Universidad de Antioquia

Transcripción

1 Índice general Prefacio II 0.1. Algunos conjuntos de números DEFINICIONES Y TEOREMAS Lógica - Teoría de Conjuntos Operación binaria Ejercicios Nociones de Lógica. Métodos de demostración Ejercicios Demostraciones por Inducción Ejercicios para demostrar por el método de inducción Cuantificadores Ejercicios sobre cuantificadores Teoría de conjuntos conjuntos especiales Operaciones con conjuntos:,,, Ejercicios Relaciones y funciones. Desigualdades Relaciones Ejercicios sobre relaciones Funciones Ejercicios R, Desigualdades, Intervalos Ejercicios Valor Absoluto Ejercicios i

2 ii ÍNDICE GENERAL 3. Funciones básicas Funciones definidas por fórmula Ejercicios Definición y gráficas de algunas funciones básicas Ejercicios Límites - continuidad Primeras ideas Ejercicios La definición ǫ,δ Ejercicios Funciones continuas Ejercicios Consecuencias de la continuidad Ejercicios Otros tipos de límites Ejercicios La función derivada. - Reglas de derivación Dos problemas resueltos con límites La derivada - Reglas de derivación Ejercicios

3 Notas de Introducción al Cálculo Alberto Castaño julio/2006 (Versión Preliminar)

4 Prefacio Se ha dicho, con fundamento, que la puerta de entrada a las ideas del Cálculo la constituye el concepto de límite. Estas notas quieren hacer honor a dicho concepto teniendo como objetivo llegar con un proceso constructivo a la definición precisa de límite de funciones de una variable real. Tal vez una razón para eludir esta definición precisa en los cursos habituales de Cálculo, sea la necesidad de llevar a cabo toda una serie de ideas básicas que le permitan al estudiante un feliz arribo a este extraordinario concepto, básico para todos aquellos que quieran ir un poco más allá de fórmulas y anhelen adquirir un conocimiento de calidad en Cálculo, cuanto con mayor razón para los que están ingresando en áreas de investigación, llámese Física, Química, Economía o de Ingenierías y obviamente para los Matemáticos. El recorrido que se ha querido hacer en estas notas para llegar a la noción de límite, propuesta en el párrafo anterior, se inicia con la definición de operación binaria, concepto que se aprovecha para familiarizar al estudiante con las leyes básicas del campo algebraico. Razones para hacerlo así sobran, pués una parte central del trabajo matemático es la actividad permanente con operaciones de diferente naturaleza. Baste decir aquí que desde un principio estaremos comprometidos con operaciones de tipo lógico, operaciones con conjuntos, con relaciones y funciones, y con los números reales. Se ingresa a continuación en el terreno de la demostración matemática, proponiendo las principales operaciones con enunciados, pero con la idea de proporcionarle al estudiante los diferentes métodos de razonamiento matemático. Claro está que no es aquí el lugar para desarrollar toda la estructura teórica de la lógica. Lo que se espera es que el estudiante adquiera las técnicas necesarias para comprender textos demostrativos y que además llegue a elaborarlos por su propia cuenta. El procedimiento recurre al método eurístico, complementado con ejemplos que sirvan de modelo apropiado a cada uno ii

5 de los diferentes métodos de demostración. Para ello se han introducido desde un comienzo, (ver preámbulo), definiciones y teoremas elementales de los números enteros, supuesto que el estudiante tiene alguna familiaridad con ellos gracias a sus estudios anteriores. En esta parte se enuncian algunos teoremas sobre números enteros como el llamado Algoritmo de la división, el Teorema Fundamental de la Aritmética, el hermoso resultado griego sobre la infinitud de los números primos, y además, algunas nociones como números pares e impares, números primos y compuestos, Máximo Común Divisor y primos relativos. Esto se hace con el propósito de tener algunos elementos de la Aritmética para realizar desde un principio ejemplos de demostraciones sencillas. Sigue un desarrollo elemental pero básico de la Teoría de Conjuntos. Este tema nos ofrece una oportunidad de poner en práctica conceptos descritos en la parte anterior, tales como operaciones con conjuntos y sus respectivas leyes algebraicas, así como también demostraciones que tengan el sello de bien construídas, empleando los principales métodos de razonamiento lógico. En este punto damos por terminado el primer capítulo. En el segundo capítulo se complementa el tema anterior con las ideas de Relaciones y funciones, conceptos centrales en el estudio del Cálculo. Aquí nuevamente salen a relucir importantes operaciones como inversión de relaciones y la importante composición de relaciones y sus leyes de asociatividad, no conmutatividad, etc. En este tema se parte del conocimiento y la familiaridad que tiene el estudiante con los números reales, así sea éste leve y quizá un tanto confuso. Lo que se espera es que el estudiante vaya mejorando este conocimiento a medida que se desenvuelve el curso. Para dar un paso en este sentido se abre aquí un paréntesis para hacer un recuento de las leyes algebraicas de la suma y producto usuales con números reales y se inicia el tema del orden en Matemáticas, las técnicas de resolución de desigualdades, el reconocimiento de la recta numérica y de los llamados intervalos reales. Se incluye en este momento la idea de distancia entre puntos de la recta, utilizando el concepto de valor absoluto de un número real. También se expone en términos de correspondencia biunívoca, el hecho fundamental de que todo intervalo real no trivial tiene tantos puntos como la recta numérica y se señala la posibilidad de expresar distancias entre puntos reales, tan pequeñas como se quiera, recurriendo a la presentación centro-radio de cualquier intervalo no trivial escribiéndolo en términos de una desigualdad con valor absoluto. Se inicia el capítulo tres con la presentación de un buen número de funciones básicas entre números reales, (polinómicas, racionales, exponenciales, iii

6 iv PREFACIO logarítmicas y trigonométricas), destacando el aspecto operacional por medio del cual se obtienen nuevas funciones generadas mediante sumas, diferencias, productos, cocientes y composición. Se insiste en el aspecto gráfico de funciones como líneas rectas, parábolas, curvas exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, y funciones del tipo 1 x,, x, funciones por tramos, etc., x que serán una reserva para más adelante ilustrar las ideas de límite, continuidad y diferenciabilidad, informando al estudiante que toda la complejidad que encierra la forma de estas curvas se irá aclarando con el transcurrir de los temas. En el capítulo cuatro consideramos que todo está preparado para definir el concepto de límite de una función, lo cual se hará desde el punto de vista intuitivo de aproximación sistemática a un cierto número a prefijado en el ambiente determinado por una función. Una vez desarrollado este proceso de tipo eurístico se está en condiciones de presentar en términos formales ésta, no solo importante sino magnífica, construcción del ingenio matemático: Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x, 0 < x a < δ = f(x) L < ε, cuya abreviatura es usualmente representada como lím f(x) = L. x a Llegados a este punto, sigue un proceso de manejo técnico de esta expresión, incluyendo modelos demostrados de límites de funciones básicas, exponiendo leyes y propiedades de los límites y aprovechando el momento para definir las ideas de continuidad y derivación. Terminamos el curso en el quinto capítulo, presentando las técnicas básicas de derivación que se extienden hasta la importante Regla de la cadena.

