Notación científica y prefijos métricos

Transcripción

1 Capítulo1 Notación científica y prefijos métricos & INTRODUCCIÓN En una célula haploide humana hay aproximadamente de pares de bases de ADN que conforman su genoma. Si se aísla el ADN de esa célula pesará aproximadamente 0, gramos (g). Para amplificar un fragmento determinado del ADN purificado, utilizando la técnica de la reacción en cadena de la polimerasa (PCR), es necesario añadir 0, moles de cada uno de los dos cebadores a la mezcla de reacción, que dará lugar, tras 30 ciclos de PCR, a más de de copias del fragmento seleccionado. En el trabajo del día a día, los biólogos moleculares trabajan con números y magnitudes que están muy lejos de las magnitudes de la vida convencional. Para facilitar el cálculo con estos valores extremos, se han desarrollado dos métodos, que permiten transformar en manejables magnitudes enormes e infinitesimales. Estos métodos utilizan la notación científica y los prefijos métricos. Para ello se requiere la utilización de exponentes y entender los que son los dígitos significativos. 1.1 DÍGITOS SIGNIFICATIVOS Determinadas técnicas en biología molecular, así como en otras disciplinas de la ciencia, se basan en la utilización de instrumentos que son capaces de dar mediciones muy precisas. Una indicación de ese nivel de precisión lo aporta el número de dígitos que se muestra en la pantalla del instrumento. Las cifras de una medición que representan los límites reales de precisión se denominan dígitos significativos. Aunque un cero puede ser un valor tan legítimo como los números enteros del uno al nueve, los dígitos significativos son por lo general diferentes a cero. Sin información sobre cómo se hizo una medición o de la precisión de los instrumentos utilizados para su elaboración, los ceros a la izquierda de la coma detrás de uno o más números distintos de cero se supone que no son significativos. Por ejemplo, al afirmar que el genoma humano es de pb de longitud, el único dígito significativo del número es el 3. Los nueve ceros no son significativos. Del mismo modo, los ceros a la derecha del punto decimal que precede a una serie de Ó Elsevier España, S.L. Reservados todos los derechos. 1

2 2 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos dígitos distintos de cero se supone que no son significativos. Si determinamos que el ADN dentro de una célula de esperma pesa 0, g, sólo el 3 y el 5 son cifras significativas. Los 11 ceros a la izquierda de estos dígitos no son significativos. Problema 1.1 Cuántos dígitos significativos hay en cada una de las siguientes medidas? a) pb b) 0,00304 g c) 0, litros (L) (volumen obtenido con una micropipeta calibrada). Solución 1.1 a) Número de dígitos significativos: 4; que son: b) Número de dígitos significativos: 3; que son: 304 c) Número de dígitos significativos: 3; que son: Redondeo de dígitos significativos en los cálculos Cuando se realizan cálculos con dos o más mediciones, el resultado sólo puede ser tan exacto como lo es el valor con menor precisión. Para adaptarse a esta necesidad, el número obtenido como solución de un cálculo debe redondearse para reflejar el nivel más bajo de precisión. Las directrices apuntadas en el cuadro siguiente le ayudarán a determinar de qué forma hay que redondear un número como resultado de un cálculo. Guía para redondear dígitos significativos 1. Cuando se suman o restan números, el resultado debe ser redondeado de forma que tenga el mismo número de dígitos significativos decimales como tiene el número con menor número de decimales significativos utilizado en el cálculo. 2. Cuando se multiplican o dividen números, el resultado debe ser redondeado de forma que tenga sólo tantos dígitos significativos como tenga el número con menos dígitos significativos utilizado en el cálculo. Problema 1.2 Realice los siguientes cálculos y exprese el resultado utilizando la guía para redondear dígitos significativos descrita en el recuadro anterior. a) 0,2884 g + 28,3 g b) 3,4 cm 8,115 cm c) 1,2 L 0,155 L

