ANALIZADOR DE ESPECTROS "ADVANTEST"

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1 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 1 3 ANALIZADOR DE ESPECTROS "ADVANTEST" 1. INTRODUCCIÓN 2. PRECAUCIÓN IMPORTANTE (2) 3. LOS MANDOS - SU FUNCION (3) Mandos fundamentales (3) Mandos de control (6) Mandos de marker (7) Mandos de datos (7) Otros mandos (8) 4. TRACKING GENERATOR ( "TG" ) (10) 5. ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DEL ANALIZADOR Impedancia de entrada (11) Tipos de medidas (11) Sensibilidad (11) Rango dinámico (11) Precisión de la medida (11) Tipos de barrido (12) Precisión de frecuencia (12) Resolución de frecuencia (12) 6. EL GENRADOR "ANDO" COMO GENERADOR DE "RF Y BF" Generador de radio frecuencia sin modular (13) Estudio de las señales del generador de RF (14) 6.3- Modulación de FM con el oscilador "fix" o "int (15) 7. SISTEMAS DE MODULACIÓN Modulación de amplitud (16) Modulación angular (19)

2 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 2 8. EJERCICIOS PRÁCTICOS 8.1- Estudio de cables: atenuación, longitud... (24) 8.2- Estudio y captura de las emisiones comerciales (26) 8.3- Estudio de un filtro o un amplificador (26) 8.4- Estudio de un filtro combinado con un cable (27) 8.5.-Medida del índice de modulación utilizando las funciones de Bessel (27) 8.6 -Estudio de la intermodulación (30) 9. SINTETIZADOR DE FRECUENCIAS 9.1- Descripción Prácticas con el sintetizador a) Fifuras de Lissajous b) Sintesis de una portadoras y dos bandas laterales c) Sintesis de una onda cuadrada d) Sintesis de una onda triangular e) Sintesis de un diente de sierra 10. APENDICE: Series de Fourier

3 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 3 ANALIZADORES DE ESPECTROS Estudiaremos el Analizador de Espectros Advantest R INTRODUCCIÓN Analizar una señal, es extraer información de la misma, ya sea en el dominio del tiempo o de la frecuencia. El analizador más común, en el dominio del tiempo, es el osciloscopio. En el dominio de la frecuencia es el Analizador de Espectros, del cual vamos a tratar. El Analizador de Espectros analiza una señal y presenta las componentes frecuenciales de dicha señal con su magnitud relativa. Existen 3 tipos de analizadores de espectros: a) en tiempo real. b) por transformada de Fourier. c) por barrido sintonizado. Las principales características de cada tipo son : a.- Tiempo real Rápido. - dc hasta 200 KHz. - Capta totalmente el fenó meno b.- Por transformada de Fourier ( FFT) - Rápido. Alta resolución. - dc a algunos MHz. - No fenómenos periódicos c.- Barrido sintonizado - Alta resolución - dc a 100 GHz - Amplitud, frecuencia - Sensible Nuestro Analizador es de "Barrido Sintonizado" y va de 9 KHz a 3 GHz. El sintonizado de los Analizadores de Barrido puede utilizar la técnica de filtros. Es costosa y efectiva pero no proporciona las características requeridas para ciertas medidas en el Análisis de señal. Otra es la que utiliza la técnica de un receptor heterodino; da un mayor equilibrio entre la resolución de frecuencia, la velocidad y el coste. 2.- PRECAUCIÓN IMPORTANTE No aplicar directamente a la entrada señales superiores a 7 V eficaces. Cerciorarse antes, de lo contrario podría averiarse la parte más delicada que es el mezclador de entrada, de reparación difícil y costosa. El atenuador de entrada no colocarlo en 0 db a menos de tratarse de señales muy débiles, como los que proporciona el ANDO, o una antena.

4 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página LAS TECLAS O MANDOS - SU FUNCIÓN En general las teclas o mandos están organizados en "Menús" y submenús. Al pulsar una tecla aparece un soft menú y las distintas opciones a la derecha de la pantalla. Puede suceder que alguna de las opciones del menú tenga un submenú. Esto se indica con unas rayitas en el ángulo superior derecha. Las teclas están agrupadas por funciones. El grupo más importante y el primero a tener en cuenta es el formado por las tres teclas de mayor tamaño : "FREQ, SPAN, LEVEL". Otros grupos son: "CONTROL", "MARKER", "DATA". Hay algunas teclas individuales. 3.1 Teclas fundamentales. El grupo de teclas más importante y primero a tener en cuenta es el que nos permite ajustar: 1. - FREQ: (frecuencia).al pulsar la tecla "FREQ" aparece el menú que nos permite seleccionar la frecuencia central ( si la conocemos) o los márgenes de un barrido de frecuencias seleccionando la frecuencia de inicio y final. Al pulsar la tecla del menú aparece en la parte superior izquierdo de la pantalla el título y el valor en el área activa. ( retícula de la pantalla ) 2. - SPAN: (margen de frecuencias). Introducimos el margen de frecuencias que deseamos visualizar, dependiendo de lo que nos interese ver. Lo introduciremos pulsando un número y las unidades con el teclado. Nota: Una manera rápida de encontrar la señal de mayor amplitud es pulsar Full Span (aparecen todas las señales que hay en todo el margen de frecuencias que abarca el analizador) y luego Peak Zoom (Busca y centra la mayor) 3. - LEVEL: ( nivel). El level permite establecer el nivel de referencia (línea superior) y las unidades: dbm, Watios, Voltios... NOTA: Es importante leer las indicaciones que aparecen en la parte inferior y superior de la pantalla pues nos da toda la información que necesitamos. Los distintos parámetros suelen estar siempre en la misma posición de la pantalla. Es importante para hallarla lo que interesa de manera rápida. El esquema de la pantalla que aparece en la siguiente figura, muestra todas las informaciones que puede presentar y su explicación

