Juegos Matemáticos. Juan José Manfredi. Matemáticas: un camino hacia el futuro

Transcripción

1 Juegos Matemáticos Juan José Manfredi Matemáticas: un camino hacia el futuro

2 Nota Personal Muchas gracias por la generosa invitación a Roberto Rodríguez del Río, José Manuel Pingarrón y Antonio Nevot. Licenciado en Ciencias Matemáticas, UCM, Julio Áreas de interés: EDPs, Juegos estocásticos, Análisis Matemático.

3 A que juegos matemáticos nos referimos? Son aquellos juegos cuya resolución (o simulación) ayudan a resolver un problema matemático. En la teoría clásica de juegos las herramientas matemáticas nos ayudan a entenderlos. Jugar es divertise. Disfrutemos de las matemáticas.

4 Ejemplo: Hex, 11 x 11 Piet Hein (1942), John Nash (1947)

5 Hex, 7 x 7 No hay empate en hex. Siempre hay un ganador.

6 Matemáticas en Hex Teorema del punto fijo de Browder: Toda función continua del cuadrado unidad en si mismo tiene un punto fijo. Gale, David. The Game of Hex and the Brouwer Fixed Point Theorem. Amer. Math Monthly. 86 (1979), Tom Hales, Easy Pieces in Geometry, por aparecer (gratis en la página web de Tom s)

7 Mas aplicaciones Matemáticas de la Teoría de Juegos Teoría de Espacios Métricos (The Rendezvous Value of Metric Space, Gross 1964), Probabilidad (Parthasarathy, 1966), Lógica (Umbrales de funciones de conmutación, Akers 1961), Análisis Funcional (Operadores Positivos. Raghavan 1965) Metateorema: La Teoría de Control es formalmente equivalente a la teoría de juegos. Ecuaciones en Derivadas Parciales en el espacio Euclídeo y en espacios métricos generales.

8 Juegos de Tira y Afloja Carlos y Zoe juegan a al siguiente juego de mesa: Se coloca un ficha en una posición inicial x en un tablero. De esta posición podemos mover a un conjunto finito de posiciones S(x). Tira y Afloja puro Se tira una moneda al aire C Si sale cara, Carlos mueve de x a donde quiera en S(x). Z Si sale cruz, Zoe mueve de x a donde quiera en S(x) Tenemos una función de pago o recompensa F definida en la frontera del tablero. El juego termina cuando uno de los dos jugadores pone la ficha en un punto de la frontera y y Carlos paga a Zoe $F(y).

9 Juegos de Tira y Afloja, II Imaginemos que jugamos este juego muchas veces. Cuanto dinero puede ganar (o perder) Zoe en media? La respuesta depende naturalmente de como Carlos y Zoe jueguen. Cuando le toque mover a Carlos, intentará moverse hacia puntos en la frontera donde F sea tan pequeña (negativa) como sea posible, mientras que Zoe intentará moverse hacia puntos donde F sea grade (positiva). Valor del juego para Zoe Sea u Z (x) la cantidad que Zoe puede esperar ganar cuando el juego empieza en x. Valor del juego para Carlos Sea u C (x) la cantidad que Carlos puede esperar perder cuando el juego empieza en x.

10 Juegos de Tira y Afloja, III Carlos y Zoe tiene una infinidad de formas de jugar. Siguen determinadas estrategias S C y S Z. Cada par de estrategias (S C, S Z ) determina una probabilidad en el conjunto de todos los juegos posibles que empiezan en x. Formalmente se tiene: Valor del juego para Zoe u Z (x) =sup S Z inf E x (S S C,S Z ) [F(y)] C Valor del juego para Carlos u C (x) =inf S C sup S Z E x (SC,SZ ) [F(y)]

11 Juegos de Tira y Afloja, IV: La clave del asunto Principio de Programación Dinámica Tanto u C com u Z satisfacen the equation (PPD ) u(x) = 1 max {u(y)} + min 2 {u(y)} y S(x) y S(x) Esta ecuación ha sido muy bien estudiada en grafos, espacios métricos, y en R n. Existencia La ecuación (PPD ) tiene al menos dos soluciones u C and u Z. El valor del juego esta bien definido Unicidad La ecuación (PPD ) tiene a los sumo una solución.

12 Juegos de Tira y Afloja, V Corolario u Z (x) =u C (x) Corolario La función u Z (x) =u C (x) =u(x) es la única solución al problema de Dirichlet u(x) = 1 2 maxy S(x) {u(y)} + min y S(x) {u(y)} para todo x, u(y) = F(y) para todo y en la frontera

13 Un juego tonto Carlos y Zoe juegan al siguiente juego de mesa: Se coloca una ficha en una posición inicial x en un tablero. De esta posición podemos mover a un conjunto finito de posiciones S(x). Movimiento aleatorio en el tablero Desde x movemos a un punto y S(x) elegido al azar Tenemos una función de pago o recompensa F definida en la frontera del tablero. El juego termina cuando la ficha llega a un punto de la frontera y cuando Carlos paga a Zoe $F(y). Carlos y Zoe son meros espectadores. No hay estrategias.

