a ) Si a es par y b es impar, mcd(a, b) = mcd 2, b ( ) a b 3. Si a y b son impares, mcd(a, b) = mcd, b 2 A partir de las propiedades anteriores, construir un algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos enteros realizando únicamente divisiones por 2. (Nota: Este algoritmo se conoce como algoritmo binario para el cálculo del mcd y es debido a J. Stein que publicó su resultado en 1967). Problema Considérese la siguiente variante del algoritmo binario para el cómputo de mcd(a, b). Asumamos que a y b no son los dos pares. 1) Si a es par, sustituimos (a, b) por (a/2, b). 2) Si b es par, sustituimos (a, b) por (a, b/2). 3) Si a y b son impares, sustituimos (a, b) por ( a+b, ) a b 2 2.

19 2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 43 El algoritmo consiste en repetir los pasos (1)-(3) en ese orden. Si a o b es cero, paramos y devolvemos como mcd(a, b) el otro número en valor absoluto. Por ejemplo, para calcular mcd(15, 6) utilizando este algoritmo, se tendría: (15, 6) (15, 3) (9, 6) (9, 3) (6, 3) (3, 3) (3, 0) Demostrar que este algoritmo siempre acaba y que la respuesta es correcta. (Indicación: Para probar que el algoritmo termina, considera la aplicación f(a, b) = a 2 +b 2 y comprueba que cada vez que se da un paso en el algoritmo su valor decrece). Problema Probar las siguientes propiedades de la sucesión de Fibonacci: Dos términos consecutivos de la sucesión son coprimos, es decir, mcd(f n 1, F n ) = 1 para n 1 El mayor natural menor que F n+2 /F n+1 (escrito F n+2 /F n+1 ) es 1. El resto de la división de F n+1 por F n es F n 1. Problema Descomponer de todas las formas posibles el número racional 100/273 en suma de dos fracciones positivas con denominadores 21 y 13. Problema (Algoritmo extendido de Euclides para t enteros) Basándose en la interpretación matricial del algoritmo extendido de Euclides, diseñar un algoritmo para calcular, dados enteros a 1,..., a t, una identidad de Bézout del tipo a 1 x 1 + a 2 x a t x t = mcd(a 1,..., a t ). Aplicar dicho algoritmo a la resolución de ecuaciones diofánticas de la forma a 1 X 1 + a 2 X a n X n = b. Problema Para cada una de las ecuaciones diofánticas siguientes, estudiar si tienen solución y, en su caso, calcular todas las soluciones: 25X + 36Y = 10 ; 40X + 50Y = 3 ; 200X 1768Y = 8 ; 213X Y = 18 ; 30X Y Z = 25 ; 10X + 11Y + 20Z = 10 ; 3X + 7Y + 12Z + 21T = 22 ; 2200X Y 2332Z T = 12.

20 44 Problema CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z Resolver el sistema de ecuaciones diofánticas lineales: { 11X + 3Y + 5Z = 20 3X + 7Y + 10Z = 10 Problema Supongamos que el máximo común divisor de a y b es un primo p. Cuáles son los posibles valores del máximo común divisor de a 2 y b? Y del máximo común divisor de a 3 y b? Si m.c.d(a, b) = p, cuánto vale m.c.d(a 3, b 3 )? Problema Una empresa alemana está replanteándose sus planes de actividad. Tiene una fábrica en España con un millar de empleados españoles y un centenar de ejecutivos alemanes y está estudiando una reestructuración de plantilla. Obviamente sin informar a los sindicatos; aunque estos sospechan que va a haber algún despido. Un representante sindical encuentra en una fotocopiadora un documento del estudio de reestructuración de plantilla (olvidado por error, obviamente) en que se puede leer El 80.9 por ciento de los que van a ser despedidos está casado. El 43.5 por ciento de los que van a ser despedidos está pagando hipoteca. Deducir qué piensan hacer los alemanes con la empresa. Problema Un turista estadounidense va a pasar unos días de vacaciones en París, Madrid y Cracovia y desea cambiar 810 dólares en euros y en zlotys. Sabiendo que el euro se cotiza a 0,90 dólares y un zloty a 0,24, de cuántas formas posibles puede hacer el cambio si necesita para su estancia en Cracovia, al menos, 3000 zlotys? Problema Sean dados dos números naturales no nulos a y b. Es posible escribir el número racional como suma de dos racionales de denominadores m.c.m.(a,b) 1 a y b? En caso de respuesta afirmativa, esbozar un algoritmo para el cálculo de dichos racionales. Problema Una cierta empresa fabrica tres productos A, B y C que vende a 590, 410 y 300 euros respectivamente. Calcular cuántas unidades de cada producto se vendieron en un día determinado sabiendo que: La recaudación por la venta de los productos fue de euros. Se vendieron más unidades de A que de B. El número de unidades de C vendidas fue mayor que 83. Problema Resolver el siguiente problema: Si un gallo cuesta siete monedas, una gallina cinco monedas y tres pollos una moneda, de cuántas formas distintas pueden comprarse un total de trescientas aves (gallos, gallinas y pollos) si disponemos de quinientas monedas? Escribir cada una de estas formas posibles.

