Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE CONJUNTOS

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE CONJUNTOS"

Transcripción

1 Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE CONJUNTOS

2

3 Un conjunto es un muchos que puede ser pensado como uno. Georg Cantor

4

5 Índice General Introducción ix Capítulo I: El lenguaje de la teoría de conjuntos Clases y conjuntos Funciones Formación de conjuntos La teoría de conjuntos NBG Relaciones Leyes de composición interna Capítulo II: Ordinales La construcción de los ordinales Inducción y recursión transfinita Ordinales y buenos órdenes Funciones normales La aritmética ordinal Sumas finitas La forma normal de Cantor Capítulo III: La teoría de conjuntos NBG Relaciones bien fundadas El axioma de regularidad El axioma de elección Capítulo IV: Cardinales Equipotencia Números cardinales La aritmética cardinal Conjuntos finitos Sumas y productos infinitos Cofinalidad Aplicaciones sobre el axioma de elección v

6 vi ÍNDICE GENERAL Capítulo V: La exponenciación cardinal La exponenciación en NBG La hipótesis de los cardinales singulares Cardinales fuertemente inaccesibles Capítulo VI: Conjuntos cerrados no acotados y estacionarios Conjuntos cerrados no acotados Conjuntos estacionarios Un teorema de Silver Cardinales de Mahlo Principios combinatorios Puntos fijos de funciones normales Capítulo VII: El sistema numérico Los números enteros Los números racionales Cuerpos métricos completos La construcción de R Conjuntos ordenados completos Sumas infinitas Capítulo VIII: Elementos de topología Espacios topológicos Algunos conceptos topológicos Aplicaciones continuas Condiciones de numerabilidad Espacios compactos Capítulo IX: Árboles El problema de Suslin Conceptos básicos sobre árboles Árboles de Aronszajn Árboles de Suslin Árboles de Kurepa Capítulo X: Álgebras de Boole Conceptos básicos Álgebras completas Ideales y filtros Espacios de Stone Aplicaciones a la topología Capítulo XI: Elementos de teoría de modelos Lenguajes y modelos Teorías formales Submodelos, inmersiones Ultraproductos

7 ÍNDICE GENERAL vii Bibliografía 383 Índice de Materias 384

8

9 Introducción El propósito de este libro es proporcionar una introducción axiomática rigurosa a la teoría de conjuntos que no presuponga del lector ningún conocimiento técnico de la lógica matemática más allá de una cierta familiaridad con las técnicas de razonamiento informal-formalizable que emplean habitualmente los matemáticos. Naturalmente, una fundamentación sólida de la teoría de conjuntos presupone la lógica formal, y a este respecto podemos decir que oficialmente este libro debe considerarse como la continuación de mi libro de Lógica matemática (LM), en el que, entre otras cosas, se discuten con todo el detalle y los tecnicismos necesarios diversas teorías axiomáticas de conjuntos, entre ellas la de Zermelo-Fraenkel (ZFC) y la de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Sin embargo, aquí hemos optado por exponer la teoría axiomática de modo que no ha sido necesario hacer ninguna referencia explícita a LM, de tal forma que quien lea LM y continúe con este libro, no sólo no encontrará ninguna laguna entre ambos, sino que de hecho hallará varios solapamientos, los que hemos considerado necesarios para que el lector familiarizado con el razonamiento matemático pueda suplir con dicha familiaridad los requisitos técnicos que proporciona LM. De este modo, LM y el presente libro suponen dos propuestas alternativas para introducirse en la teoría de conjuntos: o bien empezando por los fundamentos lógicos de LM para después adentrarse en los contenidos matemáticos de las teorías de conjuntos allí presentadas, o bien empezar por una introducción axiomática a la teoría de conjuntos apoyada en la familiaridad del lector con el razonamiento matemático para después (opcionalmente) profundizar en sus aspectos lógicos a través de LM. Puesto que la distinción entre conjuntos y clases propias resulta inevitable, para eliminar por completo las dificultades conceptuales que conlleva (que se discuten con detalle en LM) hemos optado por partir de la teoría axiomática de von Neumann-Bernays-Gödel NBG en lugar de la más habitual, que es ZFC, puesto que así el concepto de clase propia es un concepto formal más que no debería presentar ninguna dificultad especial al lector, en lugar de un concepto metamatemático que tiene que entenderse necesariamente en términos de conceptos lógicos. No obstante, ambas teorías son equivalentes, y el lector familiarizado con LM se dará cuenta de que, pasado el capítulo I (en el que exponemos la axiomática de NBG), las siglas NBG pueden ser trivial y sistemáticamente sustituidas por ZFC sin necesidad de modificar absolutamente nada de lo dicho. ix

10 x Introducción Los capítulos siguientes, desde el II hasta el V exponen los resultados fundamentales de la teoría de conjuntos cantoriana (principalmente la teoría de ordinales y de cardinales), sin perjuicio de que se presenten muchos resultados muy posteriores en el tiempo a la época de Cantor. El capítulo VI, aunque es una prolongación natural del precedente, es bastante más avanzado y puede leerse tras los capítulos VII y VIII. El primero de éstos está dedicado a la construcción del sistema numérico, y termina de justificar así que la teoría axiomática presentada es suficiente para desarrollar a partir de ella todas las ramas de la matemática (álgebra, análisis, geometría, topología, etc.) Precisamente en el capítulo 8 introducimos los elementos básicos de la topología conjuntista como requisito para la exposición de aspectos más avanzados de la teoría de conjuntos, entre los que se cuentan varios apartados del capítulo previo VI (los relativos a principios combinatorios, cardinales inaccesibles, etc.) así como los capítulos posteriores sobre árboles y álgebras de Boole. El límite principal que nos hemos impuesto al elegir los contenidos ha sido evitar todos aquellos que requieren considerar modelos de la teoría de conjuntos (con todos los aspectos sobre lógica y metamatemática que ello requeriría). No obstante, en el último capítulo presentamos los resultados básicos de la teoría de modelos, pero sin entrar, según acabamos de decir, en el estudio de modelos de la propia teoría de conjuntos, evitando así la necesidad de introducir distinciones sutiles entre fórmulas metamatemáticas y fórmulas definidas en la teoría axiomática. La mayor parte de los dos últimos capítulos puede verse como los preliminares necesarios (junto con LA) para abordar temas más avanzados de la teoría de conjuntos, principalmente los relativos a pruebas de consistencia, cardinales grandes, etc. Los únicos resultados que se enuncian sin demostración en este libro son los que afirman la consistencia y la independencia de algunas de las afirmaciones consideradas (como la hipótesis del continuo, la existencia de cardinales inaccesibles, etc.) En algunos casos se esbozan sin rigor los argumentos que permiten concluir que determinados hechos no pueden ser demostrados en NBG (o, equivalentemente, en ZFC). Naturalmente, estas observaciones no demostradas no se usan en ningún momento, salvo para relacionar unas con otras.

