Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE CONJUNTOS

Transcripción

1 Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE CONJUNTOS

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3 Un conjunto es un muchos que puede ser pensado como uno. Georg Cantor

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5 Índice General Introducción ix Capítulo I: El lenguaje de la teoría de conjuntos Clases y conjuntos Funciones Formación de conjuntos La teoría de conjuntos NBG Relaciones Leyes de composición interna Capítulo II: Ordinales La construcción de los ordinales Inducción y recursión transfinita Ordinales y buenos órdenes Funciones normales La aritmética ordinal Sumas finitas La forma normal de Cantor Capítulo III: La teoría de conjuntos NBG Relaciones bien fundadas El axioma de regularidad El axioma de elección Capítulo IV: Cardinales Equipotencia Números cardinales La aritmética cardinal Conjuntos finitos Sumas y productos infinitos Cofinalidad Aplicaciones sobre el axioma de elección v

6 vi ÍNDICE GENERAL Capítulo V: La exponenciación cardinal La exponenciación en NBG La hipótesis de los cardinales singulares Cardinales fuertemente inaccesibles Capítulo VI: Conjuntos cerrados no acotados y estacionarios Conjuntos cerrados no acotados Conjuntos estacionarios Un teorema de Silver Cardinales de Mahlo Principios combinatorios Puntos fijos de funciones normales Capítulo VII: El sistema numérico Los números enteros Los números racionales Cuerpos métricos completos La construcción de R Conjuntos ordenados completos Sumas infinitas Capítulo VIII: Elementos de topología Espacios topológicos Algunos conceptos topológicos Aplicaciones continuas Condiciones de numerabilidad Espacios compactos Capítulo IX: Árboles El problema de Suslin Conceptos básicos sobre árboles Árboles de Aronszajn Árboles de Suslin Árboles de Kurepa Capítulo X: Álgebras de Boole Conceptos básicos Álgebras completas Ideales y filtros Espacios de Stone Aplicaciones a la topología Capítulo XI: Elementos de teoría de modelos Lenguajes y modelos Teorías formales Submodelos, inmersiones Ultraproductos

7 ÍNDICE GENERAL vii Bibliografía 383 Índice de Materias 384

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9 Introducción El propósito de este libro es proporcionar una introducción axiomática rigurosa a la teoría de conjuntos que no presuponga del lector ningún conocimiento técnico de la lógica matemática más allá de una cierta familiaridad con las técnicas de razonamiento informal-formalizable que emplean habitualmente los matemáticos. Naturalmente, una fundamentación sólida de la teoría de conjuntos presupone la lógica formal, y a este respecto podemos decir que oficialmente este libro debe considerarse como la continuación de mi libro de Lógica matemática (LM), en el que, entre otras cosas, se discuten con todo el detalle y los tecnicismos necesarios diversas teorías axiomáticas de conjuntos, entre ellas la de Zermelo-Fraenkel (ZFC) y la de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Sin embargo, aquí hemos optado por exponer la teoría axiomática de modo que no ha sido necesario hacer ninguna referencia explícita a LM, de tal forma que quien lea LM y continúe con este libro, no sólo no encontrará ninguna laguna entre ambos, sino que de hecho hallará varios solapamientos, los que hemos considerado necesarios para que el lector familiarizado con el razonamiento matemático pueda suplir con dicha familiaridad los requisitos técnicos que proporciona LM. De este modo, LM y el presente libro suponen dos propuestas alternativas para introducirse en la teoría de conjuntos: o bien empezando por los fundamentos lógicos de LM para después adentrarse en los contenidos matemáticos de las teorías de conjuntos allí presentadas, o bien empezar por una introducción axiomática a la teoría de conjuntos apoyada en la familiaridad del lector con el razonamiento matemático para después (opcionalmente) profundizar en sus aspectos lógicos a través de LM. Puesto que la distinción entre conjuntos y clases propias resulta inevitable, para eliminar por completo las dificultades conceptuales que conlleva (que se discuten con detalle en LM) hemos optado por partir de la teoría axiomática de von Neumann-Bernays-Gödel NBG en lugar de la más habitual, que es ZFC, puesto que así el concepto de clase propia es un concepto formal más que no debería presentar ninguna dificultad especial al lector, en lugar de un concepto metamatemático que tiene que entenderse necesariamente en términos de conceptos lógicos. No obstante, ambas teorías son equivalentes, y el lector familiarizado con LM se dará cuenta de que, pasado el capítulo I (en el que exponemos la axiomática de NBG), las siglas NBG pueden ser trivial y sistemáticamente sustituidas por ZFC sin necesidad de modificar absolutamente nada de lo dicho. ix