3 1.2 Exponentes y notación científica 3 Solución 1.2 a) 0,2884 g + 28,3 g = 28,5884 g La suma se redondea de forma que muestre el mismo número de dígitos significativos decimales como el número de dígitos significativos decimales menor que hay en la ecuación. (En este caso, el valor 28,3 tiene un dígito significativo decimal.) 28,5884 g se redondea a 28,6 g b) 3,4 cm 8,115 cm = 27,591 cm 2 El resultado se redondea a dos dígitos significativos, ya que hay tan sólo dos dígitos significativos en uno de los números multiplicados (3,4 cm). 27,591 cm 2 se redonde a 28 cm 2 c) 1,2 L 0,155 L = 7,742 L El cociente se redondea a dos dígitos significativos, ya que hay tan sólo dos dígitos significativos en uno de los valores (1,2 L) utilizado en la ecuación. 7,742 L se redonde a 7,7 L Ó ELSEVIER. Fotocopiar sin autorización es un delito. 1.2 EXPONENTES Y NOTACIÓN CIENTÍFICA Un exponente es un número escrito en la parte superior derecha (y de menor tamaño) de otro número (llamado base) para indicar la potencia a la que la base se debe elevar. Los exponentes en base 10 se utilizan en la notación científica para expresar números muy grandes o muy pequeños en forma abreviada. Por ejemplo, para el valor de 10 3, 10 es la base y 3 es el exponente. Esto significa que el 10 se multiplica por sí mismo tres veces (10 3 = ). Para los números menores de 1,0, se utiliza un exponente negativo para expresar los valores como recíproco de la base 10. Por ejemplo, 10 3 ¼ ¼ ¼ 1 1:000 ¼ 0, Expresando números en notación científica Para expresar un número en notación científica: 1. Mueva la coma a la derecha del dígito diferente de cero que hay más a la izquierda. Cuente el número de posiciones que se ha movido la coma respecto a su posición original.

4 4 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos 2. Escriba el nuevo número hasta incluir, a la izquierda y la derecha, a todos los dígitos significativos (diferentes de cero). Descarte todos los ceros que se extienden fuera de estos números enteros. 3. Coloque un signo de multiplicación y el número 10 a la derecha de los dígitos enteros significativos. Utilice un exponente para indicar el número de posiciones que la coma se ha movido. a. Para los números superiores a 10 (donde la coma se mueve a la izquierda), utilice un exponente positivo. b. Para los números menores a uno (donde la coma decimal se mueve a la derecha), utilice un exponente negativo. Problema 1.3 Escriba los siguientes números en notación científica. a) b) 78 c) 60, Solución 1.3 a) Mueva la coma hacia la izquierda nueve posiciones de forma que esté colocada a la derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. 3, Escriba el nuevo número para incluir todos los dígitos significativos diferentes a cero y elimine todos los ceros a la derecha de estos dígitos. Multiplique el nuevo número por 10, y añada el 9 positivo como exponente ya que el número de salida es mayor que 10 y la coma se ha movido hacia la izquierda nueve posiciones. 3:001:000:000 ¼ 3, b) Mueva la coma una posición hacia la izquierda de forma que quede colocada a la derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. Multiplique el nuevo número por 10, y añada el 1 positivo como exponente ya que el número de salida es mayor que 10 y la coma se ha movido hacia la izquierda una posición. 78 ¼ 7, c) 60, Mueva la coma hacia la izquierda una posición de forma que quede colocada a la derecha del dígito diferente a cero que está más a la izquierda. Dado que la coma se ha movido una posición a la izquierda, añada un 1 al exponente ( = 23 = nuevo valor del exponente). 60, ¼ 6,

5 1.2 Exponentes y notación científica 5 Problema 1.4 Escriba los siguientes números en notación científica. a) 0, b) 0, c) 437, Solución 1.4 a) Mueva la coma a la derecha 11 posiciones de forma que quede colocada a la derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. Escriba el nuevo número hasta incluir todos los dígitos significativos (diferentes a cero) a la izquierda y a la derecha. Descartar todos los ceros que quedan fuera de estos dígitos. Multiplique el número por 10, y escriba un 11 negativo como el exponente ya que el número original es menor que 1 y la coma se ha desplazado a la derecha 11 posiciones. 0, ¼ 1, b) Mueva la coma a la derecha cinco posiciones de forma que quede colocada a la derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. Descartar todos los ceros que quedan fuera de los dígitos diferentes a cero tanto a la izquierda como a la derecha. Multiplique el número por 10 y utilice un exponente 5 negativo, ya que el número original es menor que 1 y la coma se ha movido a la derecha cinco posiciones. 0, ¼ 5, c) Mueva la coma dos posiciones hacia la izquierda para que se sitúe a la derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. Dado que la coma se desplaza dos posiciones hacia la izquierda, coloque un 2 positivo como valor del exponente ( 7+2= 5). 437, ¼ 4, Ó ELSEVIER. Fotocopiar sin autorización es un delito Convirtiendo números en notación científica a notación decimal Para cambiar un número expresado en notación científica a la forma decimal: 1. Si el exponente de 10 es positivo, mueva la coma a la derecha tantas posiciones como el valor del exponente. Si es necesario, agregue ceros a la derecha de los dígitos significativos para rellenar hasta la posición de la coma. 2. Si el exponente de 10 es negativo, mueva el punto decimal hacia la izquierda tantas posiciones como el valor del exponente. Si es necesario, agregue ceros a la izquierda de los dígitos significativos para rellenar hasta la posición de la coma.