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7 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página Mandos de CONTROL El segundo conjunto de mandos, corresponde al de CONTROL. Las teclas más importantes son: 1. - BW: escogemos la achura del filtro o resolución del filtro de frecuencia intermedia (RBW), con que vemos las señales. Si queremos visualizar señales muy juntas, por ejemplo las bandas laterales de una señal modulada, escogeremos un valor de RBW pequeño. De entrada estará en automático, pero puede pasarse a manual y ajustarlo como más convenga VBW: Anchura de banda o resolución del filtro de vídeo. Este filtro promedia el ruído. De entrada está en automático y depende del valor del RBW. Pero en algunos casos puede interesar pasarlo a manual para poder promediar más el ruído 3. - SWEEP: Tiempo de barrido, pudiendo escoger entre Manual o Automático. Normalmente se utiliza en automático NOTA: Si aparece en Rojo UNCAL, nos está indicando que los mandos SPAN, BW, VBW y SWEEP no guardan una relación adecuada. Por ejemplo, en el caso de un BW estrecho, el tiempo de barrido ha de ser mayor o el SPAN más pequeño. Si queremos un SPAN grande necesitamos un BW grande o un SWEEP lento. En general nos encontraremos en que tendremos que respetar un compromiso entre ellos TRACE: Disponemos de dos trazas A (amarilla) y B (verde). Tenemos varias posibilidades. Destacaremos algunas: 1. - Write: indica la traza activa View: fija la traza en pantalla la señal memorizada 3. - Blank: elimina la traza de la pantalla Max Hold: mantiene en pantalla los valores máximos de los sucesivos barridos. 5.- DISPLAY: para seleccionar lo que queremos visualizar: 1.- En el menú de la tecla display disponemos de dos líneas para medir niveles de señas: La línea Disp Line y la línea Ref line. No hay que confundirlas con la Ref line que sale en el menú de la tecla LEVEL La línea de referencia. (Ref line) puede utilizarse para medir diferencias de nivel respecto a la referencia (Valor de la línea superior). Si queremos medir al mismo tiempo dos niveles, podemos utilizar también la línea

8 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 8 Disp line. Por ejemplo para medir la diferencia entre un armónico y la fundamental se sitúa la primera en el punto máximo de la fundamental y la otra en el punto máximo del armónico cuya diferencia con el principal queremos medir 2.- Multi Screen : dos pantallas, 3.- Zoom. Al pulsar el ZOOM aparecen dos ventanas. En la parte superior la ventana en la cual se ha seleccionado la parte que se amplia.en la inferior la parte ampliada Mandos de MARKER El tercer grupo de mandos corresponde a los MARKERS: 1.- MKR: permite elegir el tipo de marker a utilizar: 1. - Normal: tenemos un punto. En el área del marker se visualiza la frecuencia y el nivel de dicho punto 2. - Delta: Aparece un nuevo marker algo diferente que se superpone con el normal. El normal es el de referencia y los valores indicados son el incremento o disminución respecto al de referencia Peak Menu: despliega un nuevo menú que nos permite seleccionar una serie de opciones referentes a los diferentes picos. NOTA: Siempre puede desplazarse el marker con el mando rotatorio PK SRCH: busca el máximo pico del barrido SIG TRACK: (On/off) Es interesante cuando la frecuencia tiene derivas. En "on" hace que la frecuencia se mantenga en el centro de la pantalla aunque vaya variando. Si está en "on" no se puede mover el marker de sitio MEAS: se utiliza para hacer medidas especiales. No lo usaremos en esta práctica.

9 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página TECLAS de DATOS El cuarto grupo lo forman las teclas de Datos, las teclas de Unidades, el Mando rotatorio y las teclas con flechas (incrementos). Este grupo nos permiten introducir o modificar datos, elegir unidades, variar parámetros de forma continua o por incrementos (teclas de flechas) OTROS MANDOS 1. - AUTO TUNE (auto sintonía): Al pulsar esta tecla, automáticamente busca el pico más grande en toda la banda de frecuencias del analizador, la sitúa en el centro de la pantalla, coloca el marker sobre él indicando su frecuencia y potencia COUNTER: Esta tecla nos permite medir la frecuencia con mayor resolución de la que nos da el marker. Al pulsarla aparece un menú que nos permite elegir resoluciones de 1KHz. 100Hz, 10Hz ó 1 Hz 3. - SHIFT+CONFIGURE: Poner el Analizador en la configuración "Estándar" que viene de fábrica. Es bueno principiar por pulsar estas teclas para suprimir cualquier configuración desconocida o cuando se cuelga REPEAT-SINGLE: La tecla "repeat" indica que se hacen Barridos repetitivos. Es el seleccionado por defecto. Si se pulsa se paran los barridos y si se vuelve a pulsar se repiten. La tecla "single" hace un solo barrido cada vez que se pulsa POWER MEASURE: Describe el tipo de potencia que queremos medir. Podemos medir la potencia de todo el Span, o bien de un área limitada por una ventana, como puede ser la potencia en el canal adyacente en un emisor. Puede ser en valor "total" ó "promedio". Nota: Recordemos que el marker dá el valor en un punto. En el "menú" que aparece al pulsar la tecla podemos seleccionar : a) La potencia total de todo el Span (2) b) La potencia media de todo el Span (3) c) Potencia total de una ventana Si seleccionamos "Channel power" d) La potencia media de una ventana si volvemos a pulsar "power measure" y luego "average power". Se pueden seleccionar el número de barridos que utiliza para hallar el promedio de la potencia. Pocos bastan

10 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 10 La potencia media la calcula hallando la potencia en watios de cada punto, sumándolas y luego dividiendo por el número de puntos. También da facilidades para medir la potencia en los canales adjacentes (ACP) en una portadora modulada, para ver la potencia que se transmite de un canal a los adyacentes, inferior o superior. Para ello es necesario señalar la anchura del canal. Así mismo permite medir el ancho de banda ocupado por un canal (OBW). Mide el ancho de banda del canal en Hz comprendido entre el punto de potencia 0,5% del total y el punto donde llega al 99,5% del total. Ejercicios de la medida de potencias 1. - Sobre una portadora sin modular medir en db y en W: a) La potencia máxima de la portadora b) La potencia total de una ventana que abarque la portadora c) La potencia total del Span (toda la pantalla) Observar las diferencias entre los tres valores. Qué deduces? 2. - Sobre una portadora modulada con 3 KHz. y una desviación de 1KHz. medir: a) La potencia máxima de la portadora y las dos primeras bandas (1ª y 2ª) b) La potencia total del Span c) La potencia total de la 1ª y 2ª banda lateral con una ventana que las abarque d) Compara los números de la potencia en Watios (forma lineal) con los números de la potencia en dbm (forma logarítmica e) Qué consecuencias sacas? 6. - CONFIGURE: para configurar el tipo de interface: GPIB, R SAVE y RECALL: permite guardar tanto en memoria como en disquette diferentes archivos. Estos pueden corresponder a la configuración o condiciones de medida o bien a las gráficas obtenidas. Para un uso correcto de esta opción se ha de

