TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Transcripción

1 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL GUSTAVO ROCHA 1 MAYO/2013

2 2

3 3

4 Teorema del límite central y EL TEOREMA EN LIBROS Canavos. Probabilidad y Estadística, Aplicaciones y Métodos Devore. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias Feller. Introducción a la Teoría de Probabilidades y sus Aplicaciones Freeman. Introducción a la Inferencia Estadística Kreyszig. Estadística Matemática, Principios y Métodos Mendenhall y Sincich. Probabilidad 6 y Estadística para Ingeniería y Ciencias Meyer. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas Miller y Freund. Probabilidad y Estadística para Ingenieros Teorema central del límite 1 De Groot. Probabilidad y Estadística 2 Downie y Heath. Métodos Estadísticos Aplicados Hines y Montgomery. Probabilidad y 3 Estadística para Ingeniería y Administración 4 Koosis. Elementos de Inferencia Estadística Mood y Graybill. Introducción a la 5 Teoría de la Estadística 6 Lipschutz. Probabilidad 7 Parzen. Teoría Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones 8 Ross. Introducción a la Estadística 9 Spiegel. Estadística Wackerly, Mendenhall y Scheaffer. Estadística Matemática Walpole y Myers. Probabilidad y Central limit theorem Estadística 37 Los 19 mencionados + otros 18 4

5 DEL LÍMITE CENTRAL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Pólya acuñó teorema central del límite. Vemos que que, en la práctica práctica, se utilizan ambos Teorema del límite central Teorema central del límite Aunque sea incorrecto, así es. Para honrar a Pólya, cambio el título 5

6 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE GUSTAVO ROCHA 6 MAYO/2013

7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE No es un teorema único. Es un conjunto de teoremas con variaciones sobre un mismo tema: Bajo ciertas condiciones, la distribución de probabilidad de la suma de un número grande de variables aleatorias se aproxima a una distribución normal. Lo que veremos aquí son las situaciones que dieron origen al descubrimiento de este concepto matemático y las dificultades en su desarrollo. Su génesis llevó más de 300 años, a través de los cuales se fueron descubriendo las razones por las que las distribuciones normales son tan comunes. 7

8 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE 8

9 APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE Á Í MATEMÁTICAS EN INGENIERÍA 1 Etapa intuitiva 1.Etapa 2.Etapa rigurosa 3 Et 3.Etapa post-rigurosa t i 9

10 DOS AFLUENTES DEL TEOREMA Teoría de los errores Mecanismos de tipo aditivo Distribución ib ió de probabilidad de los errores Distribución de probabilidad de la suma 10

11 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LOS ERRORES Cómo tratar t los errores? Cómo se distribuyen los errores? Cómo aproximarse a la magnitud verdadera? Convienen tener varias mediciones? Toda medición es buena? Cómo obtener un solo valor representativo? 11

12 TYCHO BRAHE ( ) Cada medida tiene un posible error Se puede incrementar la precisión si se hacen varias mediciones. 12

13 GALILEO GALILEI ( ) Errores de medición, inevitables Errores sistemáticos Errores aleatorios: Fluctuaciones al azar La incertidumbre es intrínseca a la magnitud medida Se pueden minimizar Sé puede determinar el valor más probable 13

14 GALILEO GALILEI Propiedades de los errores aleatorios: Existe un único valor verdadero de la magnitud medida. Son más frecuentes los errores pequeños que los grandes. Los errores por defecto son tan frecuentes como los errores por exceso. La mayoría de las mediciones se agrupan alrededor del verdadero valor. 0 Un pequeño ajuste en una observación angular podría significar una gran variación en una distancia calculada. 14

15 GALILEO CON LA MEDIANA 15

16 GALILEO CON LA MEDIANA 16

17 ROGER COTES ( ) Procedimientos de integración numérica, conocidos como fórmulas de Newton-Cotes. Intuyó el método de los mínimos cuadrados, a partir de la ley de la palanca de Arquímedes. 17

18 COTES CON LA MEDIA 18

19 COTES CON LA MEDIA 19

20 THOMAS SIMPSON ( ) 20

21 PROPUESTAS DE SIMPSON PARA LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LOS ERRORES 21

22 PIERRE SIMON LAPLACE ( ) Mécanique Céleste Matemáticas Ecuación de Laplace Transformada de Laplace Laplaciano Probabilidad Modelos probabilísticos Métodos estadísticos y aplicaciones Teoría í de errores 22