10 x Introducción Los capítulos siguientes, desde el II hasta el V exponen los resultados fundamentales de la teoría de conjuntos cantoriana (principalmente la teoría de ordinales y de cardinales), sin perjuicio de que se presenten muchos resultados muy posteriores en el tiempo a la época de Cantor. El capítulo VI, aunque es una prolongación natural del precedente, es bastante más avanzado y puede leerse tras los capítulos VII y VIII. El primero de éstos está dedicado a la construcción del sistema numérico, y termina de justificar así que la teoría axiomática presentada es suficiente para desarrollar a partir de ella todas las ramas de la matemática (álgebra, análisis, geometría, topología, etc.) Precisamente en el capítulo 8 introducimos los elementos básicos de la topología conjuntista como requisito para la exposición de aspectos más avanzados de la teoría de conjuntos, entre los que se cuentan varios apartados del capítulo previo VI (los relativos a principios combinatorios, cardinales inaccesibles, etc.) así como los capítulos posteriores sobre árboles y álgebras de Boole. El límite principal que nos hemos impuesto al elegir los contenidos ha sido evitar todos aquellos que requieren considerar modelos de la teoría de conjuntos (con todos los aspectos sobre lógica y metamatemática que ello requeriría). No obstante, en el último capítulo presentamos los resultados básicos de la teoría de modelos, pero sin entrar, según acabamos de decir, en el estudio de modelos de la propia teoría de conjuntos, evitando así la necesidad de introducir distinciones sutiles entre fórmulas metamatemáticas y fórmulas definidas en la teoría axiomática. La mayor parte de los dos últimos capítulos puede verse como los preliminares necesarios (junto con LA) para abordar temas más avanzados de la teoría de conjuntos, principalmente los relativos a pruebas de consistencia, cardinales grandes, etc. Los únicos resultados que se enuncian sin demostración en este libro son los que afirman la consistencia y la independencia de algunas de las afirmaciones consideradas (como la hipótesis del continuo, la existencia de cardinales inaccesibles, etc.) En algunos casos se esbozan sin rigor los argumentos que permiten concluir que determinados hechos no pueden ser demostrados en NBG (o, equivalentemente, en ZFC). Naturalmente, estas observaciones no demostradas no se usan en ningún momento, salvo para relacionar unas con otras.

11 Capítulo I El lenguaje de la teoría de conjuntos En este primer capítulo desarrollaremos el lenguaje necesario para hablar con precisión de conjuntos, de modo que hablaremos de conjuntos en general sin hablar de ningún conjunto en particular. En el capítulo siguiente usaremos los conceptos introducidos aquí para construir (es decir, describir) conjuntos concretos (como los números naturales) que empezarán a perfilar el objeto de estudio de la teoría. 1.1 Clases y conjuntos El concepto matemático de conjunto pretende precisar el concepto informal de colección de objetos, sin embargo hay razones profundas que harían ingenuo pensar que un conjunto (en el sentido técnico que vamos a dar a la palabra) es exactamente lo mismo que una colección de objetos. Ciertamente, podemos pensar tranquilamente que todo conjunto es una colección de objetos sin que ello nos lleve a ninguna contradicción (que se sepa), pero pensar que cualquier colección de objetos puede identificarse con un conjunto sí que lleva inevitablemente a contradicciones. Más concretamente: al tratar de precisar el concepto informal de conjunto nos aparecen inevitablemente colecciones de objetos (muchas de las cuales tienen interés matemático) que no pueden considerarse conjuntos sin caer en contradicciones. Por este motivo vamos a partir de un concepto más general que el de conjunto, al que llamaremos clase. Las clases también serán colecciones de objetos, y seguirá siendo cierto que si intentáramos identificar cualquier colección de objetos con una clase caeríamos inevitablemente en contradicciones, pero definiremos los conjuntos como un tipo particular de clases de modo que todas las colecciones de conjuntos que necesitaremos considerar, o bien serán conjuntos, o bien serán clases, y así habremos obtenido un marco conveniente para desarrollar la teoría de conjuntos. 1