11 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página Pulsar: Shift-Save Pulsar el botón de Save Item: En el menú, que se presenta, dejar las siguientes opciones en ON: Setup, Trace y Trace Level. Para aceptar el menú volver a pulsar el botón de Save Item. 3 - Change Title: el título se ha de definir antes de guardar la información. Designa una descripción genérica de los ficheros que se van a grabar. Este título se asocia a los archivos. Por ejemplo, en el caso de tener una serie de gráficas referentes al mismo proyecto tendrán en común el mismo título 4. - La información que queremos grabar, lo hará por defecto con el nombre REG00 (ó FILE00) aumentando el número de registro a medida que se van grabando diferentes archivos. Con al opción de Rename podemos cambiar este nombre. 5.- Por último pulsar el botón de Save, del submenú actual. 6.- Para grabar en el disquete, en la opción de Device, escoger FD. 8.- COPY: Permite guardar en el disquete la gráfica que estamos visualizando en fichero.bmp. Primero de todo hace falta configurar la opción de copy y para las sucesivas grabaciones sólo hace falta pulsar el botón de Copy. Seguir los siguientes pasos para la configuración: 1. - Pulsar CONFIG. 2. De las opciones del submenú escoger :Copy config La opción File: podemos observar como indica que es un fichero.bmp Copy Device: escoger FD (Floppy Disk) Para copiar apretar el botón Copy. NOTA: algunas teclas como Pass/Fail, Trigger, CAL, EMC, Remote... no se han explicado por no tener aplicación en nuestra práctica.

12 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página TG (TRACKING GENERATOR) El Tracking Generator es un Generador que proporciona un barrido de frecuencias con un nivel de señal constante en todo el margen de frecuencias del barrido. El margen de frecuencias se selecciona con el Analizador ya sea indicándole el inicio y el final o bien la frecuencia central y el Span., por este motivo se la llama "Tracking" (arrastre). Nota: Antes de pulsar la tecla "TG" conecta la salida del generador a la entrada del Analizador En el menú del "TG" se pueden ajustar los siguientes parámetros: 1. El nivel de señal (Ej. -20dB) 2. Se ejecuta la normalización que: a) sitúa la referencia de potencia en el punto medio de los niveles de la distintas potencias. b) Se ejecuta la función de calibración. c) Se memorizan los datos corregidos como referencia 3. Se sitúa la línea de referencia en el punto que se desee. Normalmente se sitúa en el punto que le corresponda respecto a la línea superior (Ref). Ejemplo: Si tenemos la línea de referencia (línea superior) en 0dB y tenemos un nivel de salida de -10dB situaremos la línea de referencia del Generador un cuadro por debajo ( Se supone que estemos en 10dB/div) 4. Se ejecuta el mando "Auto" que ajusta la perfecta transmisión entre el Generador y el Analizador para cada valor del filtro BW. Por último, en el Analizador, se elige el inicio y el final del barrido de frecuencias en el menú de la tecla "FREQ" 5.-ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DEL ANALIZADOR Impedancia de entrada La impedancia de entrada del Analizador es de 50 Ω. Aunque puede cambiarse a 75 Ohmios Hay un condensador de entrada que bloquea la componente continua de la señal, que permite medidas de señales de RF en presencia de niveles de continua de hasta 50 V.

13 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página Tipos de medidas Hay dos modos básicos de dar las lecturas : Logarítmica o lineal. En el modo Lineal el Analizador mide la tensión en V, mv o µv. En el modo logarítmico calcula la potencia en dbm partiendo de los voltios leídos y supone que la carga sobre la cual se hace la medida es de 50 ohmios. Si se mede sobre otra carga diferente los valores indicados no son verdaderos. Si que son correctas las medidas relativas de unas señales respecto de otras medidas sobre una misma carga. Los saltos pueden elegirse entre 1, 2, 5, ó 10 dbm Sensibilidad El nivel de ruido del Analizador varía con la anchura de banda. Cuanto menor es la anchura de banda menor es el ruido y mayor es la sensibilidad; sin embargo, la elección de la anchura de banda es un compromiso, porque una banda estrecha requiere tiempos grandes de barrido. Cuando estos 3 factores no son adecuados se enciende la luz de " no calibrado " (uncal).la medida no es correcta. La sensibilidad efectiva se incrementa usando el filtro de video. Este filtro promedia el ruido, haciendo posible ver señales pequeñas que de lo contrario quedarían enmascaradas por el ruido Rango dinámico El rango dinámico se define como la diferencia entre el mínimo y el máximo de los niveles de señal que se pueden ver simultáneamente. Con este analizador el rango es de 70 db. Sin embargo, cualquier Analizador, debido al ruido, presenta un límite en el rango inferior y también un límite en el rango superior debido a las señales espurias que se generan (intermodulación) a partir de una señal fuerte. Dado que las señales espurias se generan por saturar la entrada del analizador, se debe usar el "input Atenuador" para comprobar si la entrada está saturada. Para ello basta atenuar 10 db. con el "input Atenuator". Si todas las señales tienen el mismo valor que antes de la atenuación, no está saturado el mezclador. En el caso que algunas varíen indicaría que estamos saturando el mezclador de entrada y las medidas no serían correctas y además podríamos dañar el mezclador Cuando se trabaja con señales muy débiles, puede suceder que a través del cable de conexión se introduzcan señales no deseadas. Para averiguarlo se puede desconectar el generador para ver si desaparecen. Este mismo procedimiento puede servir para diferenciar el cero de una señal.