11 Capítulo I El lenguaje de la teoría de conjuntos En este primer capítulo desarrollaremos el lenguaje necesario para hablar con precisión de conjuntos, de modo que hablaremos de conjuntos en general sin hablar de ningún conjunto en particular. En el capítulo siguiente usaremos los conceptos introducidos aquí para construir (es decir, describir) conjuntos concretos (como los números naturales) que empezarán a perfilar el objeto de estudio de la teoría. 1.1 Clases y conjuntos El concepto matemático de conjunto pretende precisar el concepto informal de colección de objetos, sin embargo hay razones profundas que harían ingenuo pensar que un conjunto (en el sentido técnico que vamos a dar a la palabra) es exactamente lo mismo que una colección de objetos. Ciertamente, podemos pensar tranquilamente que todo conjunto es una colección de objetos sin que ello nos lleve a ninguna contradicción (que se sepa), pero pensar que cualquier colección de objetos puede identificarse con un conjunto sí que lleva inevitablemente a contradicciones. Más concretamente: al tratar de precisar el concepto informal de conjunto nos aparecen inevitablemente colecciones de objetos (muchas de las cuales tienen interés matemático) que no pueden considerarse conjuntos sin caer en contradicciones. Por este motivo vamos a partir de un concepto más general que el de conjunto, al que llamaremos clase. Las clases también serán colecciones de objetos, y seguirá siendo cierto que si intentáramos identificar cualquier colección de objetos con una clase caeríamos inevitablemente en contradicciones, pero definiremos los conjuntos como un tipo particular de clases de modo que todas las colecciones de conjuntos que necesitaremos considerar, o bien serán conjuntos, o bien serán clases, y así habremos obtenido un marco conveniente para desarrollar la teoría de conjuntos. 1

12 2 Capítulo 1. El lenguaje de la teoría de conjuntos Así pues, decimos que las clases de las que vamos a hablar serán (o podrán ser consideradas como) colecciones de objetos. Quizá el lector espere ahora que, en aras del rigor matemático, explicitemos qué colecciones de objetos vamos a considerar exactamente como clases y cuáles van a ser exactamente los objetos que podrán aparecer en las colecciones llamadas clases, pero no vamos a hacer nada parecido a esto. Por el contrario vamos a limitarnos a afirmar que las clases son simplemente los objetos de los que vamos a hablar (sin especificar cuáles son), y que dadas dos clases A y B, entre ellas puede darse o no la relación de pertenencia, que representaremos por A B cuando se dé y por A / B cuando no se dé. En el primer caso diremos que la clase A pertenece a (o es un elemento de) la clase B, y en el segundo caso diremos que A no pertenece a B o que no es un elemento de B. Es en este sentido en el que podemos pensar que una clase B es la colección de todas las clases A que cumplen A B, pero ni vamos a definir qué es exactamente una clase, ni en qué consiste exactamente que una clase pertenezca o no a otra. La parte positiva es que prometemos no hacer esto nunca más, de modo que desde aquí nos obligamos a que cualquier otro concepto que introduzcamos en adelante sea definido con total precisión a partir de los conceptos de clase y pertenencia. Un lógico dirá que los conceptos de clase y pertenencia son los conceptos primitivos (o conceptos no definidos) de la teoría de conjuntos. La forma de hablar con total rigor de unos conceptos no definidos es a través de axiomas. Vamos a postular que las clases y la pertenencia de las que nos proponemos hablar (sean lo que sean) satisfacen unos axiomas y, del mismo modo que nos hemos comprometido a no introducir nuevos conceptos sin definirlos con todo rigor a partir de los conceptos primitivos de clase y conjunto (o, más en general, de otros conceptos previamente definidos) nos comprometemos también a no afirmar nada sobre las clases y la pertenencia (o sobre los conceptos que introduzcamos en adelante) que no pueda ser demostrado lógicamente con todo rigor a partir de los axiomas establecidos. Para ilustrar estos propósitos empezamos dando la definición de conjunto: Definición 1.1 Diremos que una clase es un conjunto si pertenece al menos a otra clase, es decir: cto A W B A B. Notemos que en la formalización de esta definición hemos escrito existe un B tal que A pertenece a B. No necesitamos especificar de ninguna forma que B es una clase, pues todos los objetos de los que vamos a hablar son clases. El primer axioma que adoptamos es el siguiente: Axioma de Extensionalidad entonces son iguales, es decir, Si dos clases tienen los mismos elementos, V AB( V x(x A x B) A = B).

13 1.1. Clases y conjuntos 3 Es el axioma de extensionalidad el que nos legitima a pensar en las clases como colecciones de elementos (de clases, concretamente), pues si dos clases tienen los mismos elementos (es decir, si todo elemento de una lo es de la otra y viceversa, como dice la hipótesis del axioma) entonces ambas determinan la misma colección de objetos, y lo que dice el axioma es que si dos clases determinan la misma colección de objetos, entonces son una misma clase. En otros términos: una clase no es ni más ni menos que la colección de clases que determina mediante la relación de pertenencia. Veamos una segunda definición: Definición 1.2 Diremos que una clase A es una subclase de una clase B (o un subconjunto, si es que A es un conjunto) si todo elemento de A es también un elemento de B, es decir, A B V x(x A x B). Observemos que A B se cumple en particular si A = B. Cuando queramos indicar que A es una subclase de B distinta de la propia B escribiremos A B A B A 6= B. Veamos ahora un ejemplo elemental de teorema: Teorema 1.3 Se cumple: a) V A A A, b) V AB(A B B A A = B), c) V ABC(A B B C A C). Demostración: Observemos que los teoremas a) y c) no requieren el axioma de extensionalidad, es decir, son teoremas lógicos que se deducen de las definiciones sin necesidad de ninguna hipótesis específica sobre las clases. Por ejemplo, para demostrar c) suponemos A B B C y, para probar A C tomamos una clase x A, de modo que, como A B, podemos afirmar que x B y, como B C, podemos afirmar que x C. Esto prueba que x A x C y, como esto vale para toda clase x, concluimos que A C. En cambio, el teorema b) requiere el axioma de extensionalidad (y de hecho es equivalente a él). Si suponemos que A B B A, entonces tenemos que todo x A cumple x B, y viceversa, es decir, que x A x B, luego por el axioma de extensionalidad A = B. Lo importante que el lector debe extraer de este resultado, más allá de la trivialidad de lo que afirma en sí mismo, es que en él se pone de manifiesto cómo es posible razonar de forma totalmente rigurosa con unos objetos (las clases) y una propiedad (la pertenencia) que nunca hemos definido de ninguna forma, pero no importa lo que sean las clases y la pertenencia que, mientras

