PÁGINA 217 PARA EMPEZAR. Volúmenes de los montones. Cuenta el número de sillares que hay en cada montón. A = 63 B = 57

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1 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 17 PARA EMPEZAR Volúmenes de los montones A B C D Cuenta el número de sillares que hay en cada montón. A = 63 B = 57 C = 38 D = 8

2 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 18 1 Expresa en metros cúbicos. a) dam 3 13 m 3 5 dm 3 b) cm 3 c) (453 cm 3 45 mm 3 ) d) 37 hm 3 1 dam 3 35 m 3 40 dm 3 a) 13,05 m 3 b) 9,3 m 3 c) 6,715 m 3 d) ,40 m 3 Pasa a forma compleja. a) cm 3 b) (4 53 hm 3 ) 000 c) 0, dm 3 d) 34,583 hm 3 a) 35 m 3 97 dm cm 3 b) (4 km 3 53 hm 3 ) 000 = km 3 c) 301,4 mm 3 d) 34 hm dam 3 00 m 3

3 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 19 3 Copia en tu cuaderno y añade la unidad en la que se expresa cada uno de los siguientes volúmenes: a) Capacidad de un vaso: 1/4 l o bien 50 ml b) Una cucharadita: 6 ml c) Consumo bimensual de agua en una casa: 63,834 m 3 d) Agua en un pantano: 680 hm 3 4 Expresa en litros. a) 45 dam 3 15 m dm cm 3 b) mm 3 c) 0, dam 3 d) 753 ml a) ,5 l b) 0,59 l c) 317 l d),753 l 5 Expresa en unidades de volumen (forma compleja). a) ( dal ) 30 b) ( cl ) 0,03 c) (4 753 ml ) 75 a) (4 57 m dm 3 ) 30 = 137 dam m 3 b) (18 m 3 45 dm cm 3 ) 0,03 = 3 m dm 3 570,5 cm 3 c) (4 dm cm 3 ) 75 = 3 m 3 06 dm cm 3

4 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 1 1 Halla el volumen de este enorme depósito: 1 m m 3, m, m V = 9,9 + 1, ,5 =,77 m 3 4,5 m 1,8 m Halla el volumen de estos cuerpos geométricos: a) b) 90 mm 5 cm 16 cm 11 cm 0 cm a) V = = cm 3 = 11 dm 3 = 11 l b) V = π 9 0 = 5 086,8 cm 3 = 5,0868 dm 3 = 5,0868 l

5 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 1 Recordemos la descripción que se hacía de la gran pirámide de Keops en la unidad 9. Es una pirámide cuadrangular regular. El lado de la base mide 30 m, y la altura, 146 m. Calcula cuántos hectómetros cúbicos tiene de volumen. V = m 3,574 hm 3 Calcula el volumen de esta pirámide hexagonal regular. Ten en cuenta que la apotema de la base se puede obtener considerando que en un hexágono regular r = l. ap = = cm A BASE = = 340 cm V = = cm3 = 6,4 dm 3 = 6,4 l l a a = 80 cm l = 30 cm ap

6 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 3 1 Cuánto acero hará falta para fabricar la cama de un faquir compuesta por puntas en forma de cono cuyo diámetro de la base mide cm, y la altura, 7 cm? Volumen de una punta = π 1 7 7,33 cm 3 3 Harán falta 7, = cm 3 de acero 13, l de acero. Halla el volumen de esta flanera, sabiendo que los radios de sus bases miden 10 cm y 15 cm, y su altura, 1 cm. x x 15 = x 10 8 x = 4 V = 1 3 π π 10 4 = cm 3