14 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página Precisión de la medida Los factores que influyen en la precisión de la medida son: Respuesta plana con la frecuencia ± 1 db; el atenuador de entrada ± 1 db; los atenuadores de Log Ref Level 0,2 db; la amplitud de estabilidad 0,07 db; la amplitud del display ± 0,25 db. Sumando nos da como error máximo ± 2,5 db Tipos de barrido. Barrido de frecuencia: Cualquier porción del rango de frecuencia puede ser presentado en el CRT. Cualquiera de los 3 modos de barrido se pueden elegir: Barrido total (10 KHz a 3 GHz); "Per division" y Barrido ZERO. Conmutando los diversos modos de barrido es posible, alternativamente, ver el espectro total o examinar con detalle señales particulares o visualizando la moduladora en el barrido zero Barrido Zero: En el modo de barrido cero el Analizador es un receptor sintonizado a una frecuencia fija que puede elegirse mediante el control "Frecuency". Usando este modo y la base de tiempos calibrada se puede examinar una forma de onda en el dominio del tiempo, como puede ser la moduladora de una señal modulada Precisión de la frecuencia Veremos que si queremos hacer medidas de frecuencia con precisión, utilizaremos la tecla "Counter" que nos permite resoluciones de 1KHz, 100Hz, 10Hz, 1Hz Resolución de frecuencia La resolución de un Analizador viene dada por la posibilidad de diferenciar dos señales próximas. Esta característica depende del "Scan width por división" y del Filtro "Bandwith".El filtro del Analizador R3132N va de 1KHz a 3 MHz en secuencias de 1,3,10

15 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página EL "ANDO" COMO GENERADOR DE RF Y BF Generador de RF sin modular: 1.- En el bloque TEST ITEM, seleccionar RX, que permite activar el generador mediante la tecla ON/OFF. 2.- Desconecta los osciladores de AF mediante la tecla ON/OFF para suprimir la modulación. 3.- Coloca la frecuencia de RF deseada: FREQ - Número - Unidades 4.- Puedes variar la frecuencia mediante el mando rotatorio y las teclas de DIGIT SELECT. La frecuencia seleccionada se muestra en el visualizador RF FREQUENCY, en la figura está marcado como (19). 5.- Activa la señal: ON/OFF Ajusta el nivel de RF al valor máximo que es 80 dbµ o bien -33 dbm. OUTPUT LEV - Número - Unidades Como siempre, puedes utilizar el mando rotatorio para variar el nivel junto con las teclas de DIGIT SELECT. 7.- Para cambiar las unidades de dbµ. a dbm. o a la inversa: OUTPUT LEV - MHz/dBm. o OUTPUT LEV - KHz/dBµ. NOTA: El manual nos dice que el nivel de la señal que da el generador de RF es de : -19,9 a 80dBµ (0 d µ = 1µV en circuito abierto) -25,9 a 74dBµ (0 dbµ = 1µV con carga adaptada) -132,9 a 33dBm Como podemos observar al pasar de circuito abierto a carga adaptada la señal disminuye 6 db (80-74). Esto nos indica que se trata de tensiones y no de potencias. En circuito abierto no hay paso de corriente ( I=0 ) y tampoco puede haber potencia Por otra aparte la costumbre es de interpretar los dbµ como tensión y los dbm como potencia sin indicar que son dbµv en el primer caso y dbmw en el segundo. Al añadir una carga, (Ver figura adjunta) ya pasa corriente, y si la carga es igual a la impedancia interna, la caída de tensión en la carga y en la resistencia interna serán iguales. La tensión en los bornes de salida se reduce a la mitad de la fuerza electromotriz, que en db corresponde a 6dB. En potencia serán 3dB menos.

16 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 16 Si hallamos la tensión que corresponde a los 80 dbµ tenemos: V V dbu = 20log de donde = Anti log = uV 1uV 20 V = = 0, 01V Los 0,01V = 10 mv corresponden a los 80dBµ en circuito abierto. Haciendo lo mismo para los 74 dbµ, con salida adaptada, encontraríamos 5mV. En potencia, los 33 dbm, los podemos deducir teniendo en cuenta que la impedancia de carga es de 50 Ω y que la tensión en bornes es de 5mV por la siguiente ecuación : 2 3) ndbm 0,005 (5x10 ) = 10log = 10log = dbm 50x0,001 50x0, Estudio de las señales del Generador de RF 1. - Conecta una señal no modulada de unos 20 MHz y 80dBµ utilizando el generador de RF. ANDO 2. - Consigue que se vea la fundamental y los armónicos Mide el valor de cada armónico en dbm y en Voltios 4. - Ver la fundamental con el mayor detalle posible utilizando un SPAN muy pequeño Observa si hay alguna deriva de frecuencia del generador (que la señal se va desplazando hacia la derecha o hacia la izquierda) 6. - Añade una moduladora de 3 KHz (ver en el apartado 8.3. el funcionamiento de los osciladores de B.F.) y ajusta la desviación de frecuencia a 1 KHz. Observa el espectro con una anchura de banda de 3 KHz y un barrido 5 KHz por división. Aumenta la desviación de frecuencia, hasta el máximo de 20 KHz Pasa a lineal. Coloca la anchura de banda en 100 KHz y el barrido en 100 KHz por división. Observa que la modulación tiene máximo de Amplitud en los flancos. NOTA: Las señales moduladas en AM ó FM tienen bandas laterales simétricas a ambos lados de la portadora. Una desigualdad de las bandas laterales indica la presencia de los dos tipos de modulación. En efecto cuando los dos tipos de modulación están presentes, los vectores de modulación se pueden sumar en una banda lateral y restar en la otra.

17 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página Modulación de FM con el oscilador "fix" o "int" La modulación la podemos hacer con una de las tres frecuencias fijas del oscilador "FIX" (300 Hz.. 1KHz. y 3KHz.) ó con cualquier frecuencia del oscilador "INT" (De 20Hz a 10KHz). La secuencia a seguir sería: En el generador de RF: 1. - Selecciona, en el bloque TEST ITEM del ANDO, RX Activa el generador de RF: ON/OFF Ajusta el nivel de la señal de RF: OUTPUT LEV - Número - Unidades (80 dbµ). En el generador de AF: A- Selección de la frecuencia de la moduladora 4. - Selecciona la frecuencia del oscilador "FIX" de AF, pulsando FIX hasta obtener la frecuencia deseada. En el caso de "INT" pulsa: INT - Número - Unidades (Hz o KHz). La frecuencia se muestra en el display Int. Frequency Activa el oscilador "FIX" ó INT : ON/OFF B - Selección de la desviación de frecuencia 6. - Ajusta la desviación de frecuencia. Para ello: MODULATION - FIX o INT - Número - Unidades (KHz) o bien variando el nivel de salida, que determina la desviación en (KHz): OUTPUT LEV - FIX o INT - Número - Unidades ( dbm.) La desviación de frecuencia también se puede variar mediante el mando rotatorio: MODULATION - FIX (o INT) - STEP - Número - Unidades (KHz) o bien OUTPUT LEV-FIX (o INT.)-STEP-Numero - Unidades (dbm) y luego mover el mando rotatorio La modulación o desviación de frecuencia se muestra en el visualizador "DEVIATION KHz. La máxima desviación es de +20 KHz. CONTADOR DE FRECUENCIA EXTERIORES DEL ANDO PARA MEDIDA DE SEÑALES Se conecta la entrada al conector BNC del panel frontal, del bloque FRECUENCY COUNTER, se pulsa EXT. para seleccionar la entrada, luego se elige la resolución adecuada con INPUT SELECT y GATE TIME.

