Matemàtiques 3ESO Biblioteca del professorat SOLUCIONARI

Transcripción

1 Matemàtiques ESO Biblioteca del professorat SOLUCIONARI El Solucionari de Matemàtiques per a r d ESO és una obra col lectiva concebuda, dissenada i creada al Departament d Edicions Educatives de Grup Promotor / Santillana, dirigit per Enric Juan Redal i M. Àngels Andrés Casamiquela. En la realització han intervingut: A. M. Gaztelu A. González M. Marqués EDICIÓ N. Grinó R. Nevado C. Pérez DIRECCIÓ DEL PROJECTE D. Sánchez Figueroa Grup Promotor Santillana

2 Equacions de primer i segon grau IGUALTATS ALGEBRAIQUES EQUACIONS DE PRIMER GRAU TIPUS D EQUACIONS MÈTODE GENERAL EQUACIONS DE SEGON GRAU EQUACIONS COMPLETES EQUACIONS INCOMPLETES ESTUDI DEL NOMBRE DE SOLUCIONS FÓRMULA GENERAL MÈTODES DE RESOLUCIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB EQUACIONS

3 La fi del món L octubre de a la presó de Wittenberg s hi va celebrar una reunió força curiosa: Luter hi era per visitar Michael Stifel, amic íntim seu. Stifel havia aplicat a la Bíblia càlculs numèrics i havia profetitzat que la fi del món seria el 8 d octubre d aquell matei an. Luter contenia el riure i li deia: Michael, quantes vegades t he dit que no barregis la fe amb la raó? No em tornarà a passar mai més. Quan surti d aquí em dedicaré a ordenar els meus escrits i a publicar els meus treballs científics. Però no barrejaré mai més l aigua amb l oli. Tal com va prometre, el va publicar la seva obra Arithmetica integra, en què generalitza l ús dels signes + i per a la suma i la resta. Hi admet, també, per primera vegada, els coeficients negatius a les equacions, tot i que no les solucions negatives. Segons Stifel... quina seria la solució d aquestes equacions? L equació: + segons Stifel, no tindria solució, perquè la seva solució és un nombre negatiu,. L equació: segons Stifel, tindria una única solució:.

4 Equacions de primer i segon grau EXERCICIS Calcula el valor numèric de les epressions: a) + si d) + si b) + si e) + si c) + si a) b) c) d) + e) + Assenala quines d aquestes igualtats són identitats o equacions: a) 6( ) + ( ) + b) 6( ) ( ) ( ) a) Igualtat b) Només és certa per a 6( ) 6 7( ) Escriu dues identitats i dues equacions. Identitats: ( ) + Equacions: Determina els elements d aquestes equacions: a) ( + 9) b) + c) ( ) a) Primer membre:. Segon membre: ( + 9). Incògnita:. Grau:. b) Primer membre: +. Segon membre:. Incògnita:. Grau:. c) Primer membre: ( ) + +. Segon membre: +. Incògnita:. Grau:.

5 SOLUCIONARI Quin dels dos nombres següents és la solució de l equació 9 ( )? a) b) c) d) 9 ( ) a) 9 9 ( ) ( ) No b) ( ) 9 9 No ( ) ( 8) c) No ( ) 9 6 d) ( ) La solució és ( ) ( 6) 6 6 Escriu dues equacions que tinguin com a solució Escriu dues equacions que tinguin: a) Dues solucions. b) Cap solució. c) Infinites solucions. a) + b) c) + 6 ( + ) Resol aplicant les regles de la suma i del producte: a) + d) 8 b) e) 6 7 c) f) a) + + b) + + c) 8 ( )( ) ( )8 8 d) 8 e) f) 8 8 6

6 Equacions de primer i segon grau 9 Calcula: a) + 6 b) c) d) 6 a) b) c) d) Calcula: a) + c) 7 6 b) d) a) b) c) d) Troba la solució d aquesta equació: ( + ) + 6. ( + ) És una identitat: infinites solucions. Resol aquestes equacions: a) d) + b) e) c) f) a) b) Identitat c) d) Equació incompatible e) Equació incompatible f)

7 SOLUCIONARI Indica si el pas és correcte o no. a) + + b) 9 a) +. Sí que és correcte. b) 9 +. No és correcte. Què passa quan en els dos membres d una equació aparei el matei terme? Aleshores podem eliminar-lo dels dos membres, perquè si en transposem un ens quedaria la suma d un dels dos més el seu oposat. Resol: a) ( ) 6 b) ( 7) a) ( ) b) ( 7) Calcula el valor de. a) b) c) m.c.m. (, ) a) 6 6 ( + ) ( + ) ( + 7) b) F m.c.m. (, ) ( + 7) + 6 c) F m.c.m. (, )

8 Equacions de primer i segon grau 7 Resol aquestes equacions: a) ( ) ( ) 6 b) + a) ( + ) ( + ) 6 8 ( ) ( ) 6 ( ) 6 ( ) 6 6 F 7 6 b) + m.c.m. (, 6) 6 8( ) ( ) ( + ) ( + ) F m.c.m. (6, 8) ( + ) ( + ) + ( 7 ) ( + ) 9( + ) (7 ) Escriu una equació de primer grau amb parèntesis i denominadors que tingui com a solució. Resol: + + ( + ) a) 7 + d) 9 + b) e) c) f) a) b) ( ) ± ( ) 7 ± ± 7 ± ( ) ± ( ) 9 ± ± 9 9 ± 6 6

9 SOLUCIONARI c) ± ( 8) ( 8) 8 8 ± d) e) ( ) ± ( ) 9 ± ± 9 ± ( ) ± ( ) 6 ± 6 6 ± 6 ± 7 f) ± ± 8 ± 6 ± Epressa de la forma a + b + c i resol: a) b) 8 c) 8 d) + 9 a) ( ) ± ( ) + ± + 8 ± 8 ± 9 b) ± + 8 ± + 8 ± 8 ± 8 c) ± + 8 ± ± 96 6 ± ± 8/6 / 6 6 d) ± ( ) ( ) 9 ± 6 ± 8 9 ± 6 7

10 Equacions de primer i segon grau Resol aquestes equacions: a) 98 b) + a) ± 9 b) + + ( + ) + D una altra manera: + ± ± ± Determina el nombre de solucions de les equacions de segon grau. a) 7 b) c) + a) ( 7) ( ) > Té solucions. b) > Té solucions. c) ( ) < No té solució. 7 7 Quantes solucions tenen aquestes equacions de segon grau? Calcula n el valor. a) 6 + d) + 9 b) e) c) 6 f) 8 a) ± 6 6 ± ± b) + ± + ± ± + + 8

11 SOLUCIONARI c) 6 ( 6) ± ( 6) 6 6 ± 6 6 ± ( ) ± ( ) 9 d) + 9 ± e) ± ( 6) ( 6) ± ± 7 No té solucions reals 6 ± ± 8 + f) 8 ± No té solucions reals ± 6 7 Calcula el valor del discriminant i les solucions en cada cas. a) + c) b) d) a) ( ) 6 > Té solucions. b) + ( ) Té solució (doble). c) + ( ) 6 < No té solució. c) + Té solucions. Escriu una equació de segon grau: a) Amb dues solucions. b) Amb una solució doble. c) Sense solució. a) + 7 +, b) (doble) c) + No té solucions reals. + 9

12 Equacions de primer i segon grau 6 7 Resol: a) 9 f) + 6 b) 7 g) + 9 c) h) + d) 7 6 i) e) j) a) 9 ( 9) 9 9 b) 7 7 ( ) 7 7 c) ( ) / d) 7 6 ( 7 6) 7 6 6/7 e) 6 f) + 6 ( + 6) g) + 9 ( + 9) h) + ( + ) + / i) + ( + ) + / 9 j) 8 9 Calcula: a) 9 9 c) b) ( ) 7 d) ( )( + 7) a) 9 9 ± / / b) ( ) ± ( ) ( ) + ± +. ±. ± / /

13 SOLUCIONARI c) + ± ( ) ( ) + ± 9 ± 7 d) ( )( + 7) + 7 7/ 8 9 Escriu una equació de segon grau amb algun coeficient igual a zero i dues solucions. 6 6 ± 6 La suma de dos nombres és 8. Si un és la meitat de l altre, quins nombres són? Anomenem els dos nombres i Els dos nombres són 6 i. La Maria té tebeos mens que la Sara. Si la Maria li n dóna dos dels seus, la Sara en tindrà el triple que ella. Quants tebeos té cadascuna? Tebeos de la Maria: Tebeos de la Sara: ( ) La Maria té 6 tebeos i la Sara en té. Quaranta-tres persones assisteien a una festa. Si maressin nois, hi hauria el triple de noies que de nois. Quants nois i noies hi ha? Nre. de nois: Nre. de noies: ( ) 9 9 Substituïm:. Hi ha nois i noies. La suma de dos nombres consecutius senars çes 6. De quins nombres es tracta? Anomenem els dos nombres i Per tant, els dos nombres són 77 i 79. El producte d un nombre pel doble d aquest nombre és 88. Quin nombre és? Hi ha més d una solució? Nombre: ± Té dues solucions: i.

