El cálculo de variaciones y algunos problemas que lo motivan

Transcripción

1 El cálculo de variaciones y algunos problemas que lo motivan 2 o Encuentro Nacional de Jóvenes Investigadores en Matemáticas de febrero de 2017

2 Qué busca el cálculo de variaciones? Minimizar o maximizar algún parámetro Distancia Tiempo Área de una superficie La energía necesaria para algún trabajo

3 El principio de mínima acción: Maupertuis (s. XVII) Acción = Energía cinética promedio Energía potencial promedio. t2 t2 ( ) 1 A = (EC EP) dt = t 1 2 mv2 mgx dt t 1

4 El principio de mínima acción: Maupertuis (s. XVII) Acción = Energía cinética promedio Energía potencial promedio. t2 t2 ( ) 1 A = (EC EP) dt = t 1 2 mv2 mgx dt t 1 Principio de mínima acción leyes de mecánica clásica, de óptica, y de mecánica cuántica. Leyes de conservación.

5 La conjetura del panal de abejas M. T. Varro (116 a.n.e a.n.e); L. Fejes (1943); T. Hales (1999, 2001).

6 Elasticidad no lineal

7 Cálculo de variaciones vectorial Minimizamos funcionales del tipo F(u) = F (x, u(x), u(x)) dx, con R n abierto y acotado; u: R N ; F : R N R N n R. Problemas fundamentales: Existencia de mínimos. Regularidad de las soluciones. Unicidad. Condiciones necesarias y suficientes para encontrar mínimos.

8 Funciones admisibles u W 1,p (, R N ) := { u L p (, R N ) : u L p (, R N ) } con p (1, ). ( ) 1 u := ( u p + u p p ).

9 Funciones admisibles u W 1,p (, R N ) := { u L p (, R N ) : u L p (, R N ) } con p (1, ). ( ) 1 u := ( u p + u p p ). Suponemos F (x, u, z) C(1 + z p ).

10 Existencia: El método directo Suponemos u Wg 1,p (, R N ), i.e., u = g sobre, g W 1,p (, R N ). Si F(u k ) k ínf u W 1,p g F(u), cómo recuperar el mínimo?

11 Existencia: El método directo Suponemos u Wg 1,p (, R N ), i.e., u = g sobre, g W 1,p (, R N ). Si F(u k ) k Requerimos: ínf u W 1,p g F(u), cómo recuperar el mínimo? u k u para alguna u; k F(u) lím inf F(u k), i.e., F débilmente semicontinua inferiormente. k

12 Semicontinuidad inferior de F Propiedades de convexidad de F.

13 Cuasiconvexidad Morrey (1952) introduce la noción de cuasiconvexidad: F es cuasiconvexa si F (z 0 ) F (z 0 + ϕ(x)) dx = 1 L n F (z 0 + ϕ(x)) dx. () ϕ W 1,p 0 (, RN ).

14 Cuasiconvexidad Morrey (1952) introduce la noción de cuasiconvexidad: F es cuasiconvexa si F (z 0 ) F (z 0 + ϕ(x)) dx = 1 L n F (z 0 + ϕ(x)) dx. () ϕ W 1,p 0 (, RN ). F es cuasiconvexa F es semicontinua inferiormente (sentido débil).

15 Cuasiconvexidad Morrey (1952) introduce la noción de cuasiconvexidad: F es cuasiconvexa si F (z 0 ) F (z 0 + ϕ(x)) dx = 1 L n F (z 0 + ϕ(x)) dx. () ϕ W 1,p 0 (, RN ). F es cuasiconvexa F es semicontinua inferiormente (sentido débil). Convexidad cuasiconvexidad.

16 Cuasiconvexidad Morrey (1952) introduce la noción de cuasiconvexidad: F es cuasiconvexa si F (z 0 ) F (z 0 + ϕ(x)) dx = 1 L n F (z 0 + ϕ(x)) dx. () ϕ W 1,p 0 (, RN ). F es cuasiconvexa F es semicontinua inferiormente (sentido débil). Convexidad cuasiconvexidad. Cuasiconvexidad convexidad: F (z) := det z.

17 Ecuación débil de Euler-Lagrange Derivando t F ( u + t ϕ) dx, vemos que todo minimizante u satisface la ecuación débil de Euler-Lagrange: F ( u)[ ϕ] dx = 0 ϕ W 1,p 0 (, RN ).

18 Ecuación débil de Euler-Lagrange Derivando t F ( u + t ϕ) dx, vemos que todo minimizante u satisface la ecuación débil de Euler-Lagrange: F ( u)[ ϕ] dx = 0 ϕ W 1,p 0 (, RN ). Integrando por partes: divf ( u) = 0.

19 El problema de la regularidad 19 o Problema de Hilbert: Siempre son analíticas las soluciones a problemas regulares?

20 Regularidad en el caso escalar ( 1958), u: R Ennio de Giorgi John Nash Olga Ladyzhenskaya Nina Uraltseva

21 El caso vectorial, u : R N De Giorgi (1968): Contraejemplo a la regularidad en el caso vectorial.

22 El caso vectorial, u : R N De Giorgi (1968): Contraejemplo a la regularidad en el caso vectorial. Morrey (1968): Partial regularity results for non-linear elliptic systems.

23 El caso vectorial, u : R N De Giorgi (1968): Contraejemplo a la regularidad en el caso vectorial. Morrey (1968): Partial regularity results for non-linear elliptic systems. Evans (1986): Si F es (fuertemente) cuasiconvexa, los mínimos globales de F son parcialmente regulares. C. Morrey L. Evans

24 Qué ocurre si las condiciones de frontera son pequeñas?

25 Regularidad hasta la frontera para mínimos globales Teorema (C.-Kristensen) Si F C 2 es (fuertemente) cuasiconvexa y F (z) C(1 + z p ), entonces para todo m > 0 existe ε = ε(m) > 0 tal que, si g C 1,α (, R N n ) satisface sup g < m y sup x, 0<r<diam B(x,r) g ( g) x,r p dy < ε, y si u Wg 1,p (, R N ) es un mínimo global de F, entonces u C 1,α (, R N ) para 0 α < 1. Estrategia: Linealizar y generalizar la idea de que las funciones armónicas son suaves.

26 Unicidad Spadaro (2009), Lawson-Osserman (1977): F C 2 + cuasiconvexidad + crecimiento polinomial unicidad de minimizantes globales

27 Unicidad Spadaro (2009), Lawson-Osserman (1977): F C 2 + cuasiconvexidad + crecimiento polinomial unicidad de minimizantes globales Falta de convexidad

28 Unicidad Spadaro (2009), Lawson-Osserman (1977): F C 2 + cuasiconvexidad + crecimiento polinomial unicidad de minimizantes globales Falta de convexidad Teorema (C.-Kristensen) Si F C 2 es (fuertemente) cuasiconvexa y F (z) C(1 + z p ), entonces para todo m > 0 existe ε = ε(m) > 0 tal que, si g C 1,α (, R N n ) satisface sup g < m y sup x, 0<r<diam B(x,r) g ( g) x,r p dy < ε, entonces hay un único minimizante global u W 1,p g (, R N ) de F.

29 Regularidad total y unicidad: K. Zhang (1991), bajo la hipótesis g C 4 < ε.

30 El problema de elasticidad Por impenetrabilidad de la materia, el modelo debe admitir la hipótesis F (z) cuando detz 0. Esta hipótesis no es consistente con F (z) C(1 + z p ).

31 Gracias!