2.1 Centro de un sistema de vectores paralelos

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1 Capítulo GEOMETRÍA DE MASAS.1 Centro de un sistema de vectores paralelos Sea un sistema de vectores paralelos a 1, a, a 3,..., a i,..., a n, aplicados repectivamente en los puntos P 1, P, P 3,..., P i,..., P n. Dado que son todos ellos paralelos, cualquiera podría ser expresado como: a i = m i a ; siendo a un vector que tiene la dirección común del sistema. El momento de uno cualquiera de los vectores respecto a un punto del espacio A, será: Z P i a i = m a i r i A 0 r A Y X Figura.1: Momento de un vector respecto de un punto A Como AP i = r i r A En donde: M Ai = AP i m i a r i es el vector de posición del punto genérico P i r A es el vector de posición del punto A M Ai = ( r i r A ) m i a = (m i r i m i r A ) a 45

2 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 46 Hallando los momentos correspondientes a cada vector a i con respecto de A y sumándoles, obtendríamos el momento resultante en A de todo el sistema: i=n M A = (m i r i m i r A ) a = ( i=n i=n ) m i r i r A m i a Bajo el supuesto de que el punto A sea un punto del eje central, el momento M A = 0 ; por tratarse de un sistema de vectores paralelos: ( i=n i=n ) m i r i r A m i a = 0 Si el vector a puede tomar cualquir dirección; es decir el sistema de vectores paralelos puede estar dirigido en cualquier orientación del espacio; podemos establecer la siguiente condición de nulidad del producto vectorial: i=n i=n m i r i r G m i = 0 Llamando ahora al punto A, punto G; el cual sería el punto común a todos los ejes centrales del sistema para todas las posibles direcciones del vector a en el espacio: r G = i=n m i r i i=n m i Expresión que nos permite determinar el punto G, el cual como hemos visto: Es la intersección de todos los ejes centrales del sistema para todas las posibles direcciones del vector a. Es un punto para el cual, por tanto, el momento resultante es nulo para todas las posibles direcciones del vector a. Dicho punto G es el denominado centro del sistema.. Sistemas materiales. Centro de Masas La geometria de masas estudia la distribución espacial de la masa en los sistema materiales. Dichos sistemas materiales podrán ser: Discretos: Constituidos por partículas materiales aisladas. Continuos: Sin solución de continuidad en la distribución de la masa. En ellos podremos introducir el concepto de densidad.

3 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 47 La densidad de un sistema continuo la definimos como el límite del cociente entre la masa existente en un cierto recinto volumétrico y el volumen de dicho recinto: m δ = lim V 0 V = dm dv Para sistemas continuos de tipo superficial podríamos hablar de una densidad superficial: σ = dm ds Y para sistemas continuos monodimensionales podríamos referirnos a una densidad lineal: λ = dm dl La densidad es en general, una función escalar de punto δ = δ(x, y, z) Los sistemas continuos homogéneos se caracterizan por tener su densidad constante. Para un sistema material el centro de masas viene definido por la expresión que determina el centro de un sistema de vectores paralelos, en la que ahora m i representa la masa de las partículas que integran dicho sistema material. r G = i=n m i r i i=n m i Esta expresión es aplicable evidentemente, a los sistemas discretos. En el caso de los sistemas continuos habría que tener en cuenta que dm = δ dv, y en este caso los sumatorios habrán pasado a ser integrales: Sistema volumétrico: r G = Sistema superficial: r G = r dm r dv δ V dm = V dv δ V V r dm r ds σ S dm = S ds σ S S r dm r dl λ Sistema lineal: r G = l dm = l dl λ l l

4 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 48 Si el sistema es homogéneo δ, σ o λ serán constantes y podrán salir fuera de las integrales simplificandose. La determinación del centro de masas en este caso será entonces un problema meramente geométrico, y a dicho centro de masas se le denomina centroide. Si se considera un sistema de vectores paralelos aplicados en los distintos puntos del sistema material, y cuyos módulos sean proporcionales a la masa de cada punto, tales que: P i = m i g Y considerando que las dimensiones del sistema material son tales que en su interior el vector g pueda suponerse constante, el centro de este sistema de vectores paralelos será el denominado centro de gravedad, en el cual el momento resultante de las fuerzas gravitatorias es nulo. Caso de que las dimensiones sean tales que g no pueda considerarse constante, no existirá centro de gravedad, pero el centro de masas existirá siempre..3 Momentos estáticos o momentos de primer orden En la geometría de masas aparecen sumas (o integrales) del tipo: i=n m i f i (x 1, x, x 3 ) Según el grado de la expresión f i (x 1, x, x 3 ) podremos hablar de momentos primer o de segundo orden. Los momentos de primer orden vendrán expresados como: i=n M = m i ε i o M = ε dm Donde ε representa la distancia a un punto, a una recta, o a un plano, con lo que hablaríamos de momentos de primer orden, o estáticos, polares, axiales o planarios. Los momentos estáticos más utilizados son los que se refieren a planos; en este caso ε i define la distancia de cada masa m i a un plano. Si descomponemos la expresión vectorial: r G = i=n m i r i i=n m i

5 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 49 En sus componentes escalares: X G = i=n i=n m i x i m i = i=n m i x i m T = M x m T ; M x = m T X G Y G = i=n i=n m i y i m i = i=n m i y i m T = M y m T ; M y = m T Y G Z G = i=n i=n m i z i m i = i=n m i z i m T = M z m T ; M z = m T Z G Donde m T representa evidentemente la masa total del sistema. Para cualquier otro plano π que no fuese uno de los de referencia también se cumpliría: ε Gπ = M π m T ; M π = m T ε Gπ El momento estático de un sistema material con respecto a un plano π resulta ser el producto de la masa total del sistema por la distancia del centro de masas al plano π. Si el centro de masas estuviese contenido en el plano, entonces ε G = 0 y por tanto M = 0. Es decir: El momento estático de un sistema respecto de un plano que contiene a su centro de masas es nulo..3.1 Influencia de las simetrías en los momentos estáticos El momento estático de un sistema material respecto a uno de sus planos de simetría es nulo. En efecto: M = i=n por tanto M = 0. 1 m i ε i ; pero cada término m i ε i se anula con su simétrico m i ( ε i ) ; luego 1 Debe entenderse para la completa veracidad de este razonamiento que la simetría debe ser tanto geométrica como material, es decir que caso de tratarse de un sistema no homogéneo, la densidad debe estar simetricamente dispuesta con respecto al plano considerado.

