Tema 6. Interferencias y difracción de ondas

Transcripción

1 Tema 6. Interferencias y difracción de ondas Superposición de ondas Ondas coherentes Dispositivos de ondas coherentes. Interferencias debidas a dos fuentes sincrónicas Interferencias debidas a varias fuentes sincrónicas. Láminas delgadas Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular Difracción de Fraunhofer por varias rendijas Redes de difracción Difracción de rayos X Juan Jiménez GdS Optronlab Dto Física de la Materia Condensada EII Universidad de Valladolid

2 Superposición de ondas armónicas El resultado de la superposición de ondas depende de la diferencia entre sus fases. Sean dos fuentes puntuales de ondas S 1 y S que oscilan en fase con la misma frecuencia y con amplitudes ξ o1 y ξ o, dando lugar a ondas armónicas de la forma: ξ= ξ o1 sen(k 1 r 1 -ωt) ξ= ξ o sen(k r -ωt) r S 1 1 P Al llegar a P hay un desfase entre ellas: δ= k r - k 1 r 1 k (r -r 1 )= =π/ (r -r 1 ) r r 1, r >> S

3 Suma de ondas armónicas: Fasores Las interferencias se forman como consecuencia de la superposición de ó más ondas en un punto del espacio. Estas ondas tienen fases diferentes. Sus funciones de onda en ese punto son: E 1 =A 1 senα E =A sen(α+δ) Para sumarlas recurrimos a la representación fasorial, en la que representamos las ondas como vectores (fasores), cuyo módulo es la amplitud y cuya fase es el ángulo que forma con el eje x Al sumarlos nos dará otro fasor de módulo diferente y fase tambien diferente α+δ A sen(α+δ ) =A 1 senα+a sen(α+δ)

4 Representación fasorial

5 La amplitud en P es (th. del coseno): ξ o =ξ o1 + ξ o + ξ o1 ξ o cosδ ξ 0 ξ δ 0 kr 1 ξ 01 La amplitud resultante está comprendida entre ξ o1 + ξ o y ξ o1 - ξ o, según el valor que tome cos δ. nπ máximo δ=π/ (r -r 1 )= (n+1)π mínimo kr Th coseno a =b +c -bccosα (r -r 1 )= n (n+1)/ Para r -r 1 = La amplitud alcanza máximos. Para r -r 1 = +/+3/ La amplitud alcanza mínimos

6

7 Ondas coherentes Las interferencias aparecen cuando se superponen dos ondas provenientes de distintas fuentes. Ondas coherentes son ondas de la misma frecuencia y amplitud. Dispositivos para conseguir dos fuentes de ondas coherentes Biprisma de Fresnel Doble rendija de Young Principio de Huygens S1 S S

8 Interferencias por una doble rendija de Young d<<d, las amplitudes y las frecuencias son iguales: S1 d S θ r 1 r θ x D ξ o =ξ 1o +ξ o +ξ 1o ξ o cosδ = ξ 1o +ξ 10 +ξ 1o ξ 10 cosδ = ξ 1o + ξ 1o cosδ δ ξ o = ξ 1o (1 + cosδ ) = ξ 1o cos δ 1+ cosδ = cos θ<<, senθ tgθ=x/d r 1 -r =d senθ=dx/d

9 δ=(π/) (r 1 -r )= (π/)d senθ=π (dx/d) Como la intensidad de la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud: δ πdx I = Iocos = Iocos ( ) D I o es la intensidad para x=0, (θ=0), I o =ξ 1o +ξ 1o +ξ 1o ξ 1o =4ξ 1o Se produce un máximo de intensidad cuando cos(πax/d)=+1 (πdx/d)=nπ, x=(nd/d), ó (πd/)senθ=nπ d senθ=n La separación entre dos franjas consecutivas es: Δx = D d

10

11 Interferencias producidas por varias fuentes sincrónicas Por cada rayos hay un desfase de δ=π/ (r 1 -r )= (π/) d senθ La amplitud resultante la obtenemos sumando los sucesivos desfases. d S5 S4 S3 S S1 θ C δ O ξ 1o Nδ ρ ξ o Q P