7 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 4 1 Metemos en una caja ortoédrica de base 5 cm por 0 cm y una altura de 16 cm sesenta bolas de radio,5 cm. Cuántos litros de aceite caben todavía en la caja? V ORT = = cm 3 = 8 l V BOLA = 4 3 πr 3 65,4 cm 3 V BOLAS = 70 65,4 = 4 579,4 cm 3 = 4,5794 l Caben todavía 8,000 4,5794 = 3,406 l de aceite. Sabiendo que la densidad del acero es kg/m 3, calcula el peso de una esfera hueca de 0 cm de radio exterior y 1 cm de grosor. V = 4 3 π π 193 = 4 776,99 cm kg x ,99 La esfera hueca pesará 37,49 kg. 8 x = 37,49 kg 3 Cuántas bolas de 5 mm de diámetro podremos hacer fundiendo un cable cilíndrico de 3 m de largo y 5 mm de diámetro? V BOLA = 4 3 π,53 = 65,4 mm 3 V CABLE = π, mm 3 Se pueden hacer, aproximadamente, = 900 bolas. 65,4 4 Tenemos un cajón cúbico de 40 cm de arista lleno en sus tres cuartas partes de serrín. Queremos ocultar en su interior un balón de 3 cm de diámetro. Qué volumen de serrín sobra? V CAJÓN = 40 3 = cm 3 = 64 l V SERRÍN = 48 l V CAJÓN SIN SERRÍN = 1 64 = 16 l 4 V BALÓN = 4 3 π 163 = ,6 cm 3 = 17,1486 l Sobran 17, = 1,1486 l de serrín.

8 10 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 5 Unidades de volumen 1 Transforma en metros cúbicos las siguientes cantidades: a) 0,05 hm 3 b) 459 hm 3 c) dm 3 d) 0,015 km 3 e) 3 dam 3 f) l a) m 3 b) m 3 c) 45,14 m 3 d) m 3 e) m 3 f) 58 m 3 Transforma en litros. a) hm 3 b) 0, hm 3 c) 6 dam m 3 d) 0,3 hl a) l b) l c) l d) 3 l 3 Copia y completa en tu cuaderno estas igualdades: a) 0,0037 km 3 = m 3 b) 0,36 hm 3 = dm 3 c) 15 hm 3 13 dam 3 43 m 3 = m 3 d) 15 hm 3 13 dam 3 43 m 3 = l a) m 3 b) dm 3 c) m 3 d) l 4 Expresa estas cantidades en forma compleja: a) dm 3 b) 0, km 3 c) 451,1451 dm 3 d) dam 3 a) 45 dam 3 15 m dm 3 b) 451 hm 3 45 dam m 3 c) 451 dm cm 3 10 mm 3 d) 183 hm 3 5 Copia y completa en tu cuaderno estas igualdades: a) 1 hm 3 = hl b) 1 dam 3 = dal c) 1 m 3 = l d) 1 dm 3 = dl e) 1 cm 3 = cl f) 1 mm 3 = ml a) 10 7 hl b) 10 5 dal c) 10 3 l d) 10 dl e) 10 1 cl f ) 10 3 ml 6 Para cada uno de los recipientes que se citan a continuación, se dan tres volúmenes. Solo uno de ellos es razonable. Di, en cada caso, cuál es: a) Volumen de un pantano: 71 hm l cm 3 b) Un depósito de agua en una vivienda: dam 3 0,8 m l c) Un vaso normal: dm 3 0, dm 3 0,0 dm 3 d) Una cuchara de café: 3 dl 3 cm 3 3 mm 3 e) Una habitación: 1 dam l 30 m 3 f) El cajón de una mesa: 0,3 m 3 3 dm cm 3 a) 71 hm 3 b) 0,8 m 3 c) 0, dm 3 d) 3 cm 3 e) 30 m 3 f ) 3 dm 3

9 10 Soluciones a Ejercicios y problemas Cálculo de volúmenes 7 Calcula el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son 9 dm Ò 15 dm Ò 8 dm. V = dm 3 = 1,08 m 3 8 Cuál es el volumen de un cubo de 15 cm de arista? V = cm 3 = 3,375 dm 3 = 3,375 l 9 La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 cm y 15 cm. La altura del prisma es de dm. Halla su volumen. V = = cm 3 = 1,8 dm 3 = 1,8 l 10 Un prisma tiene sus bases en forma de rombo cuyas diagonales miden 40 dm y 8 dm. Su altura es 1, m. Halla su volumen. V = = 6 70 dm 3 = 6,70 m 3 11 Halla el volumen de un cilindro de 10 cm de radio de la base y 0 cm de altura. V = π 10 0 = 6 80 cm 3 = 6,80 dm 3 = 6,8 l 1 Halla el volumen de una esfera de 1 cm de diámetro. V = 4 3 π13 = 904,3 cm 3 Pág. 13 Halla el volumen de un cono de 6 dm de radio de la base y 15 cm de altura. V = 1 3 π6 1,5 = 56,5 dm 3 14 Halla el volumen de estos cuerpos: a) b) 8 cm 11 cm 5 cm 0 dm a) V = = 440 cm 3 b) V = 15 Cuál es el volumen de estos cuerpos? a) b) 6 dm 14 dm = 840 dm 3 5 cm 1 cm 1 cm 3 cm a) V = π 3 1 = 339,1 cm 3 b) V = π = 314 cm 3