18 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página SISTEMAS DE MODULACIÓN Los sistemas de modulación más sencillos son: de amplitud, de frecuencia y de fase. Estas dos últimas se suelen llamar también angulares o exponenciales (Ilustr.3) MODULACIÓN DE AMPLITUD (AM) Modulación de amplitud es un sistema de modulación en el que la característica que se varía es la amplitud de la portadora en función de la amplitud de la moduladora y del tiempo ( Ilustr 3). Es decir, una portadora está modulada en AM si varía su amplitud en función del tiempo. Ilustr. 3 Ejemplos de modulación en FM, PM, y AM. La modulación en AM es, básicamente, un proceso de mezcla no lineal (heterodinaje). Cuando se combinan una portadora y una moduladora, hay tres productos, en el margen de frecuencia, que interesan: la portadora, la banda lateral inferior (BLI) y la banda lateral superior (BLS). Por tanto, si una portadora de 100 MHz. está modulada por una onda senoidal de 2 KHz., la salida sería como la mostrada en la Ilustra. 4 El ancho de banda, de la señal modulada del ejemplo, sería 4 KHz (diferencia entre la frecuencia menor y la mayor). En AM, la diferencia entre la portadora y la componente más alejada de la banda lateral está determinada por la componente

19 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 19 de más alta frecuencia contenida en la señal moduladora. Ilustr. 4 Modulación AM del 10% El Índice de modulación (m) indica la profundidad, grado o cuantía de la modulación en AM. Normalmente se expresa en porcentaje de modulación. Matemáticamente se expresa por: + Em áx -Ec - Ec -Emín m = 100 ; o bien por : m = 100 (1) Ec Ec Donde Ec es el nivel de la portadora (ver Ilustr. 5). Ilustr. 5 Modulación en AM. Gráfica temporal

20 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 20 En una modulación simétrica: Emá x + ; = Emín Em áx - Ec = Ec - Emín Ec (2) 2 Sustituyendo en la primera ecuación: E - E m áx mín m = 100 Em áx+ E mín Si llamamos "r" al valor de pico de la moduladora tenemos que: E m áx = Ec + r ; y E mín = Ec - r Sustituido en la ecuación anterior: E +r-( E -r) r Ec+r+( Ec-r) Ec c c m = 100 = 100 r m = 100 E c MODULACIÓN ANGULAR La modulación angular o exponencial es el nombre genérico dado a la modulación en la cual se varía la frecuencia ó la fase de la portadora. La modulación de frecuencia y de fase están estrechamente relacionadas entre sí. (Ver ilustración 3.) De hecho, analizando la señal recibida, es imposible decir cuando una señal está producida por un modulador de frecuencia o de fase, a menos que se tenga una información específica a cerca del circuito modulador.

21 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página MODULACIÓN DE FRECUENCIA En la Ilustr.6 el eje X representa la tensión continua aplicada a los diodos varicap para obtener una frecuencia de la portadora de un cierto valor, y el eje Y la frecuencia. Si a la continua superponemos la tensión de una moduladora, veremos que la frecuencia de la portadora se incrementará o decrementará en un valor F, que es la desviación de frecuencia. La variación de la frecuencia de la señal moduladora es proporcional a la amplitud instantánea de la señal moduladora. Por tanto, la desviación es máxima cuando la señal moduladora alcanza su pico, tanto positivo como negativo. ) Ilustr. 6 En una modulación FM lo que varía es la distribución de las amplitudes y de las potencias de la portadora y de las bandas laterales, pero no varía la potencia total. Por otra parte es difícil obtener una modulación de FM ó de Fase, que no vaya acompañada de una pequeña modulación de AM, llamada modulación residual de AM. Del mismo modo una modulación en AM contiene una modulación residual de FM y Fase. La Modulación en frecuencia (FM) es capaz de transportar niveles de continua, ya que si aplicamos un nivel de continua de un cierto valor, nos dará también un aumento fijo de la portadora. La ilustr.7 muestra la imagen, vista en un analizador de espectros, de FM con una portadora de 100 MHz. y una señal moduladora sinusoidal de 2 KHz con un nivel suficiente para producir una desviación de frecuencia de 3 KHz.. En una modulación FM, la relación entre la desviación de frecuencia de pico ( F) de la portadora y la frecuencia de la señal moduladora (fm), se llama índice de modulación y se representa por m m= F fm

22 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 22 Ilustr. 7 Modulación de FM MODULACIÓN DE FASE En la modulación de fase, la característica que se varía, es la fase de la portadora desde un valor de referencia. En sistemas de modulación de Fase (PM), el modulador sólo responde a cambios instantáneos de frecuencia. La modulación de Fase (PM) no puede transportar niveles de continua, salvo que se utilicen técnicas de referencia de fase especiales. En los sistemas de PM, la desviación aumenta con la amplitud y con la frecuencia de la señal moduladora. Por tanto, los moduladores de PM llevan incorporado "pre-énfasis", en el que se aumenta la amplitud con la frecuencia de la moduladora (Es decir: la señal moduladora pasa por un filtro tipo pasa alto que hace que su amplitud sea creciente a partir de cierta frecuencia). Por el contrario, la desviación de los sistemas de FM sólo es proporcional a la amplitud de la señal moduladora. Aparte de esta característica es difícil distinguirlas.