7 0.1. ALGUNOS CONJUNTOS DE NÚMEROS 1 PREÁMBULO. En este preámbulo mencionamos, sin entrar en mayores detalles, los conjuntos numéricos de nuestro mayor interés e incluímos algunas definiciones y resultados sobre los números enteros. Se inicia el primer capítulo con el concepto de operación binaria acompañado de las leyes básicas del Álgebra. Viene enseguida una presentación, acompañada mas de intuición que de rigor, de las leyes lógicas y principales métodos de demostración y se ofrecen algunos modelos de razonamiento, demostrando resultados referidos a los números enteros. El capítulo finaliza con una introducción elemental de la Teoría de Conjuntos que incluye las operaciones usuales con conjuntos. Muy pronto, en la sección 0.2., incluímos los conectivos lógicos,, (implicación), con el significado Si...entonces, y, (equivalencia), con el significado Si y solo si. Así mismo, a partir de la sección 1.1. incluímos expresiones del estilo x A que tiene los siguientes significados: x es un elemento del conjunto A, x pertenece a A, x en A. Como es usual, x / A significa: x no pertenece a A Algunos conjuntos de números Las diferentes clases de conjuntos numéricos que estaremos utilizando son: El conjunto de los números naturales { 1,2,3,... }, que se representa con la letra especial: N. El conjunto de los números enteros { 0, ±1, ±2, ±3, }, que se representa con la letra especial: Z. Se utiliza el símbolo Z +, (enteros positivos), como otra manera de representar el conjunto N. El conjunto de los números racionales: Q, números que son de la forma a b con a, b enteros, b 0. Números como 3, 7, 0, 2, , son 5 4 racionales.

8 2 PREFACIO El conjunto de los números irracionales, es decir, números que no se pueden expresar en forma racional. Este conjunto lo vamos a representar con el símbolo Q. El uso recomienda aproximar un número irracional por medio de uno racional. Números como π , e y , son ejemplos de números irracionales aproximados a valores racionales. El conjunto de los números reales se representa con la letra especial R y consta de la reunión de los racionales, Q, con los irracionales, Q. Finalmente, el conjunto C de los números complejos, números que son de la forma (a + bi), siendo i = 1 y a,b, números reales; por ejemplo, (2 + 3i), ( 1 2 i 3), (0 + i), son números complejos. Todo número real a se puede escribir como un complejo de la forma (a+0i) DEFINICIONES Y TEOREMAS. La igualdad a = 2k, donde k es un entero, significa que a es un entero par. Ejemplos: 6 es de la forma 2k con k = 3; 0 es de la forma 2k con k = 0; 10 es de la forma 2k con k = 5, por lo tanto 6, 0, 10 son números pares. La igualdad a = 2k 1, donde k es un entero, significa que a es un entero impar. Ejemplo: 7 es de la forma 2k 1 con k = 4, por lo tanto 7 es número impar. La expresión a b con a,b enteros, a 0, significa lo siguiente: o también, a divide a b, a es un divisor de b, b es un múltiplo de a.

9 0.2. DEFINICIONES Y TEOREMAS. 3 Escribimos: a b b = ka, siendo k un entero. Ejemplos: 3 15, En cambio, 5 12, (5 no divide a 12.) Un entero positivo d se llama Máximo Común Divisor de los enteros a, y b si d es el mayor de los divisores comunes de a y b, donde a, b son no ambos ceros. Escribimos: d = MCD(a,b). Ejemplos: MCD(18, 30) = 6, MCD(14, 45) = 1, MCD(0, 20) = 20. Dos enteros a,b son primos relativos si y solo si MCD(a,b) = 1. Por ejemplo 14 y 45 son primos relativos. Un número racional a b presenta forma reducida si y solo si MCD(a,b) = 1 Por ejemplo, está en forma reducida; en cambio no está en forma reducida. Se puede demostrar que todo número racional se puede representar en su forma reducida, por ejemplo, = 3 5. Un entero positivo p 1 es un número primo si y solo si sus únicos divisores positivos son: 1 y el mismo p. 2, 3, 5, 7, 11, 523, son primos. En cambio 6, 8, 9, 10, 91, 731, no son primos. Todo entero > 1, que no sea primo, se llama número compuesto. 731 es un número compuesto. El siguiente teorema se llama Algoritmo de la división: Teorema Si a,b son dos enteros, b 0, se pueden hallar dos enteros q, r, únicos, tales que se cumplen las dos condiciones siguientes: a = bq + r 0 r < b.

10 4 PREFACIO En el anterior teorema, a se llama Dividendo, b es el divisor, q es el cociente y r, el residuo. Ejemplo: 87 = donde 87 es el dividendo, 15 el divisor, 5 el cociente y 12 el residuo. Ejemplo: 17 = donde 17 es el Dividendo, 4 el divisor, 5 el cociente y 3 el residuo. Los siguientes dos resultados (teoremas) se refieren al MCD: i. Si d es el MCD de a, b, se pueden hallar dos enteros x,y tales que d = xa + yb. Por ejemplo, MCD(15, 20) = 5 = ( 5)15 + (4)20 ii. Si a,c son primos relativos y c ab, entonces c b. Por ejemplo, 8 48, (3 16 = 48), y como 8 y 3 son primos entre si, se concluye que Los siguientes dos teoremas se refieren a los números primos. Teorema Todo entero mayor que 1 se puede descomponer como un producto de factores primos, repetidos o no, y estos primos son únicos, salvo cambio de lugar de los factores en el producto. El Teorema se conoce como el teorema fundamental de la Aritmética. Ejemplo: 2924 = Corolario Todo entero mayor que 1 tiene algún divisor primo. Por ejemplo, 43 es un divisor primo de ( y no es el único!) Teorema No existe un primo que sea el mayor de todos los números primos. (En otras palabras, este teorema dice que la cantidad de números primos es infinita).

