Introducción a Mathematica: Operaciones con escalares

Transcripción

1 Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Escuela de Física Introducción a Mathematica: Operaciones con escalares Elaborado por: Roger Raudales 1. Objetivos Que el estudiante se familiarice con el uso del programa Wolfram Mathematica para trabajar con funciones escalares. Fomentar el uso de herramientas computacionales para la resolución de problemas aplicados a la Física y la Ingeniería. 2. Marco teórico y procedimientos 2.1. Fundamentos y operaciones básicas Fundamentos de Wolfram Mathematica Al igual que cualquier lenguaje de programación, Wolfram Mathematica tiene un componente de entrada y uno de salida. En este caso, la entrada del programa serían las operaciones matemáticas ingresadas por el usuario y la salida sería el resultado de realizar dicha operación por parte del programa. Dependiendo del problema matemático que se esté tratando, se pueden asignar condiciones para obtener resultados en términos de variables cuyo valor es desconocido, pero que brindan una solución generalizada que puede ser el resultado de la aplicación de un modelo físico. La interfaz de Mathematica para la recepción de datos, su operación y la devolución de resultados respectivos es relativamente fácil de usar. Así, por ejemplo, si usted quisiera ejecutar la suma 2+2 en Mathematica, tendría que la entrada quedaría expresada como: Para que el programa pueda realizar la operación solicitada, deberá presionar Shift + Enter en el teclado alfanumérico o Enter en el teclado numérico (ver figura 1). El programa devolverá el resultado de la operación solicitada, el cual será la salida: Observe que una vez que el programa ha realizado la operación, este le indica cuál es la entrada y cuál es la salida del programa. Esto queda evidenciado al lado izquierdo de cada componente, donde In[1]:= representa la entrada al programa y Out[1]= representa la salida del programa. Esto además evidencia que el programa 1

2 ejecutó correctamente la operación solicitada. En caso de haber un error en la entrada del programa, aparecería un mensaje de error, además que el potencial error aparecería marcado en naranja o rojo, como se aprecia en la figura: Figura 1: Esquema de un teclado de computadora común. Las teclas en amarillo son las teclas necesarias para introducir una operación en Mathematica Introducción de símbolos de uso común Como se sabe, en la clase de Electricidad y Magnetismo se trabaja con diversos sistemas de coordenadas y diversas variables. Muchas de estas están en alfabeto griego o son símbolos matemáticos específicos. Para que haya consistencia al momento de hacer los cálculos es necesario conocer cómo se introducen dichas variables en Mathematica. A continuación, se detalla la manera de introducir dichos símbolos en el programa: Símbolo Introducción Alternativa Observaciones π Esc pi Esc Pi Número Pi ( ) ɛ Esc e Esc - Permitividad ρ Esc r Esc - Componente radial en coordenadas cilíndricas φ Esc ph Esc - Componente angular en coordenadas cilíndricas y esféricas θ Esc th Esc - Componente angular en coordenadas esféricas Esc inf Esc Infinity Tendencia al infinito Esc elem Esc - Símbolo pertenece a 2

3 Operaciones básicas A continuación se enuncian operaciones básicas que se pueden realizar con números: Operación Entrada Alternativa Suma Resta Multiplicación 4 Espacio 2 4 * 2 División 4 / 2 - Potenciación con números enteros 2 3 Potenciación con números racionales 8 ( 1 / 3 ) Asignación de variables A continuación, se observa un esquema de asignación de variables en Mathematica: Tenemos que la variable a = 2 y que b = 3, por lo cual la suma de a+b sería igual a c = 5. Se puede observar que las variables definidas previamente estaban en letra minúscula. En general, es preferible definir en letras minúsculas variables que almacenen valores numéricos o funciones escalares, mientras que en letras mayúsculas es preferible almacenar funciones vectoriales. Sin embargo, hay ciertas variables en letras mayúsculas que no se pueden usar para almacenar funciones o valores numéricos, debido a que cumplen otras funciones en Mathematica. A continuación se detallan dichas variables: Caracter C D E I N O Descripción Constante de solución a una ecuación o sistemas de ecuaciones Operador de derivación Número e (exponencial) Número i (imaginario) Operaciones numéricas Término de orden n de una serie Funciones especiales Además de las operaciones básicas descritas anteriormente, Mathematica también puede desarrollar cálculos con funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc. A continuación, se describen algunas funciones especiales de uso común: 3