23 PRIMERA PROPUESTA DE LAPLACE PARA LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LOS ERRORES 23

24 PRIMERA PROPUESTA DE LAPLACE PARA LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LOS ERRORES 24

25 SEGUNDA PROPUESTA DE LAPLACE PARA LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LOS ERRORES 25

26 SEGUNDA PROPUESTA DE LAPLACE PARA LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LOS ERRORES 26

27 PROPUESTA DE DANIEL BERNOULLI PARA LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LOS ERRORES 27

28 PROPUESTAS DE LAGRANGE PARA LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LOS ERRORES 28

29 EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Es una técnica estadística? Obtener la ecuación de la curva que mejor ajusta a los datos en un diagrama de dispersión 29

30 EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS DE LEGENDRE Empezó siendo una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales donde el número de ecuaciones superaba al número de incógnitas. Era una técnica geodésica, creada para apoyar a los astrónomos: Establecer una órbita celeste Determinar la forma de la Tierra Medir el arco del meridiano terrestre 30

31 LA FORMA DE LA TIERRA 31

32 EL MERIDIANO TERRESTRE 32

33 EL MERIDIANO TERRESTRE Segmento de arco * 1 módulo = pies S Longitud Diferencia de arco de latitudes Latitud del punto medio (módulos*) (grados) (grados) De Dunquerque a Paris De Paris a Evaux De Evaux a Carsassone De Carsassone a Barcelona

34 EL MERIDIANO TERRESTRE 34

35 CARL FRIEDRICH GAUSS ( ) También descubrió el método de los mínimos cuadrados, con un enfoque diferente, netamente probabilista. bili Predijo dónde y cuándo volvería a aparecer el asteroide Ceres. Determinó la curva de distribución de errores, conocida como campana de Gauss. 35

36 LEY DE ERRORES DE GAUSS 36

37 LEY DE ERRORES DE GAUSS 37

38 38

39 Todo el mundo admite la ley exponencial de errores: los experimentadores porque piensan que ha sido probada por los matemáticos, y éstos porque creen que ha sido establecida por observación GABRIEL LIPPMANN 39

40 ERROR CUADRÁTICO MEDIO 40

41 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LAS SUMAS Cómo se comporta una variable aleatoria? Cómo se distribuye una variable generada a partir de un mecanismo de tipo aditivo? Cómo obtener un solo valor representativo? Qué tan dispersos están los valores de la variable? 41

42 BERNOULLI - BINOMIAL 42

43 ABRAHAM DE MOIVRE ( ) 43

44 APROXIMACIÓN DE UNA BINOMIAL MEDIANTE UNA NORMAL 44

45 APROXIMACIÓN DE UNA BINOMIAL MEDIANTE UNA NORMAL 45

46 TEOREMA DE MOIVRE - LAPLACE 46

47 TEOREMA DE MOIVRE - LAPLACE 47

48 BINOMIAL 48

49 GEOMÉTRICA BINOMIAL NEGATIVA 49

50 POISSON - POISSON 50

51 EXPONENCIAL - GAMMA 51

52 CHI CUADRADA 52

53 SÍNTESIS GAUSS - LAPLACE Laplace l se dio cuenta de la conexión entre: Su teorema central del límite y La curva de errores de Gauss Y formuló la hipótesis de los errores elementales: Si los errores en la ley de Gauss son agregados de un número elevado de pequeños errores, el teorema central del límite implicaría que estarían aproximadamente distribuidos como la curva gaussiana. 53

54 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 54

55 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL 55

56 SUMA DE VARIABLES INDEPENDIENTES IDÉNTICAMENTE DISTRIBUIDAS 56

57 SUMA DE VARIABLES INDEPENDIENTES NO IDÉNTICAMENTE DISTRIBUIDAS 57

58 CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS 58

59 MECANISMO DE TIPO ADITIVO Si una variable aleatoria es generada mediante un mecanismo de tipo aditivo, su distribución de probabilidad es normal. 59

60 UN EFLUENTE DEL TEOREMA Población Muestra Distribución muestral de la media 60

61 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL 61

62 SUPERFICIE ACAMPANADA 62

63 DISTRIBUCIÓN NORMAL El término distribución normal se empezó a utilizar con la idea de enfatizar lo común que resultaba tal distribución en muy diversas ramas del conocimiento. Wilhelm Lexis ( ) Francis Galton ( ) Charles S. Peirce ( ) 63

64 DISTRIBUCIÓN NORMAL Pero en la literatura francesa, se sigue llamando: Ley de Gauss Laplace 64