11 Capítulo 1 Lógica - Teoría de Conjuntos 1.1. Operación binaria Definición Una operación binaria definida en un conjunto A, es una regla que asigna a dos elementos a, b de A, un único resultado c que es también elemento del mismo conjunto A. Escribimos: a b = c para indicar que la operación entre a, b ha dado como resultado, c. Veamos algunos ejemplos: Las siguientes dos tablas ilustran dos operaciones binarias definidas en un conjunto En la Tabla #1 se leen, entre otros, los siguientes. resultados: a e = a b b = e b a = c. A = {e,a,b,c} e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Tabla #1 5

12 6 En la Tabla #2 se leen, entre otros, los siguientes resultados: a e = a e a = a a b = a b c = b. CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS e a b c e e a b c a a a a a b b b b b c c c c c Tabla #2 El siguiente esquema muestra como se obtienen resultados en una tabla de operación binaria: (Ver Tabla #2.) a : :.. b b : : b a = b La suma y la multiplicación usuales con toda clase de números, desde los enteros, (Z), hasta los complejos (C), son operaciones binarias, por ejemplo, sumar o multiplicar enteros nos dá como resultado un número entero único. ( LEYES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA Clausurativa - uniforme - asociativa - conmutativa - modulativa - invertiva - distributiva ) Consideremos una operación binaria definida en un conjunto A. 1. L. Clausurativa: El resultado de efectuar la operación con dos elementos de A es también un elemento de A. Para fines prácticos es bueno tener esta ley en forma de implicación: a,b A = (a b) A

13 1.1. OPERACIÓN BINARIA 7 2. L. Uniforme: Todo resultado obtenido por medio de la operación es único. Dicho en otras palabras, si se opera con elementos iguales, se obtienen resultados iguales. Puesta en forma de implicación esta ley se puede escribir así: Sean a,b,c,d A : a = c b = d } = a b = c d Un caso particular de esta ley ocurre cuando se tiene una igualdad, digamos a = b, y se opera en ambos miembros por un mismo elemento c. En tal caso se obtiene a c = b c o bien, c a = c b. Estas dos primeras leyes definen una operación binaria, sin ellas no se considera como tal. (Ver Definición 1.1.1). Las leyes que siguen son opcionales, es decir, una operación puede cumplirlas o no. 3. L. Asociativa: El resultado de realizar la operación con 3 elementos es el mismo en cualquiera de las dos maneras en que es posible llevarla a cabo sin cambiar el orden en que se tomen los elementos. En términos de implicación, esta ley se expresa de la siguiente manera: a,b,c A = (a b) c = a (b c) Esta ley también es válida cuando el número de elementos a operar es mayor que tres, en cuyo caso se puede realizar agrupándolos de 3 en L. Commutativa: El orden en que se realice la operación con dos elementos no modifica el resultado. Esta propiedad se extiende a cualquier número finito de elementos. Puesta en términos de implicación queda así: a,b A = a b = b a

14 8 CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS 5. L. Modulativa: Hay en el conjunto A por lo menos un elemento, que denotaremos con e, que operado, (por derecha o por izquierda), con cada elemento de A, da como resultado el mismo elemento, es decir: a A = (a e = a y e a = a) El elemento e se llama el módulo o elemento neutro de. Claro que si es commutativa, es suficiente que se cumpla una sola de las igualdades en la anterior implicación para que también se cumpla la otra. 6. L. Invertiva: Si el conjunto A tiene un módulo e y para cada elemento a de A hay un elemento (por lo menos uno) en A, que denotaremos con a 1, tal que, al operar a con a 1 en cualquier orden, el resultado es el módulo e, entonces la operación cumple la L. Invertiva. En términos de implicación: (a A y en A existe módulo) = (En A existe a 1 tal que a a 1 = e y a 1 a = e). El elemento a 1 se llama el inverso de la operación. Aquí también es claro que si es commutativa, es suficiente una sola igualdad en la implicación anterior. 7. L. Distributiva: Esta ley requiere que en el conjunto A estén definidas dos operaciones, digamos y. Decimos que distribuye con respecto a si se cumple la siguiente implicación: a,b,c A = ( a (b c) = (a b) (a c) y (b c) a = (b a) (c a) ) Nuevamente, si es commutativa, es suficiente que se cumpla una de las igualdades en la implicación anterior ya que también se estará cumpliendo la otra.

15 1.1. Ejemplos: OPERACIÓN BINARIA 9 Los números racionales, (Q), los reales, (R), y los complejos, (C), con las operaciones usuales de suma (+) y multiplicación ( ) satisfacen las 7 leyes mencionadas anteriormente, razón por la cual se llaman campos algebraicos. Téngase en cuenta que sólo la multiplicación distribuye con respecto a la suma, es decir: a (b + c) = (a b) + (a c), Pero la suma no distribuye con respecto a la multiplicación, es decir, a + (bc) (a + b)(a + c). Un ejemplo numérico aclara lo dicho: 3 + (2 5) (3 + 2) (3 + 5). } {{ } } {{ } La siguiente tabla resume la notación y nombres relacionados con las operaciones usuales en Q, R, y C. Nombres y símbolos relacionados con las operaciones + y. Operación módulos notación y nombre para inversos + 0 a (opuesto de a) 1 1 (recíproco de a 0) a Téngase en cuenta que los Naturales con + no cumplen la L. Modulativa, (0 / N), ni la L. Invertiva, (cuando a N, a / N.) Los Enteros con no cumplen la L. Invertiva, (cuando a ±1 es un entero, a 1 no es entero.) En la Tabla #3, la operación cumple con las leyes 1, 6. El módulo es e. Los inversos son: e 1 = e, a 1 = b, b 1 = a. e a b e e a b a a b e b b e a Tabla #3

16 10 CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS La operación definida en la Tabla, verifica las Leyes básicas 1 6. Para esta operación el módulo es e. Inversos: e 1 = e a 1 = a. b 1 = b. c 1 = c. En cambio la Tabla verifica las Ls. clausurativa, uniforme, asociativa y modulativa, (módulo (e)), pero no, las leyes conmutativa e invertiva. Operaciones módulo n. (n un entero > 1) e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Tabla e a b c e e a b c a a a a a b b b b b c c c c c Tabla Son dos operaciones de la mayor importancia en Álgebra y Teoría de Números. Veamos un ejemplo con n = 5. Definimos en el conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, }. una suma y una multiplicación así: Para x,y B, x y = residuo r que queda después de dividir (x + y) por 5. x y = residuo r que queda después de dividir (xy) por 5. Las Tablas # 4 y # 5 muestran sendos resultados Tabla # Tabla #5 Las dos operaciones y desplegadas en las tablas #4 y #5 cumplen todas las leyes básicas del Álgebra y por tanto constituyen un campo algebraico con 5 elementos a saber, 0, 1, 2, 3, 4.