14 Equacions de primer i segon grau L Albert té el doble d edat que l Anna. Si multipliquem les seves edats obtenim el nombre. Quina edat té cadascun? Edat de l Anna: Edat de l Albert: 6 ±6 Com que l edat és un nombre positiu, la solució és única. L Anna té 6 ans, i l Albert. La suma d un nombre i el seu quadrat és. De quin nombre es tracta? + + ± + ± 69 ± 6 7 Hi ha dues solucions: Per a Per a 7 ( 7) + ( 7) El producte de les edats de la Lluïsa i el seu germà, que té ans mens que ella, és 76. Quants ans tenen tots dos? Edat de la Lluïsa: Edat del seu germà: ( ) ± ( ) ( ) + 76 ± + 7 ± 79 ± 7 6 La segona solució no és vàlida (una edat no pot ser negativa), aií que la Lluïsa té 6 ans i el seu germà té 6 ans. 7 Troba dos nombres consecutius que quan els multipliquem obtinguem com a resultat 8 unitats. Anomenem els dos nombres i +. ( + ) ± + 8 ±. ± 9 9 Hi ha dues solucions: Per a 9 Els nombres són 9 i. Per a Els nombres són i 9.

15 SOLUCIONARI 8 Per tancar una finca rectangular de 7 m fem servir m de tanca. Calcula les dimensions de la tanca. Els costats mesuren i. L àrea serà: A ( ) 7. Per trobar la mesura dels costats hem de resoldre l equació de segon grau: ( ) ± 7 ±.. ± ± ACTIVITATS 9 Determina si les igualtats algebraiques són identitats o equacions. a) + ( ) + 8 b) 7 + c) d) ( + ) a) + ( ) Identitat b) Equació c) Equació d) ( + ) + + Identitat Indica els membres d aquestes equacions: a) + b) 7 + c) d) ( + ) ( ) a) + r membre n membre b) 7 + r membre n membre c) r membre d) ( + ) ( ) r membre n membre n membre

16 Equacions de primer i segon grau Assenala els termes de les equacions. a) + c) b) 9 + d) 9( + 7) ( ) a) + Termes:,, b) 9 + Termes:,, 9,,, c) Termes:, 6, 76,,, d) 9( + 7) ( ) Termes: 9, 6,, 6, Indica el grau de les equacions següents: a) 8 + b) + c) + 7 d) 6 a) Grau. b) Grau. c) Grau. d) Grau 6. Quin d aquests nombres és la solució de l equació ( ) +? a) b) c) d) e) f) La a solució és: c), perquè ( ) +. El valor és la solució d alguna d aquestes equacions? a) 6 c) 8 e) b) + d) f) a) Sí, 6 6. d) No, b) No, +. e) No, 6 8. c) No, 6 8. f) No, Escriu una equació: a) Amb dues incògnites i termes independents i. b) Amb una incògnita i solució 7. c) Amb incògnita z i solució 9. a) + + b) 9 7 c) z z 9 z 9 6 Esbrina quines de les equacions següents tenen com a solució 6. a) c) e) 6 8 b) 8 d) f) a) Sí, 6. c) No,. e) Sí, 6. b) No,. d) No,. f) No,.

17 SOLUCIONARI 7 Escriu dues equacions en cada cas. a) Que tinguin com a solució. c) Que tinguin com a solució. b) Que tinguin com a solució. d) Que tinguin com a solució. a) 6 i + 6 c) i b) 6 i 9 d) + i 8 Resol: a) e) + b) 9 + f) + 7 c) g) + 9 d) 6 + h) 9 a) 7 b) c) + + d) e) + 6 f) g) h) Troba la solució d aquestes equacions: a) + + d) g) b) e) 7 h) c) f) i) a) b) c) d) e) f) g) h) i)

18 Equacions de primer i segon grau Corregei els errors en la resolució de l equació. En el tercer pas, quan s aïlla la, el ha de passar dividint amb el matei signe amb què multiplica la, que, en aquest cas, és positiu,. FES-HO AIXÍ COM RESOLEM UNA EQUACIÓ AMB PARÈNTESIS? Resol ( ) ( ). PRIMER. Eliminem els parèntesis. Hem de tenir en compte que si hi ha un signe mens davant d un parèntesi hem de canviar tots els signes de l interior. ( ) ( ) SEGON. Agrupem els termes amb en un membre i els nombres a l altre TERCER. Reduïm els termes semblants CUART. Aïllem la. Resol: a) 6( + ) + 6( + ) d) ( 7) b) ( 7) ( ) e) ( + ) 7( ) c) ( ) 6 f) ( + 7) 6 ( + 8) a) 6( + ) + 6( + ) No té solució b) ( 7) ( ) c) ( ) d) ( 7) e) ( + ) 7( ) f) ( + 7) 6 ( + 8)

19 SOLUCIONARI Resol aquestes equacions: a) 9 c) e) b) 7 d) 8 f) 6 a) 6 b) c) d) e) f) Escriu una equació: a) Que tingui un parèntesi i solució. b) Que tingui denominador i solució. c) Que tingui dos parèntesis i solució. ( ) a) 6 b) c) ( ) 6( ) Resol: a) c) + + b) + 7 d) 6 a) b) c) d)

20 Equacions de primer i segon grau 6 Calcula el valor de. a) d) 6 + b) 6 e) c) + + f) a) b) c) + + ( + ) + F 8 m.c.m. (, ) F 8 m.c.m. (, 6) d) + 8 ( + 8) ( ) F 6 e) m.c.m. (, 6) 6 ( + 8) ( ) F m.c.m. (, ) 6 8 ( ) ( 8 ) ( ) + + ( ) + (8 ) + ( ) f) F m.c.m. (,, ) ( ) ( ) ( ) 6( ) ( ) ( )

21 SOLUCIONARI 7 Troba la solució d aquestes equacions: ( ) a) d) b) ( + ) e) + c) + + ( ) 7 6 ( + ) + a) ( ) ( ) ( ) F m.c.m. (, ) ( ) 9( ) b) ( + ) ( + ) c) d) e) + + ( ) ( + ) + ( ) ( ) + ( + ) ( ) m.c.m. (, ) + ( ) + ( ) 7 7 ( ) + ( ) ( + ) + F F m.c.m. (, ) ( + ) + 6( 6) +.6 ( + ) F (: ) 9

22 Equacions de primer i segon grau 8 Està ben resolta aquesta equació? Esbrina-ho comprovant-ne la solució. Corregei els errors que s han comès. 7 r Calculem el m.c.m. m.c.m. (7, ) 8 n Multipliquem per 8. ( ) 7( ) r Eliminem els parèntesis t Transposem els termes è Reduïm els termes. 6è Aïllem la. n No s ha multiplicat per : ( ) 6 7( ) r La propietat distributiva està mal aplicada: t è S ha sumat malament: 6è S ha aïllat malament la : 7 9 Resol: ( + ) ( + )( ) a) ( ) ( ) b) 6 ( ) c) a) ( + ) ( + )( ) + 8 ± + ± b) ( ) ( ) + 8 c) ( ( )) 6 +

23 SOLUCIONARI 6 Resol les equacions de segon grau aplicant la fórmula general. a) + 6 e) + b) + f) 7 + c) g) + d) + 6 a) ± ± + b) c) d) e) f) g) ± 6 ± 88 8 ± ± ( doble) ± + ± ± ± ± 9 8 ± 9 ± No té solució ( doble) No té solució ± Esbrina, sense resoldre-les, el nombre de solucions d aquestes equacions: a) e) b) f) + c) g) 7 + d) + + a) > : solucions. b) > : solucions. c) 6 6 : solució. d) + > : solucions. e) 6 6 : solució. f) 6 88 < : no té solució. g) < : no té solució.