6 6 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos Problema 1.5 Escriba los siguientes números en forma decimal. a) 4, b) c) 23, d) 3, Solución 1.5 a) Mueva la coma cinco posiciones a la derecha, agregando tres ceros para mantener el lugar de la coma desde su posición anterior. 4, ¼ ,0 b) Mueva la coma una posición a la derecha, agregando un cero a la derecha del dígito significativo para mantener la nueva posición de la coma ¼ 20,0 c) Mueva la coma siete posiciones a la derecha, agregando seis ceros para mantener la posición de la coma. 23, ¼ ,0 d) La coma se mueve cuatro posiciones a la izquierda. Se añaden ceros para mantener la posición de la coma. 3, ¼ 0, Sumando y restando números escritos en notación científica Al sumar o restar números expresados en notación científica, es más sencillo primero transformar los números de la ecuación para que tengan la misma potencia de 10 con el exponente mayor. El valor del exponente, por tanto, no cambiará cuando finalmente se realice el cálculo. Problema 1.6 Realice las siguientes operaciones. a) ( )+( ) b) ( )+( ) c) ( )+( ) d) (3, ) (3, ) e) (2, ) (1, )

7 1.2 Exponentes y notación científica 7 Ó ELSEVIER. Fotocopiar sin autorización es un delito. Solución 1.6 a) ( )+( ) = Resultado de la suma. = 1, Número reescrito en el formato estándar de notación científica. = Número redondeado a un dígito significativo. b) ( )+( ) =( ) + (0, ) El número con el menor valor de exponente expresado con el exponente de mayor valor. = 2, Resultado de la suma. =210 3 Número redondeado a un dígito significativo. c) ( )+(810 3 ) =(610 2 ) + (0, ) Cambio de los exponentes al mismo valor. = 6, Resultado de la suma. =710 2 Número redondeado a un dígito significativo. d) (3, ) (3, ) = 0, Resultado de la resta. =210 5 Número reescrito en el formato estándar de notación científica. e) (2, ) (1, ) = (2, ) (0, ) Cambio de los exponentes al mismo valor. = 2, Resultado de la resta. = 2, Número redondeado con un solo dígito significativo a la derecha de la coma Multiplicando y dividiendo números expresados en notación científica Las reglas utilizadas para los exponentes en la multiplicación y división de números expresados en notación científica son: La regla del producto: cuando se multiplica utilizando notación científica, los exponentes se suman.

8 8 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos La regla del cociente: cuando se divide utilizando notación científica, el exponente del denominador se resta del exponente del numerador. Cuando realice el próximo grupo de problemas, las siguientes leyes matemáticas serán útiles: Propiedad conmutativa de la multiplicación: el resultado de la multiplicación no depende del orden de los factores. Por ejemplo, 3 2 ¼ 2 3 Propiedad asociativa de la multiplicación: el resultado de la multiplicación no depende de cómo se agrupan los factores. Por ejemplo, 3 ð2 4Þ ¼ð3 2Þ4 Problema 1.7 Calcule el producto. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) Solución 1.7 a) ( ) ( ) =(35) ( ) Utilice las reglas conmutativa y asociativa para agrupar los factores similares. = Suma de exponentes. = 1, Número expresado en la notación científica estándar. =210 7 Redondeo del número con un dígito significativo. b) ( ) ( ) =(26) ( ) Utilice las reglas conmutativa y asociativa para agrupar los factores similares. = Suma de exponentes. = 1, Número expresado en la notación científica estándar. =110 3 Redondeo del número con un dígito significativo.