6 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 50 Plano de simetría G m ε i i m ε i i Figura.: Plano de simetría en un sistema material Consecuentemente, si el momento estático con respecto a ese plano es nulo, ε G = 0 y el centro de masas del sistema se encontrará en dicho plano. Si un sistema tiene un plano de simetría, en él se encuentra localizado su centro de masas. Por estas razones si un sistema posee dos planos de simetría el centro de masas deberá estar localizado en la intersección de ambos; es decir, en el eje de simetría..3. Propiedades de los momentos estáticos Si un sistema material se descompone en partes, el momento estático del sistema será igual a la suma de los momentos estáticos de las partes. Z rga G A r G G r GB G B r GC G C 0 Y X Figura.3: Descomposición de un sistema material en partes M = T m i ε i = A m i ε i + B m i ε i + C m i ε i

7 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 51 Si los momentos estáticos de las partes son expresados en función de la localización de sus respectivos centros de masas: Y teniendo en cuenta que: m T ε G = m A ε GA + m B ε GB + m C ε GC m T = m A + m B + m C Podremos despejar la distancia ε G a un cierto plano del centro de masas de la totalidad del sistema: ε G = m A ε GA + m B ε GB + m C ε GC m A + m B + m C Si en vez de referirnos a un plano cualquiera, lo hicieramos al plano de referencia X = 0 : X G = m A x GA + m B x GB + m C x GC m A + m B + m C Y repitiendo lo mismo para los planos Y = 0 y Z = 0 : Y G = m A y GA + m B y GB + m C y GC m A + m B + m C Z G = m A z GA + m B z GB + m C z GC m A + m B + m C Y teniendo en cuenta que un vector de posición r con origen en el centro de coordenadas tiene como componentes las coordenadas de su extremo, llegaremos a la expresión: r G = X G i + Y G j + Z G k = rg = m A r GA + m B r GB + m C r GC m A + m B + m C En consecuencia, para cálculos de centros de masas y de momentos de primer orden de un sistema material, se pueden considerar las partes en que podemos dividir a dichos sistemas concentradas en sus centros de masas respectivos. Esta consideración no es válida para los momentos de segundo orden. Esta forma de pensar es válida incluso para sistemas materiales que presentan zonas huecas en su interior. En ellos designaremos m L : masa de la parte llena ( la masa realmente existente ) ; m T : masa total ( incluido el hueco tecnicamente dotado de masa ) ; m H : masa del hueco pero con caracter negativo. m L = m T m H m i ε i = L T m i ε i H m i ε i Es decir: M L = M T M H

8 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 5 El momento estático de la parte llena se obtiene restando el de la parte hueca al que tendría todo el sistema si estuviese tecnicamente dotado de masa en su totalidad. Expresando los momentos estáticos como: Despejando el valor de ε GL : Y con carácter vectorial: m L ε GL = m T ε GT m H ε GH ε GL = m T ε GT m H ε GH m T m H r GL = m T r GT m H r GH m T m H Expresión que permite determinar la localización de centros de masas para sistemas materiales que presentan en su interior partes huecas. Z G L G T GH r GL r GT 0 r GH Y X Figura.4: Sistema material con hueco en su interior

9 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 53.4 Teoremas de Pappus-Guldin Dichos teoremas se refieren a cuerpos homogéneos y de revolución, y su utilización permite tanto la determinación de volúmenes y superficies laterales de estos cuerpos, como la localización de sus centros de masas..4.1 Primer teorema de Pappus-Guldin El área engendrada por una línea plana al girar en torno a un eje coplanario con ella, y que no la corta, es igual al producto de la longitud de la línea dada por la longitud de la circunferencia descrita por el centro de masas de la misma en ese movimiento de rotación. Y G dl yg y X Figura.5: Primer teorema de Pappus-Guldin La ordenada del centro de masas de la línea será: y dm y dl l y G = l = = y G l = y dl dm dl l l l En el giro el elemento diferencial de línea dl genera un diferencial de superficie ds cuyo valor es: ds = π y dl ; Integrando: S = π y dl, y sustituyendo la integral por el valor anteriormente obtenido: l S = π y G l Quedando así demostrado el teorema enunciado.

10 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS Segundo teorema de Pappus-Guldin El volumen engendrado por una sección plana al girar en torno a un eje coplanario con ella, y que no la corta, es igual al producto del area de dicha sección por la longitud de la circunferencia descrita por el centro de masas de la misma en ese movimiento de rotación. Y S G ds y G y X Figura.6: Segundo teorema de Pappus-Guldin La ordenada del centro de masas de la sección será: y dm y ds S y G = S = = y G S = dm ds S S S y ds El giro del elemento diferencial de superficie ds genera un diferencial de volumen dv cuyo valor es: dv = π y ds ; Integrando: V = π S y ds, y sustiyuyendo la integral por el valor anteriormente obtenido: V = π y G S Quedando así demostrado el teorema enunciado.

11 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 55.5 Momentos de inercia o de segundo orden Son sumas de productos de masas por cuadrados de distancias a una determinada referencia ( punto, recta o plano ), o bien sumas de productos de masas por productos de distancias a dos elementos de referencia..5.1 Momentos de inercia planarios Son productos de masas por distancia al cuadrado a un plano dado. i=n J π = m i ε i J π = ε dm Para sistemas discretos Para sistemas continuos Si en vez de considerar un cierto plano cualquiera nos referimos a los planos del sistema de referencia de coordenadas: X 3 x dm x 1 0 x 3 X X 1 Figura.7: Momentos de inercia con respecto a los planos de referencia J 1 = J = J 3 = x 1 dm ( Para el plano X 1 = 0 ) x dm ( Para el plano X = 0 ) x 3 dm ( Para el plano X 3 = 0 ).5. Productos de inercia Son sumas de productos de masas por productos de distancias a dos planos dados: P εη = ε η dm

12 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 56 Si los planos utilizados son los planos coordenados tendremos: X 3 x dm 0 x 3 X X 1 Figura.8: Producto de inercia para los planos X = 0 y X 3 = 0 P 3 = P 31 = P 1 = x x 3 dm ( Para los planos X = 0 y X 3 = 0 ) x 3 x 1 dm ( Para los planos X 3 = 0 y X 1 = 0 ) x 1 x dm ( Para los planos X 1 = 0 y X = 0 ).5.3 Momentos de inercia respecto de un eje Son sumas de productos de masas por distancias al cuadrado al eje. X 3 x dm 0 q 1 x 3 X X 1 Figura.9: Momento de inercia con respecto al eje X 1 I ξ = q dm ; donde q es la distancia al eje ξ

13 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 57 Si los ejes a los que nos referimos son los ejes coordenados X 1, X y X 3, tendremos: I 11 = q1 dm = (x + x 3) dm ( Para el eje de referencia X 1 ) I = q dm = (x 3 + x 1) dm ( Para el eje de referencia X ) I 33 = q3 dm = (x 1 + x ) dm ( Para el eje de referencia X 3 ) Radio de giro respecto de un eje Definimos radio de giro de un sistema material con respecto de un eje, a la distancia a que debería situarse del eje la masa concentrada del sistema para que presente con respecto a dicho eje, el mismo momento de inercia que el sistema material dado. ξ m ρ ξ Figura.10: Radio de giro de un sistema con rspecto al eje ξ Sea I ξ el momento de inercia del sistema con respecto al eje ξ. Siendo m la masa total del sistema, supuesta concentrada en un punto situado a una distancia ρ ξ del eje ξ, su momento de inercia con respecto a dicho eje será: m ρ ξ ; por tratarse de un sistema discreto compuesto por una única partícula. Atendiendo a la definición dada: I ξ = m ρ ξ, y por tanto : ρ ξ = I ξ /m ; de donde obtendremos: Iξ ρ ξ = m El radio de giro tiene evidentemente dimensiones de longitud.