4 Función Introducción en Mathematica Observaciones sen(x) Sin[x] Funciones trigonométricas cos 1 (x) ArcCos[x] Funciones trigonométricas inversas x Sqrt[x] Funciones de grado 1/2 ln (x) Log[x] Logaritmo natural log n (x) Log[x,n] Logaritmo base n e x Exp[x] Función exponencial Obsérvese que la letra inicial de cada función está en mayúscula. En Mathematica, toda función que se le aplique a una entrada debe ser escrita con la letra inicial en mayúscula. Además, en funciones compuestas por dos palabras (como el arcocoseno), la letra inicial de cada palabra está en mayúscula. También es importante observar que el argumento de todas las funciones debe ir encerrado entre corchetes [ ]; de lo contrario el programa no realizaría los cálculos Definición de funciones A continuación se ilustra la manera de definir una función con una variable independiente en Mathematica, por ejemplo f(x)=3 sen(2x π 2 ): 1. El argumento de la función f a definir va entre corchetes. Como x es la variable independiente, esta debe ir acompañada por un guión bajo ( ). 2. Si la función es especial, su letra inicial va en mayúscula y su argumento va entre corchetes. 3. Es importante separar cada término que se esté multiplicando, sea con (*) o con un espacio. 4. Las fracciones deben ser delimitadas por paréntesis, para evitar errores de interpretación por parte del programa. El procedimiento es similar para funciones con dos variables independientes. Consideremos la función y g(x,y)= (x 2 + y 2 ) : 3/2 1. Cada variable independiente va acompañada por un guión bajo y se encuentran separadas entre sí por una coma (,). 2. Observe que, como el denominador tiene varias variables, todo este término está entre paréntesis, junto con su exponente, el cual también está delimitado por paréntesis debido a que es racional. Esto también aplica a funciones con una variable independiente. Al tener funciones definidas, usted puede evaluarlas para así obtener el valor correspondiente de la variable independiente una vez evaluada. A continuación, se observa el proceso de evaluación de una función ya definida: 4

5 2.3. Trabajo con gráficas Gráficas en 2D Para graficar funciones escalares con una variable independiente, se hace uso del comando Plot, de la siguiente manera: 1. Función a graficar. 2. Variable independiente e intervalo de graficación Gráficas en 3D Para graficar funciones escalares con dos variables independientes, se hace uso del comando Plot3D, de manera similar a las gráficas en 2D: Observe que como la gráfica es en tres dimensiones, hay un intervalo de graficación asociado a cada variable independiente Curvas de nivel (Superficies de contorno) En Electricidad y Magnetismo, las gráficas de superficies equipotenciales pueden ser representadas en Mathematica por medio del comando ContourPlot. Esto hace de la siguiente manera: 1. La función a representar debe ser escalar y dependiente dos variables (en general). 2. Se define un intervalo de graficación para cada una de las variables independientes Integración Antiderivadas (integrales indefinidas) Para poder calcular la antiderivada de una función, se hace uso del comando Integrate, de la siguiente manera: 1. Función a la cual se le calcula su antiderivada. 2. Variable de la que depende la función, respecto de la cual se integrará la función. En Mathematica también se pueden desarrollar integrales indefinidas en más de una variable. Por ejemplo, para resolver la integral indefinida y 2 dydx se hace lo x2 siguiente: Se debe respetar el orden de integración de la integral indefinida. Si el primer diferencial es respecto a x y el segundo respecto a y, el orden de integración es inverso en Mathematica. 5