24 Equacions de primer i segon grau 6 Determina el nombre de solucions de les equacions següents: a) e) b) + f) 7 c) + g) d) a) ± b) + ( + ) + c) + ± ( ) ( ) ± 6 6 d) ± ± 6 6 e) ± ( ) ( ) + ± + 8 ± + f) ± ( 7) ( 7) 7 ± ± g) ± + 6 ± 6 Resol aquestes equacions de segon grau incompletes: a) 8 e) 8 b) + f) c) + 7 g) d) 6 h) a) ± 8 b) No té solució c) ( + ), d) ± e) 8( + ), f) ( + ), g) ± h) ( ),

25 SOLUCIONARI 6 Resol les equacions amb el mètode més adequat. a) 7 6 b) c) d). e) f) 7 g) + h) 6 i) 7 j) k) 9 6 l) + 7 a) ± b) + ± c) ± d). ± e) ± f) 7 7 ± g) + ± h) ± 6 i) ±6 j) 9 ± k) ± l) ± 9 + ± 6 7

26 Equacions de primer i segon grau 6 Resol: a) 7 b) + c) d) e) 6( ) f) g) h) i) j) 6 6 a) 7 ( 7) 7 7 b) + ( + ) + c) ( ) d) ( ) 6 e) 6( ) f) ( ) g) ( ) h) ( ) i) ( ) j) ( ) 6

27 SOLUCIONARI 66 FES-HO AIXÍ COM RESOLEM LES EQUACIONS EN QUÈ UN PRODUCTE ÉS IGUAL A ZERO? Resol l equació ( )( + ). Perquè un producte de diversos factors valgui zero, almens un dels factors ha de ser zero. PRIMER. Igualem a zero cadascun dels factors. ( )( + ) + SEGON. Resolem les equacions que hem obtingut. ( )( + ) + L equació té dues solucions: i. 67 Calcula sense aplicar la fórmula general. a) ( + )( ) b) ( )( + ) c) ( + )( ) d) ( ) e) ( ) + f) + a) + b) + c) d) (doble) e) ( ) (doble) f) 6 (doble)

28 Equacions de primer i segon grau 68 Resol les equacions següents: a) ( + )( ) + e) ( + )( ) b) ( + 9)( 9) ( 7) f) 8 c) ( ) 6 d) ( ) g) 7 + a) ( + )( ) ( ) b) ( + 9)( 9) ( 7) 8 8 ( ) c) ( ) 6 6 ± + 78 ± d) ( ) ± + 8 ± + ( ) ± 6 e) ( + )( ) 9 6 ±6 f) g) 8 8 ± ( / ) ( / ) + 8 / ± ( 9/ 6) + 7 / ± ( 9 +. ) / 6 / ± / ( / + / ) 6/ ( / / ) 8/ ( ) ± ( ) / ±

29 SOLUCIONARI 69 Escriu una equació de segon grau que tingui tots els coeficients diferents de zero i una solució doble. L equació és + +. ± 7 FES-HO AIXÍ COM RESOLEM EQUACIONS DE SEGON GRAU AMB PARÈNTESIS I DENOMINADORS? ( ) Resol +. PRIMER. Eliminem els denominadors. Calculem el m.c.m. dels denominadors i hi multipliquem els dos memnres de l equació. m.c.m. (, ) ( ) + ( ) ( ) ( + ) SEGON. Traiem els parèntesis. ( + ) TERCER. Passem tots els termes al primer membre i fem les operacions QUART. Simplifiquem l equació, si podem, i la resolem. Dividim entre 6 F ± + ± CINQUÈ. Comprovem les solucions ( ) ( ) ( ) ( ) + 7 7

30 Equacions de primer i segon grau 7 Resol les equacions següents: ( ) a) ( )( + ) + + b) 6 c) ( + ) d) ( ) + ( )( ) ( ) e) ( )( + ) + ( + )( ) f) + a) ( ) ± + ± b) ( )( + ) ( + ) 6( + ) ± ± 6. 7 Té solucions c) ± 8 ± No té solució d) ± + ± + e) f) Troba dos nombres consecutius que sumin. Els dos nombres són i Per tant, els nombres són el i el 6. Calcula un nombre el doble i el triple del qual sumin. El nombre és + 8

31 SOLUCIONARI 7 Calcula un nombre que, quan hi sumis, resulti el doble del nombre mens una unitat. El nombre és + ( ) Troba dos nombres consecutius si saps que la diferència dels seus quadrats és 67. Els dos nombres són i +. ( + ) Els nombres són 8 i El preu d un anell i el seu estoig és de. i l anell val. més que l estoig. Quin és el preu de cada article? Estoig:. Anell: L estoig val, i l anell.. 77 Una bodega va eportar al gener la meitat dels seus barrils i, al cap de dos mesos, un terç dels que li quedaven. Quants barrils tenia al començament si ara hi ha. barrils? Barrils:. Al gener eporta:, i durant els dos mesos següents, barrils 78 FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES D EDATS AMB EQUACIONS? El gos de l Àle té ans mens que ell. D aquí a ans, l Àle tindrà el triple de l edat del seu gos. Quines edats tenen tots dos? PRIMER. Plantejament. D aquí a ans, l edat de l Àle serà el triple que la del gos: + ( 8). SEGON. Resolució. Edat de l Àle Edat del gos Actualment D aquí a ans ( 8) + 8 TERCER. Comprovació. L Àle té ans, i el seu gos ans. En ans, ell en tindrà 8, i el gos 6;

32 Equacions de primer i segon grau 79 En Miquel té ans més que el seu cosí Ignasi i, d aquí a ans, entre tots dos sumaran ans. Quants ans té cadascun? Ignasi:. Miquel: + ( + ) + ( + + ) Ignasi: ans. Miquel: 9 ans. 8 Quina edat tinc ara si d aquí a ans tindré el triple de l edat que tenia fa 6 ans? Edat actual: + ( 6) ans 8 La Llúcia té tres fills. El petit té la meitat d ans que el mitjà, i aquest té sis ans mens que el gran. Calcula les edats de tots tres, si saps que la suma de les edats que tenen ara és igual que l edat de la seva cosina Anna, que és ans més gran que el germà petit. 6 6 Gran: Mitjà: 6 Petit: Anna: Gran: 9 ans. Mitjà: ans. Petit: an i mig. 8 FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE BARREGES AMB EQUACIONS? Disposem de dos tipus de te: un de Tailàndia, a, /kg, i un altre de l Índia, a 6, /kg, i volem obtenir kg de te a 6 /kg. Quants quilos hem de barrejar de cada tipus? PRIMER. Plantejament. Te tailandès Te indi Barreja Quilos Preu, 6,( ), + 6,( ), + 6, ( ) Preu per kg de barreja 6 SEGON. Resolució., + 6, ( ) 6, + 6 6, 6 TERCER. Comprovació. Necessitem kg de te de Tailàndia i 8 kg de te de l Índia., + 6, 8 El quilo de barreja val: 6.