17 1.2. EJERCICIOS 11 No se incluye el 0 en la tabla #5 ya que éste no tiene inverso para el producto. Sin embargo es posible re-incluirlo por medio del teorema, a 0 = 0 Ejemplos-: (Verificar cada ejemplo en las tablas #4 y #5.) 4 (5 2) } {{ } 3 = (4 5) (4 2) = 3. Ley Distributiva. } {{ } } {{ } 0 3 El opuesto de 2 es 3 y esto lo expresamos así: 2 = 3. (Note que 2 3 = 0; Ley Invertiva de ). El recíproco de 3 es 2 y esto lo expresamos así: 3 1 = 2. (Note que 3 2 = 1; Ley Invertiva de ). 4 2 = 1, ya que 4 2 significa 4 4 = 1 3 (2 3 ) = 4, ya que 2 3 = Ejercicios 1. En la siguiente tabla I, verificar por inspección que es operación binaria; verificar la ley asociativa al menos 2 veces; verificar la ley conmutativa al menos 2 veces; identificar, si existe, módulo; completar las igualdades que se dejan indicadas. x y z w x y w x z y w z y x z x y z w w z x w y Tabla I. y z = ;x 1 = (z x) w = ;w 1 = z z = ;x 2 = x 2 y 1 = ;y 3 w 2 = (w x) (y x) =

18 12 x a y b c x x a y b c a y b c Tabla II. CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS 2. Complete la Tabla II de manera que quede definida una operación binaria con módulo el elemento x y que además cumpla las Ls. algebraicas 1 6. Además que se cumplan los siguientes requisitos: El inverso de a que sea c. El inverso de b que sea y. 3. Completar la tabla III considerando la multiplicación, módulo 6. Resolver, por ensayo y error, la ecuación propuesta al lado de la tabla. Cuál es la única ley algebraica, (1 6), que esta operación no cumple? Tabla III 5 x 2 3 x 2 = 1. ( = suma, módulo 6). 4. La operación desplegada en la singular tabla IV, satisface las leyes básicas del álgebra 1 6. Verifique, (parcialmente), esta afirmación efectuando algunos resultados Tabla IV. 5. Justifique la afirmación: La operación definida por medio de la tabla no es conmutativa ni invertiva. Encuentre una regla o fórmula para dicha operación. (-1 1) 2= -1 (1 2)= 2 2 =, (es decir, 2 2 =.) 1 3 = ; 1 6 = e a b c e e a b c a a a a a b b b b b c c c c c Tabla

19 1.2. EJERCICIOS En el conjunto de los enteros positivos, juntándole el 0, (Z + {0}), definimos una operación binaria en 3 pasos, así: [ ( ) ] a b = el menor de a y b 1, cuando a y b sean 0. a 0 = a 0 b = b Por ejemplo: 3 8 = 3-1 = = 0. Preguntas y actividades: 1 1 = 1-1 = = 5. Existe módulo?. Justifique su respuesta. Halle los inversos de los siguientes números: 0, 1, 5, 219. Para todo a (Z + {0}), existe inverso? Para a 0 : a a =?. Verifique que esta operación es conmutativa. Realice las siguientes operaciones: 1 2 =?; =?; 11 (7 9) =?; (11 7) 9 =?; A la vista del punto anterior, esta operación es asociativa? ejemplos que corroboren su respuesta. (11 8) 5 =? 11 (8 5) =? Dé otros 7. En el conjunto de los enteros positivos juntándole el 0, (Z + {0}), se define la operación: a b = MCD(a,b). Realizar las siguientes operaciones: a 1 = ;a (a + 1) = ;a p = (p primo, p a) = ;a p = (p primo, p a) ;a 0 =, (a 0).

20 14 CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS 1.3. Nociones de Lógica. Métodos de demostración. Términos y Enunciados: Son los elementos básicos de una Teoría Matemática. Los términos matemáticos son los objetos que son motivo de estudio, tales como conjuntos, números, funciones, figuras geométricas y un grande etcétera. Representaremos los términos con letras y símbolos especiales. Ejemplos: El punto P, el conjunto A, la función f, la integral b f, son términos a matemáticos. Excepto en unos pocos casos, (que se mencionarán en la página siguiente), los términos entran a hacer parte de la teoría por medio de definiciones. Los enunciados corresponden a las propiedades y relaciones que ocurren entre los términos; los denominamos con esta palabra porque empiezan a tener existencia matemática una vez que se enuncien. Ejemplos -: Un enunciado de la Aritmética es: Todo número entero > 1 tiene algún divisor primo. Un enunciado de la Geometría es: En todo triángulo isósceles, los ángulos de la base son iguales. Representaremos los enunciados con letras mayúsculas, en particular P, Q, R, S, T, etc. Existen diferentes tipos de enunciados: verdaderos, falsos, contradictorios, conjeturas e indecidibles pero sólo nos ocuparemos de los tres primeros. Un enunciado sólo se considera verdadero, (también se dice TEORE- MA ) cuando ha sido objeto de una prueba o demostración matemática, en cuyo caso pasa a ser parte de la teoría. Para indicar que un enunciado es verdadero, utilizaremos la letra v.

