Modelos de Asignación de Tránsito: Aplicación a la Red Metropolitana del Valle de México

Transcripción

1 Modelos de Asignación de Tránsito: Aplicación a la Red Metropolitana del Valle de México Ana G. Fernández, L. Héctor Juárez, Joaquín Delgado, M. Victoría Chávez, Elsa Omaña Departamento de Matemáticas UAM I Junio 13, 2013 Seminario de Matamáticas Aplicadas y Computacionales

2 Google Maps Flujo en redes de transporte Modelos Matemáticos para Mejorar la Operación de la Red del STC Metro Modelos de asignación: Modelos de tráfico. Modelos de tránsito. Map data 2012 Google, INEGI - Objetivos: Estudiar la red de tránsito de AMVM Satisfacer las demandas del STC Metro

3 Ejemplo en una red sencilla Cómo ir de O a D en el menor tiempo posible? La ruta más corta La mejor estrategía Posibles rutas O 1 D = 31 min O 2 A 3 D = 36 min O 2 B 4 D = 32 min O 2 B 3 D = 38 min O 2 A 3 B 4 D = 45 min

4 Estrategias alternativas Secuencia de mejor transbordo: tiempo de viaje esperado 30.5 min Estrategia óptima: tiempo de viaje esperado min

5 Modelo de Spiess Florian Se considera que se conocen las líneas disponibles en cada nodo y las frecuencias de salida de los vehículos. ESTRATEGIA: Definida por: 1. El conjunto de líneas atractivas en cada nodo. 2. El nodo de bajada para cada línea atractiva (en cada nodo). REGLAS PARA ALCANZAR EL DESTINO 1. NODO = origen. 2. Abordar el primer vehículo de un conjuntos de líneas atractivas. 3. Bajar en un nodo predeterminado. 4. Si no se ha llegado al destino, poner NODO = al nodo actual y volver a 1.

6 Líneas atractivas Nodo Líneas atractivas Tiempo espera Probabilidad de línea línea Nodo bajada minutos O 1 D O 2 A O 2 B O 1 D, 2 A O 1 D, 2 B A 2 B A 3 B A 3 D A 2 B, 3 B A 2 B, 3 D B 3 D B 4 D B 3 D, 4 D

7 Representación nodo-arista del ejemplo Notación: A: conjunto de arcos, N : conjunto de nodos

8 Modelo básico con tiempo de viaje fijo Tiempo de tránsito = tiempo de espera + tiempo de viaje (valor esperado) (valor fijo) Para cada nodo destino r: t i vi r + t a va r a A Tiempos de espera: t i = α/ a A + i f a i N Tiempos de viaje: t a, fijos y conocidos. Volumen acumulado en i: v r i Tiempo acumulado en i: w r i = a A i = t i v r i v r a + g r i Problema: minimizar el tiempo de tránsito del sistema. Empleando wi r como variable, el problema es un problema de programación lineal con una restricción adicional: va r f a ωi r (Spiess & Florian, 1989).

9 Primal / Dual Problema lineal convexo, separable por nodo destino r: Problema primal min Ā A a A + i i N ω r i + a A a A i t a v r a, tal que va r va r = gi r i N, v r a f a ω i, a A + i, i N, v r a 0, a A. Problema dual max gi r τi r, N i N tal que τj r + t a + µ a τ r i, a = (i, j) A, a A + i f a µ a = 1, i N, µ a 0, a A. τ r i = tiempo total esperado de viaje del nodo i al destino r. Se resuelve el problema dual utilizando: programación dinámica = Problemas de gran escala.

10 Algoritmo de solución basada en el dual Calcula: Tiempos esperados totales: τ i. Estrategia óptima: Ā. C. de holgura compl. { τ i τ j t a, a Ā, µ a = 0, a / Ā. Restricción dual f a µ a = 1 = a A + i a Ā + i f a (τ i τ j t a ) = 1 τ i = 1 a Ā + i f a + f a (t a + τ j ) a Ā + i a Ā f + a i = W (Ā + i ) + P a (Ā + i ) (t a + τ j ) a Ā + i T. espera en i + T. de viaje de i a r.