33 SOLUCIONARI Quants litres de llet de,7 / hem de barrejar amb llet de,8 / per aconseguir-ne litres a,77 /? Llet de,7 : Llet de,8 :,7 +,8( ),77 8, 77 8 S han de barrejar 8 litres a,7 / i litres a,8 /. En una fàbrica de maons barregen argila de la tona amb argila de la tona. Quantes tones de cada classe hem de fer servir per aconseguir tones d argila a 9 la tona? Argila a /t:. Argila a /t: + ( ) t a /t 8 t a /t En una papereria s han venut caies de paper del tipus A i caies del tipus B per 7.7. Quin és el preu de la caia de cada tipus si el preu de la del tipus B és la del tipus A? 6 Tipus A: Tipus B: Caia del tipus A:. Caia del tipus B: FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MOVIMENT AMB EQUACIONS? Un camió surt d una ciutat a una velocitat de 8 km/h i, dues hores més tard, surt un cote de la mateia ciutat a km/h. A quina distància de la ciutat el cote atraparà el camió? PRIMER. Plantejament. Temps que ha passatr des que surt el cote fins que es troba amb el camió. Distància que recorre el camió Distància que recorre el cote La distància recorreguda per tots dos vehicles quan es troben és la mateia SEGON. Resolució: TERCER. Comprovació. Es troben hores després de la sortida del cote, és a dir, al cap de 6 hores de l inici del vaitge del camió. El camió, en 6 hores, recorre: km. El cote, en hores, recorre: 8 km. Avantatge Moment de la trobada

34 Equacions de primer i segon grau 87 L Ester viatja de Sevilla a Barcelona amb cote. Surt a les 8 del matí i va a una velocitat constant de 9 km/h. A km de Barcelona, en Joan agafa a la mateia hora un autobús que viatja a 7 km/h en la mateia direcció que l Ester. A quina hora es troba l Ester amb l autobús? Quina distància ha recorregut cadascun? El temps que triguen a trobar-se és , hores. Per tant, es troben a les h min. La distància que ha recorregut l Ester és:, 9 9 km. La d en Joan: 9 8 km. 88 A les 7 del matí, en Tomàs surt de Zamora amb direcció a Cadis, que estan a 66 km de distància, a 7 km/h. A la mateia hora, la Natàlia surt de Cadis i es dirigei a Zamora per la mateia carretera que en Tomàs a una velocitat de 6 km/h. A quina hora es creuaran? I a quina distància estaran de Cadis? Si és el temps que triguen a trobar-se i tenint en compte que estan a una distància de 66 km: ,888 hores h min s. Es creuaran a les h min s i estaran a, , km de Cadis. 89 Un terren rectangular té una superfície de.79 m i fa m més de llargada que d amplada. Calcula n les dimensions. Amplada:. Llargada: + ( + ) ± + ± Les dimensions són 7 m d amplada i 7 m de llargada. L altra solució no és vàlida perquè és negativa. 9 Si un camp de futbol fa m més de llargada que d amplada i la seva àrea és de 7. m, calcula n les dimensions. Amplada:. Llargada: + ( + ) ± ± Les dimensions del camp són 7 m d amplada i m de llargada. L altra solució no és vàlida perquè és negativa.

35 SOLUCIONARI 9 Troba dos nombres que es diferencien en 7 unitats si saps que el seu producte és 6. Menor:. Major: + 7 ( + 7) ± + ± Les solucions són i o i. 9 En un triangle rectangle de m de perímetre la longitud del catet és igual a tres quarts de la de l altre. Troba n les dimensions.. Catet : Catet : Hipotenusa: Catet 8 m. Catet 6 m. Hipotenusa m. 9 Per enrajolar una sala de 8 m de llargada i 6 m d amplada s han fet servir rajoles quadrades. Quant fa el costat de les rajoles? Costat de la rajola: 8 6,6, La rajola fa cm de costat. 9 La diagonal d un rectangle fa cm. Troba n les dimensions si un catet fa cm mens que l altre. Major: Menor: Diagonal: + ( ) + ( ) + 8 ± + ± Les dimensions són 8 cm i cm. L altra solució no és vàlida perquè és negativa.

36 Equacions de primer i segon grau 9 Un cine té el matei nombre de files que de seients per fila. El propietari decidei remodelar-lo i treure una butaca per fila i tres files. Després de la remodelació, el nombre de seients és. a) Quantes files tenia el cine abans de la remodelació? b) Quants seients hi ha ara en cada fila? a) Anomenem nre. de files nre. de butaques/fila S eliminen files:. S elimina butaca per fila:. ( )( ) + ± + ± ± 6 6 El valor negatiu no té sentit. Per tant, el cine tenia butaques per fila i files. b) Ara té 9 butaques per fila. 96 Investigarem què passa amb les equacions de segon grau el coeficient de de les quals val, és a dir, les equacions de la forma: Per fer-ho, seguim aquests passos: a) Resol les quatre equacions: + b + c b) Quines relacions observes entre les solucions que has obtingut i els coeficients b i c? c) Troba les solucions de + b + c i després calcula n la suma i el producte. d) Aplica les relacions que has trobat i busca dos nombres la suma dels quals sigui i el producte, 6.

37 SOLUCIONARI a) 7 + ± ± ± + ± ± ± + + ± ± b) b ( + ), c c) b b c + b b c b b c b b c b b b c + d) + 6 ± b b c b b c ± ( ) c 97 Desenvolupa i simplifica l epressió: A ( ) + + ( + ). Troba tres nombres enters consecutius la suma dels quadrats dels quals sigui.. A ( ) + + ( ) A A ± Té dues solucions: 99 i, i 99, i.

38 Equacions de primer i segon grau 98 Resol l equació: + ( + )( + ) sense fer servir la fórmula general. Per fer-ho, factoritza l epressió del primer membre. ( + )( ) + ( + )( + ) ( + )( ) + ( + )( + ) ( + )[( ) + ( + )] ( + )( + ) A LA VIDA QUOTIDIANA 99 A la Mariam li falten pocs dies per donar a llum. A la seva feina tenen el costum de fer un regal als nounats. En Robert i la Pilar, compans seus, s han encarregat de recollir els diners. La Mariam és molt popular a l empresa, gairebé tothom la conei. Per aiò la majoria dels seus compans han participat en el regal. Ahir, en Robert i la Pilar van ser en uns grans magatzems i han proposat comprar el cotet de nadó, que està d oferta, pel qual haurien de posar uns 8 cadascun. Com que tothom hi estava d acord, el van anar a comprar, però va resultar que l oferta s havia acabat i els faltaven. El que podem fer és posar-hi cadascun 9 i amb els 8 que sobren comprem una samarreta per al nen. Finalment, en Robert i la Pilar m han dit que, dels compans, hi ha una persona que no ha posat els diners per al regal de la Mariam. Creus que és cert el que diuen? Persones que participen en el regal: Preu original:8 Preu nou: Per tant, el que han dit en Robert i la Pilar no és cert, ja que han posat diners persones, i no. 6

39 SOLUCIONARI En Marcel lí és ferrer i s ha trobat amb força problemes al llarg de la seva trajectòria professional. Molt sovint li fan encàrrecs que són difícils de portar a terme. A vegades, no només és difícil fer la feina, sinó també interpretar què és el que vol el client. A la terrassa, hi tinc un tros de paret que fa, m. Vull col locar, sobre els etrems de la paret, una barra de ferro que formi un angle recte per instal lar-hi un tendal que faci,7 de longitud. Per aiò, quan algú li planteja un problema com aquest, en Marcel lí l ha de traduir a les tasques que ell ha de fer a la seva ferreria. El que vostè necessita és una barra de ferro que faci,7 m. Aquesta barra, l hem de doblegar fins que faci un angle recte de manera que la distància entre els etrems sigui d, m. Com haurà de doblegar la barra, en Marcel lí? Catet del triangle rectangle:. Catet del triangle rectangle: 7. + (7 ) ± ± Haurà de doblegar la barra de manera que les dues parts facin cm i cm. 7

40 Sistemes d equacions EQUACIÓ LINEAL AMB DUES INCÒGNITES SISTEMES DE DUES EQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES CLASSES DE SISTEMES RESOLUCIÓ GRÀFICA MÈTODES DE RESOLUCIÓ SUBSTITUCIÓ IGUALACIÓ REDUCCIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB SISTEMES DE DUES EQUACIONS I DUES INCÒGNITES 8

