Tiras Numéricas: el secreto de los números naturales. José Acevedo Jiménez. 01/11/2016.

Transcripción

1 Tiras Numéricas: el secreto de los números naturales. José Acevedo Jiménez. 01/11/2016. Primos Cercanos. Si de números primos se trata Quiero proponer un problema, de sencillo argumento el dilema Y, aquí pongo claro que no ofrezco plata. Digamos que P es un número primo, entonces, existen 7 primos cercanos: (P, P + 2, P + 6, P + 8, P + 12, P + 18, P + 20); cabe decir que no son hermanos, pero de los 7 hay infinitos, eso es certísimo Lo dejo a modo de conjetura, espero que eso no cause amargura Eso sí, es mi deseo no causar tormento. Y, aunque un teorema sería una mejora, es posible que haya una demora Para ser teorema, llegará el momento. Números naturales ( ). Los números que usamos para contar, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,, se llaman números naturales. El conjunto de los números naturales se representa mediante el símbolo El conjunto de los números naturales está conformado por: el uno (1), los números primos (P) y los números compuestos (C). Los naturales compuestos y los naturales primos son infinitos. Número primo. Es aquel número natural mayor que 1 que solamente tiene dos divisores: el propio número y el 1. Los primeros números primos menores de 1,000 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743,

2 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997. Número compuesto. Todo número natural mayor que 1 que no es primo. Primos gemelos. Dos números primos son gemelos si la diferencia entre ellos es igual a 2. Ejemplo: 3 y 5 son números primos gemelos, puesto que: Conjetura de los primos gemelos. Dicha conjetura afirma que existen infinitas parejas de números primos gemelos. Es decir: existen infinitos números primos tales que su diferencia es igual a 2. Longitud de tira de números. La longitud de una tira de números es la cantidad de números que posee dicha tira. Ejemplo: 2, 3, 4, 5, 6, 7; es una tira de longitud 6. El gran secreto. Para números primos mayores de 3, es imposible encontrar tres o más números primos consecutivos. Esto es fácil de demostrar, si tenemos tres números naturales consecutivos uno de ellos siempre podrá ser dividido entre 3. Ejemplo: 100, 101, 102 (102 es múltiplo de 3), la propiedad no se ve afectada si tomamos solo los números naturales impares consecutivos. Ejemplo: 43, 45, 47 (45 es múltiplo de 3). Dado a lo expuesto podemos asegurar que los únicos primos impares consecutivos son: 3, 5 y 7; una ley muy sencilla nos confirma la veracidad de dicha afirmación y es aquí donde los números naturales comienzan a revelarnos sus secretos, solo tenemos que ir un poco más allá. Imaginemos que nos dan una tira de números impares de longitud 6, ejemplo: 9, 11, 13, 15, 17, 19. Si tomamos la tira dada y sacamos tantas subtiras de longitud 3 ( ) como se pueda, tendremos dos subtiras de longitud 3. Estas son: 9, 11, 13 15, 17, 19

3 Por la propiedad que recién hemos descrito, podemos afirmar que cada una de estas subtiras contiene un número que es divisible por 3. Sin importar la longitud de la tira, esto siempre se cumplirá. Vamos otro ejemplo: 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31. Para este ejemplo, tenemos una tira de longitud 8. Al sacar las subtiras tenemos: dos tiras de longitud 3 y una tira de longitud 2. Estas son: 17, 19, 21 23, 25, 27 29, 31 Obsérvese que la dos primeras tiras contienen números que son divisibles por 3, pero la tercera tira, que solo contiene dos números no. Pero, si imaginariamente agregamos el número que continua la secuencia (33) veremos que el múltiplo perdido aparece. Hasta ahora, no hemos expuesto nada nuevo, entonces: dónde está el gran secreto? Paciencia, los números naturales pronto nos irán revelando sus secretos. En este punto, cabe preguntarse: Qué pasará si dada una tira la subdividimos en tiras de longitud 5? No se diga más, usemos la tira anterior (17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31) para ver qué sucede. Al subdividirla obtenemos una tira de longitud 5 y otra de longitud 3. 17, 19, 21, 23, 25 27, 29, 31 Obsérvese que en la primera subtira aparece un múltiplo de 5. Si a la segunda subtira le agregamos los dos números que faltan para convertirla en una de longitud 5, podemos ver que el múltiplo faltante, en efecto, aparecerá. A partir de este punto, invitamos al lector para que siga subdividiendo las tiras en grupos de 7, 11, 13, 17, etc. Con usar primos es suficiente, pues si se cumple para estos también se cumplirá para los compuestos. Si ustedes, estimados lectores, han comprobado que la regla sigue cumpliéndose, es tiempo de seguir avanzando. Hemos descubierto una regla sencilla, pero elegante que gobierna a los números naturales. Finalmente, estamos listos para conocer sus secretos. Tiras numéricas. Es interesante saber que existen tiras de números compuestos consecutivos que pueden tener cualquier longitud finita. Esto nos sugiere que pese a existir infinitos números primos hay tiras de longitudes inimaginablemente grandes donde no aparecen números primos. Pero la cosa no termina ahí, de ninguna