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23 Resumen Etapa 1: Estrategia óptima y tiempos τ i Arcos con minimo τ j + t a Etiqueta de nodo (τ i, f i ) n a = (i, j) f a τ j + t a a Ā O A2 A B3 B D 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0 1 (B3, D) 4.0 si 4, 1 2 (B, B3) 4.0 si 19, (A, B3) 8.0 si 23, (B, D) 10.0 si 11.5, (B3, B) 11.5 no 6 (A2, B) 17.5 si 17.5, 1 7 (A, A2) 17.5 si 19, (A2, A) 19.0 no 1 9 (O, A2) 24.5 si 30.5, (O, D) 25.0 si 27.75, , 19, 7 4, 11.5, 2 0, Etapa 2: Asignación de la demanda Asignación inicial: v r i = g r i. En cada paso se actualiza v j en el arco a = (i, j) : v r j = v r j + v r a. v a = P a(ā + f a i ) v i = v i b Ā + f b i

24 Aplicación a la red del Valle de México Esta red contiene 1,705 centroides y 7,241 nodos. 31,720 arcos. Modos de transporte: Tráfico: automóviles particulares. Tránsito: metro, metro ferreo, tren ligero, tranvía, metrobús, trolebús, autobús del DF, autobús del Estado de México, colectivo, suburbano, taxi de sitio y taxi independiente Auxiliar: correspondencias del metro, bandas transportadoras, accesos a metrobús, accesos a suburbano y peatonales

25 Líneas de tránsito: 845 (46981 segmentos de línea): 20 líneas del metro, 2 líneas de metro férreo, 2 líneas de tren ligero, 2 líneas de suburbano, 102 líneas de autobuses del DF, 97 líneas de autobús del Estado de México, 16 líneas de trolebús, 18 líneas de metrobús 586 líneas de colectivos. Se incluyen los tiempos de recorrido en cada arco y los headways de cada línea. La matriz origen destino es una proyección al 2012 de la obtenida en 2007.

26 Desbordamiento Línea A, La Paz Pantitlán Línea B, Cd. Azteca Buenavista El modelo no considera: La congetión en horas de mayor demanda. Los límites de capacidad de los vehículos.

27 Modelando la congestión Se puede modelar con funciones de congestión sobre los segmentos de las líneas de tránsito: Funciones de costo = costo fijo + función volumen demora t a (v a ) = t 0 a {1 + d a (v a )}, d(0) = 0. en donde, la función volumen demora d(x) es creciente. 1. BPR (Bureau of Public Roads): d(x) = x α, α > 1, x = v c 2. Cónicas (Spiess): d(x) = 2 α 2 (1 x) 2 + β 2 α (1 x) β. β = 2 α 1 2 α 2 Es posible considerar otro tipo de funciones.

28 Modelo con congestión Problema (nolineal) de mínimización convexa: min { ωi r + ta 0 va r + } v r t 0 a a d a (v) dv r D i N a A a A 0 }{{}}{{} Tiempo total de tránsito + Tiempo de congestión tal que va r v r a = g r i i N, r D a A + i a A i va r f a ωi r, a A + i, i N, r D va r 0, a A, r D, Requiere de un método de aproximación lineal (e.j. Frank-Wolf). En cada iteración se resuelve un P.L. básico. Problema: Este modelo subestima los tiempos de espera.

29 Modelando la capacidad limitada El mecanismo para modelar los tiempos de espera crecientes es el de frecuencia efectiva: que se obtiene del headway percibido (ó ajustado). Headway percibido = headway original factor del headway (inspirado en teoría de colas) = headway original 1 ( ) β subidas 1 capacidad residual Cada pasajero selecciona un subconjunto no vacío de líneas s A, y aborda el primer vehiculo con capacidad disponible. En este caso la decisión óptima de cada pasajero se ve afectada por las decisiones de otros!. Por lo tanto, puede haber más de una estrategia óptima s.

30 Modelo con congestion y límites de capacidad Una caracterización del equilibrio en términos de la condición de Wardrop implica que el flujo de equilibrio de tránsito es solución del siguiente problema: Primal Dual [ {}}{{}}{] min GAP(v) = min v v r D i N ω r i + a A t a (v) va r i N sujeto a las mismas restricciones que el problema lineal. En el óptimo: g r i τ r i (v) Tiempo t. de tránsito Tiempo sobre estrategías más cortas = 0 Problema considerablemente más difícil Información adicional: capacidades de los vehículos de transporte: (por ej., un vagón del metro soporta 360 sentados y 1530 parados).