41 Una classe improvisada Estar convidat a la Festa de la Primavera, que cada an se celebrava al palau del maharajà, era un honor reservat només als personatges més influents. Quan pujava a l elefant, el savi Brahmagupta i el seu jove ajudant, Serhane, van coincidir a reconèier que el maharajà era molt generós d enviar el seu seguici per portar-los al palau. El jove ajudant es va passar mig camí queiant-se de les disciplines que havia d estudiar: Mestre, per què he d estudiar àlgebra? No té cap utilitat; si tinc cinc monedes són cinc monedes, no pas cinc incògnites... I que la incògnita pugui ser qualsevol cosa és antinatural. Brahmagupta va prendre la paraula i durant l altre meitat del camí que els faltava li va eplicar al seu deieble la utilitat de l àlgebra: En aquest món tot té el seu significat: l estel al front de l elefant no és tan sols un estel, sinó que vol dir que pertan al maharajà, i la creu coronada per quatre cercles no és només un dibui, és el símbol de la ciutat. En matemàtiques, el més senzill és treure-li el significat a les coses, operar amb nombres i, després, interpretar-ne el resultat. Després d aquestes paraules, mestre i deieble es van quedar en silenci durant el quilòmetre que faltava per arribar a palau. Amb l ajuda d una equació, calcula la distància que tots dos van recórrer dalt de l elefant. distància Van recórrer una distància de km.

42 Sistemes d equacions EXERCICIS Epressa les equacions següents de la forma a + b c, i indica el valor dels seus coeficients: a) b) + c) d) Fes una taula de valors per a aquestes equacions. a) + a ; b ; c 7 b) + + a ; b ; c + c) + a ; b ; c + 7 d) + a ; b ; c Representa en el pla les equacions: a) + b) + a) + Y + X b) + Y X

43 SOLUCIONARI Escriu dues equacions lineals amb dues incògnites que tinguin com a solució,. Per eemple: + 7;. Troba la solució de cada sistema a partir de les taules de valors de les equacions que el formen. a) + b) + a) Solucions de + : Solucions de : El punt (, ) és la solució del sistema a). b) Solucions de + : Solucions de : El punt (, ) és la solució del sistema b). 9 7 Representa gràficament aquests sistemes i determina n les solucions. a) + 6 b) + a) Solució: (, ). + b) + + Solució: (, ).

44 Sistemes d equacions 6 De quin dels sistemes següents és la solució (8, )? I (, )? I (, )? a) + b) + 8 Vegem si el punt (8, ) és solució de a) o b): a) Sí que n és. 8 b) No n és Vegem si (, ) és solució de a) o b): a) + + No n és. 8 b) No n és Vegem si (, ) és solució de a) o b): a) + + No n és. b) Sí que n és Escriu una equació lineal amb dues incògnites de manera que una de les solucions sigui,. Escriu un sistema amb aquesta solució., 6 6, 8 Resol aquests sistemes i classifica ls en funció del nombre de solucions: a) + d) + b) + 7 e) + 6 c) + f) + 6 6

45 SOLUCIONARI a) + La solució és (, ): sistema compatible determinat. b) La solució és (6, ): sistema compatible determinat. c) Les dues equacions són la mateia recta: sistema compatible indeterminat. d) La solució és (, ): sistema compatible determinat. e) La solució és (6, ): sistema compatible determinat. f) 6 Les dues rectes es tallen al punt (, ): sistema compatible determinat.

46 Sistemes d equacions 9 Resol aquests sistemes i classifica ls: a) b) 6 a) b) Incompatible 7 Incompatible. Posa un eemple de sistema d equacions compatible determinat, indeterminat i incompatible. + Compatible determinat: + + Compatible indeterminat: + Incompatible: Resol pel mètode de substitució ( ) + + La solució del sistema és,. Resol per substitució i assenala si és compatible o incompatible (8 ) La solució del sistema és 8,. És compatible.

47 SOLUCIONARI Corregei els errors comesos. ( ) S ha eliminat el signe de la ; hauria de posar:. ( ) S ha posat malament el signe; hauria de posar Es passa el restant, i s hauria de passar sumant; ha de ser: S ha dividit entre 8, i hauria de ser entre 8; ha de ser:. 8 S ha eliminat el signe de la ; hauria de posar. La solució correcta és: ( ) Resol pel mètode d igualació aquests sistemes d equacions: a) + b) + a) b) +

48 Sistemes d equacions Resol pel mètode d igualació, i assenala si són compatibles o incompatibles. Quantes solucions tenen? a) + b) a) + + Arribem a una igualtat. El sistema té infinites solucions, és compatible indeterminat. b) Aïllem de la a equació, 8 i a la a:, i igualem És un sistema incompatible: no té solució. 6 Corregei els errors comesos en la resolució del sistema pel mètode d igualació ( 7) Mal aïllat: Mal aïllat: ( 7) + Mal eliminat el denominador: ( 7) + + Mal aïllat:. 7 7 Mal substituït: La solució correcta és: ( + 7)

49 SOLUCIONARI 7 Resol pel mètode de reducció: a) + b) 6 a) b) + Sumem les dues equacions. + 8 I substituïm en una de les equacions: + 6 Sumem les equacions: 6 + ( ) I substituïm en la a equació: Resol pel mètode de reducció aquests sistemes d equacions i assenala si són compatibles o incompatibles: a) b) a) + a equació restem Sistema incompatible: no té solució. b) a equació restem Sistema compatible indeterminat: té infinites solucions. 7

50 Sistemes d equacions 9 Corregei els errors comesos en la resolució del sistema ( ) El producte del terme independent, és. No s ha de restar, sinó sumar; a més, està mal restat. + 7 ( ) + + Mal aïllat; hauria de ser. La solució correcta és: Resol pel mètode més adequat: a) c) b) + ( + ) + 8 a) Substituïm a la a equació: +. b) c) ( + ) ( ) Restem les equacions a restem Substituïm a la a equació: + + 8

51 SOLUCIONARI Resol pel mètode més adequat: + ( ) + I restant les equacions:. No té solució, és incompatible. Escriu un sistema d equacions que sigui apropiat per resoldre l mitjançant la substitució i un altre mitjançant la reducció. Mitjançant substitució: ( 8) + 9 I substituint: 8 7. Mitjançant reducció: Sumem les equacions I substituint: 6. La suma de les edats d en Ferran i el seu pare és ans. L edat del pare és 7 vegades la del fill. Quina edat tenen tots dos? + Ferran:. Pare:. Aïllant a la a equació 7 i substituint a la a: + 7. I substituint:. Ferran: ans. Pare: ans. En un eamen contesto deu preguntes. Per cada encert em donen punts, i per cada error me n treuen. Si he tret 8 punts, quants encerts tinc? + Encerts:. Errors:. Aïllem de la a equació: 8, i substituïm a la a: 8. Substituint: 6. Encerts: 6. Errors:. Un hotel té, entre habitacions dobles i individuals, habitacions. Si el nombre de llits és 9, quantes habitacions dobles té? I habitacions individuals? + Dobles:. Individuals:. Aïllem de la a: + 9 Substituïm a la a: + 9. Substituint: 7. Dobles: 7. Individuals:. 9

52 Sistemes d equacions 6 Si cada persona es menja pastissos, en sobren ; però si en mengen 6, en falta. Quantes persones i pastissos hi ha? Anomenem nre. de persones i nre. de pastissos Substituïm a la a equació: 6. Hi ha persones i pastissos. ACTIVITATS 7 La solució d aquestes equacions és i? a) + 7 c) b) + d) + 7 a) No ho és. c). Sí que ho és. b) +. No ho és. d) + 7. No ho és. 8 Aquesta és la taula de valors de l equació Dóna diverses solucions de l equació, i indica un procediment per trobar alguna solució més. Altres solucions són (9, ) i (, ). El procediment consistei a aïllar una de les dues incògnites i donar valors a l altra, i d aquesta manera s obtenen els parells de solucions. 9 Fes una taula de solucions per a aquestes equacions. Pren com a valors de la variable :,,,. a) + c) b) + d) + a) b) + c) d)

53 SOLUCIONARI Representa en el pla, per a cada equació de l activitat anterior, les parelles de nombres que hagis obtingut i comprova que la seva representació és una recta. a) c) Y Y + X X b) Y d) Y + X + X Forma una taula de valors per a cada equació i indica n algunes solucions. a) + 8 d) b) e) + c) 7 f) a) b) c) d) e) f) Solucions: (, 9), (, 6) Solucions: (, 7), (, 6)... Solucions: (, 7), (, )... Solucions: (, ), (, )... Solucions: (, ), (, 8)... Solucions: (, ), (, )...