14 4 Capítulo 1. El lenguaje de la teoría de conjuntos cumplan el axioma de extensionalidad, tendrán que cumplir necesariamente el teorema anterior. Toda demostración matemática, por sofisticada que sea, es de la misma naturaleza, con la única diferencia de que puede apoyarse en algunos axiomas más que vamos a ir introduciendo paulatinamente. El segundo axioma es el más delicado desde un punto de vista técnico: Axioma de comprensión Si φ(x) es cualquier propiedad normal, existe una clase cuyos elementos son exactamente los conjuntos x que tienen la propiedad φ(x), es decir, W V A x(x A cto x φ(x)). Naturalmente, aquí debemos especificar qué queremos decir por propiedad normal. Ante todo, cuando decimos que φ(x) es una propiedad queremos decir, más concretamente, que es una propiedad definible exclusivamente a partir de los conceptos de clase y pertenencia mediante los conectores lógicos ( y, o, si y sólo si, etc.) y los cuantificadores ( para todo y existe ) (o de otros conceptos definidos previamente en estas condiciones), entendiendo que pueden aparecer más variables además de la x. Enseguida veremos ejemplos. Que la propiedad sea normal significa que los cuantificadores sólo recorren conjuntos, es decir, que en la definición de φ(x) no se dice nunca para toda clase A o existe una clase A, sino a lo sumo para todo conjunto A o existe un conjunto A. Antes de discutir más a fondo las sutilezas de este axioma, vamos a poner sobre el papel ejemplos concretos, pero primero observemos que el axioma de comprensión puede ser mejorado: Teorema 1.4 En las condiciones del axioma de comprensión, se cumple 1W A V x(x A cto x φ(x)). Demostración: Se trata de probar que existe una única clase A cuyos elementos son los conjuntos que cumplen φ(x). La existencia de tal clase la proporciona el axioma de comprensión. Para probar que es única suponemos que una clase B cumple lo mismo, es decir, V V x(x A cto x φ(x)) x(x B cto x φ(x)). Es claro que de aquí se deduce que V x(x A x B), y el axioma de extensionalidad nos da entonces que A = B, es decir, sólo puede haber una clase que cumpla la propiedad considerada. Cuando hay una única clase que cumple una propiedad, la lógica nos permite introducir un nombre para ella. En este caso: Definición 1.5 {x φ(x)} A V x(x A cto x φ(x)), es decir, llamamos {x φ(x)} a la única clase cuyos elementos son los conjuntos x que cumplen φ(x).

15 1.1. Clases y conjuntos 5 Por ejemplo, ahora podemos definir la unión, la intersección, el complemento y la diferencia de clases como A B {x x A x B}, A B {x x A x B}, respectivamente. A {x x / A}, A \ B {x x A x / B}, Tenemos así cuatro ejemplos de aplicación del axioma de comprensión. En la definición de la unión estamos tomando φ(x) x A x B, que es una propiedad definida exclusivamente en términos de la pertenencia y un signo lógico (la disyunción), en la que, además de la variable x, figuran las variables auxiliares A y B. Como no aparecen cuantificadores, la propiedad es normal y el axioma es aplicable. Lo mismo vale para los otros tres ejemplos. Definimos ahora dos ejemplos concretos de clases, la clase universal y la clase vacía: V {x x = x}, {x x 6= x}. Obviamente, como ningún conjunto es distinto de sí mismo, tenemos que V x x /. Más aún, la clase vacía es la única clase con esta propiedad, es decir: V A( V x x / A A = ). Esto es una consecuencia del axioma de extensionalidad, pues si una clase A no tiene elementos, entonces tiene los mismos elementos que la clase vacía (ninguno), luego ambas clases son la misma. Respecto de la clase universal, es muy importante tener presente que, aunque toda clase A cumple A = A, eso no significa que toda clase A cumpla A V. Recordemos que, en general, los elementos de una clase {x φ(x)} no son todas las clases que cumplen φ(x), sino todos los conjuntos que cumplen φ(x). Para pertenecer a {x φ(x)} no basta con cumplir la propiedad φ(x), sino que se requiere además ser un conjunto. En nuestro caso, la clase universal está formada por todos los conjuntos que cumplen x = x, es decir, se trata de la clase de todos los conjuntos (pero no de la clase de todas las clases). Así pues: V x(x V cto x). Observemos que y V son, respectivamente, la menor y la mayor de todas las clases, en el sentido de que V A( A A V ). En efecto, como los elementos de cualquier clase A son conjuntos, todos ellos son también elementos de V, luego tenemos la inclusión A V. Por otra parte, la clase vacía está contenida en cualquier otra clase, porque la implicación x x A se cumple trivialmente (no es posible encontrar un conjunto x que cumpla x x / A). Diremos que dos clases A y B son disjuntas si A B =, es decir, si no tienen elementos en común.

16 6 Capítulo 1. El lenguaje de la teoría de conjuntos Nota Los conceptos que acabamos de introducir verifican una serie de propiedades que se demuestran todas de forma elemental. Por ejemplo, se cumple que V ABC(A (B C) = (A B) (A C)). Para probar este tipo de igualdades basta recurrir al axioma de extensionalidad: tomamos un conjunto x A (B C) y probamos que pertenece también al otro miembro. En efecto, por definición de intersección x A y x B C, y por definición de unión, o bien x B (en cuyo caso x A B) o bien x C (en cuyo caso x A C), luego en cualquiera de los dos casos x (A B) (A C). Esto prueba la implicación x A (B C) x (A B) (A C), y la implicación opuesta se demuestra de forma similar. Entonces el axioma de extensionalidad nos da la igualdad. Alternativamente, podemos considerar que hemos probado la inclusión A (B C) (A B) (A C), y que la implicación contraria prueba la inclusión contraria: (A B) (A C) A (B C), y entonces concluimos mediante 1.3 b). En general una forma de probar una igualdad entre dos clases X = Y es probar la doble inclusión X Y Y X y aplicar 1.3 b). A partir de los axiomas de extensionalidad y comprensión no es posible probar que V 6=, es decir, no es posible probar que existan conjuntos. Por ello introducimos ahora un axioma que postula la existencia de un conjunto: Axioma del conjunto vacío cto. Así pues, a partir de aquí podemos hablar del conjunto vacío en lugar de la clase vacía. En particular, ahora podemos afirmar que V, luego V 6=. Podemos definir unos conceptos más generales de unión e intersección: S W T V A {x y A x y}, A {x y A x y}. Observemos que aquí usamos la notación W y A φ(y) como abreviatura de W y(y A x y), es decir, existe una clase y en A tal que φ(y). Ahora bien, la condición y A supone implícitamente que y es un conjunto (pues estamos diciendo que pertenece a otra clase), luego esto es equivalente a W y(cto y y A φ(y)). Similarmente, V y A φ(y) es una abreviatura por V y(y A φ(y)), que a su vez es equivalente a V y(cto y y A φ(y)), luego las cuantificaciones de la forma W y A o V y A son cuantificaciones sobre conjuntos y determinan propiedades normales (supuesto que lo que vaya a continuación sea normal).