12 ξ ξ o 1o = OP = = Para N= ρ sen QP δ = ρ sen Nδ ξ o = ξ 1o Nδ sen δ sen δ δ sen cos senδ ξ o = ξ1o = ξ1o = δ δ sen sen ξ 1o cos δ O δ ξ 1o Nδ ρ Q P Para N fuentes la intensidad la intensidad resultante se puede poner como Nδ Nπ d senθ sen sen I = I0 I0 δ = πdsenθ sen sen I o α ξ 10 Los máximos corresponden a los mínimos del denominador y aparecen para πd senθ/= nπ

13 δ sen N I = Io δ sen π d senθ δ = δ senn δ = n π; = ± N δ sen Todos los ξ 1o son paralelos ξ o =N ξ 1o La intensidad es proporcional a N Además, la intensidad se anula cuando el numerador se hace 0 Nδ/=mπ; δ m = π N m toma los valores 1,,3, 4 N-1, N+1, N+, N-1, N+1..., se excluyen los valores N, N, 3N..., pues corresponden a los máximos

14

15 Láminas delgadas Control de calidad de lentes mediante el estudio de los anillos de Newton. El espacio entre los dos vidrios es una película delgada de aire de espesor variable. Cuando la lente es iluminada desde arriba con luz monocromática, en las cercanías del centro el espesor de la película de aire es casi nulo, no hay diferencia de camino entre los dos rayos, el rayo reflejado en la superficie inferior aire-vidrio sufre un desfase de π radianes que no ocurre en la superficie superior vidrioaire, por tanto se produce interferencia destructiva y el centro es un punto oscuro. A partir de ese punto, aparece un patrón de franjas claras y obscuras a medida que se van alternando las condiciones de interferencia constructiva y destructiva. Los máximos se producen cuando la diferencia de camino es un múltiplo de /, pues así compensa el desfase de π que se produce en la reflexión aire/vidrio.

16 La lámina tiene espesor a e índice de refracción n. Las sucesivas reflexiones y refracciones son equivalentes a un problema de N fuentes sincrónicas. Las interferencias se producen entre las onda reflejadas en la superficie superior y la inferior. Los máximos de interferencia ocurren cuando δ=πn. B D=BD senθ i BD=a tgθ t Ley de Snell B D= a tgθ t senθ i, sen θi = n sen θt B D= a n tgθ t senθ t = a n (sen θ t / cosθ t ) BCD= BC= a/cosθ t Al ser las velocidades de propagación diferentes en ambos medios, el tiempo que tarda en recorrer ambas distancias es: t 1 = B D/c= (a n/c) (sen θ t / cosθ t ) t =BCD/v= (a n/c) (1/cosθ t ) t an c 1 cosθ t1 = (1 sen θt) = t an c cosθ t

17 δ = ω(t an t1) = ω cosθ c t = 4π an cosθt Además al pasar de un medio menos denso a uno más denso se produce un cambio de fase de π en la onda reflejada. 4π an δ = cosθt ± π La condición de máximo es δ=πl, siendo l un entero. 4πan π l = cosθ t ± π; 4a n cos θt = (l + 1) Se podría haber hecho lo mismo para los rayos transmitidos y se habría obtenido a n cosθ t =l En la onda transmitida no hay desfase. La luz reflejada y la transmitida no son iguales

18 En esta configuración el rayo 1 está desfasado π con respecto al En este caso los dos están desfasados π, Por consiguiente ese desfase no contribuye

19

20 El interferómetro de Michelson, inventado por Albert Abraham Michelson, permite medir distancias con una precisión muy alta. Su funcionamiento se basa en la división de un haz coherente en dos haces para que recorran caminos diferentes y luego converjan nuevamente en un punto. De esta forma se obtiene lo que se denomina la figura de interferencia que permitirá medir pequeñas variaciones en cada uno de los caminos seguidos por los haces. Este interferómetro fue usado por Michelson junto con Edward Morley para intentar probar la existencia del éter, en el famoso experimento de Michelson-Morley. Demostró que el éter carecía de propiedades mesurables, resultando insostenible la hipótesis del éter. Se sugería un nuevo principio físico, la velocidad de la luz en el espacio libre es constante, independientemente de cualquier movimiento de la fuente o del observador.