12 2 Capítulo 1. El lenguaje de la teoría de conjuntos Así pues, decimos que las clases de las que vamos a hablar serán (o podrán ser consideradas como) colecciones de objetos. Quizá el lector espere ahora que, en aras del rigor matemático, explicitemos qué colecciones de objetos vamos a considerar exactamente como clases y cuáles van a ser exactamente los objetos que podrán aparecer en las colecciones llamadas clases, pero no vamos a hacer nada parecido a esto. Por el contrario vamos a limitarnos a afirmar que las clases son simplemente los objetos de los que vamos a hablar (sin especificar cuáles son), y que dadas dos clases A y B, entre ellas puede darse o no la relación de pertenencia, que representaremos por A B cuando se dé y por A / B cuando no se dé. En el primer caso diremos que la clase A pertenece a (o es un elemento de) la clase B, y en el segundo caso diremos que A no pertenece a B o que no es un elemento de B. Es en este sentido en el que podemos pensar que una clase B es la colección de todas las clases A que cumplen A B, pero ni vamos a definir qué es exactamente una clase, ni en qué consiste exactamente que una clase pertenezca o no a otra. La parte positiva es que prometemos no hacer esto nunca más, de modo que desde aquí nos obligamos a que cualquier otro concepto que introduzcamos en adelante sea definido con total precisión a partir de los conceptos de clase y pertenencia. Un lógico dirá que los conceptos de clase y pertenencia son los conceptos primitivos (o conceptos no definidos) de la teoría de conjuntos. La forma de hablar con total rigor de unos conceptos no definidos es a través de axiomas. Vamos a postular que las clases y la pertenencia de las que nos proponemos hablar (sean lo que sean) satisfacen unos axiomas y, del mismo modo que nos hemos comprometido a no introducir nuevos conceptos sin definirlos con todo rigor a partir de los conceptos primitivos de clase y conjunto (o, más en general, de otros conceptos previamente definidos) nos comprometemos también a no afirmar nada sobre las clases y la pertenencia (o sobre los conceptos que introduzcamos en adelante) que no pueda ser demostrado lógicamente con todo rigor a partir de los axiomas establecidos. Para ilustrar estos propósitos empezamos dando la definición de conjunto: Definición 1.1 Diremos que una clase es un conjunto si pertenece al menos a otra clase, es decir: cto A W B A B. Notemos que en la formalización de esta definición hemos escrito existe un B tal que A pertenece a B. No necesitamos especificar de ninguna forma que B es una clase, pues todos los objetos de los que vamos a hablar son clases. El primer axioma que adoptamos es el siguiente: Axioma de Extensionalidad entonces son iguales, es decir, Si dos clases tienen los mismos elementos, V AB( V x(x A x B) A = B).

13 1.1. Clases y conjuntos 3 Es el axioma de extensionalidad el que nos legitima a pensar en las clases como colecciones de elementos (de clases, concretamente), pues si dos clases tienen los mismos elementos (es decir, si todo elemento de una lo es de la otra y viceversa, como dice la hipótesis del axioma) entonces ambas determinan la misma colección de objetos, y lo que dice el axioma es que si dos clases determinan la misma colección de objetos, entonces son una misma clase. En otros términos: una clase no es ni más ni menos que la colección de clases que determina mediante la relación de pertenencia. Veamos una segunda definición: Definición 1.2 Diremos que una clase A es una subclase de una clase B (o un subconjunto, si es que A es un conjunto) si todo elemento de A es también un elemento de B, es decir, A B V x(x A x B). Observemos que A B se cumple en particular si A = B. Cuando queramos indicar que A es una subclase de B distinta de la propia B escribiremos A B A B A 6= B. Veamos ahora un ejemplo elemental de teorema: Teorema 1.3 Se cumple: a) V A A A, b) V AB(A B B A A = B), c) V ABC(A B B C A C). Demostración: Observemos que los teoremas a) y c) no requieren el axioma de extensionalidad, es decir, son teoremas lógicos que se deducen de las definiciones sin necesidad de ninguna hipótesis específica sobre las clases. Por ejemplo, para demostrar c) suponemos A B B C y, para probar A C tomamos una clase x A, de modo que, como A B, podemos afirmar que x B y, como B C, podemos afirmar que x C. Esto prueba que x A x C y, como esto vale para toda clase x, concluimos que A C. En cambio, el teorema b) requiere el axioma de extensionalidad (y de hecho es equivalente a él). Si suponemos que A B B A, entonces tenemos que todo x A cumple x B, y viceversa, es decir, que x A x B, luego por el axioma de extensionalidad A = B. Lo importante que el lector debe extraer de este resultado, más allá de la trivialidad de lo que afirma en sí mismo, es que en él se pone de manifiesto cómo es posible razonar de forma totalmente rigurosa con unos objetos (las clases) y una propiedad (la pertenencia) que nunca hemos definido de ninguna forma, pero no importa lo que sean las clases y la pertenencia que, mientras