17 1.1. Clases y conjuntos 7 Estas consideraciones generales justifican en particular que la existencia de gran unión y la gran intersección se sigue de dos aplicaciones legítimas del axioma de comprensión. Claramente, S A resulta de reunir en una única clase todos los elementos de todos los elementos de A, mientras que T A contiene a los elementos comunes a todos los elementos de A. Observemos que S =, S V = V, T = V, T V =. En efecto, vamos a probar las dos últimas igualdades: Si x V, entonces trivialmente V y y x, pues no es posible encontrar un y que no cumpla y x, y esto significa que y T, luego tenemos la inclusión V T, y ya hemos visto que la inclusión contraria se cumple siempre. Para la última igualdad requerimos el axioma del conjunto vacío. En efecto, si x T V, entonces x pertenece a todos los elementos de V, en particular x, lo cual es imposible. Por lo tanto T V no tiene elementos y es el conjunto vacío. Veamos ahora un ejemplo que muestra la necesidad de distinguir entre clases y conjuntos. Definimos la clase de Russell como R {x x / x}, es decir, se trata de la clase de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. La propiedad x / x es normal (trivialmente, porque no tiene cuantificadores) luego el axioma de comprensión justifica la existencia de R. Si no distinguiéramos entre clases y conjuntos, y pretendiéramos haber definido el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos tendríamos una contradicción, pues cabría plantearse si el conjunto R se pertenece o no a sí mismo, y las dos opciones resultan contradictorias: si R R entonces R debería ser uno de los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, y concluiríamos que R / R, en contra de lo supuesto. Si, por el contrario, suponemos que R / R, entonces R sería un conjunto que no se pertenece a sí mismo y deberíamos concluir que R R, en contradicción con lo supuesto. Esta paradoja se conoce como la paradoja de Russell, y no afecta a la teoría de conjuntos en los términos que la estamos presentando, pues en nuestro contexto se reduce al teorema siguiente: Teorema 1.6 cto R. Demostración: Observemos que R / R, pues si se cumpliera R R por definición de R resultaría que R / R y tendríamos una contradicción. Si R fuera un conjunto, entonces tendríamos cto R R / R, es decir, R sería un conjunto que no se pertenece a sí mismo, y esto implicaría R R, con lo que tendríamos una contradicción. Así pues, R no puede ser un conjunto. Las clases que no son conjuntos se llaman clases propias. Acabamos de probar que la clase de Russell es una clase propia, y que además cumple R / R.

18 8 Capítulo 1. El lenguaje de la teoría de conjuntos Si no fuera por la distinción entre clases y conjuntos, que hace que R / R no obligue necesariamente a que R R, tendríamos una contradicción. Notemos que, como es un conjunto que no se pertenece a sí mismo, se cumple que R, luego R 6=. Ahora es claro también que la noción de clase no puede identificarse con la de colección de objetos, pues, admitiendo que existan clases que cumplen los axiomas que estamos suponiendo, tenemos que y R son dos clases que forman una colección de dos clases, pero tal colección no se corresponde con ninguna clase, en el sentido de que no existe ninguna clase cuyos elementos sean exactamente y R, pues para que ello fuera posible R debería ser un conjunto y no lo es. Así pues, siempre podemos pensar en colecciones de objetos (de clases, concretamente) que van más allá de las colecciones que podemos expresar mediante clases. Nuestro propósito es demostrar (adoptando para ello los axiomas adecuados) que todas las colecciones que realmente son necesarias para desarrollar las matemáticas (y esto no incluye a la colección formada por y R, de la que podemos hablar, pero tampoco pasa nada si no la tenemos en cuenta) son en su mayor parte conjuntos y, en algunos pocos casos, clases propias, pero clases al fin y al cabo. Nota El lector se habrá preguntado sin duda por qué hemos impuesto la condición de normalidad en el axioma de comprensión o, equivalentemente, qué problema habría en admitir que cualquier propiedad, normal o no, define una clase. La respuesta es que no habría ningún problema. La teoría axiomática de conjuntos que resulta de aceptar los axiomas que hemos introducido hasta ahora y los que introduciremos en lo sucesivo se conoce como teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel, (NBG), mientras que si eliminamos la restricción de normalidad en el axioma de comprensión tenemos la teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK). La diferencia entre ambas es que en NBG la noción de clase propia es eliminable, es decir, toda la teoría puede ser reformulada para eliminar por completo el concepto de clase propia y trabajar exclusivamente con conjuntos. El resultado es la llamada teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) que es totalmente equivalente a NBG en el sentido de que un teorema que involucre exclusivamente conjuntos es demostrable en NBG si y sólo si es demostrable en ZF. Las clases como R, que en NBG se demuestra que son clases propias, simplemente no existen en ZF, es decir, en ZF, en lugar de la clase de los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos no es un conjunto, se demuestra no existe ningún conjunto cuyos elementos sean los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Por el contrario, en MK las clases propias pueden usarse para demostrar resultados sobre conjuntos (incluso afirmaciones que hablan exclusivamente de números naturales) que no son demostrables en NBG ni, por consiguiente, en ZF. En realidad, al restringirnos a NBG, es decir, al aceptar la restricción del axioma de comprensión a propiedades normales, no es que estemos restringiéndonos a NBG, sino más bien estamos observando que todos los resultados que vamos a probar no requieren más que la forma restringida del axioma de com-

19 1.2. Funciones 9 prensión. En ningún momento nos vamos a encontrar con resultado que nos gustaría poder demostrar pero no podemos por culpa de la restricción del axioma de comprensión. Para encontrar resultados así (que los hay) es necesario ahondar mucho en las sutilezas lógicas de la teoría de conjuntos, cosa que no vamos a hacer en este libro. 1.2 Funciones Ahora vamos a enriquecer sustancialmente el lenguaje de la teoría de conjuntos mostrando que a partir de las meras nociones de clase y pertenencia es posible definir funciones que hagan corresponder unos conjuntos con otros. La clave para ello es el concepto de par ordenado, que a su vez requiere definir previamente el concepto de par desordenado: Definición 1.7 Dadas dos clases x e y, definimos el par (desordenado) formado por ellas como {x, y} {z z = x z = y}. Definimos también {x} {x, x} = {z z = x}. De este modo, {x, y} es la clase de todos los conjuntos que son iguales a x o a y. Esto hay que tomarlo con precaución si x o y no son conjuntos. Por ejemplo, {, R} = { } y {R} =. Con los axiomas que hemos presentado hasta ahora no es posible demostrar que exista ningún otro conjunto, aparte de. Esto cambia drásticamente si añadimos el axioma siguiente: Axioma del par V xy (cto x cto y cto{x, y}). En otras palabras, el axioma del par afirma que el par definido por dos conjuntos es un conjunto. El axioma incluye el caso en que x = y, en cuyo caso tenemos: V x(cto x cto{x}). Ahora podemos probar la existencia de muchos conjuntos, como, { }, {, { }}, {{ }}, etc. Más en general, cuando escribamos expresiones de la forma {a, b, c, d}, habrá que entender que nos referimos a la clase {a, b, c, d} {x x = a x = b x = c x = d}. Se dice entonces que hemos definido la clase A = {a, b, c, d} por extensión, es decir, especificando sus elementos uno a uno, mientras que las clases definidas especificando una propiedad que deben cumplir sus elementos están definidas por comprensión. Obviamente, sólo es posible definir por extensión clases con un número finito de elementos. Los axiomas vistos hasta el momento no nos

20 10 Capítulo 1. El lenguaje de la teoría de conjuntos permiten asegurar que la clase {a, b, c, d} sea un conjunto aunque lo sean sus elementos. Observemos ahora que si x, y son conjuntos, se cumple que {x, y} = {y, x}, pues ambos conjuntos tienen los mismos elementos. Un hecho fundamental es que podemos definir un nuevo concepto de par en el que el orden de sus elementos sea relevante: Definición 1.8 Definimos el par ordenado de componentes los conjuntos x e y como el conjunto (x, y) {{x}, {x, y}}. Observemos que si x e y son conjuntos, entonces {x} y {x, y} son conjuntos por el axioma del par, y entonces (x, y) es un conjunto por una nueva aplicación de este axioma. La definición está pensada para que se cumpla el teorema fundamental: Teorema 1.9 Si x, y, u, v son conjuntos, entonces (x, y) = (u, v) x = u y = v. Demostración: Una implicación es trivial. Para probar la contraria suponemos que (x, y) = (u, v). Entonces, como {x} (x, y), tenemos también que {x} (u, v), luego {x} = {u} o bien {x} = {u, v}. Si se da el segundo caso, como u {u, v} = {x}, concluimos que u = x, y en el primer caso llegamos también a la misma conclusión. Ahora distinguimos otros dos casos: si x = y, entonces (x, y) = {{x}, {x, x}} = {{x}}, y como {u, v} (u, v) = (x, y), será {u, v} = {x}, luego v {u, v} = {x}, luego v = x = y. Si, por el contrario, x 6= y, no puede ser {x, y} = {u}, pues entonces sería x = u = y, y como {x, y} (x, y) = (u, v), tiene que ser y {x, y} = {u, v}, luego y = u y = v, pero no puede ser y = u = x, luego tiene que ser y = v. Usaremos la notación {(x, y) φ(x, y)} {z W xy(cto x cto y z = (x, y) φ(x, y))}, es decir, para referirnos a la clase de todos los pares ordenados (x, y) cuyas componentes cumplen la propiedad (normal) φ(x, y). Observemos que la propiedad W xy(cto x cto y z = (x, y) φ(x, y)) es normal si φ lo es, pues los dos cuantificadores que se añaden a lo que afirma φ están restringidos a conjuntos, por lo que si φ es normal el axioma de comprensión asegura la existencia de la clase {(x, y) φ(x, y)}. El ejemplo más simple de clase definida de este modo es el producto cartesiano:

Carlos Ivorra Castillo TEORÍAS DE CONJUNTOS

Carlos Ivorra Castillo TEORÍAS DE CONJUNTOS Carlos Ivorra Castillo TEORÍAS DE CONJUNTOS Todas las teorías son legítimas y ninguna tiene importancia. Lo que importa es lo que se hace con ellas. Jorge Luis Borges Índice General Introducción vii

Más detalles

TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS Versión Preliminar. Renato A. Lewin

TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS Versión Preliminar. Renato A. Lewin TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS Versión Preliminar Author address: Renato A. Lewin Pontificia Universidad Católica de Chile, Facultad de Matemáticas, Casilla 306 - Correo 22, Santiago CHILE. e-mail: rlewin@mat.puc.cl

Más detalles

1. Teoría de Conjuntos

1. Teoría de Conjuntos 1. Teoría de Conjuntos 1.1. CONJUNTOS Considere las siguientes expresiones: 1. Los estudiantes de la Facultad de Matemática y Computación de la Universidad de La Habana del curso 2001-2002. 2. Los tomos

Más detalles

Apuntes de Teoría de Conjuntos

Apuntes de Teoría de Conjuntos Apuntes de Teoría de Conjuntos por Enrique Arrondo ( ) Versión del 20 de Marzo de 2012 Estas notas están basadas en el libro Introduction to Set Theory, de Karel Hrbacek y Thomas Jech, donde el lector

Más detalles

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios } La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

TEMA II: CONJUNTOS Y RELACIONES DE ORDEN. Álgebra II García Muñoz, M.A.

TEMA II: CONJUNTOS Y RELACIONES DE ORDEN. Álgebra II García Muñoz, M.A. TEMA II: CONJUNTOS Y RELACIONES DE ORDEN OBJETIVOS GENERALES 1. Hacer que el alumno asimile el concepto de conjunto como la estructura algebraica más simple en la que se ambientarán el resto de las estructuras

Más detalles

Conjuntos, Relaciones y Funciones

Conjuntos, Relaciones y Funciones Conjuntos, Relaciones y Funciones 0.1 Conjuntos El término conjunto y elemento de un conjunto son términos primitivos y no definidos. De un punto de vista intuitivo parece ser que cualquier colección de

Más detalles

{} representa al conjunto vacío, es decir, aquel que no contiene elementos. También se representa por.

{} representa al conjunto vacío, es decir, aquel que no contiene elementos. También se representa por. 2. Nociones sobre Teoría de Conjuntos y Lógica Para llevar a cabo nuestro propósito de especificar formalmente los problemas y demostrar rigurosamente la correctitud de nuestro programas, introduciremos

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden

Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 7 Relaciones de Orden Contenido

Más detalles

Curso de conjuntos y números. Apuntes. Juan Jacobo Simón Pinero

Curso de conjuntos y números. Apuntes. Juan Jacobo Simón Pinero Curso de conjuntos y números. Apuntes Juan Jacobo Simón Pinero Curso 2013/2014 2 Índice general I Conjuntos 5 1. Conjuntos y elementos 7 1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento.............. 7 1.2.

Más detalles

Haydee Jiménez Tafur Grupo de Algebra. Universidad Pedagógica Nacional Estudiante de maestría en Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia.

Haydee Jiménez Tafur Grupo de Algebra. Universidad Pedagógica Nacional Estudiante de maestría en Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia. "Otras Alternativas Para La Definición De Relación En Teoría De Conjuntos" Carlos Julio Luque Arias Profesor Universidad Pedagógica Nacional Grupo de Algebra. Universidad Pedagógica Nacional Haydee Jiménez

Más detalles

Preliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones.

Preliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones. Preliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones. En este tema expondremos nociones y notaciones fundamentales que se emplearán cotidianamente en cualquier desarrollo matemático.

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

ESTRUCTURAS ORDENADAS Ordenes y Retículos

ESTRUCTURAS ORDENADAS Ordenes y Retículos ESTRUCTURAS ORDENADAS Ordenes y Retículos Renato Lewin Pontificia Universidad Católica de Chile Julio de 1998 1 Conjuntos Ordenados 1.1 Definición y Ejemplos Un conjunto parcialmente ordenado, o simplemente

Más detalles

Prof. Alberto Escande

Prof. Alberto Escande CONJUNTOS Prof. Alberto Escande Conjunto es una palabra familiar, que conocemos de cursos anteriores. Una constelación es un conjunto de estrellas; una circunferencia es un conjunto de puntos que verifican

Más detalles

Subconjuntos destacados en la

Subconjuntos destacados en la 2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,

Más detalles

Para representar los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia, mediante símbolos, tendremos en cuenta las siguientes convenciones:

Para representar los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia, mediante símbolos, tendremos en cuenta las siguientes convenciones: 2. Conjuntos 2.1 Introducción El concepto de conjunto, de singular importancia en la ciencia matemática y objeto de estudio de una de sus disciplinas más recientes, está presente, aunque en forma informal,

Más detalles

EL TEOREMA DE CANTOR-BERNSTEIN Y LA COMPARABILIDAD PARA LOS CONJUNTOS BIEN ORDENADOS

EL TEOREMA DE CANTOR-BERNSTEIN Y LA COMPARABILIDAD PARA LOS CONJUNTOS BIEN ORDENADOS EL TEOREMA DE CANTOR-BERNSTEIN Y LA COMPARABILIDAD PARA LOS CONJUNTOS BIEN ORDENADOS J. CLIMENT VIDAL Resumen. Una vez definidas las nociones y establecidas las proposiciones necesarias de la teoría de

Más detalles

Aplicaciones lineales continuas

Aplicaciones lineales continuas Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

RELACIÓN DE PROBLEMAS Nº 2 CONJUNTOS Y APLICACIONES

RELACIÓN DE PROBLEMAS Nº 2 CONJUNTOS Y APLICACIONES UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Dpto. de Matemáticas (Área de Álgebra) 1. Sean X e Y conjuntos. Demostrar: a) X = X Y Y X. b) X = X Y X Y. RELACIÓN DE PROBLEMAS Nº 2 CONJUNTOS Y APLICACIONES

Más detalles

EJERCICIOS DEL CAPÍTULO I

EJERCICIOS DEL CAPÍTULO I EJERCICIOS DEL CAPÍTULO I 1. Un grupo es una tipo particular de Ω estructura cuando Ω es el tipo Ω = { } siendo una operación de aridad dos. Pero un grupo también es una Ω -estructura siendo Ω = {e, i,

Más detalles

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. Álgebra y Estructuras Discretas Grupo B de la Ingeniería Técnica de Sistemas TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. 1. Definición de Grupo. Propiedades Básicas. Definición 1. Dado un conjunto no vacío G,

Más detalles

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5.

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5. 11 1.3. Factorización Como ya hemos mencionado, la teoría de ideales surgió en relación con ciertos problemas de factorización en anillos. A título meramente ilustrativo, nótese que por ejemplo hallar

Más detalles

personal.us.es/elisacamol Elisa Cañete Molero Curso 2011/12

personal.us.es/elisacamol Elisa Cañete Molero Curso 2011/12 Teoría de conjuntos. Teoría de Conjuntos. personal.us.es/elisacamol Curso 2011/12 Teoría de Conjuntos. Teoría de conjuntos. Noción intuitiva de conjunto. Propiedades. Un conjunto es la reunión en un todo

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

Anillos Especiales. 8.1 Conceptos Básicos. Capítulo

Anillos Especiales. 8.1 Conceptos Básicos. Capítulo Capítulo 8 Anillos Especiales 8.1 Conceptos Básicos En este capítulo nos dedicaremos al estudio de algunos anillos especiales que poseen ciertas condiciones adicionales, aparte de las propias de la definición,

Más detalles

((X A Y ) = A ) si y solo si X = Y, A = B, A X = X, (X A Y ) = X Y, (X A Y ) = X Y

((X A Y ) = A ) si y solo si X = Y, A = B, A X = X, (X A Y ) = X Y, (X A Y ) = X Y El examen de Lógica y fundamentos del 11-02-2005 resuelto por cortesía de Alberto Castellón 1) Sea A = P(B) el conjunto de los subconjuntos de un conjunto B. a) Pruébese que A es un modelo de la teoría

Más detalles

Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen.

Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen. Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen. Mayo 2006 1. La función f es definida por (a) Halle el recorrido exacto, A, de f. f : R R donde f(x) = e senx 1. (b) (i) Explique por qué f no es inyectiva.

Más detalles

Liceo Nº 35, "Instituto Dr. Alfredo Vázquez Acevedo". Nocturno. Matemática. 5º B1 - B2 y 5ª H3. Profesora. María del Rosario Quintans 1

Liceo Nº 35, Instituto Dr. Alfredo Vázquez Acevedo. Nocturno. Matemática. 5º B1 - B2 y 5ª H3. Profesora. María del Rosario Quintans 1 Liceo Nº 35, "Instituto Dr. Alfredo Vázquez Acevedo". Nocturno. Matemática. 5º B1 - B2 y 5ª H3. Profesora. María del Rosario Quintans 1 TEORÍA DE CONJUNTOS CONOCIMIENTOS BÁSICOS Cuando decimos: "un elemento

Más detalles

Lógica, conjuntos, relaciones y funciones

Lógica, conjuntos, relaciones y funciones Lógica, conjuntos, relaciones y funciones Álvaro Pérez Raposo Universidad Autónoma de San Luis Potosí Universidad Politécnica de Madrid Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática Mexicana A la memoria

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou Análisis de una variable real I Tijani Pakhrou Índice general 1. Introducción axiomática de los números 1 1.1. Números naturales............................ 1 1.1.1. Axiomas de Peano........................

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

Introducción al Análisis Complejo

Introducción al Análisis Complejo Introducción al Análisis Complejo Aplicado al cálculo de integrales impropias Complementos de Análisis, I.P.A Prof.: Federico De Olivera Leandro Villar 13 de diciembre de 2010 Introducción Este trabajo

Más detalles

TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN

TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN En este capítulo veremos los métodos matemáticos que se disponen para las operaciones relacionadas con los circuitos digitales, así como las funciones más básicas de la

Más detalles

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos.

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Prof. D. Miguel Ángel García Hoyo. Septiembre de 2011 Dependencia lineal

Más detalles

CAPÍTULO II. 3 El grupo lineal

CAPÍTULO II. 3 El grupo lineal CAPÍTULO II 3 El grupo lineal Como ya se advirtió en el capítulo precedente, los grupos de transformaciones juegan un importante papel en el estudio de la geometría. En esta sección nos ocuparemos de aquellas

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10 Tema 10 Espacios de Hilbert Vamos a desarrollar en lo que sigue los resultados básicos acerca de los espacios de Hilbert, un tipo muy particular de espacios de Banach con propiedades especiales que están

Más detalles

CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS

CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA CÁTEDRA DE LÓGICA COMPUTACIONAL CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS INTRODUCCIÓN Intuitivamente, un conjunto es una

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos

Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 1 Conjuntos y Subconjuntos

Más detalles

MATEMÁTICAS II APUNTES DE TEORÍA CURSO ACADÉMICO 2012-13. Carlos Ivorra

MATEMÁTICAS II APUNTES DE TEORÍA CURSO ACADÉMICO 2012-13. Carlos Ivorra MATEMÁTICAS II APUNTES DE TEORÍA CURSO ACADÉMICO 2012-13 Carlos Ivorra Índice 1 Introducción a la optimización 1 2 Programación entera 18 3 Introducción a la programación lineal 24 4 El método símplex

Más detalles

9.1 Primeras definiciones

9.1 Primeras definiciones Tema 9- Grupos Subgrupos Teorema de Lagrange Operaciones 91 Primeras definiciones Definición 911 Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A En un lenguaje más coloquial una operación

Más detalles

Teorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan

Teorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan Lección 6 Teorema de Green En la lección anterior, previa caracterización de los campos conservativos, hemos visto que un campo irrotacional puede no ser conservativo. Tenemos por tanto una condición fácil

Más detalles

Caracterización de los campos conservativos

Caracterización de los campos conservativos Lección 5 Caracterización de los campos conservativos 5.1. Motivación y enunciado del teorema Recordemos el cálculo de la integral de línea de un gradiente, hecho en la lección anterior. Si f : Ω R es

Más detalles

1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades

1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,

Más detalles

Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones.

Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones. 1 Tema 1.-. Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones. 1.1. Primeras definiciones Definición 1.1.1. Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A. En un lenguaje más coloquial

Más detalles

NÚMERO REAL. 1. Axiomas de cuerpo y propiedades operatorias. Axioma 2 La suma es asociativa:

NÚMERO REAL. 1. Axiomas de cuerpo y propiedades operatorias. Axioma 2 La suma es asociativa: NÚMERO REAL El conjunto de los números racionales se nos hace insuficiente a la hora de representar con exactitud magnitudes tan reales como la diagonal de un cuadrado cuyo lado mida 1, por ejemplo, o

Más detalles

Notas de Análisis. Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam.

Notas de Análisis. Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam. Notas de Análisis Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam.mx Marzo del 2005 2 Contenido 1 Topología de espacios métricos

Más detalles

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA DEPARTAMENTO DE PREPARATORIA ABIERTA MATEMÁTICAS II GUIA DE ESTUDIO

Más detalles

PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION. 1. Introducción

PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION. 1. Introducción PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION RAFAEL POTRIE Resumen. La idea es dar una prueba elemental del Teorema de invariancia de la dimension que afirma que si U R n es un abierto homeomorfo

Más detalles

UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LOS CIRCUITOS LÓGICOS 1. ÁLGEBRA DE BOOLE 2. MÉTODO DE REDUCCIÓN DE MAPAS DE KARNAUGH 1-1. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R.

UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LOS CIRCUITOS LÓGICOS 1. ÁLGEBRA DE BOOLE 2. MÉTODO DE REDUCCIÓN DE MAPAS DE KARNAUGH 1-1. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LOS CIRCUITOS LÓGICOS. ÁLGEBRA DE BOOLE 2. MÉTODO DE REDUCCIÓN DE MAPAS DE KARNAUGH - . INTRODUCCIÓN A LOS CIRCUITOS LÓGICOS. ÁLGEBRA DE BOOLE. ÁLGEBRA DE BOOLE El álgebra de Boole

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número

Más detalles

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 Una función real de variable real es una aplicación f : D R, donde D es un subconjunto de R denominado dominio de f. La función f hace corresponder

Más detalles

3. RELACIONES Y FUNCIONES 41 3.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS... 41 3.2. DOMINIO, RECORRIDO Y RELACIÓN INVERSA... 42 3.3. COMPOSICIÓN DE RELACIONES...

3. RELACIONES Y FUNCIONES 41 3.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS... 41 3.2. DOMINIO, RECORRIDO Y RELACIÓN INVERSA... 42 3.3. COMPOSICIÓN DE RELACIONES... ÍNDICE 3. RELACIONES Y FUNCIONES 41 3.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS......................... 41 3.2. DOMINIO, RECORRIDO Y RELACIÓN INVERSA............ 42 3.3. COMPOSICIÓN DE RELACIONES.....................

Más detalles

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires Fascículo 2 Cursos de grado ISSN 1851-1317 Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri Álgebra Lineal Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2008

Más detalles

Inducción y recursión

Inducción y recursión Capítulo 11 Inducción y recursión Índice del Capítulo 11.1. Introducción.................................. 229 11.2. Inducción matemática............................. 230 11.3. Ayudas para pruebas por

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones

Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 6 Relaciones Contenido 6.1 Generalidades.....................................

Más detalles

RELACIONES Y FUNCIONES

RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Definición 1.1.1. Sean A, B conjuntos, definimos el par ordenado A coma B, denotado (A, B) como el conjunto (A, B) = {{A}, {A, B}}. Observación 1.1.1.

Más detalles

Álgebra II. Tijani Pakhrou

Álgebra II. Tijani Pakhrou Álgebra II Tijani Pakhrou Índice general 1. Teoría de conjuntos 1 1.1. Conjuntos................................. 1 1.2. Productos cartesianos........................... 6 1.3. Relaciones de equivalencia........................

Más detalles

Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo

Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Límites y continuidad 1. Límite de funciones de dos variables Hasta ahora hemos evitado entrar en la

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles

= x + x + x + 1 por definición de exponente 2

= x + x + x + 1 por definición de exponente 2 Equivalencia de expresiones algebraicas En este documento exploramos un concepto simple, en apariencia, enseñado en escuelas de nivel secundaria: la equivalencia de dos expresiones algebraicas Empecemos

Más detalles

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN Tema 5.- ESPACIOS VECTORIALES ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN ESPACIO VECTORIAL Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 1 Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. ALGEBRA LINEAL Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 8 Índice general. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Introducción................................................ Conceptos

Más detalles

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR DEPATAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA ALGEBRA DE BOOLE

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR DEPATAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA ALGEBRA DE BOOLE UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR DEPATAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA ALGEBRA DE BOOLE GERMAN ISAAC SOSA MONTENEGRO EJERCICIOS 3. Escriba en notación expandida los siguientes numerales : a) 2375 b) 110111

Más detalles

Grupos. 2.1 Introducción. Capítulo

Grupos. 2.1 Introducción. Capítulo Capítulo 2 Grupos 2.1 Introducción La estructura de grupo es una de las más comunes en toda la matemática pues aparece en forma natural en muchas situaciones, donde se puede definir una operación sobre

Más detalles

ÍNDICE GENERAL 2..1. Teorema Chino del Residuo... 73

ÍNDICE GENERAL 2..1. Teorema Chino del Residuo... 73 Índice general 0.1. Introducción.................................... 3 0.2. Teoría de Conjuntos............................... 5 0.2.1. Producto Cartesiano de Conjuntos................... 7 0.2.2. Funciones.................................

Más detalles

MATEMÁTICA DISCRETA: Conjuntos, combinatoria y grafos. Roberto J. de la Fuente López. Versión 20110923. (corrección de erratas a versión 20100712)

MATEMÁTICA DISCRETA: Conjuntos, combinatoria y grafos. Roberto J. de la Fuente López. Versión 20110923. (corrección de erratas a versión 20100712) MATEMÁTICA DISCRETA: Conjuntos, combinatoria y grafos Roberto J. de la Fuente López Versión 20110923 (corrección de erratas a versión 20100712) Índice general PRESENTACIÓN... 5 AVISO DE DERECHOS DE AUTOR...

Más detalles

Carlos Ivorra ANÁLISIS NO

Carlos Ivorra ANÁLISIS NO Carlos Ivorra ANÁLISIS NO ESTÁNDAR Si una cantidad no negativa fuera tan pequeña que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podría ser sino cero. A quienes preguntan qué es una cantidad

Más detalles

El Teorema de existencia y unicidad de Picard

El Teorema de existencia y unicidad de Picard Tema 2 El Teorema de existencia y unicidad de Picard 1 Formulación integral del Problema de Cauchy El objetivo del presente Tema, y del siguiente, es analizar el Problema de Cauchy para un SDO de primer

Más detalles

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES ÍNDICE 1. Funciones de varias variables 1 2. Continuidad 2 3. Continuidad y composición de funciones 4 4. Continuidad y operaciones algebraicas 4 5. Carácter

Más detalles

Cálculo elemental de límites...