6 Integrales definidas Para poder desarrollar una integral definida, el proceso es similar al de una integral indefinida, con la salvedad de que se definen los límites de integración. Así, para desarrollar una integral de la forma se realiza lo siguiente: x2 x 1 f(x)dx, 1. Función a la cual se le realizará la integración. 2. Variable respecto de la cual se hará la integración, junto con sus respectivos límites. El procedimiento para desarrollar integrales definidas en varias variables es similar también al de la integral indefinida. Por ejemplo, para resolver la integral x2 y 2 dydx se realiza lo 1 x siguiente: 0 x 2.5. Operaciones avanzadas Estableciendo condiciones a un problema matemático Si se quisiera resolver, por ejemplo, la integral + 0 e nx dx, obtendríamos lo siguiente: La salida del programa sería una expresión condicional. Esto implica que podríamos obtener resultados en términos de variables desconocidas al aplicar un conjunto de condiciones al momento de integrar. Así, usando el ejemplo anterior: si se asume que n es un número negativo, se deben establecer las siguientes dos condiciones: n es un número real. n es un número menor que cero. Para dar a conocer dichas condiciones a Mathematica, se hace uso del comando FullSimplify para poder introducir las condiciones impuestas y así simplificar el resultado con base en dichas condiciones. Para el ejemplo anterior, esto se haría de la siguiente forma: 1. El argumento está comprendido en primer lugar por la operación a la cual se le aplicaran las condiciones. En el caso anterior, las condiciones serían aplicadas a la integración de + 0 e nx dx. FullSimplify se puede usar para cualquier operación matemática (derivación, evaluación de funciones, etc.) 2. Después de definir la operación a simplificar en el argumento, se definen las condiciones a imponer. Si se define más de una condición, cada una de estas siempre debe separarse mediante &&. 6

7 Trabajo con datos experimentales Desde FS-100, se trabaja con ajuste de datos experimentales. Entonces, los datos tendían a ajustarse de manera lineal. En Electricidad y Magnetismo se necesita ajustar los datos a otros modelos matemáticos, además del lineal, por lo cual se puede utilizar Mathematica para poder realizar dichos ajustes. 1. Introducción de datos Mathematica lee los conjuntos de datos como arreglos numéricos. Estos se suelen ingresar de la siguiente manera: 1. Es bastante recomendable guardar los conjuntos de datos en una variable, debido a que posteriormente se pueden trabajar de manera más sencilla invocando a la variable que almacena los datos en lugar de escribir todos los datos siempre. 2. Cada par de datos se escriben entre llaves, {}, siguiendo el orden {abcisa,ordenada}. 2. Gráfica de datos Para poder graficar un conjunto de datos (por ejemplo, el conjunto de datos ingresado anteriormente), se hace uso del comando ListPlot de la siguiente manera: Es recomendable almacenar en una variable la gráfica de los datos, ya que posteriormente se puede trabajar con dicha gráfica, y resulta más sencillo y menos redundante invocar la variable que almacena la gráfica. 3. Ajuste de datos Este se hace en función del comportamiento que tengan los datos obtenidos experimentalmente, o bien, en función de un modelo matemático planteado para modelar el comportamiento de los mismos. En el caso anterior, vemos que los puntos tienen un comportamiento cuadrático, por lo cual se podrían ajustar de manera aceptable a una ecuación cuadrática. Para poder obtener una función de ajuste cuadrática, se hace uso del comando FindFit de la siguiente manera: 1. Nombre del conjunto de datos a ajustar. 7