4 manera, el mundo de las tiras tiene otras cosas que ofrecer y hay todo un mundo que espera ser descubierto. Pues bien, sabemos que existen tiras de números compuestos consecutivos de cualquier longitud finita, ahora bien, existen otras combinaciones o posibilidades que no resultan menos atractivas. Es imposible que existan más de dos números primos impares consecutivos, la tercia (3, 5, 7) será considerada un caso especial por ser la única terna de números primos impares consecutivos; esto significa que no podemos tener tiras de números primos consecutivos de cualquier longitud, pero no hay que desanimarse pues podemos tener otras opciones no menos atractivas. Por ejemplo: en una tira de números impares consecutivos de longitud 5 ( ) la cantidad máxima de números primos que podemos encontrar es 4. Un ejemplo con números sería: 11, 13, 15, 17, 19. A continuación se deja una pequeña lista de la cantidad máxima de números primos que puede contener una tira de números impares consecutivos de una longitud dada., Al hablar de tiras, es importante saber que el primer número que forma la tira siempre será mayor que la longitud de dicha tira ( ). Es decir: Respetada esta norma, podemos decir que la cantidad máxima de números primos que pueden aparecer en una tira de longitud 3 es de 2. Otra cosa interesante que podemos ver en estas cadenas es la cantidad máxima de parejas de números primos gemelos que pueden aparecer en tiras de números impares consecutivos. Ejemplos:, Laguna de números primos. Sabemos que existen infinitos números primos. En su obra Elementos, Euclides nos proporcionó la primera demostración de la infinitud de los números primos. Al no existir un último número primo, resulta desconcertante que haya tiras de cualquier longitud finita conformadas únicamente por números compuestos, a dicha singularidad se le conoce como: laguna de números primos. Pero, como vamos a ver en este humilde escrito, quizá no son tan singulares dichas lagunas, todo lo contrario, cualquier cadena carente de números primos, resulta ser una de las tantas combinaciones que podemos hacer con las tiras de números naturales. Existen tiras o cadenas de números compuestos consecutivos que pueden tener cualquier longitud finita. Esto es así, puesto que:

5 (es múltiplo de 2). (es múltiplo de 3). (es múltiplo de 4). (es múltiplo de ). (es múltiplo de. Todo una maravilla, verdad! Pero, como dijimos: cualquier cadena carente de números primos, resulta ser una de las tantas combinaciones que podemos hacer con las tiras de números naturales. Y, es aquí donde inexorablemente nos preguntamos: Cuáles son tales combinaciones? Combinaciones en tiras numéricas. Ya vimos que todo número natural puede ser: uno, primo o compuesto. Al ser el 1 el único miembro de su conjunto, si lo excluimos podemos afirmar entonces que todo número natural mayor de 1 puede ser: primo o compuesto. Como los números pares no alteran las leyes o propiedades que hemos tocado, también serán excluidos. Así, cuando hablemos de números consecutivos nos referiremos única y exclusivamente a los números naturales impares. Atendiendo a esto, sin importarnos cuales otras propiedades puedan tener los números impares que componen una tira dada, nos enfocaremos en el hecho de que, cada número impar individual, o bien será primo (1) o en caso contrario compuesto (0). De momento, esta propiedad binaria de las tiras, es todo lo que necesitamos conocer. Dicho esto, podemos dar el primer paso para buscar las combinaciones que podemos tener en una tira de longitud Así que: El número de combinaciones que podemos tener una tira de longitud 1 es 2 (1, 0). El número de combinaciones que podemos tener en una tira de longitud 2 es 4 (11, 10, 01, 00). El número de combinaciones que podemos tener en una tira de longitud 3 es 7 (110, 101, 100, 011, 010, 001, 000). El número de combinaciones que podemos tener en una tira de longitud 4 es 13 (1011, 1010, 1001, 1000, 1101, 1100, 0110, 0101, 0100, 0011, 0010, 0001, 000). En general: Donde es el número de combinaciones.

6 Recordando, usamos 1 para representar a los números que son primos y 0 para los compuestos. Combinaciones posibles. Dado que, para una tira cuyos números son desconocidos, es imposible encontrar una tira con tres o más números primos consecutivos. Por ejemplo, tiras como: 111, 11101, , , , simplemente son absurdas. Pero, cuando se trata de combinaciones de tiras, esta no es la única regla a seguir. Así lo mostramos en el siguiente ejemplo: No es una combinación posible, pese a no tener tres o más números primos (1s) consecutivos. La razón es que al dividir la tira en subtiras de tres números, un elemento compuesto (0) debe caer en la misma posición en todas las subtiras de longitud 3, Ejemplo: , al dividirla en subtiras de longitud 3 ( ) observamos que: las dos subtiras de longitud 3 contienen un cero (compuesto) que cae en la misma posición, la subtira restante no se ve afectada puesto que es de longitud 1 y el 0 (compuesto) en cuestión ocupa la posición 3. Pero, lo dicho no es suficiente. Para que una combinación sea posible dicha regla debe mantenerse para todas las subtiras, desde las de longitud 3 hasta las subtiras de longitudes mayores que se pueden derivar de una tira de longitud dada, eso sí, basta tomar las subtiras cuya longitud es un número primo para saber si la combinación es o no es posible. Veamos unos ejemplos donde podamos apreciar lo expuesto , es una combinación posible dado que las subtiras de longitudes 3, 5 y 7, tienen un 0 (compuesto) que cae en la misma posición. En la posición 2 para las subtiras de longitud 3, en la posición 5 para las subtiras de longitud 5. Para el caso de la subtira de longitud 7, bien podríamos tomar la posición 2, está asegurada, o la posición , no es una combinación posible ya que no pasa la prueba para subtiras de longitud 5. Sucesión binaria de tiras. Iniciamos con el 1 (base 2), a partir de este sumamos 1 para obtener el segundo término, 10 (base2). Y, así, todo el tiempo, vamos sumando 1 al anterior para obtener el posterior, pero esa no es la única condición, obsérvese que en la sucesión no aparece el número 111 (base 2), pero a este se le suma 1 para generar el séptimo término que es el número 1000 (base 2). Lo que determina que un número (base 2)

7 aparezca en la sucesión es si la tira es posible. Si el número (base 2) es una tira posible se toma, en caso contrario se descarta, pero no sin antes sumar 1 a este descartado para generar el siguiente que, según resulte, podrá ser tomado o descartado. A continuación, dejamos la sucesión binaria de tiras con los primeros 37 términos: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100, 10110, 11000, 11001, 11010, 11011, , , , , , , , , , , , , , , ,... Por qué son importantes las tiras numéricas? Porque además de dar respuestas a conjeturas como la de los primos gemelos o la de Polignac, que por cierto son afirmativas, las tiras numéricas nos permiten conocer cómo se agrupan los números naturales. Problemas como el expuesto en el poema, con el que hemos iniciado estas líneas, encuentran respuestas en el fascinante mundo de las tiras numéricas. Secreto revelado!