Cálculo elemental de límites... Capítulo 5 Cálculo elemental de ites... Vamos a dedicar este capítulo a tratar de mejorar nuestra relación con los ites, desarrollando el método que ya hemos anunciado, que nos permitirá calcular el ite

Más detalles

Teorema de estructura de los módulos finitamente generados sobre un D.I.P.. Aplicaciones

Teorema de estructura de los módulos finitamente generados sobre un D.I.P.. Aplicaciones Tema 13.- Teorema de estructura de los módulos finitamente generados sobre un D.I.P.. Aplicaciones 13.1 Teorema de estructura de los módulos finitamente generados sobre un D.I.P. En lo que sigue A denotará

Más detalles

Ejercicios de álgebra 1 Cuarto curso (2003/04)

Ejercicios de álgebra 1 Cuarto curso (2003/04) Departamento de Álgebra, Geometría y Toplogía. Universidad de Málaga Ejercicios de álgebra 1 Cuarto curso (2003/04) Relación 1. Ideales primos y maximales. Nilradical y radical de Jacobson Profesor de

Más detalles

CONJUNTO, RELACIONES, FUNCIONES Y LÓGICA

CONJUNTO, RELACIONES, FUNCIONES Y LÓGICA CONJUNTO, RELACIONES, FUNCIONES Y LÓGICA Fundamentos de la Matemática 2010 Introducción Cuando decimos: un elemento pertenece a un conjunto, estamos utilizando nada menos que tres conceptos primitivos

Más detalles

Límites. Definición de derivada.

Límites. Definición de derivada. Capítulo 4 Límites. Definición de derivada. 4.1. Límites e indeterminaciones Hemos visto en el capítulo anterior que para resolver el problema de la recta tangente tenemos que enfrentarnos a expresiones

Más detalles

RELACIONES Y FUNCIONES

RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES Y FUNCIONES Ing. Juan Sacerdoti Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Universidad de Buenos Aires 2002 V 2.01 INDICE 4.- RELACIONES Y FUNCIONES 4.1.- PAR ORDENADO (PO) 4.1.1.- DEFINICIÓN

Más detalles

ELEMENTOS DE LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS. Dra. Patricia Kisbye Dr. Alejandro L. Tiraboschi

ELEMENTOS DE LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS. Dra. Patricia Kisbye Dr. Alejandro L. Tiraboschi ELEMENTOS DE LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS Dra. Patricia Kisbye Dr. Alejandro L. Tiraboschi 3 INTRODUCCIÓN Estas notas han sido elaboradas con el objetivo de ofrecer al ingresante a las carreras de la

Más detalles

Semana 08 [1/15] Axioma del Supremo. April 18, 2007. Axioma del Supremo

Semana 08 [1/15] Axioma del Supremo. April 18, 2007. Axioma del Supremo Semana 08 [1/15] April 18, 2007 Acotamiento de conjuntos Semana 08 [2/15] Cota Superior e Inferior Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

Definición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Definición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. Capítulo 2 Probabilidades 2. Definición y propiedades Al realizar un experimento aleatorio nuestro interés es obtener información sobre las leyes que rigen el fenómeno sometido a estudio. El punto de partida

Más detalles

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín CAPÍTULO II 4 El grupo afín En geometría clásica, antes de la aparición de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros serán términos sinónimos salvo que, cuando

Más detalles

Álgebra. Curso 2007-2008

Álgebra. Curso 2007-2008 Álgebra. Curso 2007-2008 11 de septiembre de 2008 Resolución Ejercicio. 1. Sea A un anillo conmutativo. (1) Demostrar que cualesquiera ideales a, b de A verifican (a b)(a + b) ab. (2) Para A = Z[X] dar

Más detalles

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1.1. LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA Definición 1.1.1. Sea E un conjunto, se llama ley de composición interna en E si y sólo si a b = c E, a, b E. Observación 1.1.1. 1. también se llama

Más detalles

Anexo 2: Demostraciones

Anexo 2: Demostraciones 0 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo : Demostraciones Funciones reales de variable real Demostración de: Propiedades del valor absoluto 79 de la página 85 Propiedades del valor absoluto 79.-

Más detalles

Teoremas de la función implícita y de la función inversa

Teoremas de la función implícita y de la función inversa Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Teoremas de la función implícita y de la función inversa 1. El teorema de la función implícita 1.1. Ejemplos

Más detalles

ISSN 1851-1317. Cursos de grado. Fascículo 4. Norberto Fava Felipe Zó. Medida e integral de Lebesgue

ISSN 1851-1317. Cursos de grado. Fascículo 4. Norberto Fava Felipe Zó. Medida e integral de Lebesgue Fascículo 4 Cursos de grado ISSN 1851-1317 Norberto Fava Felipe Zó Medida e integral de Lebesgue Departamento de Matemática Facultad de Ciencias xactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2013 Cursos

Más detalles

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados Parte I Iniciación a los Espacios Normados Capítulo 1 Espacios Normados Conceptos básicos Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una norma sobre E es una aplicación de E

Más detalles

Funciones. f(x) = 2 2 x 2. 2x + 5 si 9 < x. x 4 si x < 9. 3. Si Dom(f) = [0, 1]. Determine el dominio de las siguientes funciones

Funciones. f(x) = 2 2 x 2. 2x + 5 si 9 < x. x 4 si x < 9. 3. Si Dom(f) = [0, 1]. Determine el dominio de las siguientes funciones Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Funciones 1. Hallar Dominio y Recorrido de la función: x. Sea f : R R definida por: x + 5 si 9 < x x x si 9 x 9 x 4 si

Más detalles

Universidad de Antioquia

Universidad de Antioquia Índice general Prefacio II 0.1. Algunos conjuntos de números.................. 1 0.2. DEFINICIONES Y TEOREMAS................. 2 1. Lógica - Teoría de Conjuntos 5 1.1. Operación binaria.........................

Más detalles

Fundamentos algebraicos

Fundamentos algebraicos Fundamentos algebraicos 1. Grupos Sea S un conjunto. Se denota con S S el conjunto de los pares ordenados (s, t) con s, t en S. Un mapeo de S S en S se llama operación binaria en S. Esta definición requiere

Más detalles

Cálculo Proposicional Implicativo Clásico

Cálculo Proposicional Implicativo Clásico Cálculo Proposicional Implicativo Clásico Antonio A R Monteiro Estas notas reproducen el curso [13] que dictara en la Universidad Nacional del Sur, en 1960 el Dr Antonio A R Monteiro, donde presentó resultados

Más detalles

Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Introducción al Análisis Numérico

Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Introducción al Análisis Numérico Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Introducción al Análisis Numérico Departamento de Matemática Aplicada Universidad Granada Introducción El Cálculo o Análisis Numérico es

Más detalles