10 10 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 6 Aplica lo aprendido Halla los volúmenes de los siguientes cuerpos: 16 a) b) cm 30 cm a) V = 4 6 π (5,5)3 348,3 cm 3 b) 1 9 π = cm 3 17 a) b) 1 cm 1 cm 30 cm 30 cm 30 cm 30 cm 1 cm 1 cm a) V = 4 3 π 13 + π 1 30 = b) V = 1 3 π π 13 = = 0 799,36 cm 3 = 8 138,88 cm 3 18 a) b) 30 cm 18 cm 30 cm 18 cm cm 40 cm a) V = = 4 3 π π ,9 = 5 538,96 cm 3 = b) V = π 03 = 30 70, cm 3

11 10 Soluciones a Ejercicios y problemas 19 Efectúa las operaciones siguientes y expresa el resultado en hectolitros: a) 0,34 dam m m 3 b) 0,00035 km 3 + 0,45 hm dam 3 c) 0,541 dam 3 41 m dm 3 d) m 3 : 5 a) = m hl b) = 865 dam hl c) ,3 = 119,7 m hl d) 180 m hl Pág. 0 Halla el volumen del siguiente tronco de cono: 6 cm 1 cm 16 cm 16 1 x x 1 = x = 4,5 V TRONCO = 1 3 π π 4,5 1 = 348,54 cm 3 1 Comprueba que el volumen del cilindro es igual a la suma de los volúmenes de la esfera y el cono: 6 0 cm 0 cm 0 cm 0 cm 0 cm V ESFERA = 4 186, 6 ) cm 3 V CONO = 093, 3 ) cm 3 V ESFERA + CONO = 6 80 cm 3 V CILINDRO = 6 80 cm 3 Halla los volúmenes de los siguientes cuerpos. a) 10 cm 6 cm x 10 + x 8 = x 6 8 x = 30 8 cm 6 10 V = 1 3 π π 30 6 = 1 549,1 b) cm 8 V = = 0 cm 3 1 cm 13 cm

12 10 Soluciones a Ejercicios y problemas 3 Pág. 3 3 dm BASES 14 cm 13 cm A BASE = 10 (14 + 1) V = 191,7 30 = cm 3 191,7 cm 1 cm 4 a) 6 dm 1 dm 1 m x 1 6 x = x 6 8 x = V = π π π 6 18 = dm 3 b) V CILINDRO = π 5 15 = 1 177,5 cm 10 cm 15 cm 5 x x = x 5 8 x = 8 8 cm 10 8 V TRONCO = 1 3 π ( ) = 1 465,3 cm 3 15 cm V CONO = 1 3 π = cm 3 0 cm V TOTAL = 4 1,8 cm m V PIRÁMIDE = = 1 m 3 3 m 5 m V PARALELEPÍPEDO = = 45 m 3 4 m 7 m 7 3 x 4 x 3 = x x = 3 V TRONCO = = 105,33 m 3 V TOTAL = 16,3 m 3