54 Sistemes d equacions Forma una taula de valors per a cada equació i indica n algunes solucions. + Creus que hi ha cap parella de valors de i que surti a totes dues taules? La parella (, ) surt a les dues taules. Escriu una equació lineal amb dues incògnites, de manera que una de les solucions sigui la parella de valors: a), c), b), d), a) c) b) + d) Escriu dues equacions lineals amb dues incògnites la solució de les quals sigui,. Després, representa totes dues equacions. Què hi observes? Substituïm a la a equació:. Y X Les dues rectes es tallen al punt (, ), que és la solució del sistema.

55 SOLUCIONARI 6 7 Indica els coeficients i els termes independents dels sistemes. a) + b) + c) d) a) + a' b' c' + 6 a' b' c' 6 b) + a' b' c' a' b' c' c) a' b' c' + 7 a' b' c' 7 d) + a' b' c' a' b' c' Quina de les parelles de valors següents és la solució del sistema? + La solució és l opció b): (, ). Donat el sistema: + a), c), a) (, ) c) (, ) b) (, ) d) (, ) esbrina si cap d aquestes parelles de valors és la solució. b), d), a) 6 i +. No és solució de la a equació. b) + i 8. No és solució de la a equació. c) i +. Sí que és solució del sistema. d), i,. No és solució del sistema. 8 9 Un sistema té com a solució, i una de les seves equacions és. Quina és l altra? a) 6 c) + b) d) + L altra equació és la de l opció d): +. Escriu una equació lineal amb dues incògnites de manera que una de les solucions sigui,. Fes servir l equació per determinar un sistema d equacions amb aquesta solució. + Sumem les equacions.

56 Sistemes d equacions Troba la solució de cada sistema mitjançant les taules de valors de les equacions que el formen. a) d) + 7 g) + b) + e) + h) c) f) a) Solucions de : Solucions de : La solució del sistema és,. b) Solucions de + : Solucions de 9: La solució del sistema és,. c) Solucions de : Solucions de + 7: 7/ / / / 7 La solució del sistema és,. d) Solucions de + 7: Solucions de : 7 / / La solució del sistema és,. e) Solucions de + : Solucions de : 9 7 La solució del sistema és,. f) Solucions de + : Solucions de : / / / La solució del sistema és,. g) Solucions de : Solucions de + : / / 7 La solució del sistema és,.

57 SOLUCIONARI h) Solucions de + 6: Solucions de : 6/ / La solució del sistema és,. Resol gràficament els sistemes d equacions i indica de quin tipus són: a) + c) + b) + d) a) + La solució del sistema és,. El sistema és compatible determinat. + Y X b) Les dues rectes coincideien. El sistema és compatible indeterminat: té infinites solucions. c) + Les dues rectes es tallen al punt (, ). El sistema és compatible determinat. / / Y + Y X X d) + + Y / Les dues rectes són paral leles, no es tallen. El sistema és incompatible. / + + X

58 Sistemes d equacions Indica quin tipus de sistema d equacions s ha representat. a) Y c) Y X X b) Y d) Y X X a) Sistema compatible determinat: una solució. b) Sistema incompatible: no té solució. c) Sistema compatible indeterminat: infinites solucions. d) Sistema incompatible: no té solució. Resol gràficament aquests sistemes: a) + b) + Què en pots afirmar? a) + Y Solució: (, ). + X b) + Y / + Solució: (, ). X Es pot afirmar que tenen la mateia solució:,. Són sistemes equivalents. 6

59 SOLUCIONARI Resol gràficament aquests sistemes i classifica ls pel nombre de solucions: a) c) + b) + 6 d) a) La solució és (, ): sistema compatible determinat. b) La solució és tota la recta, té infinites solucions: sistema compatible indeterminat. c) No té solució: sistema incompatible. d) + La solució és (, ): sistema compatible determinat. 7

60 Sistemes d equacions Quantes solucions tenen aquests sistemes? a) b) a) / 8 6 / La solució és tota la recta, té infinites solucions: sistema compatible indeterminat. b) No té solució: sistema incompatible. 6 Esbrina si els sistemes són incompatibles o compatibles i, en aquest cas, si tenen solució única. a) + b) a) Les dues equacions coincideien i el sistema és compatible indeterminat. Infinites solucions. b) La igualtat és falsa, per tant, el sistema és incompatible. 7 Aquests sistemes tenen les mateies solucions? a) + 8 b) Sí que tenen les mateies solucions, perquè si simplifiquem les equacions en el segon sistema obtenim el primer sistema : : ( ) + 8 8

61 SOLUCIONARI 8 Escriu una equació lineal amb dues incògnites que formi un sistema amb l equació, i que tingui: a) Solució única. b) Infinites solucions. c) Cap solució. a) b) c) Escriu un sistema d equacions que tingui com a solució: a), b), a) + b) + Sense resoldre aquests sistemes, indica el nombre de solucions que tenen a partir de les seves equacions. a) c) b) + 8 d) a) Compatible determinat. c) Incompatible. b) Incompatible. d) Compatible determinat. FES-HO AIXÍ COM ACONSEGUIM QUE UNA INCÒGNITA TINGUI COEFICIENTS IGUALS? Transforma aquest sistema perquè la incògnita tingui el matei coeficient a totes dues equacions PRIMER. Trobem el m.c.m. dels coeficients de la incògnita a la qual els volem igualar. m.c.m. (, 8) 7 SEGON. Dividim el m.c.m. per cada coeficient i multipliquem l equació pel resultat. Primera equació: m.c.m. ( + 8) Coeficiente 7 Segona equació: m.c.m. (8 7 9) Coeficiente 7 8 El sistema equivalent serà:

62 Sistemes d equacions Donat el sistema: escriu sistemes que en siguin equivalents i que: a) Tinguin coeficients de iguals. b) Tinguin coeficients de iguals. c) Tinguin termes independents iguals. 7 a) Multipliquem la a equació per 7: b) Multipliquem la a equació per i la a per : c) Multipliquem la a equació per 7 i la segona per : + 68 Escriu un altre sistema equivalent les equacions del qual no tinguin denominadors. + Multipliquem la a equació pel m.c.m. (, ) i la a pel m.c.m. (, ) 6: + 6 Completa els sistemes perquè el primer tingui com a solució,, i el segon,,. a) b) Si substituïm les variables per la solució, s han de verificar les equacions. a) b) Completa els sistemes perquè el primer sigui compatible i el segon, incompatible. a) b) a) Anirà bé qualsevol valor, sempre que no coincideii que el terme amb de la a equació sigui i el terme independent de la a sigui diferent que b) + + o El terme independent de la a equació pot ser qualsevol nombre diferent de 6 en el primer sistema i diferent de en el segon. 6

63 SOLUCIONARI 6 7 Completa aquests sistemes perquè el primer sigui compatible determinat i el segon, compatible indeterminat. a) b) a) b) + + 6, + 6 Escriu tres sistemes que tinguin com a solució,, de manera que: a) En el primer, els coeficients siguin o. b) En el segon, els coeficients de siguin el doble o la meitat que els de. c) En el tercer, els coeficients de i siguin fraccions. a) + b) + + c) Resol pel mètode de substitució. a) + d) g) b) e) h) c) f) a) + + Substituïm en la a equació: + ( ) + Calculem. b) Substituïm en la a equació: Calculem. 6