14 Un juego tonto, II Imaginemos que jugamos este juego muchas veces. Cuanto dinero puede ganar (o perder) Zoe en media? Valor del juego para Zoe Sea u Z (x) la cantidad que Zoe puede esperar ganar cuando el juego empieza en x. Valor del juego para Carlos Sea u C (x) la cantidad que Carlos puede esperar perder cuando el juego empieza en x.

15 Un juego tonto, III En este caso las distribuciones uniformes en S(x) determinan una probabilidad en el conjunto de todos las jugadas posibles que empiezan en x. Formalmente se tiene: Valor del juego para Zoe y para Carlos u Z (x) =u C (x) =E x [F(y)] Principio de Programación Dinámica Tanto u C como u Z satisfacen the equation y S(x) (PPD 2 ) u(x) = u(y) #(S(x))

16 Un juego tonto, IV Esta ecuación ha sido muy bien estudiada en grafos, espacios métricos, y en R n. Existencia La ecuación (PPD 2 ) tiene al menos una solución u C = u Z. El valor del juego esta bien definido Unicidad La ecuación (PPD 2 ) tiene a los sumo una solución. Corolario La función u Z (x) =u C (x) =u(x) es la única solución al problema de Dirichlet u(x) = u(y) = P y S(x) u(y) #(S(x)) para todo x, F(y) para todo y en la frontera

17 Dónde están las EDPs? La combinación del juego tonto y de los juegos de tira y afloja está muy relacionada con una clase de ecuaciones diferenciales no lineales que aparecen al minimizar u p dx 1/p, dónde el exponente p satisface 1 p. El p-laplaciano en forma de divergencia Las funciones que minimizan esta energía satisfacen div u p 2 u = 0 El p-laplaciano en forma de no-divergencia n u u I +(p 2) u 2 u ij i,j

18 Ejemplo: EDPs en árboles Un árbol T regular con índice de ramificación 3 se forma como sigue: el conjunto vacío como vértice superior, 3 sucesiones de 1 término del conjunto {0, 1, 2}, 9 suceiones de 2 términos del conjunto {0, 1, 2}, 3 r suceciones de r términos del conjunto {0, 1, 2} Los elementos T son los vértices del árbol.

19 Árbol ternario

20 Cálculo en árboles Un vértice v de nivel r tiene tres hijos (sucesores) v 0, v 1, v 2. Sea u : T R una función real. Gradiente El gradiente de u en el vértice v es el vector de R 3 u(v) ={u(v 0 ) u(v), u(v 1 ) u(v), u(v 2 ) u(v)}. Divergencia La divergencia del vector X =(x, y, z) R 3 es div(x) =x + y + z.

21 Funciones armónicas en árboles Funciónes armónicas Una función u es armónica si satisface la ecuación de Laplace div( u) =0. La Propiedad del Valor Medio La función u es armónica si y solamente si satisface la propiedad del valor medio u(v) = u(v 0)+u(v 1 )+u(v 2 ) 3 Por tanto los valores de una función armónica en el nivel r determinan todos sus valores en los niveles 0, 1,...,r 1..

22 La frontera del árbol Ramas y Frontera Una rama del árbol T es una sucesión infinita de vértices, cada uno seguido por uno de sus inmediatos seguidores (podemos pensar que las ramas corresponden a vértices de nivel r =.) El conjunto de todas las ramas es la frontera de T que escribiremos T. La aplicación g : T [0, 1] given by g(b) = r=1 b r 3 r (also denoted by b) es (casi) una biyección (expansión en base 3 de los números reales en el intervalo [0,1].)

23 El Problema de Dirichlet Vemos que T =[01] tiene una métrica y una medida natural. El conjunto de Cantor C es el subjconjunto de T formadas por aquellas ramas que nunca tienen un vértice acabado en 1. Problema de Dirichlet Dada una función (continua) f : T R hallar una función armónica u : T R tal que para toda rama b =(b r ) T. lim u(b r )=f(b) r

24 El Problema de Dirichlet II Dado un vértice v T consideremos el subconjunto de T formado por todas las ramas que comienzan en v de nivel r. Este conjunto es siempre un intervalo triádico de longitud 3 r que llamaremos I v. Solución al problema de Dirichlet, p = 2 Se tiene u(v) = 1 I v Noótese que u es una martingala. I v f (b) db. Vemos que, de hecho, podemos resolver el problema de Dirichlet para f L 1 ([0, 1]).