14 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS Momentos de inercia con respecto a un punto ( polares ) Son sumas de productos de masas por cuadrados de distancias a dicho punto. J P = t dm ; Siendo t la distancia de cada masa al punto P. X 3 dm t 0 x 3 x 1 X x X 1 Figura.11: Momento de inercia polar con respecto al origen O Si el punto considerado es el origen de coodenadas O : J O = t dm = (x 1 + x + x 3 ) dm

15 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 59.6 Relaciones entre los momentos de segundo orden.6.1 Relación primera Partiendo de la igualdad: x 1 + x = (x 1 + x ) Multiplicando en ambos miembros por dm e integrando para todo el sistema: x 1 dm + x dm = (x 1 + x ) dm Y de acuerdo con las definiciones dadas: J 1 + J = I 33 Conclusión que es igualmente válida para los otros planos de referencia: J + J 3 = I 11 J 3 + J 1 = I Expresiones que podrían enunciarse como: La suma de los momentos de inercia planarios con respecto a dos planos de referencia es igual al momento de inercia respecto del eje que es intersección de ambos planos. En general: La suma de los momentos de inercia planarios respecto de dos planos ortogonales entre sí es igual al momento de inercia respecto de la recta intersección de ambos..6. Relación segunda Partimos ahora de la identidad: x 1 + x + x 3 = (x 1 + x + x 3 ) Multiplicando por dm en ambos miembros, e integrando para todo el sistema: x 1 dm + x dm + x 3 dm = (x 1 + x + x 3) dm Lo cual significa que: J 1 + J + J 3 = J O Expresión que podría enunciarse como: La suma de los momentos de inercia planarios con respecto a los tres planos de coordenadas es igual al momento de inercia polar con respecto del origen. En general: La suma de los momentos de inercia planarios con respecto de tres planos que conforman un triedro trirrectángulo es igual al momento de inercia polar con respecto del vértice de triedro.

16 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS Relación tercera Partiendo de la identidad: (x + x 3) + (x 3 + x 1) + (x 1 + x ) = (x 1 + x + x 3) Multiplicando por dm e integrando para todo el sistema: (x + x 3 ) dm + (x 3 + x 1 ) dm + (x 1 + x ) dm = (x 1 + x + x 3 ) dm Lo que podemos expresar como: I 11 + I + I 33 = J O La suma de los momentos de inercia respecto de los tres ejes de referencia es igual a dos veces el momento de inercia polar con respecto al origen de coordenadas. En general: La suma de los momentos de inercia con respecto a las tres aristas de un triedro trirrectángulo es igual al doble del momento de inercia polar con respecto del vértice del triedro.

17 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 61.7 Teoremas de Steiner.7.1 Teorema de Steiner para momentos de inercia respecto de ejes Veamos cual es la relación entre momentos de inercia respecto de ejes paralelos, si uno de ellos contiene al centro de masas del sistema. Sin restar generalidad al problema consideremos que el eje de referencia X 3 contiene al centro de masas G del sistema material, y que el otro eje ξ paralelo a X 3 corta a X, encontrándose separado de X 3 una distancia t. X 3 ξ G 0 t x - t x 1 X x dm X 1 Figura.1: Teorema de Steiner para momentos de inercia axiales Por las definiciones ya conocidas, y atendiendo a la geometría del problema: I 33 = q3 dm = (x 1 + x ) dm I ξ = q dm = [x 1 + (x t) ] dm Desarrollando: I ξ = (x 1 + x + t x t) dm = (x 1 + x ) dm + t dm t x dm Teniendo en cuenta que x dm = M = 0 por tratarse del momento estático planario con respecto al plano X = 0 y contener éste al centro de masas G del sistema material, nos quedaría: I ξ = I 33 + t m Y en general: I ξ = I G + t m

18 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 6 Relación que expresa el denominado teorema de Steiner para momentos de inercia axiales o con respecto a ejes, el cual se enuncia de la siguiente forma: El momento de inercia de un sistema material con respecto a un eje es igual al momento de inercia con respecto de un eje paralelo al anterior que contiene el centro de masas del sistema, más el producto de la masa total del sistema por el cuadrado de la distancia que separa a ambos ejes. Dado que el sumando t m es siempre positivo, de todo un conjunto de ejes paralelos que podamos considerar, el de menor momento de inercia será aquél que pasa por G, en tanto que los de mayor momento de inercia serán los más alejados de G. Planteémonos ahora la siguiente cuestión: Es válido el teorema de Steiner si ninguno de los ejes contiene al punto G? La respuesta inmediata es que no; pues para su deducción se exige que x dm = 0. Sin embargo hay casos en que ésto se puede cumplir sin que G esté contenido en el eje X 3. En efecto, bastaría con que G estuviese en el plano conformado por los ejes X 1 y X 3, es decir, el plano X = 0. Si G se encuentra en un plano ortogonal al plano definido por X 3 y por ξ, el cual contenga a X 3, sería apicable Steiner aunque G no estuviese en X Teorema de Steiner para radios de giro Teniendo en cuenta la definición de radio de giro: I ξ = m ρ ξ Y sustituyendo en el teorema de Steiner para momentos de inercia axiales ya demostrado: m ρ ξ = m ρ G + m t = ρ ξ = ρ G + t El cuadrado del radio de giro de un sistema material respecto de un eje, es igual al cuadrado del radio de giro de dicho sistema respecto a un eje paralelo a él, y que contenga al centro de masas del sistema, más el cuadrado de la distancia que separa a ambos ejes..7.3 Teorema de Steiner para momentos de inercia planarios Sean dos planos paralelos π y α, conteniendo este último al centro de masas G del sistema material, y separados entre sí una distancia t. Los momentos de inercia planarios del sistema material con respecto a estos planos π y α son respectivamente: J π = ε π dm J α = ε α dm

19 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 63 Sustituyendo en J π el valor de ε π por (ε α t), según observamos en la geometría del problema: J π = ε π dm = (ε α t) dm = ε α dm + t dm t ε α dm En el desarrollo aparece ε α dm que como sabemos es el momento estático o de primer ε α t ε π dm G α π Figura.13: Teorema de Steiner para momentos de inercia planarios orden planario del sistema con respecto al plano α, y dado que dicho plano contiene a G, deberá ser nulo, es decir: ε α dm = M α = 0 Ypor tanto: J π = J α + t m Expresión que se corresponde al teorema de Steiner para momentos de inercia planarios, teorema que podemos enunciar de la siguiente forma: El momento de inercia de un sistema material respecto de un plano es igual al momento de inercia con respecto a otro plano paralelo a él y que contenga el centro de masas del sistema, más el producto de la masa del sistema por el cuadrado de la distancia que separa a ambos planos..7.4 Teorema de Steiner para productos de inercia Consideremos los planos ortogonales de referencia X 1 = 0 y X = 0, y supongamos que el centro de masas del sistema G se encuentra en la recta de intersección de ambos planos; es decir en el eje X 3. Sean por otra parte los planos π y α respectivamente paralelos a los anteriores.

