Equacions i sistemes de primer grau

Transcripción

1 Equacions i sistemes de primer grau Equacions de primer grau amb una incògnita. Resolució 1. a) Llegeix atentament l endevinalla numèrica següent i resol-la començant amb tres nombres diferents: Pensa un nombre. Suma-li 5. Multiplica el resultat per. Resta-li el doble del nombre que has pensat. Resta-li 15. Què observes? Una identitat és una igualtat algèbrica que es compleix per a qualsevol valor numèric que assignem a la lletra o a les lletres que apareixen en els seus membres. b) Escriu la igualtat que correspon a l endevinalla de l apartat anterior: anomena a el nombre que has pensat i tradueix per ordre cada frase al llenguatge algèbric. La igualtat que obtindràs és una identitat. c) Practica una mica amb l endevinalla següent. Pensa un nombre. Suma-li 1. Eleva la suma al quadrat. Resta-li 1. Resta-li el doble del nombre que has pensat. Quin nombre obtens? Escriu la identitat corresponent. d) Determina si les igualtats següents són identitats o no. x 5x x : x 5x: (m1)m1: (m1)1: a a a 11 : a a a 11a : 19

2 Equacions i sistemes de primer grau. a) Donada la igualtat (m + 1) 5 = 4 + (m 1): Substitueix m per 4 a cada membre de la igualtat i fes els càlculs. Substitueix m per 4 a cada membre de la igualtat i fes els càlculs. Què observes? Una equació és una igualtat algèbrica que només es compleix per a un valor determinat de la lletra (incògnita) que apareix en els seus membres. El grau d una equació fa referència a l exponent al qual està elevada la incògnita. La solució d una equació és el valor numèric de la incògnita que verifica la igualtat algèbrica. Si dues equacions tenen les mateixes solucions, direm que són equivalents. b) Comprova quins dels valors següents són solució de l equació x x c) Comprova que és una solució de l equació (x 1)(x + )(x ) = 0 i busca n dues solucions més. d) Busca quins nombres són solució de les equacions següents i indica quines equacions són equivalents: A. + 1 B. 4 = x C. x 4 5 D. 9 x 4 E. (x + ) = 1 F. x = 0 G. x + 10 = x H. 0 = x + 4 I. x(x + ) = 80 0

3 Equacions i sistemes de primer grau. a) Agrupa tots els termes amb la incògnita en un membre de l equació i tots els termes numèrics en l altre i determina la solució de les equacions següents: 5x 1x 17x x 459 x 7x 0 5x 17x 1 44x 45x Resoldre una equació de primer grau amb una incògnita és trobar el valor numèric de la incògnita que verifica la igualtat. b) Aplica la propietat distributiva per treure els parèntesis i transposa termes per resoldre les equacions següents: ( x ) 4 7 ( x 4) 5( x ) 10 1x 4 x 5( 4 x ) 15x 5( x 1) 10 5x 7 ( x ) x 9 x 4 ( x ) 15( x 4) c) Per resoldre les equacions següents, aplica la propietat fonamental de les fraccions a equivalents (si b c, llavors es verifica que a d = b c). d x 1 x 4 x 1 x 4 5 5x x x 1 x 1 1

4 Equacions i sistemes de primer grau 4. a) Per resoldre l equació següent: x x 5 4 1x. Calcula el mínim comú múltiple dels denominadors: Multiplica els dos membres de l equació pel m. c. m. dels denominadors: Resol l equació equivalent sense denominadors: Quantes solucions te l eqüació? Una equació de primer grau amb una incògnita té sempre una única solució o bé no en té. b) Resol les equacions següents multiplicant-les pel m. c. m. dels denominadors: x 5 1 x 1 x x x x x c) Aplica la propietat distributiva per treure els parèntesis i multiplica pel m. c. m. dels denominadors per resoldre les equacions següents: x x 5( 1x ) ( ) 9 ( ) x 1 x 4 ( x 1) x 1x

5 Equacions i sistemes de primer grau d) Efectua primer les potències i els productes per resoldre les equacions següents: ( x ) ( x )( x 1) ( x 4) 10x 4x( x ) ( x ) ( x ) ( x ) x 4x ( x)x ( x ) ( 1x )( x 5)( x 4) ( x) e) Aïlla la lletra x de les fórmules següents: Ax BC A xbc AB( x C ) Ax B C A( x B)C A x BC A x B ABx C AB x f) Aïlla la lletra y de les fórmules següents: y A B A b y y A B C A y B C ABy D C A BCy D A( y B) D C A y B C A B y C