14 4 Capítulo 1. El lenguaje de la teoría de conjuntos cumplan el axioma de extensionalidad, tendrán que cumplir necesariamente el teorema anterior. Toda demostración matemática, por sofisticada que sea, es de la misma naturaleza, con la única diferencia de que puede apoyarse en algunos axiomas más que vamos a ir introduciendo paulatinamente. El segundo axioma es el más delicado desde un punto de vista técnico: Axioma de comprensión Si φ(x) es cualquier propiedad normal, existe una clase cuyos elementos son exactamente los conjuntos x que tienen la propiedad φ(x), es decir, W V A x(x A cto x φ(x)). Naturalmente, aquí debemos especificar qué queremos decir por propiedad normal. Ante todo, cuando decimos que φ(x) es una propiedad queremos decir, más concretamente, que es una propiedad definible exclusivamente a partir de los conceptos de clase y pertenencia mediante los conectores lógicos ( y, o, si y sólo si, etc.) y los cuantificadores ( para todo y existe ) (o de otros conceptos definidos previamente en estas condiciones), entendiendo que pueden aparecer más variables además de la x. Enseguida veremos ejemplos. Que la propiedad sea normal significa que los cuantificadores sólo recorren conjuntos, es decir, que en la definición de φ(x) no se dice nunca para toda clase A o existe una clase A, sino a lo sumo para todo conjunto A o existe un conjunto A. Antes de discutir más a fondo las sutilezas de este axioma, vamos a poner sobre el papel ejemplos concretos, pero primero observemos que el axioma de comprensión puede ser mejorado: Teorema 1.4 En las condiciones del axioma de comprensión, se cumple 1W A V x(x A cto x φ(x)). Demostración: Se trata de probar que existe una única clase A cuyos elementos son los conjuntos que cumplen φ(x). La existencia de tal clase la proporciona el axioma de comprensión. Para probar que es única suponemos que una clase B cumple lo mismo, es decir, V V x(x A cto x φ(x)) x(x B cto x φ(x)). Es claro que de aquí se deduce que V x(x A x B), y el axioma de extensionalidad nos da entonces que A = B, es decir, sólo puede haber una clase que cumpla la propiedad considerada. Cuando hay una única clase que cumple una propiedad, la lógica nos permite introducir un nombre para ella. En este caso: Definición 1.5 {x φ(x)} A V x(x A cto x φ(x)), es decir, llamamos {x φ(x)} a la única clase cuyos elementos son los conjuntos x que cumplen φ(x).

15 1.1. Clases y conjuntos 5 Por ejemplo, ahora podemos definir la unión, la intersección, el complemento y la diferencia de clases como A B {x x A x B}, A B {x x A x B}, respectivamente. A {x x / A}, A \ B {x x A x / B}, Tenemos así cuatro ejemplos de aplicación del axioma de comprensión. En la definición de la unión estamos tomando φ(x) x A x B, que es una propiedad definida exclusivamente en términos de la pertenencia y un signo lógico (la disyunción), en la que, además de la variable x, figuran las variables auxiliares A y B. Como no aparecen cuantificadores, la propiedad es normal y el axioma es aplicable. Lo mismo vale para los otros tres ejemplos. Definimos ahora dos ejemplos concretos de clases, la clase universal y la clase vacía: V {x x = x}, {x x 6= x}. Obviamente, como ningún conjunto es distinto de sí mismo, tenemos que V x x /. Más aún, la clase vacía es la única clase con esta propiedad, es decir: V A( V x x / A A = ). Esto es una consecuencia del axioma de extensionalidad, pues si una clase A no tiene elementos, entonces tiene los mismos elementos que la clase vacía (ninguno), luego ambas clases son la misma. Respecto de la clase universal, es muy importante tener presente que, aunque toda clase A cumple A = A, eso no significa que toda clase A cumpla A V. Recordemos que, en general, los elementos de una clase {x φ(x)} no son todas las clases que cumplen φ(x), sino todos los conjuntos que cumplen φ(x). Para pertenecer a {x φ(x)} no basta con cumplir la propiedad φ(x), sino que se requiere además ser un conjunto. En nuestro caso, la clase universal está formada por todos los conjuntos que cumplen x = x, es decir, se trata de la clase de todos los conjuntos (pero no de la clase de todas las clases). Así pues: V x(x V cto x). Observemos que y V son, respectivamente, la menor y la mayor de todas las clases, en el sentido de que V A( A A V ). En efecto, como los elementos de cualquier clase A son conjuntos, todos ellos son también elementos de V, luego tenemos la inclusión A V. Por otra parte, la clase vacía está contenida en cualquier otra clase, porque la implicación x x A se cumple trivialmente (no es posible encontrar un conjunto x que cumpla x x / A). Diremos que dos clases A y B son disjuntas si A B =, es decir, si no tienen elementos en común.