13 10 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 7 Resuelve problemas 6 Un pantano tiene una capacidad de 0,19 km 3. Si ahora está al 8% de su capacidad, cuántos litros de agua contiene? 8% de 0,19 = 0,053 0,053 km 3 = l 7 La cuenca fluvial cuyas aguas llegan a un pantano es de 6 km. En las últimas lluvias han caído 7 l por metro cuadrado. Del agua caída, se recoge en el pantano un 43%. Cuántos metros cúbicos se han recogido en el pantano como consecuencia de las lluvias? m 8 1, l = 1, dm 3 1, m 3 en total, calculamos el 43%: Ha recogido 1, ,43 = m 3 8 Cuál es el peso de 0,0843 dam 3 de agua? dm kg 9 Un depósito vacío pesa 7 kg, y lleno de aceite, 65,5 kg. Qué volumen de aceite contiene? La densidad de ese aceite es 0,95 kg/dm 3. 65,5 7 = 630 dm 3 = 630 l 0,95 30 Halla el volumen de una habitación de,8 m de altura, cuya planta tiene la siguiente forma y dimensiones: 10 m m m 4 m V PARALELOGRAMO GRANDE = 4 10,8 = 11 m 3 V SEMICÍRCULO = 1 π 3,8 = 39,6 m 3 V PARALELOGRAMO PEQUEÑO = 6,8 = 33,6 m 3 V TOTAL = 0,8 m 3 V 1/4 CIRCUNF. = 1 π,8 = 17,6 m 3 31 Calcula el volumen de hormigón que se ha necesitado para hacer este túnel: 8 m V = π 5 0 π 4 0 = 8,6 m 3 10 m 0 m

14 10 Soluciones a Ejercicios y problemas 3 Para medir el volumen de una piedra pequeña, procedemos del siguiente modo: en un vaso cilíndrico echamos agua hasta la mitad, aproximadamente. Sumergimos la piedra y sube el nivel mm. Cuál es el volumen de la piedra? DATOS DEL VASO: Diámetro exterior: 9 cm Diámetro interior: 8,4 cm Altura: 15 cm (Usa solo los datos que necesites). Pág. V = ( 8,4 ) π, = 11,86 cm 3 es el volumen de la piedra. 33 Un sótano cuya superficie es de 08 m se ha inundado. El agua llega a 1,65 m de altura. Se extrae el agua con una bomba que saca 6 hl por minuto. Cuánto tiempo tardará en vaciarlo? 08 1,65 = 343, m 3 hay en el sótano. 343 hl 6 4 hl /min = 57 min = 9,5) 3 horas = 9 h 3 min Se tardará en vaciarlo 9 horas y 3 minutos. 34 Queremos construir una pared de 7,5 m por 5,6 m y un grosor de 30 cm. Cuántos ladrillos de 15 cm Ò 10 cm Ò 6 cm se necesitarán si el cemento ocupa un 15% del volumen? V PARED = 1,6 m 3 8 el 15% es 1,89 m 3 Tenemos que rellenar de ladrillo 10,71 m 3 V LADRILLO = 900 cm 3 = 0,9 dm 3 = 0,0009 cm 3 Necesitaremos 10,71 0,0009 = ladrillos. 35 Una columna de basalto tiene forma de prisma hexagonal regular. El lado de la base mide 15 cm. La altura de la columna es de,95 m. Halla su peso sabiendo que 1 m 3 de basalto pesa 845 kg. x 13 V COLUMNA = = 17,575 cm 3 x 15 1 m kg 0,17575 m 3 8 x kg x = 491 kg 7,5 La columna pesará 491 kg.

15 10 Soluciones a Ejercicios y problemas Problemas + Pág Veamos otro método, distinto del visto en el ejercicio 3, para medir el volumen de una piedra. Depositamos el mismo recipiente lleno de agua dentro de una gran vasija cilíndrica vacía. Echamos una piedra dentro del recipiente y el agua que se desborda alcanza, dentro de la vasija, una altura de,3 cm. Halla el volumen de esta piedra sabiendo que el diámetro interior de la vasija es de 4 cm. El volumen de esta piedra es el de agua derramada y recogida en la vasija exterior. Este es la diferencia de dos cilindros. Cilindro exterior: r 1 = 1 cm; altura =,3 cm Cilindro interior: r = 9 cm; altura =,3 cm V = π 1,3 π 9,3 = π,3 (1 9 ) 455 cm 3 37 Qué proporción de la caja ocupa cada uno de los siguientes tetraedros? El primero es 1/6 del ortoedro (1/ por ser la base la mitad y 1/3 por ser la pirámide). En el segundo, cada cara del tetraedro se obtiene cortando el cubo de modo que se suprime 1/6 del mismo. Los cuatro trozos suprimidos no tienen nada en común. Por tanto, lo que queda es = 6 = 1 3. Es la tercera parte del total.