21 d d 1 d D r = r r1= ( D+ d' + d ) ( D+ d' + d1) = ( d d1) π r 4 π( d d1) δ = = δ π( d d1) I = I 0cos = I 0cos π ( d d1) Max : = mπ π( d d ) π ( m ) 1 min : = + 1

22 Difracción La difracción es un fenómeno de interferencia entre los rayos de un número infinito de fuentes. El fenómeno se produce cuando la onda se distorsiona por un obstáculo de dimensiones comparables a la longitud de onda, y se produce un cambio de dirección de la luz. Difracción por una rendija Difracción por una abertura circular Distribución de Airy

23 Difracción por un alambre Difracción por varios alambres cruzados Richard Feynman: No-one has ever been able to define the difference between interference and diffraction satisfactorily. It is just a question of usage, and there is no specific important physical difference between them.

24 Difracción de Fraunhofer En el caso general, la llamada difracción de Fresnel, la fuente y la pantalla de detección están a distancias finitas, por lo que ni los rayos incidentes ni los difractados son paralelos entre sí. Esta situación es difícil de tratar, por ello se recurre a la difracción de Fraunhofer, que opera con rayos, paralelos, lo que permite hacer un estudio del fenómeno de la difracción mucho más sencillo.

25 Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular θ Al variar el ángulo de observación se altera la distribución de franjas claras y obscuras. Además la distribución depende de la dimensión de la rendija y de la longitud de onda. La interferencia destructiva se producía cuando r 1 -r =(l+1)/ Vamos a ver que sucede para los rayos que provienen del extremo y del centro de la rendija. b r 1 -r = b/ senθ=(l+1)/ extinción bsenθ=(l+1), (l=0, 1,, 3, 4...) bsenθ=n; (n=1, 3, 5, 7..)

26 Entre los rayos que están separados una distancia b/4 podemos hacer algo similar y buscar la correspondiente condición de extinción r 1 -r = b/4 senθ=(l+1)/ extinción bsenθ= (l+1), (l=0, 1,, 3, 4...) bsenθ=n; (n=, 6, 10, 14...) Haciendo el mismo cálculo para rayos separados por otras distancias se llegan a completar todos los enteros, de forma que la condición general se puede poner: bsenθ=n, (n= 1,, 3,...), n # 0

27 Cálculo de la intensidad Dividimos la rendija en intervalos dx x dx El desfase entre A y B viene dado por: δ=π/ xsenθ, A B C θ ξ El desfase entre A y C es α=πbsenθ/ α ξ = ρ sen = ρ sen ( πbsenϑ ) θ=0; todos los vectores son paralelos y la amplitud es la suma de todos ellos

28 ξ o es la amplitud para θ=0, por consiguiente nos permite poner ρ en función de los parámetros de la difracción π b senθ ξ = arco OP = ρα = ρ 0 ρ = ξ o π b senθ πb sen θ sen ξ = ξ 0 πb sen θ πb sen θ sen I = I 0 = πb sen θ ( ) I 0 sen ϕ ( ϕ) ϕ = πbsenθ

29 Los ceros de intensidad se producen cuando el numerador se anula senϕ=nπ; πbsenθ = nπ bsenθ=n, n 0 Los máximos se obtienen haciendo la derivada de la intensidad e igualando a cero di di cosϕ senϕ senϕ = 0; = Io Io = 0 ; cosϕ = ; ϕ = tgϕ dϕ dϕ ϕ ϕ ϕ cos πbsenθ = πbsenθ sen πbsenθ Los sucesivos máximos se producen para valores de ϕ cada vez mayores, por consiguiente va disminuyendo la intensidad. ϕ (senϕ/ϕ) 0 1 1,43 0,047,459 0,017 3,471 0,008 4,477 0,005 5,48 0,003

30 Poder separador de una rendija b senθ=n, senθ = n << ; senθ θ = ± b Esta expresión nos da el poder separador de una rendija. b Se observan las dos fuentes cuando el máximo de una fuente, coincide con el mínimo de la otra

31 Resolución en microscopía óptica Criterio de Rayleigh r d 1. θ = D 1. d=rθ = D/r Fórmula de Abbe

32 d=r α = ; D/r = d senα = nsenα = NA Apertura numérica, NA=n senα n Índice de refracción del medio d