21 1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 15 Para nuestros fines en este curso, una demostración consiste en una argumentación basada en leyes lógicas muy precisas, leyes que aquí presentaremos sin entrar en detalles mayores, que son propios de un curso de Lógica. Sin embargo agreguemos que la demostración de un enunciado utiliza teoremas y definiciones que, en el momento de demostrarlo, estén haciendo parte de la teoría. TERMINOS PRIMITIVOS - AXIOMAS. La definición de los términos se hace recurriendo a términos anteriormente definidos. Sin embargo algunos términos básicos no se pueden definir ya que son independientes entre si y no existen términos anteriores que los definan. La solución a este impase consiste en admitir, sin definición, los primeros términos de la teoría a cambio de que sea dada la lista definida de ellos. Estos son los llamados términos primitivos. Los otros serán términos definidos. Ejemplos -: Conjunto y pertenecer son términos primitivos de la Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Punto, recta y plano son términos primitivos de la Geometría Euclidiana. En cambio número primo es un término definido de la Aritmética. La demostración de los teoremas se hace recurriendo a teoremas que previamente hallan sido demostrados. Sin embargo los primeros teoremas no se pueden demostrar ya que son independientes entre si y no existen teoremas anteriores que permitan llevar a cabo su demostración. La solución a este impase es que se admitan algunos teoremas sin ser demostrados a condición de que se expresen claramente y que se refieran a propiedades de los términos primitivos. Estos enunciados admitidos sin demostración se llaman los axiomas y cada rama de la Matemática empieza con una lista de ellos. Ejemplos -: Un axioma de la Teoría de conjuntos es el siguiente: Si los conjuntos A y B tienen los mismos elementos, entonces son conjuntos iguales.

22 16 CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS Un axioma de la Geometría es el siguiente: Por dos puntos pasa una recta y sólo una. Veamos a continuación, y a la par con las operaciones básicas con enunciados, las leyes lógicas que se necesitan para elaborar demostraciones que reciban el reconocimiento de correctas. Operaciones con Enunciados (Negación - Disyunción - Conjunción - Implicación -Equivalencia.) La negación -: Es la operación que dá lugar a un enunciado que es el contrario de otro enunciado P. El resultado es el enunciado que denotaremos nop. Como cuando decimos: La recta l no pasa por el puntoa., } {{ } nop enunciado que constituye la negación de: la recta l pasa por el puntoa. } {{ } P. Enunciado falso -: Es aquel cuyo contrario (o negación), es verdadero (es decir, teorema.) En otras palabras, el enunciado P es falso sólo cuando nop es verdadero. Se indicará que un enunciado es falso por medio de la letra f. Recuerde -: Afirmar de (nop) que es un enunciado verdadero, es equivalente a afirmar que (P) es un enunciado falso. Enunciado contradictorio -: Es aquel que es verdadero y falso simultáneamente. Un enunciado contradictorio presenta la siguiente forma: (P y nop). Un principio lógico prohibe que una teoría matemática tenga enunciados contradictorios. Se llama Principio de no contradicción y queda resumido en la siguiente Tabla #6.

23 1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 17 P nop v f f v Tabla #6 La Disyunción -: Es la operación que expresa la posibilidad de que sea verdadero al menos uno de entre dos o más enunciados, como cuando decimos, (3 es primo) o (6 es par). Para fines teóricos representamos la disyunción de dos enunciados P, Q, en la forma (P o Q). Ésta es una operación binaria cuyo signo de operación es la palabra o. Dicha operación se rige por el siguiente principio: Un enunciado (P o Q) es verdadero en todos los casos en que los enunciados P y Q no sean ambos falsos. En el caso de ser P y Q ambos falsos, (P o Q) también es falso. Este principio queda resumido en la Tabla #7. P Q PoQ v v v v f v f v v f f f Tabla #7. Note que una disyunción verdadera tiene verdadero al menos uno de sus enunciados. También es suficiente que uno de sus enunciados sea verdadero, para que la disyunción sea verdadera.

24 18 CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS En la Tabla #7 se pueden verificar las dos primeras leyes lógicas, a saber: Ley de adición con o: Siendo P un enunciado verdadero y Q cualquier tipo de enunciado verdadero o falso, se obtiene otro enunciado también verdadero que se expresa en la forma (P o Q) o en la forma (Q o P). Observe, por ejemplo, la segunda línea de la Tabla #7 donde Q es un enunciado falso (f) pero como P es verdadero (v), el enunciado (P o Q) aparece verdadero (v). Ejemplo -: Al ser verdad que 5 > 3, también es verdad que (5 > 3) o (5=3). Nótese que 5 = 3 es falso. No obstante, la disjunción que se obtuvo, es verdadera, usualmente resumida en la forma 5 3. Ejemplo -: A partir del enunciado verdadero (5 > 3) se obtiene verdadero enunciado al adicionar el también verdadero (4 < 5), resultado que se expresa así: (5 > 3) o (4 < 5.) En adelante llamaremos premisa a todo enunciado que, en principio, se tome como verdadero para obtener, mediante deducción lógica, otros enunciados verdaderos. Utilizaremos esquemas de tipo premisa(s) - conclusión(es) para representar algunas leyes lógicas. La Ley de adición con o se resume en el siguiente esquema: Conclusión 1: Conclusión 2: Premisa. P P o Q Q o P Ley de cancelación de los enunciados falsos en la Disjunción. En toda disjunción verdadera se pueden cancelar los enunciados falsos, y los enunciados que queden sin cancelar son verdaderos.

25 1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 19 Observe, por ejemplo, la segunda línea de la Tabla #7, donde Q es falso (f) pero como (P o Q) es verdadero (v), P aparece verdadero (v), es decir, al cancelar el enunciado Q(f), el que queda, P, es verdadero. Situación similar se repite para la tercera línea, esta vez con P(f) y Q(v): se cancela P(f) y queda Q(v). Ejemplo -: Siendo claro que (5 < 3)o(5 > 4) es una afirmación verdadera, cancelamos la parte falsa, (5 < 3), y la que queda, (5 > 4), es verdadera. Presentación esquemática de la L. de Cancelación: Premisas. 1. P o Q 2. nop Conclusión: Q. Premisas. 1. P o Q 2. noq Conclusión: P. La Conjunción -: Es la operación que expresa la simultaneidad de dos o más enunciados, como cuando decimos, (3 es primo) y (6 es par). La conjunción de dos enunciados P, Q se representa en la forma (P y Q) Esta es también una operación binaria cuyo signo de operación es la palabra y. Dicha operación se rige por el siguiente principio: Un enunciado (P y Q) sólo es verdadero en el único caso en el que tanto P como Q son ambos verdaderos. En los demás casos (P y Q) es enunciado falso. Este principio queda resumido en la Tabla #8.