25 Conexiones con juegos Caminos Aleatorios, el juego tonto en el árbol Comenzamos con una ficha en el vértice superior. Movemos la ficha al próximo nivel elegiendo uno de los tres sucesores al azar. Cuando llegasmos a un punto b T, Zoe recibe f (b) dólares. Tira y Afloja Tiramos una moneda al aire. El jugador que acierta elige donde poner la ficha en el próximo nivel (Cara para Carlos, Cruz para Zoe). El juego termina en un punto b T, cuando Carlos paga a Cruz f (b) dólares

26 Jugando al juego tonto en el árbol Cada partida nos da una sucesión de vértices v 1, v 2,...,v k,... que determinan un punto b T. Si comenzamos en el vértice v 1 y jugamos una partida, al final Carlos paga f (b) dólares a Zoe. El valor del juego es una función armónica p = 2. Expectación de las ganancias de Zoe: = E v 1 [f (t)] = u(v 1 )= 1 I v1 I v1 f (b) db.

27 Tira y Afloja, p = Supongamos para simplificar que f es monótona creciente. Cuando le toca mover a Zoe, mueve siempre a la derecha. Cuando le toca mover a Carlos, mueve siempre a la izquierda. Esto son ejemplos de estrategias. Valor del juego para Zoe y Carlos u Z (v) =sup S Z inf E v [f (b)] and u C (v) =inf sup S C S C S Z E v [f (b)] Principio de Programación Dinámica Se tiene que u C = u Z. Si llamamos u a esta función, es la única función el árbol que satisface u = f on T, u(v) = 1 max{u(v i )} + min{u(v i )}. 2 i i

28 Caminos Aleatorios + Tira y Afloja, 1 < p < Let us combine random choice of successor plus tug of war. Combinemos la selección aleatoria del sucesor con la selección de acuerdo al Tira y Afloja. Sean α 0yβ 0 tales que α + β = 1. Comenzemos en un vértice v 1. Con probabilidad α los jugadores juegan un Tira y Alfoja. Con probabilidad β la ficha se mueve al azar. Cuando alcanzemos un punto b T Carlos paga f (b) dólares a Zoe. PDD para Tira y Afloja con ruido, PDD = PVM The value function u verifies the equation u(v) = α u(v0 )+u(v 1 )+u(v 2 ) max{u(v i )} + min{u(v i )} +β 2 i i 3.

29 Aqui vienen las EDP Definiendo div (X) =max{x, y, z} + min{x, y, z} el valor del juego u de un tira y afloja satisface div ( u) =0 Definiendo div p (X) = α 2 (max{x, y, z} + min{x, y, z})+β x + y + z 3 el valor del juego u de un tira y afloja con ruido satisface div p ( u) =0. Este operador es e p-laplaciano en el árbol.

30 El p-laplaciano en árboles Ecuaciones PDD div 2 ( u) =0, div p ( u) =0, div ( u) =0 u(v) = α 2 u(v0 )+u(v 1 )+u(v 2 ) max{u(v i )} + min{u(v i )} +β i i 3. 1 El caso p = 2 corresponde a α = 0, β = 1. 2 El caso p = corresponde a α = 1, β = 0. 3 En general no hay fórmula explícitas cuando p = 2 4 La ecuación p 2 α + β = 1. d+2 = α β determina α and β dado que

31 Fórmulas explícitas para f monótona, p = Supongamos que f es monótona creciente. En este caso la mejor estrategia para Zoe SZ es mover siempre a la derecha y la mejor estrategia pare Carlos SC es mover siempre a la izquierda. Formula para p = u(v) =sup S Z inf S C E v S C,S Z [f (b)] = E v S C,S Z [f (b)] = I v f (b)dc v (b) Formula para 2 p u(v) =sup S Z inf E v S S Z,S C [f (b)] = E v S [f (b)] Z,S C C = f (b)dp α,β (b), I v

32 Referencias, I Tom Hales, Easy Pieces in Geometry, por aparecer ( Tom s web page.) Hexamania (Hex Simulator) by David Wilson (Microsoft): Game Theory, A very short Introduction, Ken Binmore, Oxford, Y. Peres, O. Schramm, S. Sheffield and D. Wilson; Tug-of-war and the infinity Laplacian, J. Amer. Math. Soc., 22, (2009), A. P. Maitra, and W. D. Sudderth, Discrete gambling and stochastic games. Applications of Mathematics 32, Springer, New York, 1996.

33 Referencias, II Manfredi-Parviainen-Rossi, An asymptotic mean value property characterization of p-harmonic functions, Proc. Amer. Math. Soc., 138: , MPR2- On the definition and properties of p-harmonious functions, 2010 Preprint MPR3- Dynamic programming principle for tug-of-war games with noise, 2010 Preprint. MPR4- An asymptotic mean value characterization for a class of nonlinear parabolic equations related to tug-of-war games, por aparecer en SIAM Journal of Math Analysis. Alex Sviridov, Elliptic Equations in Graphs via Stochastic Games, 2010 University of Pittsburgh Ph. D. Thesis.