33 d 1. = NA

34 Difracción de Fraunhofer por dos rendijas b a Calculamos la amplitud debida a cada una de las rendijas y luego las sumamos A1 = A0 πb sen θ sen πb sen θ Entre dos rayos equivalentes de las dos rendijas hay una diferencia de fase de β = π a senθ

35 A = A1 + A + A1 A cosβ Si las dos rendijas son iguales A 1 =A ( ) 1 = A1 (1+ cosβ) = A cos A 1 β = = A 0 ( πbsenθ) π asenθ sen πbsenθ I 0 I cos A πbsenθ sen πbsenθ cos π asenθ

36 El primer factor es el que obtuvimos al estudiar una rendija, el segundo factor introduce ceros adicionales: πasenθ = (l + 1) π ; asenθ = (l + 1) Y máximos: πasenθ = n' π; asenθ = n'

37 Superponemos el patrón de difracción y el de interferencias

38 Redes de difracción Cuando hay más de tres rendijas decimos que hay una red de difracción. El ancho de las rendijas es b y la separación entre ellas a. Para el caso de N rendijas, la expresión de la intensidad viene dada por: I = I o πbsenθ N senθ sen( ) πa sen( ) πbsenθ πasenθ sen Difracción Interferencias La diferencia con las interferencias por N rendijas, consiste en que en el estudio de las interferencias las rendijas no tenían anchura, eran focos puntuales.

39 a

40 Cuando sobre una red de difracción incide luz policromática se producen máximos de difracción a distintos ángulos para las distintas longitudes de onda que componen la luz incidente, excepto para el orden cero que es igual para todas. Un monocromador no puede trabajar con el máximo principal (orden cero). El conjunto de los máximos para un orden dado constituye un espectro. Cuanto mayor es la longitud de onda mayor es la dispersión. La dispersión de una red se define como: asenθ=n; dθ D = Dispersión angular de la red d n dθ n n senθ = ; cosθ = ; D = a d a a cosθ D aumenta cuando aumenta n, pero la intensidad es menor. Tambien aumenta cuando disminuye a, es decir cuanto más próximas entre sí están las rendijas. Las redes de difracción son de 150, 300, 600, 100, 1800, 400, 300 líneas /mm. A más líneas por mm más dispersión y más resolución espectral.

41

42

43 Red de difracción por reflexión

44 Particle detection and measurement by diffraction

45 Difracción de rayos X por los cristales La longitud de onda de los rayos X es muy corta, por consiguiente las redes de difracción convencionales no sirven, sin embargo las redes cristalinas constituyen redes de difracción naturales para los rayosx

46 Las distancias interatómicas son de unos pocos A, por lo que están en el orden de magnitud de la longitud de onda de los rayos X. Cuando éstos pasan a través de un cristal se produce difracción por los átomos ó moléculas del mismo. Como puede haber átomos ó moléculas de diferente naturaleza, la contribución de cada uno de ellos será diferente. Suponiendo que solo tenemos una clase de átomos: A B C

47 ABC=d senθ; El desfase es π π δ = ABC = dsenθ La condición de interferencia constructiva es: δ=πn dsenθ=n Ley de Bragg Difracción por varios alambres cruzados ( se aprecia la similitud co n las figuras de difracción por un cristal) Diagrama de Laue Diagrama de Laue

48 Diagrama de cristales pulverizados: diagramas de Debye-Scherrer, anillos de difracción Nanocristales de proteinas X-ray key enzyme of common pathogen crystallised in living cells

49 Imágenes de difracción de rayos X de la molécula de ADN y estructura de doble hélice deducida a partir de ellos The left image shows one plane through the three-dimensional diffraction pattern of a DNA crystal. Each spot has a characteristic intensity that is related to the distribution of electrons in the crystal. The view shows one base pair with a guanine and a bromocytosine. The blue contours enclose most of the electrons, and show the overall shape of the bases. the yellow contours enclose only regions with high electron density, such as the electron-dense bromine atom. Imagen de difracción de rayos X del ADN obtenida por Raymond Gosling y Rosalind Franklin en Mayo 195 en la que se basaron, Watson, Crick y Willkins para desarrollar el modelo de doble hélice del ADN

50 Moon coronas are due to diffraction. When the moon looks a bit hazy, you re seeing a corona. It s a diffraction effect.