8 2. Forma que tendrá la función de ajuste. 3. Variables de la función de ajuste cuyo valor se desea conocer, en términos de los datos de entrada. 4. Variable independiente de la función de ajuste. La salida del programa al realizar la operación anterior son los valores de las variables de la función de ajuste. Con estos valores, se puede graficar la función de ajuste de los datos experimentales ingresados. Al igual que la gráfica de los datos, esta se puede guardar en una variable a conveniencia. Para comprobar que efectivamente la función de ajuste sigue el comportamiento de los puntos, se pueden comparar las gráficas de los puntos y de la función de ajuste mediante el comando Show de la siguiente manera: La variable g2 es la variable con la que fue guardada la gráfica de la función de ajuste mencionada anteriormente. En el caso anterior, se usó Show para comparar dos gráficas; sin embargo, se puede utilizar para comparar más de dos gráficas. Los procedimientos explicados previamente resumen todos los pasos a seguir para poder realizar regresiones y ajustes de datos en general Resolución de sistemas de ecuaciones Consideremos el siguiente problema: Se tienen dos cargas, como se muestra en la figura. El potencial en el punto A es igual a 5 V, mientras que el potencial en el punto B es igual a 3 V. Determine el valor de las cargas. Asuma que k e = 1. Figura 2: Distribución de cargas para el problema. Solución. Sabemos de FS-200, que el potencial en cada punto es producido debido a la contribución de cada 8

9 una de las cargas. En general, la forma del potencial para cargas puntuales está dada por: Así, el potencial en el punto A estaría dado por:: V = 1 4πɛ 0 q i r i 1 q 1 4πɛ q 2 4πɛ 0 2 = 5 mientras que el potencial en el punto B estaría dado por: 1 q 1 4πɛ q 2 4πɛ 0 1 = 3 Como k e = 1 1 4πɛ 0 = 1. Entonces, las ecuaciones anteriores se reducen a: q q 2 = q 1 + q 2 = 3 Observemos que tenemos dos incógnitas (los valores de las cargas) y dos ecuaciones, por lo cual se puede plantear un sistema de ecuaciones, el cual sería resuelto en Mathematica usando el comando Solve de la siguiente forma: 1. Cada ecuación del sistema de ecuaciones se separa por medio de &&. Si solo se estuviera resolviendo para una variable en una sola ecuación, se puede prescindir de este símbolo. 2. Toda ecuación se plantea con doble signo igual (==). 3. Entre llaves se escriben las variables del sistema para las que se esté resolviendo. La cantidad de variables entre llaves varía según la cantidad de ecuaciones que posea el sistema. Si se estuviera resolviendo una ecuación de una variable, basta con introducir dicha variable sin las llaves. La salida del programa al realizar la operación anterior serían los valores de las cargas, asumiendo que q 1 = x y que q 2 = y Misceláneos Paletas En algunos casos resulta conveniente el uso de paletas para la introducción de datos en el programa. Para poder usar las paletas, se hace clic en Palettes y luego en Basic Math Assistant. Las paleta sirven para ingresar datos en el programa en lenguaje matemático natural, en lugar de usar comandos Texto con formato Como se puede observar en la figura, el texto de entrada de Mathematica es un texto plano. Sin embargo, se 9

10 Figura 3: Esquema de las paletas. puede introducir texto con formato para poder realizar documentos o presentaciones técnicas y científicas. Esto se puede hacer haciendo clic en Format, luego en Style. A partir de ahí se pueden seleccionar diversos tipos de formato de escritura: Guardar archivos de Wolfram Mathematica El formato del archivo de trabajo de Mathematica es conocido como notebook (.nb). Para almacenar un documento en el cual se ha estado trabajando, hay que hacer clic en File y luego en Save. Aparecerá el siguiente cuadro: 10

11 Además de guardar documentos en formato.nb, también se pueden guardar en otros formatos. Al hacer clic en la parte marcada, aparece una lista con otros formatos de almacenamiento de la información, como.pdf Documentación En caso de presentarse un error al momento de hacer un cálculo o si desconoce algún comando para realizar una operación matemática, puede acceder al centro de documentación del programa para resolver el problema que tenga con el programa. Para esto, se hace clic en Help y luego en Documentation Center. 3. Referencias 11