9 1.2 Exponentes y notación científica 9 c) ( ) ( ) =(4 2) ( ) = ( 3) Utilice las reglas conmutativa y asociativa para agrupar los factores similares. = Suma de exponentes. Problema 1.8 Calcule la división. a) b) c) 8, , d) , Solución 1.8 Ó ELSEVIER. Fotocopiar sin autorización es un delito. a) b) ¼ ¼ El exponente del denominador se resta del exponente del numerador. ¼ 5 3 El exponente del denominador 108 ð 4Þ se resta del exponente del numerador. ¼ 1, ð 4Þ Exponentes: 8 ( 4) = = 12. ¼ Número redondeado a un dígito significativo.

10 10 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos c) d) 8, , ¼ 8,2 3,6 El exponente del denominador 10 6 ðþ4þ se resta del exponente d el numerador. ¼ 2, Número redondeado a dos dígitos significativos. Exponentes: 6 (+4) = 6+( 4) = , ¼ 9 2, ð 3Þ El exponente del denominador se resta del exponente del numerador. ¼ 3, ¼ Número redondeado a un dígito significativo. 1.3 PREFIJOS MÉTRICOS Un prefijo métrico es una notación abreviada utilizada para denotar valores muy grandes o muy pequeños de una unidad básica como una alternativa a expresarlos como potencias de 10. Las unidades básicas utilizadas en las ciencias biológicas con más frecuencia son los metros, gramos, moles y litros. Debido a su simplicidad, los prefijos métricos han encontrado una amplia aplicación en la biología molecular. En la tabla siguiente se muestran los prefijos más utilizados y los valores que representan. Como se puede ver en la Tabla 1-1, un nanogramo (ng) es equivalente a g. Por tanto, hay ng por g (el recíproco de ; 1/ = ). Asimismo, puesto que un microlitro (ml) es equivalente a L, hay ml por litro. Cuando se expresan cantidades con prefijos métricos, generalmente se escoge un prefijo de manera que el valor pueda ser escrito como un número superior a 1,0, pero inferior a Por ejemplo, es habitual expresar 0, g como 50 ng en lugar de 0,05 mg o pg Factores de conversión y simplificación de términos Una conversión es el cambio de una medición expresada con un prefijo métrico en un valor equivalente expresado mediante un prefijo métrico diferente. Se lleva a

11 1.3 Prefijos métricos 11 Tabla 1-1 Prefijos métricos, sus abreviaturas y sus equivalencias como exponentes de 10. Prefijo métrico Abreviatura Potencia de 10 giga- G 10 9 mega- M 10 6 kilo- k 10 3 mili- m 10 3 micro- m 10 6 nano- n 10 9 pico- p femto- f atto- a cabo matemáticamente aplicando un factor de conversión sobre los dos términos diferentes. Un factor de conversión es una relación numérica igual a 1. Por ejemplo, mg g y 1g mg Ó ELSEVIER. Fotocopiar sin autorización es un delito. son factores de conversión, ambos igual a 1. Pueden utilizarse para convertir gramos a microgramos o microgramos a gramos, respectivamente. El prefijo métrico final deseado debe aparecer en la ecuación como un valor en el numerador del factor de conversión. Puesto que la multiplicación o división por el número 1 no cambia el valor de la cantidad inicial, cualquier cantidad puede multiplicarse o dividirse por un factor de conversión y el resultado seguirá siendo igual a la cantidad original; sólo cambiará el prefijo métrico. Al realizar conversiones entre los valores expresados con diferentes prefijos métricos, los cálculos pueden simplificarse cuando factores de 1 o unidades idénticas se cancelan. Un factor de 1 es una expresión en que se divide el término entre sí mismo. Por ejemplo, / es un factor de 1. Del mismo modo, un 1 L/1 L es un factor de 1. Si en una conversión aparecen términos idénticos en cualquier parte de la ecuación en un lado del signo igual, tanto como numerador como denominador, pueden ser cancelados. Por ejemplo, en la conversión de L a microlitros, se puede configurar una ecuación para que los términos idénticos (en este caso, litros) se puedan cancelar para dar ml como valor del numerador.