16 10 Soluciones a Y para terminar PÁGINA 8 Observa, reflexiona y explica Rompecabezas Acomoda estas cuatro piezas para formar una figura lo más compacta posible. De qué figura se trata? Se trata de un parelelepípedo. Cuáles son sus dimensiones? Sus dimensiones son 8 Ò 4 Ò 3. PÁGINA 9 Analiza Media copa Cuando uno cree tomar media copa de cava porque la altura a la que llega el líquido es la mitad, se equivoca mucho. Comprueba que, en ese caso, en realidad se toma 1/8 de la copa. Para tomar media copa, hay que llenarla hasta el 80% de su altura. Si V COPA = 1 8 V MEDIA COPA = 1 8 Puesto que V COPA = 1 3 πr h y V MEDIA COPA = 1 3 π ( r ) h y V COPA V MEDIA COPA = 1 8 Utiliza tu ingenio Tres agricultores, Ambrosio, Eustaquio y Lino, quieren regar sus campos con el agua del depósito grande (los otros dos están vacíos). Han acordado que Ambrosio utilizará el 50%; Eustaquio, el 5%, y Lino, el resto l Por supuesto, tienen bombas para trasegar agua, pero l no disponen de medidas. Solo saben la capacidad de los l tres depósitos. En el momento en que se sepa la cantidad que corresponde a alguno de ellos, esta puede verterse al campo correspondiente. Cómo lo harán? Se vierten l en el segundo depósito y al intentar llenar el tercero, lo que sobre serán los l de Eustaquio. Se vuelve a repetir el proceso y lo que sobre serán los l de Lino. El resto serán los l de Ambrosio.

17 10 Soluciones a la Autoevaluación PÁGINA 9 Conoces las unidades de volumen y sabes utilizarlas en problemas? 1 Cuántas botellas con una capacidad de 3/4 l se pueden llenar con 0,45 dam 3 de agua? 0,45 dam 3 = dm 3 3 l = 0,75 dm3 4 Se pueden llenar = botellas. 0,75 Sabes hallar el volumen de cuerpos geométricos, obteniendo previamente alguno de sus elementos, si fuera necesario? Halla el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: 5 cm a) b) c) 5 cm d) 1 m 1 cm 1 cm 10 cm 1 m 15 m 10 m a) V = = 400 m 3 b) V = 779,4 cm 3 c) V = 1 3 π π 5 1 = 198 cm 3 d) V = 1 π π 13 = ,69 m 3 Aplicas el cálculo de volúmenes a la resolución de problemas? 3 La cubeta de una piscina tiene esta forma: a) Cuál es su capacidad? 30 m b) Se empieza a llenar con un grifo que vierte litros por minuto. Al cabo de 8 horas, se cierra. A qué distancia del borde quedará el agua? a) V = = m 3 = l 8 Su capacidad es de l b) = l ha vertido 8 quedan por llenar l V PARTE BAJA = 30 1 = 360 m 3 = dm 3 = l Tengo que llenar lo que queda, 1 30 m 3, con los l que hay: 30 1 x = x = 1 Queda a 1 m del borde. m 1 m 4 m

18 10 Soluciones a la Autoevaluación 4 El interior de este vaso mide 9 cm de diámetro y 10 cm de altura. Está medio lleno de agua. Se echan dentro 50 canicas de cm de diámetro. Se derramará el agua? Si no, a qué altura llegará? 10 cm 9 cm Pág. Volumen de las canicas: π cm 3 Volumen del vaso sin agua: π 4, cm 3 El agua no se sale pues todavía quedan 109 cm 3 por llenar. Calculamos ahora qué altura alcanzará el agua: 09 = π 4,5 a 8 a = 09 3,9 cm π 4,5 Una vez echadas las canicas, el agua subirá hasta 8,9 cm.