20 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 64 El producto de inercia del sistema material respecto de los planos coordenados X 1 = 0 y X = 0 será: P 1 = x 1 x dm Por otra parte, el producto de inercia con respecto a los planos π y α será: P πα = (x 1 t 1 ) (x t ) dm Desarrollando: X 3 G π α 0 dm t 1 x 1 t x 1 - t 1 X x - t X 1 x Figura.14: Teorema de Steiner para productos de inercia P πα = (x 1 x + t 1 t x 1 t x t 1 ) dm = = x 1 x dm + t 1 t dm t x 1 dm t 1 x dm Teniendo en cuenta que x 1 dm = M 1 = 0 y que x dm = M = 0, por ser momentos estáticos con respecto a planos que contienen a G, ya que como hemos enunciado, éste se encuentra en el eje X 3, que es la intersección de ambos planos, nos quedará: P πα = x 1 x dm + t 1 t dm Es decir: Y en general: P πα = P 1 + t 1 t m P πα = P G + t 1 t m

21 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 65 Lo que podríamos enunciar como: El producto de inercia de un sistema material con respecto de dos planos ortogonales entr sí, es igual al producto de inercia de dicho sistema con respecto a otros dos planos paralelos a los anteriores, y en cuya intersección se encuentra el centro de masas del sistema, más el producto de la masa del sistema por las respectivas distancias mutuas entre planos. Si multiplicamos ambos miembros de la expresión anterior por ( 1): Y denominando ahora: P πα = P G t 1 t m Nos queda la siguiente expresión: I πα = P πα ; I G = P G I πα = I G t 1 t m Que como veremos posteriormente tienene importancia al ser los productos de inercia cambiados de signo, términos del denominado tensor de inercia..7.5 Teorema de Steiner para momentos de inercia polares Veamos cuál es la relación existente entre el momento de inercia polar de un sistema material con respecto de un punto, y el momento de inercia polar de dicho sistema respecto de otro punto que sea además el centro de masas del sistema. Para ello, y sin restringir la generalidad del problema, supondremos que el centro de masas G se encuentra en el origen del sistema de referencia. El otro punto será el punto H cuyas coordenadas en la referencia elegida serán (t 1, t, t 3 ). El momento de inercia polar con respecto al origen de coordenadas ( y centro de masas del sistema ) será: J G = (x 1 + x + x 3) dm El momento de inercia polar con respecto al punto H de coordenadas (t 1, t, t 3 ) será: [(x1 J H = t 1 ) + (x t ) + (x 3 t 3 ) ] dm = = (x 1 + x + x 3 + t 1 + t + t 3 t 1 x 1 t x t 3 x 3 ) dm Denominaremos t 1 + t + t 3 = t, siendo t la distancia que separa G de H.

22 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 66 Por otra parte sabemos que x i dm = M i = 0 por estar G contenido en cualquiera de los planos de referencia X 1 = 0, X = 0, X 3 = 0. Por lo tanto: J H = J G + t m Lo que resulta ser la expresión del teorema de Steiner para momentos de inercia polares, que enunciamos de la siguiente forma: El momento de inercia polar de un sistema material con respecto de un punto es igual al momento de inercia polar de dicho sistema con respecto del centro de masas del mismo, más el producto de la masa del sistema por el cuadrado de la distancia que separa a ambos puntos.

23 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 67.8 Tensor de inercia Sea un determinado sistema material en el que la posición de sus partículas están referidas a unos ejes coordenados arbitrarios X 1, X, X 3. Definimos el tensor de inercia del sistema material para el punto que es nuestro origen de coordenadas como un operador vectorial que viene dado por la matriz: I 11 I 1 I 13 {I} = I 1 I I 3 I 31 I 3 I 33 En la que los elementos de la diagonal principal I 11, I y I 33 son los momentos de inercia axiales del sistema con respecto de los ejes X 1, X y X 3 ; y los elementos situados fuera de la diagonal principal: I 1, I 13 y I 3, son los producto de inercia del sistema cambiados de signo, respecto de las correspondientes parejas de planos coordenados. I 1 = P 1 ; I 13 = P 13 ; I 3 = P 3 Observemos que se trata de una matriz diagonal, pues: I 1 = I 1, I 13 = I 31 y I 3 = I 3. I 11 = (x + x 3 ) dm = (x 1 + x + x 3 x 1 ) dm I = (x 3 + x 1 ) dm = (x 1 + x + x 3 x ) dm I 33 = (x 1 + x ) dm = (x 1 + x + x 3 x 3 ) dm I 1 = P 1 = I 13 = P 13 = I 3 = P 3 = x 1 x dm = x 1 x 3 dm = x x 3 dm = x x 1 dm = P 1 = I 1 x 3 x 1 dm = P 31 = I 31 x 3 x dm = P 3 = I 3 Siendo r, de componentes x 1, x, x 3, el vector de posición de cada partícula del sistema material. De acuerdo con lo expuesto, cada elemento de la matriz del tensor de inercia podrá expresarse de la siguiente forma: I ij = [( k=3 k=1 x k) δij x i x j ] dm En donde δ ij es un escalar que adopta los siguientes valores: δ ij = 1 si i = j δ ij = 0 si i j

24 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 68 Hagamos ahora un pequeño inciso para comentar los siguientes conceptos tensoriales: Tensor u operador vectorial diádico Sean dos vectores a y b. Se denomina operador vectorial diádico { a b} o diada { a b} a aquél operador vectorial tal que aplicado sobre cualquir vector u lo transforma en a ( b u); es decir: { a b} u = a ( b u) En donde ( b u) es el producto escalar de los vectores b y u. Evidentemente, la aplicación de una diada sobre un vector, lo transforma en otro vector que resulta ser colineal con el primer vector de la diada. Veamos cuál es la matriz asociada al operador diádico. Sean los vectores a, b y u, cuya expresión en una cierta referencia será: a = a 1 i + a j + a 3 k b = b1 i + b j + b 3 k u = u 1 i + u j + u 3 k Efectuando las operaciones que hemos definido: { a b} u = a ( b u) = (a 1 i + a j + a 3 k) (b1 u 1 + b u + b 3 u 3 ) = (b 1 u 1 + b u + b 3 u 3 ) a 1 i + (b 1 u 1 + b u + b 3 u 3 ) a j+ (b 1 u 1 + b u + b 3 u 3 ) a 3 k = (a1 b 1 u 1 + a 1 b u + a 1 b 3 u 3 ) i+ (a b 1 u 1 + a b u + a b 3 u 3 ) j + (a 3 b 1 u 1 + a 3 b u + a 3 b 3 u 3 ) k Resultado que edmite la siguiente representación en forma de producto de matrices: { a b} u = a 1 b 1 a 1 b a 1 b 3 a b 1 a b a b 3 a 3 b 1 a 3 b a 3 b 3 Caso de tratarse del operador diádico { r r}; en donde r es el vector de posición de una de las partículas materiales, siendo las componentes de este vector (x 1, x, x 3 ), la matriz de dicho operador será: u 1 u u 3