6 Equacions i sistemes de primer grau Equacions de primer grau amb dues incògnites 5. a) En la igualtat x + y =, substitueix x pel valor que s indica i calcula en cada cas el valor de y: Una equació de primer grau amb dues incògnites és una igualtat del tipus ax + by = c, en què a, b i c són nombres racionals tals que a i b són diferents de zero, i x i y són les incògnites. Les equacions d aquest tipus tenen un nombre il limitat de solucions, les representacions gràfiques de les quals són punts que pertanyen a una mateixa recta. b) Completa la taula, representa gràficament les cinc solucions de l equació de l apartat a) i dibuixa la recta que les conté: Solució equació x + y = 0 y = 1 4 c) Busca cinc punts que siguin solució de l equació x + y = 5 i representa ls gràficament: Solució equació x + y = y =

7 Equacions i sistemes de primer grau Sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites. Resolució gràfi ca. a) Completa la taula de solucions per a cada equació i representa gràficament les solucions als mateixos eixos. x + y = y = 7 y = 0 x y = Resoldre un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites consisteix a trobar els valors d aquestes incògnites que verifiquen a la vegada les dues equacions. Quan trobem la solució del sistema a partir de la representació gràfica de les solucions de cadascuna de les equacions, diem que hem resolt el sistema gràficament. b) Busca dues solucions de cada equació i resol gràficament el sistema format per les equacions x y = 4 i x y = 1. x y = 4 x y = 1 La solució del sistema és el punt P (, ) x y 5 c) Resol gràficament el sistema x y 4. La solució del sistema és el punt P (, )

8 Equacions i sistemes de primer grau Tipus de sistemes 7. a) Representa gràficament les equacions x + y =, x + y = 4 i x + y = Com són les rectes corresponents al sistema Com són les rectes corresponents al sistema x y? x y 4 x y? x y 1 En representar en una mateixa gràfica les solucions de les dues equacions de primer grau amb dues incògnites que formen el sistema, podem trobar-nos amb tres situacions diferents: Les dues rectes es tallen en un punt: el sistema té una única solució i diem que és compatible determinat. Les dues rectes són paral leles: les dues rectes no tenen cap punt en comú, el sistema no té solució i diem que és incompatible. Les dues rectes són coincidents: el sistema té un nombre il limitat de solucions i diem que és compatible indeterminat. b) Determina el valor de m en cada cas perquè les solucions siguin les indicades: x y 5 mx 4y 10 x y 5 x my 10 x y 5 x y m Té infinites solucions. No té solució. Solució: 1, y =.

9 Equacions i sistemes de primer grau Resolució algèbrica de sistemes d equacions de primer grau 8. a) Resol aquests sistemes seguint les indicacions donades en cada pas: x y x y 4 Multiplica la segona equació per : Suma les dues equacions: Troba el valor de x: Substitueix aquest valor a la primera equació i troba y: 5x y 1 4x y 10 Aïlla x de les dues equacions: Iguala les dues expressions de x: Resol l equació i troba el valor de y: Substitueix aquest valor en una de les expressions de x: x y 4 x y Aïlla x de la primera equació: Substitueix x en la segona: Resol l equació i troba el valor de y: Substitueix aquest valor en l expressió aïllada de x: Utilitzem tres mètodes algèbrics per resoldre sistemes d equacions: els mètodes de reducció, igualació i substitució. Podem trobar-nos amb una d aquestes tres situacions: Sistema compatible determinat: a b o cy = d amb a 0 i c 0. Sistema compatible indeterminat: 0 0 o 0y = 0. Sistema incompatible: 0 b o 0y = d amb b 0 i d 0. b) Resol els sistemes següents per reducció eliminant la incògnita que s indica: 5x y 1 x 7y (Elimina x.) x y 0 x 4y (Elimina y.) 7

10 Equacions i sistemes de primer grau c) Resol els sistemes següents per igualació aïllant la incògnita que s indica: x y 1 x 4y (Aïlla x.) x y 5x y 9 (Aïlla y.) d) Resol els sistemes següents per substitució aïllant la incògnita que s indica: x y x y 11 (Aïlla x de la segona.) 5x y 7 x y 1 (Aïlla y de la primera.) e) Efectua les operacions que calgui en cada equació i expressa-la de la forma ax + by = c; després, utilitza el mètode indicat per resoldre algèbricament el sistema: Reducció 4x ( y 1)5 ( y 1)x 1 Substitució x y 1 x 1 y 5 Igualació x y 1 y x 1 f) Resol el sistema següent amb el mètode que prefereixis: x 1 y x ( x ) 5y (y) 8

11 Equacions i sistemes de primer grau Resolució de problemes 9. a) Dos nombres sumen 45 i la diferència entre el doble del més petit i el triple del més gran és 50. Quins nombres són? Fem-ho per passos: Considera les incògnites: nombre més petit x nombre més gran y Tradueix al llenguatge algèbric les frases següents: «Els dos nombres sumen 45»: «La diferència entre el doble del més petit i el triple del més gran és 50»: Resol, emprant el mètode que vulguis, el sistema format per les dues equacions anteriors: Comprova que la solució del problema és coherent amb l enunciat i escriu-la: Els dos nombres són i Per resoldre un problema utilitzant mètodes algèbrics: Escriu quines són les incògnites i assigna una lletra a cadascuna. Tradueix cada frase al llenguatge algèbric. Resol el sistema d equacions. Comprova que les solucions són coherents amb l enunciat. Escriu la solució del problema. b) Una prova consta de 0 qüestions. Per cada qüestió contestada correctament, un alumne té punts, però per cada qüestió no contestada o incorrecta, en perd. Al final de la prova aconsegueix 0 punts. Quantes qüestions contesta correctament? Considera les incògnites: Qüest. correctes Qüest. incorrectes Tradueix al llenguatge algèbric: La frase que fa referència al nombre de qüestions: La frase que fa referència als punts de la prova: Resol el sistema: Comprova la solució i escriu-la: Contesta correctament qüestions. 9

12 Equacions i sistemes de primer grau c) Volem barrejar dos tipus de vi, un de 5,0 /L i un altre de,0 /L, per obtenir 100 litres de vi que tingui un preu de /L. Quants litres de cada tipus hem de barrejar? Incògnites: L de vi del primer tipus L de vi del segon tipus Tradueix al llenguatge algèbric: La frase que fa referència al nombre de litres: La frase que fa referència al preu: Resol el sistema: Solució: Hem de barrejar L del primer tipus de vi i L del segon. d) Les dues xifres d'un nombre sumen 10. Si se n inverteix l ordre, s obté un nombre unitats més gran. De quin nombre es tracta? Xifra de les desenes Xifra de les unitats Nombre que busquem 10 + Tradueix al llenguatge algèbric: La suma de les dues xifres del nombre és 10: La diferència entre el nombre amb les xifres invertides i el nombre inicial és : Resol el sistema: Solució: Es tracta del nombre e) En un hotel hi ha 10 habitacions, de les quals algunes són dobles i la resta individuals. En total hi ha 195 llits. Quantes habitacions hi ha de cada tipus? Incògnites: habitacions individuals habitacions dobles Tradueix al llenguatge algèbric: La frase que fa referència al nombre d habitacions: La frase que fa referència al nombre de llits: Resol el sistema: Solució: Hi ha habitacions individuals i dobles. 0

13 Equacions i sistemes de primer grau 10. a) Indica clarament quines són les incògnites i resol aquests problemes: En Carles ha comprat a l estanc 5 segells de correus: uns per a l estranger, que costen 5 cèntims, i uns altres per al país, que costen 0,5. Si en total ha pagat 5,40, quants segells ha comprat de cada classe? Tenim monedes de 50 ct. i 0 ct. En total tenim 8 monedes i,. Quantes monedes de cada tipus tenim? Una botiga d esports ha venut 0 raquetes de pàdel de competició el preu original de les quals era de 40 cadascuna, amb un descompte del 0 % en unes i d un 0 % en les altres, i ha ingressat Quantes raquetes ha venut amb el 0 % de descompte? b) Un professor de tennis reparteix pilotes entre els alumnes per fer un entrenament. En dóna a cada un i en sobren 1. Com que vol que cada alumne en tingui 5, calcula que ha de comprar 18 pilotes més. Quants alumnes són? c) Quan professors de matemàtiques arriben a un congrés, l organitzador observa que falten 14 persones perquè el nombre d assistents sigui el triple dels que hi havia inicialment. Quantes persones hi ha ara a la reunió? 1

14 Equacions i sistemes de primer grau Activitats 1. De quina de les equacions següents és solució? a) (x + 1) = 4x b) 5 (x + ) = x c) (x ) + 4 d) x 4 = (x + 5). Si una de les solucions de l equació mx 4y = és 0 i y = 1, podem assegurar que: a) m = 1 b) m = 0 c) m = d) m pot ser qualsevol nombre.. La recta que conté les solucions de l equació x y = 5 passa pel punt: a) A 0, 5 b) B(1, 1) c) C(9, ) d) D( 1, 4) x y 4. Considera el sistema mx 4y 4 a) Si m = 0, és incompatible. b) Si m =, és compatible indeterminat. c) Mai no serà compatible determinat. d) Sempre serà incompatible. 5. La traducció al llenguatge algèbric de la frase «La base b d un rectangle és el doble que l altura a, i el seu perímetre és 78 cm» pot ser: a) b a 78 b a b) b a 78 c) b a a b 78 d ) b (b) 78. Resol l equació: 5 x x 5 x 1 10 Escriu aquí el resultat final. 7. Resol l equació: ( x ) ( x ) ( x )( x 4) Escriu aquí el resultat final. 8. Resol el sistema: x 1 y x 1 y 5 Escriu aquí el resultat final. 9. El perímetre d un quadrat després d augmentar 5 cm el costat és 18 cm. Quant mesura el costat del quadrat inicial? Escriu aquí el resultat final. 10. A la cantina de l institut venen entrepans de pernil a 1,0 i entrepans de formatge a 1,10. En un matí han venut 5 entrepans i la recaptació ha estat de 4,0. Quants entrepans han venut de cada classe? Escriu aquí el resultat final.