23 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página BANDAS LATERALES E ÍNDICE DE MODULACIÓN En AM hay únicamente un par de bandas laterales, una por encima y otra por debajo de la frecuencia portadora. Por el contrario la FM y PM producen muchos pares de bandas laterales que se encuentran a múltiplos enteros de la frecuencia moduladora a ambos lados de la portadora. Por tanto, una señal modulada en ángulo, ocupa un canal más ancho que una señal de AM. En la modulación angular, el número de bandas laterales depende del índice de modulación m, o lo que es lo mismo de la desviación máxima y de la frecuencia de la señal moduladora. Para una modulación de ángulo, con una función moduladora senoidal, el índice de modulación viene dado por: Donde: m índice de modulación. F desviación de frecuencia de pico (Hz). fm frecuencia de modulación (Hz). Para comprender el por qué la modulación angular produce múltiples bandas laterales, tenemos que tener en cuenta que las variación de la frecuencia comporta una "deformación" de los ciclos individuales de la onda, de modo que las oscilaciones de la portadora modulada no pueden considerarse senoidales. Esto se muestra en la Ilustr 8 donde se ve que, puesto que la frecuencia Ilustr. 8 Deformación de la FM. m= F fm tanto la onda se aparta de la forma senoidal. cambiante hace que el tiempo que se necesita para completar un cuarto de periodo difiera del tiempo requerido para completar el siguiente cuarto de periodo, por Realizando un análisis matemático, se llega a la representación de la relación entre la amplitud de la portadora y las bandas laterales de una onda modulada en (FM) como una función del índice de modulación "m". Dicha representación se muestra en la (ilustr 7.)

24 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 24 Ilustr. 9 Gráficas de Bessel Las Gráficas de Bessel presentadas en la ilustr. 9 son para una modulación de un solo tono. Las bandas laterales de primer orden están desplazadas de la portadora en una cantidad igual a la frecuencia moduladora, las segundas al doble de la frecuencia moduladora y así sucesivamente. Las amplitudes de las bandas laterales son función del índice de modulación. Observa que el nivel de la portadora y de las bandas laterales varía con el índice de modulación. Con un índice de modulación de 2,4 la portadora desaparece completamente (lo podemos ver también en la ilustr. 10 y 11, que son modulaciones de FM y PM respectivamente, extraídas directamente de la pantalla de un analizador de espectros). Para índices mayores de 2,4 se vuelve "negativa", lo que significa que la fase se ha invertido respecto a la fase sin modulación. En modulación angular, la energía que va a las bandas laterales se toma de la portadora, la potencia total permanece constante, independientemente del índice de modulación.

25 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 25 Ilustr. 10 Modulación FM. Ilustr. 11 Modulación PM.

26 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página EJERCICIOS PRÁCTICOS ESTUDIO DE CABLES Podemos estudiar: a) Las ondas estacionarias que se producen cuando los cables no están cargados con su impedancia característica. b) la longitud de los cables a partir de las ondas estacionarias y c) la atenuación por metro de un cable a) ONDAS ESTACIONARIAS Al aplicar una señal a un cable con el final no adaptado, la distribución de tensión a lo largo del cable varía con la distancia a la carga, debido a las ondas estacionarias que se crean por la reflexión en el final no adaptado. Suponiendo que las pérdidas son despreciables, la señal que llega al final del cable, y la que se refleja en ese mismo punto son iguales y están en fase, con lo que se suman.(ver fig adjunta) Veamos como se comportan esas dos ondas al ir aumentando la distancia "l" a la carga. Si las observáramos a una distancia de la carga igual a λ/8 veríamos que la onda incidente E1 tendría un ángulo en adelanto de 45º respecto al que tenía en carga (se supone que los vectores giran en el sentido de las agujas del reloj), mientras que la reflejada lo tendrá en retraso. Esto hace que la suma sea menor. Si las observáramos a una distancia λ/4 veríamos que E1 estaría 90º en adelanto respecto al que tenía en la carga, mientras que E2 estaría 90º de retraso. Esto hace que se resten, dando un mínimo de tensión. Ilustr. 12 Se cumple que para una longitud L del cable tenemos el primer mínimo de tensión Dicho de otro modo: La onda estacionaria presenta un primer mínimo de tensión para una frecuencia tal que la longitud del cable sea 1/4 de la longitud de la onda eléctrica λ.. L = λ/4

27 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 27 b) LONGITUD DE UN CABLE APARTIR DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS En el apartado anterior hemos encontrado la relación entre la longitud del cable y la λ de la frecuencia a la cual se produce el primer mínimo.. L = λ/4 Ahora hallaremos el valor de λ en función de la frecuencia a la que se produce el primer mínimo. Si unimos la salida del Generador mediante una T al analizador y a un cable, podremos estudiar las ondas estacionarias. Ilustr 13 NOTA: En nuestro analizador el tracking está en el mismo bloque que el analizador, pero las conexiones son las mismas. Ilustr.13 Sabemos que λ f = c donde c = velocidad de la luz. Si la velocidad de transmisión en el cable fuera la de la luz, c valdría Km/s = 300 m/µs; pero la velocidad de propagación a través del cable es menor. Para un cable coaxial típico es del orden de Km/s. A la velocidad en el cable la llamaremos c' = Km/s. Así: c Km/ λ = = f f ciclos/s s Hallar la λ para la frecuencia en que aparece un primer mínimo. Podemos calcular la longitud del cable λ l = 4 NOTA: Se puede obtener mayor precisión midiendo la frecuencia del mínimo "n" y dividiendo su frecuencia por 2n-1. Así, si la frecuencia del séptimo mínimo es de 65MHz, al primer mínimo le corresponderá 65/13 = 5MHz. Ejemplo : Si un cable en circuito abierto presenta un primer mínimo a la frecuencia de Mc/s: NOTA Si cortocircuitas la salida verás que donde estaban los mínimos aparecen los máximos y viceversa. Si cargas con la impedancia característica desaparecen las ondas estacionarias.