64 Sistemes d equacions c) + Substituïm en la a equació: ( ) Calculem : d) + Substituïm en la a equació: ( ) + 7 Calculem : e) + + Substituïm en la a equació: + ( + ) Calculem : + + ( ) f) Substituïm en la a equació: + (7 ) Calculem : 7 7 g) + Substituïm en la a equació: ( ) + Calculem : h) Substituïm en la a equació: Calculem. 6

65 SOLUCIONARI 9 Resol els sistemes d equacions següents pel mètode d igualació: a) + d) g) b) e) + h) c) f) + + a) + + Igualem:. Calculem. 8 b) Igualem: Calculem. 7 c) + + Igualem: Calculem. d) + + Igualem: + + Calculem + ( ) +. e) + Igualem:. Calculem. 6

66 Sistemes d equacions f) + Igualem: Calculem. g) Igualem: Calculem. 6 h) Igualem: Calculem. 6 Resol pel mètode que consideris més adequat: a) ( ) c) ( + ) + ( + 8) b) ( ) d) ( + ) 7( + ) ( + ) a) ( ) + Restem la a equació de la a: Substituïm a la a equació: 6. b) ( ) + Sumem les dues equacions: 8 6. Substituïm a la a equació:

67 SOLUCIONARI c) ( + ) ( + 8) 8 Restem les dues equacions: 6 8 Substituïm a la a equació: d) ( + ) 7( + ) ( + ) Aïllem a la a equació: a ( 7) sumem FES-HO AIXÍ COM ELIMINEM ELS PARÈNTESIS I ELS DENOMINADORS EN UN SISTEMA? Resol el sistema: + ( ) ( + ) 9 PRIMER. Eliminem els denominadors. Calculem el m.c.m. dels denominadors en cada equació i hi multipliquem tots dos membres. Primera equació: m.c.m. (,, ) + + Segona equació: m.c.m. (, 9) 8 ( ) ( + ) 8 8 ( ) 9 ( ) ( + ) 8 9 SEGON. Traiem els parèntesis. 9 ( ) ( + ) TERCER. Passem les incògnites a un membre, i els termes sense incògnita, a l altre Sense parèntesis ni denominadors, el sistema és: + 6 Simplificant F + 9 6

68 Sistemes d equacions 6 6 Resol pel mètode que consideris més adequat: a) b) + 7 a) b) Substituïm en la a equació: 6 9 a sumem Substituïm en la a equació: 6 Elimina els parèntesis i els denominadors en els sistemes següents: a) b) ( ) ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) + 7( ) 7 6 restem a) Multipliquem la a equació per i la a per : + + ( + ) ( + ) b) Multipliquem la a equació per i la a per 6: ( ) ( ) + ( + ) + 7( )

69 SOLUCIONARI 6 6 Resol pel mètode d igualació aquests sistemes: + a) + 6 b) c) ( ) a) Traiem denominadors: 6 Aïllem de la a equació,, i en la a, +, 6 igualem: + 8. I si substituïm: 8. + b) Traiem denominadors: 7 Aïllem de la a equació,, i en la a, 7, 7 igualem:. I si substituïm:. 7 7 c) Traiem denominadors: Aïllem de la a equació, + i en la a,, igualem: +,. Resol pel mètode de reducció els sistemes següents: a) + 6 c) + b) ( ) a) Traiem denominadors: Les sumem: 8. Substituïm en la a equació: 8 6. b) Traiem denominadors: 6 Les restem:,. Substituïm en la a equació:. + c) Traiem denominadors: 7 Multipliquem la a equació per : 7 Les sumem:,. Substituïm en la a equació:

70 Sistemes d equacions 66 Resol pel mètode més adequat: a) + b) + c) + 6 d) e) + ( + ) ( + ) + 6 ( ) + + a) + Les sumem:. Substituïm a la a equació:. b) Multipliquem la a equació per i la a per : + Les sumem:. 8 Substituïm a la a equació:. + c) Traiem denominadors: Les sumem: Substituïm a la a equació:. d) Traiem denominadors: 7 Aïllem de la a equació:. Substituïm a la a equació: 7 Substituïm: e) Traiem denominadors: Multipliquem la a equació per : 79 9 Les sumem: Substituïm a la a equació:

71 SOLUCIONARI 67 FES-HO AIXÍ COM EXPRESSEM CERTS ENUNCIATS MITJANÇANT EQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES? Epressa com a equacions de dues incògnites: a) La suma de dos nombres és. b) La diferència d edat de dos germans és ans. c) Un pare té el doble d edat que el seu fill. d) Un nombre en supera un altre en unitats. PRIMER. Assignem una incògnita a cada dada desconeguda. Dades desconegudes Dos nombres Edat de dos germans Edats del pare i el fill Dos nombre Incògnites, un nombre, l altre nombre, edat del primer, edat del segon, edat del pare, edat del fill, un nombre, l altre nombre SEGON. Relacionem les dades conegudes i les desconegudes amb una igualtat (equació). a) La suma és. + b) La diferència és de ans. c) El pare dobla l edat al fill. d) Un supera en l altre Epressa mitjançant equacions de dues incògnites: a) Un entrepà i un refresc valen. b) Dos entrepans i tres refrescos costen. c) Un entrepà val més que un refresc. d) He pagat un entrepà i dos refrescos amb i me n han tornat. Preu de l entrepà:. Preu del refresc:. a) + b) + c) + d)

72 Sistemes d equacions Tria la resposta adequada: a) Fa tres ans, l edat d un oncle era el triple de la del nebot, però d aquí a ans serà només el doble. Les edats de l oncle i el nebot són:. Oncle: ; nebot:. Oncle: 7; nebot.. Oncle: ; nebot:. b) En un teatre s han venut entrades entre seients de platea i de llotja. Les primeres costen cadascuna i les segones,. Si la recaptació va ser de., les entrades venudes de cada tipus van ser:. Platea: ; llotja:.. Platea: ; llotja:.. Platea: ; llotja:.. Platea: ; llotja:. a) Oncle: Nebot: Substituïm a la a equació: ( + ), La solució és l opció. Oncle: ans. Nebot ans. b) Butaques de platea: Butaques de llotja: + +. Substituïm a la a equació: ( ) , La solució és l opció. Butaques de platea:. Butaques de llotja:. Calcula dos nombres la suma dels quals és i la diferència, 6. + Sumem les equacions: 6 8,. 6 Calcula les dimensions d un rectangle si en saps que el perímetre fa 6 cm i la base és el doble de l altura. + 6 Substituïm la a en la a: + 6,. Base: cm. Altura: cm. Dos quilos d albercocs i tres de figues costen. Tres quilos d albercocs i dos quilos de figues en costen. Quin és el preu del quilo d albercocs? Albercocs: Figues: + Multipliquem la a equació per i la a per : Sumem les equacions:,. Albercocs: /kg. Figues: /kg. 7

73 SOLUCIONARI En una compra s han fet servir monedes de i bitllets de. En total, entre monedes i bitllets són i s han pagat. Quantes monedes de s han fet servir? I bitllets de? Monedes: Bitllets: + Aïllem de la a equació:. + Substituïm a la a: 6 +,. En una drogueria venen sabons i ampolles de colònia per, i també sabons i ampolles de colònia per 7. Calcula el preu de cada producte. Preu del sabó: Preu de l ampolla de colònia: Substituïm a la a equació: + 6. El sabó val, i l ampolla de colònia. Hem adquirit segells de,6 i de,8. En total hem pagat,8 per segells. Quants són de,6? I de,8? Segells de,6 : Segells de,8 : +, 8 Aïllem de la a equació:., 6 +, 8, 8 Substituïm a la a:,86,6 +,8,8, 7. Hem comprat 7 segells de,8 i segells de,6. Per a un berenar s han comprat entrepans de pernil a,8 la unitat i de formatge a,. En total, es paguen 8 per 8 entrepans. Quants se n compren de pernil? Entrepans de pernil: Entrepans de formatge: +, 8 Aïllem de la a equació: 8., 8 +, 8 Substituïm a la a:,,8 +, 8 8,. Pernil: entrepans. Formatge: 8 entrepans. En un taller hi ha vehicles, entre motos i cotes. Si el nombre total de rodes és, quants vehicles hi ha de cada tipus? Cotes: Motos: + + Substituïm a la a: +,. Cotes:. Motos:. a a ( ) sumem