16 6 Capítulo 1. El lenguaje de la teoría de conjuntos Nota Los conceptos que acabamos de introducir verifican una serie de propiedades que se demuestran todas de forma elemental. Por ejemplo, se cumple que V ABC(A (B C) = (A B) (A C)). Para probar este tipo de igualdades basta recurrir al axioma de extensionalidad: tomamos un conjunto x A (B C) y probamos que pertenece también al otro miembro. En efecto, por definición de intersección x A y x B C, y por definición de unión, o bien x B (en cuyo caso x A B) o bien x C (en cuyo caso x A C), luego en cualquiera de los dos casos x (A B) (A C). Esto prueba la implicación x A (B C) x (A B) (A C), y la implicación opuesta se demuestra de forma similar. Entonces el axioma de extensionalidad nos da la igualdad. Alternativamente, podemos considerar que hemos probado la inclusión A (B C) (A B) (A C), y que la implicación contraria prueba la inclusión contraria: (A B) (A C) A (B C), y entonces concluimos mediante 1.3 b). En general una forma de probar una igualdad entre dos clases X = Y es probar la doble inclusión X Y Y X y aplicar 1.3 b). A partir de los axiomas de extensionalidad y comprensión no es posible probar que V 6=, es decir, no es posible probar que existan conjuntos. Por ello introducimos ahora un axioma que postula la existencia de un conjunto: Axioma del conjunto vacío cto. Así pues, a partir de aquí podemos hablar del conjunto vacío en lugar de la clase vacía. En particular, ahora podemos afirmar que V, luego V 6=. Podemos definir unos conceptos más generales de unión e intersección: S W T V A {x y A x y}, A {x y A x y}. Observemos que aquí usamos la notación W y A φ(y) como abreviatura de W y(y A x y), es decir, existe una clase y en A tal que φ(y). Ahora bien, la condición y A supone implícitamente que y es un conjunto (pues estamos diciendo que pertenece a otra clase), luego esto es equivalente a W y(cto y y A φ(y)). Similarmente, V y A φ(y) es una abreviatura por V y(y A φ(y)), que a su vez es equivalente a V y(cto y y A φ(y)), luego las cuantificaciones de la forma W y A o V y A son cuantificaciones sobre conjuntos y determinan propiedades normales (supuesto que lo que vaya a continuación sea normal).