31 El algoritmo de promedios sucesivos 0 Inicialización: Se calcula la solución inicial para cada segmento. 1. Actualización de costos y frecuencias: Se calculan los nuevos costos y headways basados en los flujos recién calculados. 2. Cálculo de la nueva solución de costo lineal: Se resuelve problema de costo lineal, de estrategía óptima con frecuencia fija, para obtener los nuevos flujos. 3. Promedios sucesivos: Se realiza el promedio. El paso de la iteración es 1/No. de iteración; 4. Criterio de paro: Se calcular el valor de la función Gap; Si la solución es suficientemente pequeña, se para; En caso contrario, se regresa al paso 2

32 Convergencia de la función GAP Iteraciones contra el valor de la función GAP Entre 6:00 9:00 hrs se asignó un total de 5,121,359 viajeros.

33 Desvanecimiento de la sobresaturación Líneas del metro a las que les toma más iteraciones descartar el exceso de volumen. Línea A, Linea B, línea 6: Zonas de alta demanda, bajos recursos y con pocas opciones de transporte) como: Texcoco, Nezahualcoyotl e Iztapalapa (línea A), Ecatepec y Valle de Aragón (línea B), norte del DF (línea 6) Línea A, dirección Pantitlan: iteraciones 1 y 22.

34 Línea con mayor exceso de volumen Menos del 1% de los segmentos de la red tienen exceso de volumen. Línea con mayor exceso de volumen: EE1 de trolebús Insurgentes UV Guerrero.

35 Zonas de mayor demanda asignada Zonas con mayor volumen asignado La zona 539 es la de mayor demanda (70 mil), seguida de otras cuatro de 25 mil.

36 Nodos con mayor actividad Node value 1 Node value 2 Node value 3 Node value 4 El mayor número de transbordos ocurre en la estación del metro Pantitlán (zona oriente), en varias de las estaciones de la línea 1 (zona central), en la estación Indios Verdes (zona norte), en Barranca del Muerto y Mixcoac (zona sur poniente), en Taxqueña (sur), asi como en la zona de Tlahuac Canal de Chalco sobre el Periférico. Esto último justifica la reciente introducción de la línea 12 del metro. Numero de abordajes, transbordos y descensos.

37 Comparación de tiempos de viaje Línea headway t. real. t. calc. v. Lin. v. CAP. 1a b a b a b a b a b a b a b a b a b aa ab ba bb

38 La Matriz de demanda En la planecación del transporte uno de los requerimientos más importantes es el conocimiento del patrón de tráfico/tránsito entre varias zonas. Usualmente la demanda de transporte se especifica por medio de la estimación de la matriz origen destino (O D). Problemas fundamentales: No es posible obtener una matriz O D exacta, especialmente en redes de gran tamaño. La matriz O D cambia constantemente: variación de la oferta y de la demanda, modificación de la infraestructura, etc. La generación de matrices O D es sumamente costoso Por lo tanto, hay necesidad de estimar las matrices O D a partir de información incompleta que puede tener errores de medición.

39 Métodos: Método tradicional: Muestras de gran tamaño, que se obtienen por medio de encuestas. Modelos de estimación de demanda. Categorías: Estáticos: se utilizan en planeación a largo plazo, se calcula la demanda promedio en un horizonte de tiempo. Dinámicos: se utilizan para la planeación de estrategias de corto plazo: guía de rutas, control del tráfico, etc. La precisión de la estimación puede variar dependiendo de El modelo de estimación. Errores en los datos. Decisión sobre dónde y cómo realizar los conteos.

40 Modelo de Transporte de Entropía Máxima Entropia : E(g) = Se conocen: ( pq g pq)! ( pq g pq)! Una matriz de demanda G = {G pq } no actualizada. Las producciones O p, para todo origen p. Las atracciones D q, para todo destino q. La matriz actualizada g = {g pq } resuelve min g g pq (log g pq log G pq 1) pq sujeto a g pq = O p p g pq = D q q p q El mínimo satisface: g pq = a p b q G pq, con a p = e αp, b q = e βq

41 Mínimos cuadrados Se conocen Una matriz de demanda no actualizada G = {G pq }. Mediciones de volúmenes en ciertos arcos {V a } a Ā La matriz actualizada g = {g pq } resuelve min g Z (g) = 1 2 sujeto a (v a (g) V a ) 2 + k (g pq G pq ) 2 2 a Ā v(g) = volumenes asignados con la matriz g pq