25 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 69 x 1 x 1 x x 1 x 3 x x 1 x x x 3 x 3 x 1 x 3 x x 3 La cual como observamos, es una matriz diagonal. Tensor u operador vectorial δ de Krönecker Definimos este tensor como aquel operador vectorial que aplicado sobre un vector lo deja invariado. Es decir: {δ} u = u Evidentemente la matriz asociada a este tensor es la matriz unidad: {δ} u = Los elementos de esta matriz serán: u 1 u u 3 = δ ij = 1 si i = j δ ij = 0 si i j Tras estas dos consideraciones el tensor de inercia {I} podrá ser expresado como: [r {I} = {δ} { r r} ] dm En donde: r : Módulo del vector de posición elevado al cuadrado (nor r) {δ}: Tensor δ de Krönecker { r r}: Operador diádico de los vectores r y r El tensor de inercia resulta ser evidentemente un tensor simétrico. El tensor de inercia es una función tensorial de punto; es decir, adquiere diferentes valores según cual halla sido el origen de coordenadas elegido; fijémonos simplemente que viene expresado en función del vector de posición r Si se elige como origen de coordenadas concretamente el punto G, centro de masas del sistema, el tensor en ese punto se denomina tensor central de inercia. u 1 u u 3

26 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS Aplicación del tensor de inercia en la dinámica Planteémonos el siguiente problema dinámico: Se trata de determinar el momento angular o cinético L O de un sistema material sólido rígido que tiene un punto fijo O, y que en un instante dado presenta una velocidad angular instantanea w. El momento angular de una de las partículas de dicho sistema con respecto a O será: L O = r v m Es decir, el momento de la cantidad de movimiento con respecto a ese punto. El momento angular de la totalidad del sistema material será: L O = r v dm Estando esta integral extendida a la totalidad del sistema. En esta expresión: r: Vector de posición de cada partícula desde nuestro origen O. v: Velocidad instantanea de cada partícula. dm: Diferencial de masa en el entorno de cada partícula. Teniendo en cuenta la conocida relación cinemática de las velocidades entre puntos de un sólido rígido ( Y en el supuesto que nuestro origen es inmóvil ): v = w r Substituyendo en la expresión del momento angular: L O = r ( w r) dm Y haciendo ahora uso de de la relación de Lagrange para el doble producto vectorial: r ( w r) = ( r r) w r ( r w) = r w { r r} w En donde ahora, y según la definición dada { r r} representa el operador diádico de los vectores r y r. Sacando factor común w: r w { r r} w = ( r {δ} { r r} ) w Con lo que substituyendo en la expresión del momento angular obtendremos: L O = [ ( r {δ} { r r} ) dm ] w Evidentemente el término entre corchetes no es otra cosa sino sino el tensor de inercia anteriormente deducido en el punto O. Por tanto: L O = {I O } w

27 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 71 El momento angular o cinético de un sistema material sólido rígido que presenta un punto fijo y dotado de una velocidad angular instantanea w, respecto de dicho punto, es igual al producto matricial del tensor de inercia calculado para dicho punto, por el vector velocidad angular w. Por tanto, y en general, los vectores L y w no serán colineales..8. Momentos de inercia principales y direcciones principales Hemos obtenido para un punto fijo del sistema material la relación L = {I} w en donde L y w no son en general vectores colineales. Cabría prguntarse: Existe alguna dirección para el vector w en la cual L y w si fueran colineales?; es decir, una dirección en la que L = {I} w = λ w, en donde λ es un valor escalar. En ese caso: {I} w λ w = 0 = ( {I} λ {δ} ) w = 0 Si suponemos que w = 1, la expresión de este vector será: w = cos α i + cos β j + cos γ k En donde cos α, cos β y cos γ son los cosenos directores de esa dirección incognita. Aplicando la expresión de la condición de colinealidad entre L y w: I 11 λ I 1 I 13 I 1 I λ I 3 I 13 I 3 I 33 λ cos α cos β cos γ = La cual desarrollada resulta ser el siguiente sistema lineal homogéneo: (I 11 λ) cos α + I 1 cos β + I 13 cos γ = 0 I 1 cos α + (I λ) cos β + I 3 cos γ = 0 I 13 cos α + I cos β + (I 33 λ) cos γ = 0 Cuya condición de compatibilidad viene dada por: I 11 λ I 1 I 13 I 1 I λ I 3 I 13 I 3 I 33 λ =

28 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 7 El desarrollo de este determinante da lugar a una ecuación en grado cubo, denominada secular o característica, cuyas raíces serán: λ 1 = I 1 ; λ = I ; λ 3 = I 3 Valores que representan los denominados valores propios de la matriz del tensor; y que son los momentos principales de inercia. Para obtener la dirección principal correspondiente a cada momento de inercia principal, bastará resolver para cada valor de λ el sistema homogéneo planteado. Dado que un sistema lineal homogéneo si es compatible es indeterminado, romperemos esa indeterminación con la ecuación que nos expresa el supuesto de módulo unidad que hemos hecho para el vector w, es decir con: cos α + cos β + cos γ = 1 Se puede demostrar que las tres direcciones principales obtenidas forman entre sí un triedro trirrectángulo, y que de los tres momentos de inercia principales obtenidos, uno de ellos es el mayor de los posibles, en tanto que otro es el menor de los posibles. Si ahora tomásemos como sistema de referencia el de las direcciones principales obtenidas; la matriz del tensor adoptaría la forma: {I} = I I I 3 En la que como observamos, en la diagonal principal se encuentran situados los momentos de inercia principales, y fuera de la diagonal principal, todos los términos son nulos. Si ahora el sistema rotase con una w en la dirección de una dirección principal, por ejemplo de la 1, tendriamos: L = I I I 3 Es decir: L = w I 1 u u + 0 u 3. w 0 0 = w I Lo que nos indica que en este caso L y w si son vectores colineales..8.3 Momento de inercia en una dirección dada Se trata de determinar el momento de inercia de un sistema material con respecto a un eje cualquiera ξ que pase por el origen O, y cuya dirección viene definida por un vector unitario u ξ = γ 1 i + γ j + γ 3 k; donde evidentemente γ1, γ y γ 3 son los cosenos directores de la

29 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 73 X 3 ξ s u ξ dm 0 r X X 1 Figura.15: Momento de inercia en la dirección del eje ξ dirección del eje ξ. Dicho momento de inercia vendrá expresado como: I ξ = s dm En donde s es la distancia de cada partícula del sistema al eje ξ, estando la integral extendida a la totalidad del sistema material. Atendiendo a la geometría: s = u ξ r = i j k γ 1 γ γ 3 x 1 x x 3 = γ γ 3 x x 3 = Y elevando al cuadrado y desarrollando: s = γ γ 3 x x γ γ 3 x x 3 γ 3 γ 1 x 3 x 1 γ 3 γ 1 x 3 x 1 i γ 3 γ 1 x 3 x 1 γ 1 γ x 1 x γ 1 γ x 1 x j + = γ 1 γ x 1 x k = = (x + x 3) γ 1 + (x 3 + x 1) γ + (x 1 + x ) γ 3 x x 3 γ γ 3 x 3 x 1 γ 3 γ 1 x 1 x γ 1 γ Expresión que substituida en la integral, y teniendo en cuenta las definiciones de producto y momento de inercia:

30 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 74 I ξ = I 11 γ 1 + I γ + I 33 γ 3 P 3 γ γ 3 P 31 γ 3 γ 1 P 1 γ 1 γ Y teniendo en cuenta que I ij = P ij para i j : I ξ = I 11 γ 1 + I γ + I 33 γ 3 + I 3 γ γ 3 + I 31 γ 3 γ 1 + I 1 γ 1 γ Expresión del momento de inercia en una dirección en forma de desarrollo de una forma cuadrática, de la que se puede hacer la siguiente interpretación gráfica: El momento de inercia con respecto de un eje es la proyección sobre dicho eje del vector transformado del unitario que define al eje por la matriz del tensor de inercia. En efecto: Transformamos el vector unitario en la dirección de ξ con la matriz del tensor: I 11 I 1 I 13 γ 1 I 11 γ 1 + I 1 γ + I 13 γ 3 {I} u ξ = I 1 I I 3 γ = I 1 γ 1 + I γ + I 3 γ 3 I 13 I 3 I 33 γ 3 I 13 γ 1 + I 3 γ + I 33 γ 3 Ahora, a este vector transformado, lo proyectamos sobre la dirección del eje ξ, para lo cual basta con multiplicarlo escalarmente por el vector unitario en dicha dirección: ( ) I ξ = P roy uξ {I} uξ = uξ ({I} ) ( ) I 11 γ 1 + I 1 γ + I 13 γ 3 u ξ = γ1 γ γ 3 I 1 γ 1 + I γ + I 3 γ 3 I 13 γ 1 + I 3 γ + I 33 γ 3 I ξ = I 11 γ 1 + I γ + I 33 γ 3 + I 1 γ 1 γ + I 3 γ γ 3 + I 13 γ 1 γ 3 El resultado se corresponde con el desarrollo anteriormente obtenido. Si se hubiese utilizado como sistema de referencia el de las direcciones principales, la expresión nos quedaría notablemente reducida. En efecto: Repitiendo el proceso de transformación y proyección, pero teniendo en cuenta que la matriz del tensor adopta la forma ya vista cuando se encuentra referida a la direcciones principales: I {I} u ξ = 0 I 0 = 0 0 I 3 I ξ = ( γ 1 γ γ 3 ) I 1 γ 1 I γ I 3 γ 3 γ 1 γ γ 3 I 1 γ 1 I γ I 3 γ 3 = I 1 γ 1 + I γ + I 3 γ 3 Que es la denominada fórmula de Poinsot que nos permite determinar el momento de inercia de un sistema material con respecto a un eje dado, si conocemos los momentos principales de inercia de dicho sistema en un punto por el que pasa ese eje.

31 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS Elipsoide de inercia Definimos el elipsoide de inercia en un punto, como el lugar geométrico de los extremos de los vectores h ξ, los cuales tienen su origen en dicho punto, estando estos vectores definidos por la expresión: h ξ = u ξ I ξ Expresando el vector unitario u ξ en función de sus cosenos directores: h ξ = γ 1 i + γ j + γ 3 k I ξ Con lo que las componentes del vector h ξ, y por tanto las coordenadas de su extremo serán: Despejando los cosenos directores: x 1 = γ 1 ; x = γ ; x 3 = γ 3 I ξ I ξ γ 1 = x 1 I ξ ; γ = x I ξ ; γ 3 = x 3 I ξ Y eliminando los cosenos directores γ 1, γ, γ 3 entre estas tres ecuaciones, y la expresión general del momento de inercia según una dirección cualquiera: I ξ Nos quedaría: I ξ = I 11 γ 1 + I γ + I 33 γ 3 + I 1 γ 1 γ + I 3 γ γ 3 + I 13 γ 1 γ 3 I ξ = I 11 x 1 I ξ + I x I ξ + I 33 x 3 I ξ + I 1 x 1 x I ξ + I 3 x x 3 I ξ + I 13 x 1 x 3 I ξ Y dividiendo en ambos términos de la igualdad por I ξ : I 11 x 1 + I x + I 33 x 3 + I 1 x 1 x + I 3 x x 3 + I 13 x 1 x 3 = 1 Que es la expresión del lugar geométrico buscado; esto es, el denominado elipsoide de inercia. Dicha expresión se podría representar en forma sintética como: i,j=3 i,j=1 I ij x i x j = 1

32 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 76 Si se hubiera utilizado como sistema referencial el de las direcciones principales, se habría obtenido: I 1 x 1 + I x + I 3 x 3 = 1 Ecuación que se corresponde a la de un elipsoide, centrado en los ejes, y cuyos semidiámetros principales son: a = 1 ; b = 1 ; c = 1 I 1 I Como propiedades del elipsoide de inercia destacaremos las siguientes: Considerando el elipsoide de inercia en un punto, cuanto mayor sea su semidiámetro en una dirección dada, menor será el correspondiente momento de inercia en esa dirección del sistema. El eje mayor del elipsoide corresponde a la dirección de menor momento de inercia, y el eje menor a la dirección de mayor momento de inercia. Estas dos son las direcciones principales, y la tercera será la normal a las dos anteriores. Si dos de los momentos de inercia principales son iguales, el elipsoide será de revolución en torno al eje singular, y si los tres son iguales, el elipsoide adoptará una forma esférica. La suma de los tres elementos diagonales del tensor en cualquier referencia es constante e igual a la suma de los tres momentos principales de inercia. ( primer invariante del tensor ) I 3 I 11 + I + I 33 = I 1 + I + I 3 Si ninguno de los ejes de referencia es dirección principal, el elipsoide viene dado por la ecuación general de seis términos. Si uno de los ejes coordenados es principal, desaparecen dos términos de la ecuación general del elipsoide. Suponiendo que la dirección X 1 es principal, la ecuación del elipsoide será: I 11 x 1 + I x + I 33 x 3 + I 3 x x 3 = 1 Siendo nulos: P 1 = 0 y P 13 = 0 ; o lo que es lo mismo: I 1 = 0 y I 13 = 0. Es decir, cuando un eje de referencia es principal de inercia, son nulos los productos de inercia en los que interviene. Si dos ejes de referencia son principales, forzosamente lo será también el tercero, y la ecuación del elipsoide será la de tres términos.

33 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS Elipsoide central de inercia El elipsoide central de inercia es el elipsoide de inercia definido en el centro de masas del sistema. El elipsoide central tiene un tamaño superior a cualquier otro elipsoide de inercia que esté definido en otro punto del sistema. X 3 X' 3 h 33 h' =h G h 0 h' 33 h 11 h' 11 X = X' X 1 X' 1 Figura.16: Elipsoide central de inercia En efecto: Consideramos el elipsoide central de inercia definido en G y referido a unas direcciones X 1, X, X 3. Consideramos así mismo el elipsoide de inercia en el punto O ( situado en este caso sobre el eje X ) y referido ahora a unas direcciones X 1, X, X 3 paralelas a las anteriores. La distancia entre G y O es t. Aplicando el teorema de Steiner para momentos de inercia axiales: I 33 = I 33 + m t I 33 > I 33 h 33 < h 33 I 11 = I 11 + m t I 11 > I 11 h 11 < h 11 I = I h = h Observamos entonces que al alejarse el punto O del centro de masas del sistema, el elipsoide va disminuyendo transversalmente de tamaño. La orientación de los ejes principales del elipsoide también va variando al pasar de un punto a otro. Sin embargo las direcciones principales del elipsoide central tienen una propiedad a este respecto: Al pasar de un punto a otro a lo largo de una de las direcciones principales del elipsoide central, el elipsoide sigue conservando la orientación. En efecto, consideremos el elipsoide central de inercia, centrado por lo tanto en G, referido a unos ejes que son ahora sus direcciones principales X 1, X y X 3.

34 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 78 Los productos de inercia respecto a los planos coordenados serán entonces nulos: P 3 = x x 3 dm = 0 ; P 31 = x 3 x 1 dm = 0 ; P 1 = x 1 x dm = 0 Elegimos ahora un punto arbitrario O de coordenadas (t 1, t, t 3 ), y tomándolo como nuevo origen consideramos los ejes X 1, X y X 3 paralelos a los del elipsoide central. Los productos de inercia con respecto a los nuevos planos coordenados serán, según el teorema de Steiner para productos de inercia: X 3 X' 3 G 0 ( t 1 t t 3 ) X' X X' 1 X 1 Figura.17: Cambio de orientación en los ejes principales de inercia P 3 = P 3 + m t t 3 = m t t 3 P 31 = P 31 + m t 3 t 1 = m t 3 t 1 P 1 = P 1 + m t 1 t = m t 1 t Estos valores, en general, no serán nulos, por lo que los nuevos ejes X 1, X y X 3 no serán principales de inercia en ese punto O del sistema. Es decir, en ese punto las direcciones de los ejes principales del elipsoide, y con ellas las direcciones de los momentos principales de inercia del sistema, habrán cambiado de orientación. Pero si el punto O se encuentra en uno de los ejes X 1, X o X 3, los productos de inercia sí se anulan. En efecto, supongamos que O se ecuentra en el eje X 1 ; por tanto t = 0 y t 3 = 0; con lo que se harán nulos todos los nuevos productos de inercia. Ello indica que en este caso el nuevo elipsoide sí presenta sus nuevas direcciones principales paralelas a las direcciones principales del elipsoide central.

35 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 79.9 Teorema de Steiner generalizado Se trata de determinar el tensor de inercia en un punto cualquiera del sistema material, en el supuesto de que conocemos el tensor central de inercia. La matriz asociada al tensor central de inercia, es decir en el punto G, y referida a unos ejes arbitrarios X 1, X, X 3 será: {I G } = I 11 I 1 I 13 I 1 I I 3 I 13 I 3 I 33 En el punto O de coordenadas (t 1, t, t 3 ) plantearemos unos ejes X 1, X, X 3 paralelos a los anteriores. Trataremos de determinar los momentos y los productos de inercia en el punto O en función de los momentos y los productos de inercia en G. X 3 X' 3 x' 3 x 3 dm G 0 ( t 1 t t 3 ) X' x' 1 x' x 1 X X' 1 x X 1 Figura.18: Teorema de Steiner generalizado La relación entre las coordenadas en uno y otro sistema referencial de un elemento de masa dm del sistema material será: x 1 = x 1 t 1 ; x = x t ; x 3 = x 3 t 3 Calculamos los elementos diagonales del tensor en el punto O; por ejemplo el momento de inercia axial con respecto al eje X 1, es decir I 11. I 11 = [(x (x + x 3 ) dm = t ) + (x 3 t 3 ) ] dm I 11 = (x + x 3 ) dm + (t + t 3 ) dm t x dm t 3 x 3 dm La primera integral representa el momento de inercia del sistema material respecto del eje X 1, es decir I 11. = s 1, siendo s 1 el cuadrado de la distancia en- En el segundo término hacemos t + t 3 tre los ejes X 1 y X 1.

36 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 80 La otras dos integrales son nulas por representar momentos estáticos con respecto de planos que contienen al centro de masas G del sistema material. Luego nos queda: I 11 = I 11 + m s 1 Procediendo de forma análoga con los otros dos ejes X y X 3: I = I + m s I 33 = I 33 + m s 3 De los elementos no diagonales elegimos por ejemplo el I 1. P 1 = x 1 x dm = P 1 = x 1 x dm + t 1 t (x 1 t 1 ) (x t ) dm dm t 1 x dm t x 1 dm La primera integral representa el producto de inercia P 1 y las dos últimas son nulas por representar momentos estáticos respecto de planos que contienen a G. P 1 = P 1 + t 1 t m Los elementos no diagonales de la matriz asociada al tensor de inercia son los productos de inercia cambiados de signo; por lo tanto: Análogamente: I 1 = I 1 t 1 t m I 13 = I 13 t 1 t 3 m I 3 = I 3 t t 3 m En resumen, la matriz asociada al tensor de inercia en el punto O será: {I O } = I 11 + m s 1 I 1 t 1 t m I 13 t 1 t 3 m I 1 t 1 t m I + m s I 3 t t 3 m I 13 t 1 t 3 m I 3 t t 3 m I 33 + m s 3 Expresión que nos permite determinar la matriz asociada al tensor de inercia en un punto cualquiera O, conociendo la matriz del tensor central, es decir, en el centro de masas del sistema. Esta expresión del teorema de Steiner generalizado resulta ser una combinación de los teoremas de Steiner para momentos de inercia axiales y los teorema de Steiner para productos de inercia ya vistos con anterioridad.

37 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 81 Si hubiésemos partido de la matriz del tensor de inercia diagonalizada, es decir, ya referida a las direcciones principales: {I G } = La matriz del tensor en un punto O resultaría ser: {I O } = I I I 3 I 1 + m s 1 t 1 t m t 1 t 3 m t 1 t m I + m s t t 3 m t 1 t 3 m t t 3 m I 3 + m s 3 La cual en general, no tendrá un carácter diagonal; es decir: las direcciones principales en este punto, no coinciden con las direcciones principales del tensor central. Pero si el punto O estuviese en uno de los ejes principales, entonces serían nulas dos de las coordenadas (t 1, t, t 3 ), y la matriz {I O } sí que sería diagonal, lo cual redunda en lo ya demostrado en el apartado anterior.