21 2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 45 Problema Una compañía aérea ofrece tres tipos de billetes en sus vuelos de Madrid a París. Los billetes de clase preferente cuestan 150 euros, los de clase turista con derecho a comida 110 y el resto 67. Si, en un vuelo concreto un total de 100 pasajeros pagaron un total de euros, cuántos billetes de cada tipo se vendieron? Problema Probar que para cada número natural n, existen siempre n números compuestos consecutivos. Problema Si mn es un cuadrado perfecto y mcd(m, n) = 1, demostrar que m y n son también cuadrados perfectos. Problema (Números de Fermat) i) Demostrar que si 2 m + 1 es primo, m es una potencia de 2, es decir, m = 2 n para algún natural n. Nota. Los números de la forma 2 2n + 1 se llaman números de Fermat y si son primos, se les dice primos de Fermat. Pierre de Fermat ( ) conjeturó que todos los números de la forma 2 2n + 1 eran primos, pues pudo comprobar que eso era cierto para n = 0, 1, 2, 3, 4. Sin embargo, en 1732 Leonhard Euler ( ) demostró que 641 era factor de = A fecha de hoy, los únicos primos de Fermat conocidos son los que se corresponden con n = 0, 1, 2, 3, 4, aunque no se sabe si hay más. ii) Demostrar que dos números de Fermat distintos son siempre primos entre sí. Problema Un primo de Mersenne es un número primo de la forma 2 n 1. Demostrar que si 2 n 1 es primo, n ha de ser primo. Nota. En 1644, Mersenne conjeturó que 2 p 1 era primo para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 y para ningún otro primo menor que 257. En la lista de Mersenne, había errores por cuanto los números correspondientes a 67 y 257 no son primos y le faltaban los correspondientes a 61 y 89. A fecha de hoy, sólo se conocen 38 primos de Fermat, el mayor de los cuales es , número éste que tiene más de 2 millones de dígitos decimales. Una lista de los primos de Mersenne conocidos puede verse en Problema Dado un entero positivo n, sea σ(n) = d n d la suma de todos sus divisores positivos. Por ejemplo, σ(27) = = 40. Demostrar que si mcd(m, n) = 1, σ(nm) = σ(n)σ(m) y encontrar una fórmula para calcular σ(n) a partir de la descomposición de n en factores primos.

22 46 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z Problema Un número perfecto es un entero positivo que es igual a la suma de sus divisores distintos de él mismo (p.e., 6 es perfecto pues 6 = ). Demostrar que los números perfectos pares son exactamente los de la forma 2 k 1 (2 k 1), con 2 k 1 un primo de Mersenne. (Indicación: Para ver que un número perfecto par tiene esa forma, escríbelo primero en la forma 2 k 1 n 0 con n 0 impar, demostrar que n 0 es divisible por 2 k 1 y comprueba que n 0 tiene que ser primo estudiando σ(n 0 )). Nota: No se sabe si existen números perfectos impares. Por otro lado, los primeros números perfectos son: 6 = 2 1 (2 2 1), 28 = 2 2 (2 3 1), 496 = 2 4 (2 5 1), 8128 = 2 6 (2 7 1), = 2 12 (2 13 1),... Problema Sean a y b números positivos coprimos. Demostrar que para todo entero positivo n > ab, existen números enteros positivos x e y tales que n = ax + by A partir de lo anterior, deducir que todo número entero > 11 puede escribirse como suma de dos números compuestos.