28 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 28 Principiaremos por calcular la λ correspondiente a dicha frecuencia m/s λ = c/s = 41 m/c Como la longitud del cable es la cuarta parte de la longitud de onda tenemos: Longitud del cable λ 41m = = = 10,2 m 4 4 c) ATENUACIÓN POR METRO DE LOS CABLES Para observar la atenuación del cable, primero se conecta el TG (Tracking Generator) al Analizador mediante un cable corto y se ajusta la referencia (ver el apartado de TG pág. 12). Luego se sustituye por el cable en estudio Se puede ver la atenuación en dbm para cada frecuencia. Dividiendo la atenuación por la longitud del cable obtendremos la atenuación por metro ESTUDIO Y CAPTURA DE LAS EMISIONES COMERCIALES Las emisoras de F.M. están en la banda de frecuencias entre 88 MHz y 108 MHz. En la figura adjunta se da un cuadro de algunas de las frecuencias a las que emite cada una de las emisoras de FM. Identificar las que aparecen en el Analizador y medir el nivel de cada una en voltios y en dbm. Las podemos captar con un sencillo cable BNC-Banana, que hace de antena. Emisoras en frecuencia Modulada de Barcelona FREC - NOMBRE FREC. - NOMBRE FREC. - NOMBRE MHz. MHz. MHz Radio Salud 95.6 Radio Club Cataluña R Onda Rambla 96.9 Cadena SER RAC 92.0 Cataluña Informa 97.7 Radio Tele-Tax Flash Barc Onda Radio Centr 98.7 RNE. Radio Radio 93.0 Radio Clásica Radio Marina Radio Estel 93.5 Principales Barcelona Cataluña Música 94,4 Radio Ciudad Cope SEÑALES DE TV Color: En las señales de TV tenemos la portadora de Vídeo y la portadora de Sonido a 5,5 MHz por debajo. Entre medio está la portadora de color que es mucho más pequeña y está a 1 MHz por debajo de la de Vídeo. Dos señales separadas por 5,5 MHz suelen ser una emisora de TV. Las emisoras de TV están entre 500 y 700 MHz en la banda de UHF

29 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 29 Como práctica: Halla las frecuencias de video y sonido de las distintas señales de TV (caso que en ese momento emitan) ESTUDIO DE FILTROS O UN AMPLIFICADORES Como en el caso de un cable se principiará por conectar directamente el TG (Tracking Generator) con el Analizador. Se elige el margen de frecuencias a las que queremos hacer el estudio. Se selecciona el nivel de señal que le vamos aplicar. En la pantalla tendremos una línea que corresponde al nivel de señal a cada una de las frecuencias que vamos a aplicar al filtro o al amplificador. Ahora conectamos el TG a la entrada del filtro ó amplificador, y la salida de éste a la entrada del Analizador. Sobre la pantalla tendremos la curva de respuesta del dispositivo bajo prueba. En caso de estudiar un amplificador, asegurarse de que el nivel de salida no sea superior a 7 V ESTUDIO DE UN FILTRO COMBINADO CON UN CABLE Una vez obtenidas las ondas estacionarias en el cable (apartado 7-1) conectamos el filtro al final del cable seguido de una carga de 50Ω. El cable produce las ondas estacionarias. Al poner el filtro, si es de paso alto, deja pasar las altas frecuencias que son absorbidas por la carga, y rechaza las bajas. Obtendremos en la pantalla unos oscilogramas como los de la Fig 7. Si el filtro fuera un paso-bajos, sucedería lo contrario. Ilustr MEDIDA DEL INDICE DE MODULACIÓN UTILIZANDO LAS FUNCIONES DE BESSEL En la Ilustr.15 se muestran las relaciones entre las amplitudes de la portadora y las bandas laterales de una onda modulada como una función del índice de modulación m.

30 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 30 Ilustr. 15 En la ilustración 15 podemos ver que la portadora y las distintas bandas laterales pasan por amplitud cero para un valor específico de m. Así la portadora pasa por una amplitud cero por primera vez para m = 2,4 luego vuelve a pasar para 5,52 etc. La banda lateral de primer orden pasa por cero para una m = 3,9. Luego para 7 etc. Si modulamos en F.M. la portadora, mediante el generador interno a 2 KHz, y vamos variando la desviación de frecuencia con pequeños incrementos, podemos ver como la fundamental y las distintas bandas laterales van variando su amplitud. Un punto fácil de ver el índice de modulación, m, es cuando la fundamental o alguna de las bandas pasa por cero (o es mínima). Por otra parte para cada valor determinado de m, la portadora y las bandas laterales tienen una amplitud distinta. En el gráfico vemos que hay una enumeración que nos permitirá hallar el índice m para cualquier valor de las bandas. Los números indican el tanto por uno de la fundamental sin modular. Así, si medimos el valor de nuestra fundamental sin modular y luego medimos el valor que tiene para una cierta modulación la fundamental o una banda lateral y calculamos a qué tanto por uno corresponde respecto a la señal sin modular y se luego vamos a las gráficas, podemos hallar el índice m de modulación, viendo qué valor corresponde a ese tanto por uno.

31 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 31 Mediremos el nivel de la portadora sin modular en lineal. Supongamos que nos da 16mV. Si ahora ponemos una modulación y volvemos a medir el nivel de la portadora modulada y nos da 10 mv, por ejemplo.hallaremos que tanto por uno del nivel de la portadora representan estos 10 mv. En nuestro caso daría un Buscamos en la gráfica a qué índice de modulación corresponde el 0,62 que es de 1,3 aproximadamente. Ilustr.16 Cuando el índice de modulación es elevado (superior a 5) es espectro aparece como el de las ilustraciones 16 y 17. Presenta una forma de filtro paso banda, con unas partes más elevadas en los extremos. El ancho de banda es aproximadamente dos veces la desviación de frecuencia F. Como m = F / fm podemos hallar el índice de modulación conociendo la frecuencia de la moduladora. En el caso de la ilustr. 16 en que el ancho de manda es 40KHz. y por tanto F = 20KHz y la frecuencia de la moduladora es de 3KHz tendríamos que m = 20KHz /3KHz =6,66 En el caso de la Ilustr. 17 tenemos ancho de banda igualmente 40 KHz pero la moduladora es de 0,3KHz. Por tanto m = 20KHz / 03KHz = 66,66 NOTA: Los índices de modulación los podemos comprobar mediante el ANDO y el analizador de espectros aplicando la fórmula : m = F/fm.

32 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 32 Ilustr INTERMODULACIÓN Cuando dos señales pasan a través de un elemento no lineal se produce una distorsión por intermodulación. De esta intermodulación resultan armónicos de frecuencias suma y diferencia. Las resultantes de suma o diferencia de dos fundamentales se llaman armónicos de segundo orden. Si son producidas por la fundamental de una y el segundo armónica de otra, se llaman de tercer orden. Si son resultado de segundos armónicos de ambas, se les llama de cuarto orden. Etc... Procedimiento: 1. Conecta la señal del "ANDO"(máxima salida) al Analizador. Pon el "Scan width" en 20. Anota los armónicos en un papel milimetrado del tamaño de la pantalla del Analizador y en las mismas proporciones que aparecen en el display 2. Desconecta la señal anterior y conectar la señal del generador RE a una frecuencia de 27 MHz con una tensión de 100mv (raya roja).anota los armónicos de esta señal en el mismo papel milimetrado. 3. Conecta las dos señales juntas mediante una T. Anotar los nuevos armónicos que aparecen. Identifícalos como sumas o restas de los anteriores. 4. En cuánto aumentaría la distorsión de cada señal debida a la intermodulación producida por la otra?