38 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 8.10 Diagramas o círculos de Möhr Como ya hemos visto (.8.3 ), la proyección sobre un eje ξ del vector transformado por el tensor de inercia del vector unitario u ξ en la dirección del eje, da lugar al momento de inercia axial I ξ del sistema material, con respecto a dicho eje ξ. Pues bien, la componente del vector transformado y proyectado sobre un plano ortogonal al eje ξ es el denominado momento centrífugo del sistema P ξ con respecto a dicho eje. ξ I ξ { I }.u ξ u ξ P ξ Figura.19: Representación del momento de inercia y del momento centrífugo Suponiendo que el sistema referencial empleado es el correspondiente a las direcciones principales, la matriz del tensor de inercia será: {I} = I I I 3 Y el vector transformado por el tensor del vector unitario u ξ = γ 1 u 1 + γ u + γ 3 u 3 : {I} u ξ = I I I 3 γ 1 γ γ 3 = I 1 γ 1 I γ I 3 γ 3 Teniendo en cuenta la representación gráfica del momento de inercia y del momento centrífugo, ( Fig. 19 ), podremos expresar que el módulo del vector {I} u ξ elevado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de I ξ y P ξ : I 1 γ 1 + I γ + I 3 γ 3 = I ξ + P ξ Por otra parte, nos es conocida (.8.3 ) la relación de Poinsot: I 1 γ 1 + I γ + I 3 γ 3 = I ξ Y teniendo en cuenta que u ξ es un vector unitario, y que sus componentes son los cosenos directores de la dirección del eje ξ:

39 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 83 γ 1 + γ + γ 3 = 1 De esta forma, hemos conseguido conformar el siguiente sistema de tres ecuaciones que nos permite estudiar la variación del momento de inercia y del momento centrífugo del sistema material para cualquier orientación del eje ξ, es decir, para cualquier valor admisible para los cosenos directores γ 1, γ, γ 3. I 1 γ 1 + I γ + I 3 γ 3 = I ξ + P ξ I 1 γ 1 + I γ + I 3 γ 3 = I ξ γ 1 + γ + γ 3 = 1 En efecto, supongamos ahora que hacemos γ 1 = kte, lo que equivale a hacer variar al eje ξ según las generatrices de un cono, cuyo eje de simetría es el eje de referencia 1. Podremos entonces pasar a los segundos miembros los términos en los que nos aparece γ 1, al ser este valor considerado ahora como constante. Nos quedará entonces este sistema de ecuaciones: I γ + I 3 γ 3 = I ξ + P ξ I 1 γ 1 I γ + I 3 γ 3 = I ξ I 1 γ 1 γ + γ 3 = 1 γ 1 Del cual podremos eliminar γ y γ 3 sin más que aplicar el criterio de compatibilidad del mismo: I I 3 Matriz de los coeficientes: I I 3 Rango = 1 1 Matriz ampliada: I ξ + P ξ I 1 γ 1 I I 3 I ξ I 1 γ 1 I I 3 1 γ Si queremos que el rango de la matriz ampliada sea también, el único adjunto de orden 3x3 que se puede formar en la misma, debe ser de determinante nulo, es decir: I ξ + P ξ I 1 γ 1 I I 3 I ξ I 1 γ 1 I I 3 1 γ = 0 Desarrollando este determinante por los elementos de la primera columna, y dividiendo por (I I 3 ) se obtiene:

40 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 84 I ξ + P ξ I ξ (I + I 3 ) + I I 3 + γ 1 (I 3 I 1 ) (I 1 I ) = 0 Ecuación que representa a una familia de circunferencias c 1, que siendo representadas en unos ejes cartesianos I ξ, P ξ se encuentran todas ellas centradas en el punto: ( I + I 3, 0) Haciendo ahora γ 1 = 0, lo cual implica que el eje ξ evoluciona ahora sobre el plano -3, se obtiene la siguiente ecuación: I ξ + P ξ I ξ (I + I 3 ) + I I 3 = 0 (C 1 ) La cual, en el sistema de ejes cartesianos I ξ, P ξ anteriormente mencionado, representa a una circunferencia C 1, cuyo centro es el mismo de antes, y que corta al eje I ξ en dos puntos de abcisas I e I 3. Procediendo de forma análoga en el sistema de ecuaciones original, podemos considerar ahora γ = kte y eliminar γ 1 y γ 3 mediante la correspondiente condición de compatibilidad. Obtendremos entonces la siguiente familia de circunferencias c : I ξ + P ξ I ξ (I 1 + I 3 ) + I 1 I 3 + γ (I 1 I ) (I I 3 ) = 0 Circunferencias que se encuentran todas ellas centradas en el punto: ( I 1 + I 3, 0) Y haciendo γ = 0; lo que implica que el eje ξ se encuentra sobre el plano 1-3: I ξ + P ξ I ξ (I 1 + I 3 ) + I 1 I 3 = 0 (C ) Que es la ecuación de la circunferencia C que corta al eje I ξ en los puntos I 1 e I 3. Finalmente, para γ 3 = kte, eliminando γ 1 y γ en forma semejante a los procesos realizados anteriormente, se obtiene la familia de circunferencias c 3 : I ξ + P ξ I ξ (I 1 + I ) + I 1 I + γ 3 (I I 3 ) (I 3 I 1 ) = 0 Las cuales están todas ellas centradas en: ( I 1 + I, 0) Y haciendo γ 3 = 0, lo que significa que el eje ξ evoluciona de forma que está siempre contenido en el plano 1-, la familia c 3 se reduce a una única circunferencia C 3 : I ξ + P ξ I ξ (I 1 + I ) + I 1 I = 0 (C 3 )

41 CAPÍTULO. GEOMETRÍA DE MASAS 85 La cual corta al eje I ξ en los puntos I 1 e I. Suponiendo que I 1 > I > I 3, lo que no resta generalidad a nuestro estudio, podemos representar sobre unos ejes I ξ, P ξ las tres circunferencias obtenidas, lo que constituye el diagrama de Möhr. ( Fig. 0 ) Veremos que en esta representación gráfica, un punto M cuyas coordenadas (I ξ, P ξ ) re- P ξ C M I ξ, P ) ( ξ C 3 C 1 I ξ I 3 I I 1 Figura.0: Diagrama de Möhr. Circunferencias C 1, C y C 3 presentan el momento de inercia y el momento centrífugo para una orientación dada ξ, se tiene que encontrar forzosamente dentro de la región sombreada. En efecto, la familia de circunferencias c 1 se puede expresar como: [ (Iξ γ1 (I 3 I 1 ) (I 1 I ) = I + I ) 3 + P ξ ( I I ) ] 3 En donde lo contenido en el interior del corchete expresa la diferencia entre el cuadrado de la distancia del punto M al centro de C 1 y el cuadrado del radio de la circunferencia C 1 ; es decir, la Potencia del punto M con respecto a la circunferencia C 1. El término que se encuentra entonces al lado izquierdo de la igualdad es la Potencia de M con respecto a C 1 cambiada de signo. γ 1 (I 3 I 1 ) (I 1 I ) = P ot C1 M Dado que estamos trabajando bajo el supuesto de que I 1 > I > I 3, nos quedará que: P ot C1 M > 0 Luego M es exterior a C 1