26 20 CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS P Q (P y Q) v v v v f f f v f f f f Tabla #8 En la Tabla #8 se pueden verificar otras dos leyes lógicas, que son las siguientes: Ley de simultaneidad. Si tanto el enunciado P como el enunciado Q son verdaderos, se obtiene un enunciado verdadero que se representa en cualquiera de las dos formas siguientes: (P y Q) o (Q y P) Verifique el lector esta ley en la 1 a línea de la Tabla #8 Ley de simplificación. Siendo verdadero un enunciado de la forma (P y Q), se pueden concluir, independientemente, tanto la verdad de P, como la verdad de Q. En la 1 a línea de la Tabla #8 se puede constatar esta última ley. Presentación esquemática de las Ls. de simultaneidad y simplificación. simultaneidad Premisas. 1. P 2. Q Conclusión: (P y Q) simplificación Conclusión 1. Conclusión 2. Premisa. P y Q P Q

27 1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 21 La Implicación -: Es la operación binaria entre enunciados P, Q que establece la disjunción entre la negación de P o la afirmación de Q como cuando decimos: Un entero a (no es múltiplo de 6) o (es divisible por 3). La implicación de dos enunciados P, Q se representa en la forma: P = Q. El enunciado P se llama antecedente y el enunciado Q, consecuente. Los enunciados que toman la forma de implicación, (P = Q), reciben las siguientes lecturas: Si P entonces Q. P implica a Q. Q siempre que P. P es una condición suficiente para Q. Q es una condición necesaria para P. Por ejemplo, el enunciado señalado con se representa por 6 a = 3 a y se lee, entre otras maneras, así: Si un entero a es múltiplo de 6, entonces a es divisible por 3. (Un entero a es múltiplo de 6) implica que (a es divisible por 3). a es divisible por 3 siempre que lo sea por 6. Una condición suficiente para que un entero a sea divisible por 3, es que a sea múltiplo de 6. Una condición necesaria para que un entero a sea múltiplo de 6, es que a sea divisible por 3.

28 22 CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS Una gran parte de los enunciados matemáticos están asociados a la forma de implicaciones, las cuales pueden estar, o no estar, presentes en forma explícita. En estas notas haremos explícita la implicación de cada enunciado, esto por razones de orden práctico en el proceso de demostración que nos ocupe. De hecho ya lo hemos puesto en práctica a partir de la sección 1.1, (página 6), con motivo de las leyes básicas del álgebra. Por ejemplo, el teorema: El producto de números impares dá como resultado otro número impar está asociado a la implicación: (a y b son números impares) = (ab es impar.) RECÍPROCA y CONTRARRECÍPROCA. Asociadas a toda implicación se deben considerar otras dos implicaciones las cuáles se indican en el siguiente esquema: Q = P RECÍPROCA P = Q ր ց noq = nop Ejemplo -: Implicación inicial : CONTRARRECÍPROCA. Si el entero a es múltiplo de 6, entonces a es divisible por 3. } {{ } P = Q Implicación recíproca : Si el entero a es divisible por 3, entonces a es múltiplo de 6. } {{ } Q = P Implicación contrarrecíproca : Si el entero a no es divisible por 3, entonces a no es múltiplo de 6. } {{ } noq = nop (v) (v) (f)

29 1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 23 NOTA : Como puede verse en el ejemplo anterior, el hecho de que la implicación inicial sea verdadera, (es decir, teorema), no asegura que la recíproca sea verdadera pués en este caso es falsa, como se puede constatar por medio del siguiente contraejemplo: 15 es divisible por 3 (recuerde, 3 15) pero 15 no es múltiplo de 6, (6 15). Sin embargo, la implicación inicial y su contrarrecíproca siempre serán ambas verdaderas o ambas falsas. (Ley del contrarrecíproco, página 31). En el ejemplo considerado, ambas son verdaderas, lo cual demostraremos un poco más adelante, (Ver páginas 26 y 31.) La implicación es como ya se dijo, una operación binaria cuyo signo de operación está representado por dos palabras, Si entonces. Dicha operación se rige por el siguiente principio -: El único caso en que un enunciado de la forma P = Q es falso, se dá cuando el antecedente, P, es verdadero y el consecuente, Q, es falso. En los otros casos la implicación es verdadera. La Tabla #9 registra este principio: P Q P Q v v v v f f f v v f f v Tabla #9 En la Tabla#9 se pueden verificar las siguientes dos nuevas leyes lógicas y el importante Método Directo para hacer demostraciones. Ley del Antecedente Falso : Toda implicación con antecedente falso es verdadera, es decir, teorema.

30 24 Ejemplos -: CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS (falso) (verdadero.) { }} { { }} { (6 es primo) = (6 es par) } {{ } (falso) (= verdadera) (falso) { }} { { }} { (6 es primo) = (6 es impar) } {{ } (= verdadera) Ley del Modus ponens. Forma esquemática: De una implicación verdadera con antecedente verdadero, se puede concluir que el consecuente es verdadero. Premisas: 1. P = Q 2. P Conclusión: Q. Esta importante ley es de uso continuo no sólo en el razonamiento matemático, sino en el uso del lenguaje corriente. Ella indica las condiciones (premisas) bajo las cuales se puede deducir ( poner?) el consecuente de una implicación. Método Directo Es el procedimiento más utilizado para efectuar demostraciones matemáticas. Su explicación puede seguirse en las filas 1 y 2 de la Tabla #9. Consideremos que se quiere demostrar un enunciado de la forma P = Q. A continuación describimos el procedimiento.