12 12 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos L=n ml Resolviendo para n L ml L ¼ n ml Utilizar el factor de conversión en relación con litros y microlitros, con microlitros como un valor en el numerador. Se cancelan los términos idénticos en el numerador y el denominador. (Recuerde, L es lo mismo que L/ 1, L, por lo tanto, es el numerador.) (5 1)( ) ml n ml Agrupar los términos similares ml n ml Multiplicar los numeradores ml n ml Por lo tanto, Les equivalente a ml. Problema 1.9 a) En el genoma humano hay aproximadamente pb. A cuánto equivale en kilopares de bases (kb)? b) Convierta 0,03 mg a ng. c) Convierta 0,0025 ml a ml. Solución 1.9 a) pb = n kb. Resolver para n. Multiplicar por el factor de conversión que relaciona kb con pb con las kb como numerador: kb pb pb ¼ n kb Simplificar los términos idénticos (pb) que aparecen tanto en el denominador como en el numerador, dejando kb como valor en el numerador. ð Þð1kbÞ ¼ n kb El exponente del denominador se resta del exponente del numerador kb ¼ kb ¼ n kb Por tanto, pb es equivalente a kb.

13 1.3 Prefijos métricos 13 b) 0,03 mg= n ng. Resolver para n. Multiplicar por el factor de conversión que relaciona g con mg y ng con g con ng como numerador. Convertir 0,03 mg a su equivalente en notación científica ( mg): g mg mg ng ¼ n ng g Simplificar los términos idénticos que aparecen tanto en el denominador como en el denominador, dejando los ng como valor del numerador; multiplique el numerador y el denominador y agrupe los términos similares. ð3 1 1Þð Þ ng ð1 1Þð10 6 Þ Se suman los exponentes del numerador. ¼ n ng þ9 ng ¼ ng ¼ n ng Del exponente del numerador se resta el del denominador ng ¼ ng ¼ n ng Por lo tanto, 0,03 mg es equivalente a 30 ( ) ng. c) 0,0025 ml = n ml. Resolver para n. Convierta 0,0025 ml en notación científica. Multiplique por el factor de conversión que relaciona L con ml y ml con L con ml como numerador. Ó ELSEVIER. Fotocopiar sin autorización es un delito. 2, L ml ml ml ¼ n ml 1L Simplifique los términos idénticos que aparecen tanto en el denominador como en el numerador, dejando ml como valor del numerador. Multiplique los valores del numerador y del denominador. Agrupe los términos similares. ð2,5 1 1Þð Þ ml ð1 1Þð10 3 Þ Se suman los exponentes del numerador. ¼ n ml 2,5 10 3þ6 ml ¼ 2,5 103 ml ¼ n ml

14 14 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos Del exponente del numerador se resta el del denominador. 2, ml ¼ 2, ml ¼ 2,5 ml ¼ n ml Por tanto, 0,0025 ml es equivalente a 2,5 ml. & RESUMEN DEL CAPÍTULO Los dígitos significativos son los dígitos que representan los límites reales de precisión. Son por lo general dígitos distintos a cero. Los ceros a la izquierda de la coma detrás de un dígito distinto a cero se supone que no son significativos. Los ceros a la derecha de la coma antes de un dígito distinto a cero también se supone que no son significativos. El redondeo del resultado de la suma o diferencia de dos números debe tener el mismo número de dígitos significativos a la derecha de la coma como el número con el menor número de dígitos significativos a la derecha de la coma utilizada en el cálculo. Un producto o cociente debe tener sólo tantos dígitos significativos como el número con el menor número de dígitos significativos utilizado en el cálculo. Cuando los números se expresen en notación científica, mueva la coma a la derecha del dígito diferente a cero de más a la izquierda, elimine todos los ceros que quedan fuera de la serie de cifras significativas, y exprese el nuevo número como un producto por 10 que tiene un exponente igual al número de posiciones que la coma se movió de su posición original (con un exponente negativo si la coma se mueve a la derecha). Al sumar o restar números expresados en notación científica, vuelva a escribir los números de tal manera que todos tengan el mismo valor en el exponente como el de mayor exponente; a continuación, realice el cálculo. Al multiplicar números expresados en notación científica, sume los exponentes. Al dividir números expresados en notación científica, reste el exponente del denominador del exponente del numerador para obtener el valor del nuevo exponente. Los números escritos en notación científica también pueden ser expresados usando prefijos métricos, lo que permitirá obtener el valor con el menor número de dígitos significativos.