17 1.1. Clases y conjuntos 7 Estas consideraciones generales justifican en particular que la existencia de gran unión y la gran intersección se sigue de dos aplicaciones legítimas del axioma de comprensión. Claramente, S A resulta de reunir en una única clase todos los elementos de todos los elementos de A, mientras que T A contiene a los elementos comunes a todos los elementos de A. Observemos que S =, S V = V, T = V, T V =. En efecto, vamos a probar las dos últimas igualdades: Si x V, entonces trivialmente V y y x, pues no es posible encontrar un y que no cumpla y x, y esto significa que y T, luego tenemos la inclusión V T, y ya hemos visto que la inclusión contraria se cumple siempre. Para la última igualdad requerimos el axioma del conjunto vacío. En efecto, si x T V, entonces x pertenece a todos los elementos de V, en particular x, lo cual es imposible. Por lo tanto T V no tiene elementos y es el conjunto vacío. Veamos ahora un ejemplo que muestra la necesidad de distinguir entre clases y conjuntos. Definimos la clase de Russell como R {x x / x}, es decir, se trata de la clase de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. La propiedad x / x es normal (trivialmente, porque no tiene cuantificadores) luego el axioma de comprensión justifica la existencia de R. Si no distinguiéramos entre clases y conjuntos, y pretendiéramos haber definido el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos tendríamos una contradicción, pues cabría plantearse si el conjunto R se pertenece o no a sí mismo, y las dos opciones resultan contradictorias: si R R entonces R debería ser uno de los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, y concluiríamos que R / R, en contra de lo supuesto. Si, por el contrario, suponemos que R / R, entonces R sería un conjunto que no se pertenece a sí mismo y deberíamos concluir que R R, en contradicción con lo supuesto. Esta paradoja se conoce como la paradoja de Russell, y no afecta a la teoría de conjuntos en los términos que la estamos presentando, pues en nuestro contexto se reduce al teorema siguiente: Teorema 1.6 cto R. Demostración: Observemos que R / R, pues si se cumpliera R R por definición de R resultaría que R / R y tendríamos una contradicción. Si R fuera un conjunto, entonces tendríamos cto R R / R, es decir, R sería un conjunto que no se pertenece a sí mismo, y esto implicaría R R, con lo que tendríamos una contradicción. Así pues, R no puede ser un conjunto. Las clases que no son conjuntos se llaman clases propias. Acabamos de probar que la clase de Russell es una clase propia, y que además cumple R / R.

18 8 Capítulo 1. El lenguaje de la teoría de conjuntos Si no fuera por la distinción entre clases y conjuntos, que hace que R / R no obligue necesariamente a que R R, tendríamos una contradicción. Notemos que, como es un conjunto que no se pertenece a sí mismo, se cumple que R, luego R 6=. Ahora es claro también que la noción de clase no puede identificarse con la de colección de objetos, pues, admitiendo que existan clases que cumplen los axiomas que estamos suponiendo, tenemos que y R son dos clases que forman una colección de dos clases, pero tal colección no se corresponde con ninguna clase, en el sentido de que no existe ninguna clase cuyos elementos sean exactamente y R, pues para que ello fuera posible R debería ser un conjunto y no lo es. Así pues, siempre podemos pensar en colecciones de objetos (de clases, concretamente) que van más allá de las colecciones que podemos expresar mediante clases. Nuestro propósito es demostrar (adoptando para ello los axiomas adecuados) que todas las colecciones que realmente son necesarias para desarrollar las matemáticas (y esto no incluye a la colección formada por y R, de la que podemos hablar, pero tampoco pasa nada si no la tenemos en cuenta) son en su mayor parte conjuntos y, en algunos pocos casos, clases propias, pero clases al fin y al cabo. Nota El lector se habrá preguntado sin duda por qué hemos impuesto la condición de normalidad en el axioma de comprensión o, equivalentemente, qué problema habría en admitir que cualquier propiedad, normal o no, define una clase. La respuesta es que no habría ningún problema. La teoría axiomática de conjuntos que resulta de aceptar los axiomas que hemos introducido hasta ahora y los que introduciremos en lo sucesivo se conoce como teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel, (NBG), mientras que si eliminamos la restricción de normalidad en el axioma de comprensión tenemos la teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK). La diferencia entre ambas es que en NBG la noción de clase propia es eliminable, es decir, toda la teoría puede ser reformulada para eliminar por completo el concepto de clase propia y trabajar exclusivamente con conjuntos. El resultado es la llamada teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) que es totalmente equivalente a NBG en el sentido de que un teorema que involucre exclusivamente conjuntos es demostrable en NBG si y sólo si es demostrable en ZF. Las clases como R, que en NBG se demuestra que son clases propias, simplemente no existen en ZF, es decir, en ZF, en lugar de la clase de los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos no es un conjunto, se demuestra no existe ningún conjunto cuyos elementos sean los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Por el contrario, en MK las clases propias pueden usarse para demostrar resultados sobre conjuntos (incluso afirmaciones que hablan exclusivamente de números naturales) que no son demostrables en NBG ni, por consiguiente, en ZF. En realidad, al restringirnos a NBG, es decir, al aceptar la restricción del axioma de comprensión a propiedades normales, no es que estemos restringiéndonos a NBG, sino más bien estamos observando que todos los resultados que vamos a probar no requieren más que la forma restringida del axioma de com-