31 1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 25 Partamos del supuesto (hipótesis) de que P es un enunciado verdadero, ver filas 1 y 2 de la Tabla #9. Allí se observan 2 opciones para Q. La 1 a fila nos indica que Q puede llegar a ser enunciado verdadero, en cuyo caso la implicación resultará verdadera. La 2 a fila nos indica que el enunciado Q puede llegar a ser falso, en cuyo caso la implicación resultará falsa. Si una sucesión de deducciones (lógicas) intermedias nos llevan a la conclusión final de que Q es verdadero, hemos llegado a buen puerto, pués la consecuencia inmediata es que P = Q es una implicación verdadera y el enunciado ha quedado demostrado. Cabe aquí preguntarse, porqué no suponer inicialmente que P es falso? La respuesta es inmediata: Con antecedente falso toda implicación es (trivialmente) verdadera y no se tienen que hacer más razonamientos. Presentación esquemática del método directo: Hip. Deducc/s. Interm/s. Conclus/Final. Demostrado: P. P 1, P 2 P n. Q. P = Q Es bueno aclarar que no es el enunciado Q el que queda demostrado sino el enunciado (P = Q). Hecha esta aclaración, cuando se realice una demostración por método directo, ésta se puede dar por terminada en el punto en que se obtenga la conclusión final Q. En el siguiente teorema se tiene un modelo de aplicación del método directo. Teorema El producto de números impares dá resultado impar. Demostración. Empezamos por expresar el enunciado en forma de implicación: (a,b enteros impares) = (ab es impar) Esto no es indispensable pero nos ayuda a entender mejor el procedimiento, que empieza así: Supongamos que a y b son impares, (hipótesis). Queremos demostrar que ab también es impar, (tesis). Al ser a y b impares, Por ley uniforme, a = 2k + 1, con k Z b = 2h + 1, con h Z ab = (2k + 1)(2h + 1)

32 26 CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS Por ley distributiva, ab = 2k 2h + 2k + 2h + 1 Agrupando y sacando un factor común, ab = 2 (2kh + k + h) + 1 En este punto, llamemos 2kh + k + h = t, t Z, lo cual se justifica por la ley clausurativa. Reemplazando en, obtenemos finalmente, ab = 2t + 1 lo cual significa que ab es impar y la demostración termina. Veamos otro ejemplo sencillo. Demostremos por el método directo la implicación mencionada en la página 23: 6 a = 3 a Dm:- Supongamos que 6 a. Por definición, a = 6k, k Z. Esta igualdad se puede re-escribir en la forma, a = 3(2k). Hagamos 2k = h, (L. clausurativa), luego, a = 3h, h Z. Esta última igualdad equivale (por definición) a 3 a. La implicación queda demostrada. La Equivalencia -: Esta operación binaria se reduce a una combinación de conjunción y dos implicaciones, pués se define como la conjunción de una implicación y su recíproca, es decir, (P = Q) y (Q = P). El signo convenido para denotar la equivalencia es. El enunciado anterior se representa así: P Q

33 1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 27 Analizamos en la siguiente tabla, cuando es verdadero, y cuando falso, un enunciado en forma de equivalencia: (P = Q) y (Q = P) P Q v v v v v f f f f v v f f v f f v v f f Cuando un enunciado de la forma P Q es verdadero, (ver filas 1 y 2), se dice de los enunciados P, Q que son equivalentes. El enunciado P Q recibe, entre otras, las siguientes lecturas: P si y solo si Q. P sii Q. P es condición suficiente y necesaria para Q. En resumen, vemos que dos enunciados son equivalentes cuando ambos son simultáneamente verdaderos, (1 a fila de la tabla anterior), o simultáneamente falsos, (2 a fila de la tabla anterior). Una conclusión válida es que todos los enunciados verdaderos son equivalentes entre si y también todos los falsos son equivalentes entre si. Demostrar que dos enunciados P, Q son equivalentes obliga a demostrar dos implicaciones, (en cualquier orden): I) Demostrar P = Q. II) Demostrar la recíproca, Q = P Ejercicio -: Completar la tabla anterior en las columnas que están vacías. NOTA: Es importante tener en cuenta que en lógica matemática no existen enunciados iguales. El signo = pertenece a la teoría de conjuntos. Por lo demás, el signo hace las veces del signo = en el sentido de que dos enunciados equivalentes se reemplazan, a conveniencia, el uno por el otro.la siguiente ley justifica la anterior afirmación:

34 28 CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS MODUS PONENS EN EQUIVALENCIAS. Premisas 1. P Q 2. P Conclusión: Q LAS DEFINICIONES. Premisas 1. P Q 2. Q Conclusión: P El papel que cumplen las definiciones es el de poner un nombre a cada término nuevo que se vaya presentando en una teoría. Una aplicación de la equivalencia es el uso, explícito o implícito, que de ella se hace para presentar las definiciones. En el preámbulo, (sección 0.2), ya habíamos adelantado algunas definiciones: número par, número impar, número primo, divisor-múltiplo, MCD(a,b), y primos relativos. Recordemos aquí que implicación y equivalencia son otros términos que ya hemos definido, si bien de un modo informal, pero que ahora presentamos formalmente así: DEFINICIÓN. (P = Q) ( (nop) o Q ). DEFINICIÓN. (P Q) ( (P = Q) y (Q = P) ). Veamos a continuación un teorema que agrupa las principales propiedades algebraicas de las operaciones lógicas que hasta ahora hemos considerado. Teorema (Equivalencias básicas.) 1. ( (P = Q) y (Q = R) ) = (P = R) (Silogismo o transitividad de ) ( (P Q) y (Q R) ) = (P R) (Transitividad de ) 2. (nor o R) (Ley del medio excluído). (Ley que también equivale a (R = R); ver def. de.) 3. no(nor) R (Ley de la doble negación). (negar 2 veces equivale a afirmar).

35 1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN Diferentes maneras de negar enunciados: 5. Leyes conmutativas: (R o S) (S o R) (R y S) (S y R) no(r o S) } {{ } negación indicada no(r y S) } {{ } negación indicada no(r = S) } {{ } negación indicada 6. Leyes asociativas: ( (R o S) o T ) ( R o (S o T) ) ( (R y S) y T ) ( R y (S y T) ) 7. Leyes distributivas: ( R o (S y T) ) ( (R o S) y (R o T) ) ( R y (S o T) ) ( (R y S) o (R y T) ) ( (nor) y (nos) ) } {{ } negación ejecutada ( (nor) o (nos) ) } {{ } negación ejecutada ( R y (nos) ) } {{ } negación ejecutada ( R = (S = T) ) ( (R = S) = (R = T) ) Ejemplos-: Negar los siguientes enunciados es primo y 7 es par. negación: 6 no es primo o 7 no es par no es primo o 7 es par. negación: 7 es primo y 7 no es par. 3. Si 7 es primo entonces es par. negación: 7 es primo y no es par.

36 30 CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS 4. 6 es primo y 7 no es primo o 7 es par. Enunciado ambiguo. No se puede responder por la falta de un paréntesis. Se puede corregir de dos maneras de acuerdo a la ubicación del ( ). Ver los dos ejercicios siguientes: 5. (6 es primo y 7 no es primo) o 7 es par. negación: (6 no es primo o 7 si es primo) y 7 no es par es primo y (7 no es primo o 7 es par). negación: 6 no es primo o (7 si es primo y 7 no es par). 7. Por los puntos A y B pasa una recta y pasan infinitos planos. negación: Por los puntos A y B no pasa una recta o no pasan infinitos planos. 8. (P y Q) = R. negación: 9. P = (Q y R). negación: 10. (P = Q) o (P = noq). negación: (P y Q) y nor. P y (noq o nor). (P y noq) y (P y Q). 11. Si 6 no es primo entonces es un número compuesto. negación: 6 no es primo y no es un número compuesto. 12. Si un polígono es triángulo entonces no tiene diagonales. negación: Un polígono es triángulo y tiene diagonales.

37 1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 31 Teorema Ley del contrarrecíproco En símbolos: Toda implicación y su contrarrecíproca, son equivalentes. (P = Q) (noq = nop) Veamos una prueba esquemática de esta ley. Como se trata de una equivalencia debemos demostrarla en 2 partes, i.e., I. (P = Q) = (noq = nop) II. (noq = nop) = (P = Q) Demostración. Veamos la prueba de I. Se deja para el lector la parte II. Método directo. P = Q (nop) o Q Q o (nop) (no(no)q) o (nop) noq = nop (hipótesis.) (def. de = ). (L. conmutativa.) (L. doble negación.) (def. de = ). El anterior teorema justifica una afirmación que hicimos en la página 23, según la cual las implicaciones, Si el entero a es múltiplo de 6, entonces a es divisible por 3.. } {{ } P = Q Si el entero a no es divisible por 3, entonces a no es múltiplo de 6., } {{ } noq = nop (v) son ambas verdaderas, pués según se demostró en la página 26, la primera lo es. (v)

38 32 CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS El método del contrarrecíproco Es un método de demostración indirecto basado precisamente en la ley del contrarrecíproco que acabamos de enunciar. Consiste en dejar de lado el enunciado que tenemos por demostrar y fijar su contrarrecíproco para ponernos a la tarea de demostrarlo. Veamos, en el siguiente teorema, un ejemplo que nos sirve de modelo para comprender el procedimiento. Nótese que el número 36 es un cuadrado perfecto par y que sus dos raíces cuadradas, ±6, también son números pares. Este es un ejemplo al cual se refiere nuestro próximo teorema. Teorema Todo entero, cuadrado perfecto, que sea par tiene raíces cuadradas que también son números pares. Demostración. Para llevar a cabo la demostración, presentemos la implicación asociada. Sea a un entero. (a 2 par) = (a también es par ). Cambiamos esta implicación por la contrarrecíproca: (a no es par) = (a 2 no es par ). y demostremos ésta por método directo. Supongamos que a no es un entero par, (hipótesis). Queremos demostrar que a 2 tampoco es par. No siendo a par, entonces es impar y en consecuencia, a 2 = a a es producto de impares e invocando el teorema , concluímos que a 2 es impar, luego a 2 no es par. Método de Disyunción de casos Este es un poderoso método auxiliar que debemos utilizar cuando en medio de un razonamiento se presentan dos o más opciones o posibilidades. Decimos entonces que se presentan 2, 3, o más casos. Veamos, en forma esquemática, el teorema para 2 casos en dos versiones, donde una es un caso particular de la otra.

39 1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 33 Teorema Versión general. Premisas. 1. P o Q 2. P = R 3. Q = S Conclusión: (R o S) El método de Reducción al Absurdo Caso particular. Premisas. 1. P o Q 2. P = R 3. Q = R Conclusión: R También llamado el método de la contradicción, está basado en el hecho de que una teoría matemática no puede contener contradicciones (Principio de no contradicción - sec. 1.3, página 16). Describamos el método: Sea T el enunciado que se quiere demostrar. Admitamos, en principio, que T es falso lo cual equivale, (por definición), a decir que (not) es verdadero y, por lo tanto, entra a hacer parte de la teoría. Aquí pueden ocurrir 2 posibilidades: I. Suele suceder que, tras una secuencia de pasos lógicos, T resulte haciendo parte de la teoría como enunciado verdadero; se sigue, por la ley de simultaneidad, que el enunciado (T y not) es verdadero, pero ésta es una contradicción que la teoría no presentaba antes de la injerencia de (not). Concluímos que (not) es el causante del derrumbe de la teoría y de inmediato lo descartamos como falso lo cual quiere decir que el contrario de (not), o sea T, es verdadero. Nuestro enunciado ha sido demostrado.!! II. Otra posibilidad que puede ocurrir consiste en que la presencia de (not) como un teorema, conduce, después de una secuencia de pasos intermedios, a un resultado contradictorio de la forma R y (nor), donde R es un teorema antiguo (o reciente) de nuestra teoría. Igual que en I concluímos que (not) es falso, lo que es equivalente a: T es un enunciado verdadero. Nuestro enunciado ha sido demostrado.!! Veamos un hermoso y antiguo teorema (Euclides - siglo III adc.) que nos ilustra el método de la contradicción.

40 34 CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS Teorema Aceptado que 2 es un número real, 2 es irracional. Puesto en forma de implicación, este teorema nos queda así: 2 R = 2 Q. Demostración. Aceptado que 2 R y razonando por contradicción, supongamos que 2 es racional. Esto significa que 2 = a, donde a,b Z, b 0. b Recordemos que todo racional se puede escribir en forma reducida, (Preámbulo, secc. 0.2); entonces, sin pérdida de generalidad, supongamos que MCD(a,b) = 1. Regresando a, y después de multiplicar por b, Elevemos al cuadrado. Esto quiere decir que, y por tanto, b 2 = a. (L. uniforme.) b 2 (2) = a 2, (1) (L. uniforme). a 2 es par, a también es par, (teorema , página 32). En consecuencia podemos escribir, a = 2k, k Z De donde a 2 = 4k 2 (L. uniforme.) Y reemplazando en (1) obtenemos, b 2 (2) = 4k 2.