74 Sistemes d equacions El perímetre d una parcel la rectangular és m i el triple de la seva llargada és igual al quàdruple de l amplada. Quines són les dimensions de la parcel la? Llargada: Amplada: +. Substituïm a la a equació: + 7 7, 7 Llargada: m. Amplada: 7 m. En Josep li diu a l Agnès: «Si et dono discos en tindries tants com jo.» L Agnès li respon: «Tens raó, només et faltem discos per doblar-me n el nombre.» Quants discos té cadascun? Discos de Josep: + + Discos d Agnès: Substituïm a la a equació: +. En Josep té discos i l Agnès en té. Una empresa de lloguer de cotes n oferei dos models, un de quatre places i un altre de cinc. Durant el dia, l empresa lloga cotes en què viatgen persones, i queden dues places sense ocupar. Quants cotes han llogat de cada tipus? Cotes de quatre places: Cotes de cinc places: Substituïm a la a equació: + ( ) Aïllem: 6. Han llogat 6 cotes de quatre places i de cinc places. En Joan ha comprat una camisa i uns pantalons. Els preus d aquestes peces sumaven 6, però li han fet un % de descompte en la camisa i un % en els pantalons. Per tot plegat paga,. Quin era el preu sense rebaiar de cada peça? Preu de la camisa: c Preu dels pantalons: p c + p 6, c( % %) + p( % %), Aïllant a la a equació: p 6 c. Substituïm a la a:,9c +,8(6 c),,9c + 8,8c,,c, c, Aïllem: p 6 c 6, 8,. Restem les equacions: ( ) ( ),9c +,9p 6,9c +,8p, 7

75 SOLUCIONARI 8 FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE BARREGES MITJANÇANT SISTEMES D EQUACIONS? Volem barrejar dos tipus de vi: un de, / i un altre de 6, / per obtenir de vi que tingui un preu de 6 /. Quants litres de cada tipus fan falta? PRIMER. Plantejament. Vi A Vi B Barreja Equacions Litres Preu, 6,, + 6, +, + 6, 6 SEGON. Resolució. +, + 6, 6, + 6, 6 Substituïm el valor a l altra equació:,( ) + 6, 6 8 TERCER. Comprovació. 8 La barreja contindrà del vi A i 8 del vi B. La quantitat de barreja serà + 8. I el preu de la barreja és:, + 6, Barregem licor de / amb licor de /, fins que tenim de licor de /. Quants litres de cada licor hem barrejat? Licor de / : Licor de / : + + Substituïm a la a: Aïllem de la a equació: , Licor de / : litres. Licor de / : litres. 7

76 Sistemes d equacions 8 En una fàbrica de sucs barregem dos tipus de qualitats, una de cèntims el litre i una altra de 8 cèntims el litre. Quants litres de suc hem de barrejar de cada tipus per obtenir-ne amb un cost total de 8,? Suc de, / : Suc de,8 / :, +,, +,8 8, Substituïm a la a equació:, +,8( ) 8,, + 96,8 8,,, Aïllem: 8. S han de barrejar litres de suc de, / i 8 litres de suc de,8 /. 8 Hem barrejat kg de cafè a /kg amb una altra quantitat de cafè a /kg. Quants quilos hem fet servir de cada classe si venem la barreja a,8 /kg? Cafè de : Total de cafè: Aïllem de la a equació: +., 8 Substituïm a la a equació: +,8 8 Cafè de /kg: kg. Total de cafè: kg. 8, 86 Si en un sistema d equacions amb solució única multipliquem tots els termes d una equació per : a) La nova solució és el triple de l original. b) La solució és la mateia. c) El nou sistema no pot tenir solució. d) Cap de les tres opcions és certa. b) La solució és la mateia, perquè si multipliquem tots els termes d una equació per la mateia quantitat, l equació resultant és equivalent, és a dir, tenen les mateies solucions. 87 Si aïllem la mateia incògnita en dues equacions i, un cop igualades, no podem resoldre l equació amb una incògnita que resulta, com és el sistema, compatible o incompatible? Raona la resposta. És incompatible, perquè si no té solució per a aquesta incògnita, el sistema no pot tenir cap solució, ja que s aportaria una solució a l equació que no en tenia. 7

77 SOLUCIONARI La suma de les dues ifres d un nombre és a i la seva diferència també és a. De quin tipus són els nombres que compleien aquesta condició? + a Anomenem les ifres i : a Sumem les equacions: a a. Substituïm a la a equació:. Els nombres que compleien aquesta condició són les desenes. La suma de les dues ifres d un nombre és a i la seva diferència és a. Quins nombres compleien aquesta condició? + a Anomenem les ifres i : Sumem les equacions: a a a a. Substituïm a la a equació:. Com que a ha de ser parell i menor que 7 (a,, 6), els nombres són 9, 9, 6, 6, i. 9 En el triangleabc, el costat BC fa 8 cm i l altura AH en fa. Volem inscriure en aquest triangle un rectangle, MNPQ, on els vèrtes P i Q estiguin al costat BC, M a AB i N a AC. Calcula les longituds de MN i MQ perquè el perímetre del rectangle MNPQ sigui cm. A M N B Q H P C Base del rectangle:. Altura del rectangle:. Els triangles ABC i AMN són semblants, ja que MN és paral lel a AB. La base de AMN mesura, i la seva altura mesura. Base de AMN Base de ABC Altura de AMN Altura de ABC 8 + Eliminem denominadors Restem Base del rectangle: MN cm. Altura del rectangle: MQ cm. 7

78 Sistemes d equacions A LA VIDA QUOTIDIANA 9 En Xavier va a Sevilla amb un tren que ha sortir a les 7. h. Tot i que la seva mare ha insistit que no s oblidés res, en Xavier s ha deiat a casa una cosa molt important: el carnet d identitat. La seva mare l ha trobat i ha anat a l estació de tren per informar-se, i el cap d estació li ha dit: El tren només farà una parada a Villarrual, a 8 quilòmetres d aquí... El tren va a una velocitat de 7 km/h, més o mens. D aquí a Villarrual hi ha autovia, i vostè podria anar a km/h. Si la mare d en Xavier arribés abans que el tren a l estació de Villarrual, el podria buscar i donar-li el carnet. El problema és que ja han passat minuts des que el tren ha sortit. Creus que la mare d en Xavier pot arribar a temps a l estació? 8 El tren triga a arribar a Villarrual: h min 9 s. 7 8 La mare triga a arribar: min s. Però com ha de sortir min més tard, en total trigarà h min s. Per tant, sí que pot arribar-hi a temps. 9 L Alícia i la Maria han aconseguit una beca per estudiar durant ans a París. Quan facturaven l equipatge han vist que l Alícia portava 8 kg i la Maria, 7. Vostè porta 8 kg d equipatge, no ha de pagar sobrepès. Vostè en porta 7. Haurà d abonar per sobrepès. 76

79 SOLUCIONARI Els avions de passatgers permeten un pes determinat dels equipatges; si se sobrepassa, el passatger ha d abonar una quantitat per cada quilo de més que porti. Perquè a la Maria li surti més barat, l hostessa que els factura els equipatges ha tingut una idea: Com que viatgen totes dues juntes, i a la seva amiga li falten uns quants quilos per arribar al pes màim, podem unir els dos equipatges, i aií vostè només hauria de pagar. Quin és el pes permès a cada passatger? Quant s ha de pagar per quilo de sobrepès? Pes permès: Preu per quilo: ( 7 ) 7 [ 7 ( 8) ] 7 ( ) (7 ) (7 )6 7 7 Pes permès: kg. Preu per quilo: 6. 77