33 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página SINTETIZADOR DE FRECUENCIAS DESCRIPCIÓN El sintetizador de frecuencias dispone de 10 frecuencias fijas (1 KHz, 2 KHz KHz) de amplitud y fase variable excepto la de 1 KHz. que la fase no es variable Tiene 3 salidas: 1.- Una onda cuadrada de 1 KHz que se utiliza normalmente como salida de sincronismo externo. 2.- Una onda sinusoidal de 1 KHz que se puede utilizar como referencia para los desfasajes. Uno de los sintetizadores no tiene esta señal. Para comparar las fases se utiliza la señal cuadrada. 3.- Una salida general de las formas de onda sumadas o no. Tiene ajuste general de la ganancia PRÁCTICAS CON EL SINTETIZADOR a) FIGURAS DE LISSAJOUS Dado que tenemos frecuencias que son múltiplos exactos podemos obtener la figuras de Lissajous de una manera estable (no como las veíamos en primero, utilizando dos generadores distintos). Ejemplo: Colocar el osciloscopio en X-Y llevar la frecuencia 1 KHz de la segunda salida a un canal e ir colocando en el otro canal distintas frecuencias mediante la salida general. Variar la fase para ver su efecto. NOTA: Dos frecuencias distintas están en fase cuando cada vez que la menor pasa por cero en sentido ascendente también la de mayor frecuencia pasa por cero en sentido ascendente. b) SEÑAL MODULADA EN AMPLITUD COMO SÍNTESIS DE UNA PORTADORA Y DOS BANDAS LATERALES. Ejemplo: Coloca una frecuencia de 9 KHz que será la portadora, con una amplitud de 4 cuadros. Añade una banda lateral, si queremos que la moduladora sea de 1 KHz, la banda lateral superior será de 9 KHz + 1 KHz. Por tanto añade 10 KHz con una amplitud mitad. La banda inferior será 9 KHz - 1 KHz. Añade también una frecuencia de 8 KHz con una amplitud igual a la de 10 KHz.

34 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 34 Nota: Lo anterior no es propiamente una modulación, pues no hay una moduladora. Es una síntesis o simulación.con todo el espectro es el mismo. Es importante que las bandas laterales estén en fase con la portadora.. Puedes observar la señal en el osciloscopio y en el analizador de espectros. NOTA: Si suprimes una banda lateral tendrás lo que se llama "modulación con banda lateral única" (la profundidad de modulación se reduce a la mitad). Si suprimes la portadora y dejamos las 2 moduladoras tendrás lo que se llama modulación con supresión de portadora. En este caso la envolvente no es una senoide, sino medias senoides. c) SÍNTESIS DE UNA ONDA CUADRADA De acuerdo con los desarrollos de Fourier, la onda cuadrada viene expresada por la fórmula siguiente: y = E ( cos x+ cos 3x+ cos 5x+...) π 3 5 Podemos hacer que la fundamental sea la de 1 KHz con una amplitud dada E. Le sumaremos en fase el tercer armónico con amplitud 1/3; luego el quinto en fase y amplitud de 1/5 etc. Ilustr. 18 Representación de una onda cuadrada. d) SÍNTESIS DE UNA ONDA TRIANGULAR. 4E 1 1 = ( cos wt + cos 3wt + cos 5wt... ) 2 2 π 3 5 y 2 e) SÍNTESIS DE UNA ONDA DE DIENTE DE SIERRA. La ecuación es la siguiente: 2 y = E ( π 1 1 sen x - sen 2x+ 2 3 sen 3x +... ) Podemos tomar como fundamental la frecuencia de 1 KHz y una amplitud dada E.

35 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 35 Luego le sumaremos el segundo armónico con 1/2 de la amplitud de E en contrafase. Así sucesivamente los distintos armónicos en fase y contrafase, y con amplitudes correspondientes a los coeficiente de cada término. El borne señalado con 1 KHz está desfasado 180 grados respecto a la señal de 1 KHz de la salida general. Esto es importante de cara a poder comparar los desfasajes de los distintos tonos respecto a la fundamental de 1 KHz. Como ninguna de las dos señales tiene variacióde fase, la única forma de ponerlas en fase es utilizar el inversor del canal B del Osciloscopio veremos que tienen "casi" la misma circuitería e idénticos mandos y dispuestos de igual forma. Ilustr.19 Representación de una onda en diente de sierra 10.- APÉNDICE 1 f(t)= a0 + a1 cosωt + a2 cos 2ωt + a3 cos 3ωt b1 senωt +b2 sen 2ωt +b3 sen 3ωt Donde: ω = π T Los coeficientes de Fourier, a n y b n, se determinan para cada forma de onda mediante el cálculo integral. El coeficiente del coseno se obtiene multiplicando ambos miembros de la fórmula anterior por cos (nωt) e integrando a lo largo de un período. El período fundamental, 2 π/ ω, es el período de la serie, puesto que cada uno de sus términos tiene una frecuencia múltiplo entero de la fundamental. Los coeficientes se obtienen: 2 T an= f(t) cos (nωt) dt ; 0 T b n = 2 T T 0 f(t) sen (nωt) dt

36 Capítulo 3. El Analizador de espectros de R.F Página 36 O bien tomando como variable ω t 1 2π an= f(t) cos (nωt) d( ωt) ; 0 π 1 2 bn= 0 π π f(t) sen (nωt) d( ωt) Los límites de integración tienen que incluir un período completo, pero no es preciso que sea desde 0 a T, ó de 0 a 2π. En lugar de esto, la integración puede efectuarse desde -T/2 a T/2, ó desde -π a +π u otro período completo que la simplifique. La constante a o se obtiene haciendo n = 0 en la fórmula a n. El coeficiente a 1 representa la fundamental: los coeficientes a 2, a 3, etc., representan los armónicos.