19 1.2. Funciones 9 prensión. En ningún momento nos vamos a encontrar con resultado que nos gustaría poder demostrar pero no podemos por culpa de la restricción del axioma de comprensión. Para encontrar resultados así (que los hay) es necesario ahondar mucho en las sutilezas lógicas de la teoría de conjuntos, cosa que no vamos a hacer en este libro. 1.2 Funciones Ahora vamos a enriquecer sustancialmente el lenguaje de la teoría de conjuntos mostrando que a partir de las meras nociones de clase y pertenencia es posible definir funciones que hagan corresponder unos conjuntos con otros. La clave para ello es el concepto de par ordenado, que a su vez requiere definir previamente el concepto de par desordenado: Definición 1.7 Dadas dos clases x e y, definimos el par (desordenado) formado por ellas como {x, y} {z z = x z = y}. Definimos también {x} {x, x} = {z z = x}. De este modo, {x, y} es la clase de todos los conjuntos que son iguales a x o a y. Esto hay que tomarlo con precaución si x o y no son conjuntos. Por ejemplo, {, R} = { } y {R} =. Con los axiomas que hemos presentado hasta ahora no es posible demostrar que exista ningún otro conjunto, aparte de. Esto cambia drásticamente si añadimos el axioma siguiente: Axioma del par V xy (cto x cto y cto{x, y}). En otras palabras, el axioma del par afirma que el par definido por dos conjuntos es un conjunto. El axioma incluye el caso en que x = y, en cuyo caso tenemos: V x(cto x cto{x}). Ahora podemos probar la existencia de muchos conjuntos, como, { }, {, { }}, {{ }}, etc. Más en general, cuando escribamos expresiones de la forma {a, b, c, d}, habrá que entender que nos referimos a la clase {a, b, c, d} {x x = a x = b x = c x = d}. Se dice entonces que hemos definido la clase A = {a, b, c, d} por extensión, es decir, especificando sus elementos uno a uno, mientras que las clases definidas especificando una propiedad que deben cumplir sus elementos están definidas por comprensión. Obviamente, sólo es posible definir por extensión clases con un número finito de elementos. Los axiomas vistos hasta el momento no nos

20 10 Capítulo 1. El lenguaje de la teoría de conjuntos permiten asegurar que la clase {a, b, c, d} sea un conjunto aunque lo sean sus elementos. Observemos ahora que si x, y son conjuntos, se cumple que {x, y} = {y, x}, pues ambos conjuntos tienen los mismos elementos. Un hecho fundamental es que podemos definir un nuevo concepto de par en el que el orden de sus elementos sea relevante: Definición 1.8 Definimos el par ordenado de componentes los conjuntos x e y como el conjunto (x, y) {{x}, {x, y}}. Observemos que si x e y son conjuntos, entonces {x} y {x, y} son conjuntos por el axioma del par, y entonces (x, y) es un conjunto por una nueva aplicación de este axioma. La definición está pensada para que se cumpla el teorema fundamental: Teorema 1.9 Si x, y, u, v son conjuntos, entonces (x, y) = (u, v) x = u y = v. Demostración: Una implicación es trivial. Para probar la contraria suponemos que (x, y) = (u, v). Entonces, como {x} (x, y), tenemos también que {x} (u, v), luego {x} = {u} o bien {x} = {u, v}. Si se da el segundo caso, como u {u, v} = {x}, concluimos que u = x, y en el primer caso llegamos también a la misma conclusión. Ahora distinguimos otros dos casos: si x = y, entonces (x, y) = {{x}, {x, x}} = {{x}}, y como {u, v} (u, v) = (x, y), será {u, v} = {x}, luego v {u, v} = {x}, luego v = x = y. Si, por el contrario, x 6= y, no puede ser {x, y} = {u}, pues entonces sería x = u = y, y como {x, y} (x, y) = (u, v), tiene que ser y {x, y} = {u, v}, luego y = u y = v, pero no puede ser y = u = x, luego tiene que ser y = v. Usaremos la notación {(x, y) φ(x, y)} {z W xy(cto x cto y z = (x, y) φ(x, y))}, es decir, para referirnos a la clase de todos los pares ordenados (x, y) cuyas componentes cumplen la propiedad (normal) φ(x, y). Observemos que la propiedad W xy(cto x cto y z = (x, y) φ(x, y)) es normal si φ lo es, pues los dos cuantificadores que se añaden a lo que afirma φ están restringidos a conjuntos, por lo que si φ es normal el axioma de comprensión asegura la existencia de la clase {(x, y) φ(x, y)}. El ejemplo más simple de clase definida de este modo es el producto cartesiano: