MATEMÁTICAS 4º - OPCIÓN B REPASO

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1 1 MATEMÁTICAS 4º - OPCIÓN B REPASO TEMA 1º: OPERACIONES CON POTENCIAS Y RADICALES 8.- S: -4a Simplifica

2 Simplifica 12.- Expresa bajo un radical 13.- Expresa bajo un radical 14.- Expresa bajo un radical 15.- S: S:

3 3 TEMA 2ª: POLINOMIOS 1.- Descompón en producto de tres factores el polinomio S: 5 (x-2) (x+3) 2.- Descompón en factores el polinomio sabiendo que x = 3 es un cero del mismo. S: (x-3) (x+2) (x-2) x+4) 3.- Descompón en producto de 4 factores el binomio 4.- Descompón en factores los siguientes polinomios: a.- b.- S: (5x+1) (-x-3) S: 2(2+a-b)(2-a+b) c.- d.- S: 5.- Halla el valor de r para que (-2) sea un cero del polinomio. S: r = Es divisible entre (x+3)? S: Sí ya que P(-3) = Halla p para que sea exacta la división S: p = En el polinomio determina m para que al dividirlo por (x+2) dé 16 de resto. S: m = Son exactas estas divisiones? Si lo son halla el cociente, y si no calcula el resto a.- b.- S: Es exacta. Cociente: S: Es exacta. Cociente:

4 4 TEMA 2B: OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

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6 S: Sol: Sol: 2x 32.- Sol: 33.- S: S: 1

7 7 TEMA 3-4: ECUACIONES E INECUACIONES Resolver las siguientes ecuaciones o sistemas: 1.- S: x=-3/2, x=3/2 2.- S: x=6, x= S: x=5, x=-5/4 4.- S: x=-1, x= S: 6.- S: x = S: x = 2; x = 5/4 8.- S 9.- Representa gráficamente el sistema anterior. S: x=2; y = Representa gráficamente el sistema anterior. S: x = 5; y = 6 PROBLEMAS DE ECUACIONES 1.- Calcula un número que sumado al doble de su raíz cuadrada nos dé 24. S: Las dos cifras de un número suman 11, y el producto del antedicho número por el que se obtiene al invertir sus cifras es Halla el número buscado. S: 83 ó Tres segmentos miden, respectivamente, 8, 22, 24 cm. Si a los tres les añadimos una misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud. S: l = 2 cm. 4.- Halla las dimensiones de un rectángulo cuya superficie es de 8 y la diagonal mide metros. S: 4 e 2 m. 5.- Dentro de 11 años, la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. S: 21 años. 6.- Un ciclista, en un recorrido de 150 km. llegaría 2 horas y media antes si lleva una media de 5 km. más por hora. Averigua el tiempo que tarda en el recorrido. S: 10 horas 7.- Dos grifos vierten a la vez en un depósito, y tardan 2 horas en llenarlo. Cuánto tiempo empleará cada grifo en llenar el depósito si se sabe que el segundo tarda 3 horas más que el primero? S: un grifo 3 horas y el otro 6 horas

8 8 8.- Halla tres números impares consecutivos tales que sus cuadrados sumen S: 39, 41, 43; o bien -39, -41, Un triángulo rectángulo inscríbese en una circunferencia de radio 5 cm. Si sus catetos se diferencian en 2 cm, cuáles son las dimensiones de este triángulo? S: 6, 8, 10 cm Resuelve las siguientes inecuaciones de 1º grado, representando gráficamente sus soluciones: a.- S: x>5/4 b.- S: x>9/5 c.- d.- 2x - 3y > -4 S: gráfica resuelta en clase TEMA 5: SEMEJANZA 1.- En un triángulo rectángulo de 7 cm. de altura sobre la hipotenusa se cumple la relación donde m y n son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Calcula m y n. S: m = 3'5 cm ; n = 14 cm 2.- Cuál es el área de un hexágono regular semejante a otro de lado 2 cm y con una razón de semejanza de 3/2? S: 23'4 3.- Considera los triángulos de la figura. a.- Cómo deben ser los lados MN y BC para que los triángulos AMN y ABC sean semejantes? Sol: paralelos b.- Determina el valor de X. Sol: 15/2 4.- En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos que miden 2 e 18 centímetros respectivamente. Calcula el área de un triángulo rectángulo semejante con razón de semejanza k = 3/2. Sol: Un frasco de colonia de forma cilíndrica mide 20 cm de altura y 3 cm de radio. Si queremos ampliar su tamaño en 10 veces, cuál será el volumen del nuevo frasco de colonia?

9 9 TEMAS 6 Y 7: TRIGONOMETRÍA 1.- Una bicicleta tiene una rueda de 40 cm. de diámetro. Cuántas vueltas daría en 1 km.? S: 795'77 vueltas 2.- Resuelve los siguientes triángulos rectángulos: a.- a = 7 cm. b = 5 cm. S: b.- b = 8 cm. c = 6 cm. S: 3.- Halla el área de un pentágono regular de lado 5 m. S: Desde un punto a nivel del suelo se ve la copa de un árbol, situado en la otra orilla, con ángulo de elevación de 30. Acercándonos 4 metros el ángulo aumenta10. Hallar la altura del árbol. S: 7'4 m. 5.- Hallar las demás razones trigonométricas de A sabiendo que cos A = -4/5 y S: sen A = 3/5, tan A = -3/4, sec A = -5/4, cosec A = 5/3, cotan A = -4/3 6.- Calcula las demás razones trigonométricas de A sabiendo que tan A = ½ y S: sen A =, cos A =, cotan A = 2, cosec A = -, sec A = 7.- Calcular, en función del ángulo de las tangentes de los siguientes ángulos:,,, S: 8.- Sabiendo que = A y = B, hallar y. S: = - sen A; = - cos B 9.- Calcular el seno, coseno y tangente del arco cuyo extremo está situado en el punto (-3, 4) S: sen A = 4/5; cos A = -3/5; tan A = -4/ Hallar la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 200 m. de altura cuando la inclinación de los rayos del sol es de S: 346'41 m Desde un punto del suelo se ve el punto más alto de un árbol formando ángulo de 30 con la horizontal. Si nos acercamos 10 m. a su pie, el ángulo es de 60. Hallar la altura del árbol. S: 8'66 m La pendiente de una carretera es del 15%. Si un automóvil recorre 250 m, a qué altura se encuentra respecto al punto de salida? S: 37 m.

10 10 TEMA 8: VECTORES Y RECTA 1.- Los extremos de un segmento vienen determinados por las coordenadas (3, 1) y (2, 5). Cuáles son las coordenadas de su punto medio? S: (5/2, 3) 2.- Dados los puntos A(-3, 5) y B(1, 2), calcula: a.- El vector b.- El vector c.- El módulo de ambos vectores S: (4, -3), (-4, 3), Sean los vectores y. Cuánto tiene que valer x para que los vectores sean perpendiculares? Paralelos? Gráfico del problema. Sol: Perpendiculares, x = -3; paralelos, x = 4/3 4.- Sea el paralelogramo ABCD de vértices A(1, 4), B(2, -3) y D(8, 0). a.- Hallar el vértice C. S: C(9, -7) b.- Calcular la longitud del lado AB. S: c.- Calcular el ángulo A. S: 5.- Expresa la ecuación de la recta (x, y) = (-1, 0) + t(2, -3) en forma paramétrica, continua, implícita y explícita. S: 6.- Indica si se cortan las rectas r: y = 2x+6, s: y = -x + 3. Si es así calcula su punto de corte. S: Se cortan en el punto (-1, 4) 7.- Escribe la ecuación de la recta paralela a r: y = 4x -1 y que pasa por el punto A(3, 0). Gráfico. S: y = 4x Expresa en la forma vectorial la recta que pasa por el punto P(2, -1) y tiene como vector director S: (x, y) = (2, -1) + t(3, 2) 9.- Indica la distancia entre el punto A(10, -12) y el B(5, -1) S: 10.- Expresa la recta r: 4x + 2y - 6 = 0 en forma continua y explícita. S: continua, [en el punto (0, 3)]; explícita, y = -2x Hallar la ecuación paralela a que pasa por el origen de coordenadas. Gráfico. S:

11 11 TEMAS 9-10 FUNCIONES Hallar el dominio de las siguientes funciones: 1.- S: [-1, 1] 3.- S: 2.- S: R - {0,-1,3) 4.- S: R - {-2, 2} 5.- Sea la función a.- Hacer su gráfica b.- Hallar su dominio, imagen y monotonía S: Dom (f): crece en ; decrece en 6.- Sea la función. a.- Hacer su gráfica b.- Hallar su dominio, imagen y monotonía. S: Dom(f):. Crece en ; const. en (1, 3) De las siguientes parábolas hallar su eje, el vértice, los puntos de corte con los ejes y la curvatura.. Posteriormente haz su dibujo. 7.- S: Eje: x = 3; V(3, -25); Puntos de corte: (8,0), (-2,0), (0,-16). Convexa 8.- S: Eje: x = -1; V(-1, 2): Puntos de corte: (0, 3). Convexa 9.- S: Eje: x = -1; V(-1, 0); Puntos de corte: (0, -1), (-1, 0). Cóncava 10.- Se construye un túnel bajo el mar cuya trayectoria se ajusta bien a la función, siendo x la longitud del túnel medida en kilómetros y f la profundidad del túnel, en hectómetros. a.- Representa la trayectoria del túnel b.- Indica la longitud del túnel. S: 8 kilómetros c.- Qué profundidad tiene a los 6 kilómetros? 150 m. d.- A que distancia de la boca adquiere su máxima profundidad, y cuánto vale ésta? S: 4 quilómetros; 200 m e.- A qué distancia de la boca adquiere una profundidad de 50 m? S: a 0'54 y 7'46 km. TEMA 11: ECUACIONES EXPONENCIALES Resuelve las siguientes ecuaciones: a.- S: x = -2 b.- S: x = 2 c.- S: x = 0, x = -1 d.- S: x = 2

12 12 TEMA 12: ESTADÍSTICA (los problemas se harán con el programa EXCEL) 1.- Los siguientes datos indican el número de veces que practica deporte por semana un grupo de 25 personas: 3, 4, 6, 3, 5, 2, 4, 3, 2, 1, 7, 4, 3, 2, 2, 0, 5, 3, 2, 0, 2, 0, 1, 2, 0. Calcula: a.- El rango S: r = 7 b.- La media, mediana y moda: 2'64; 2; 2 c.- La desviación típica S: s = 1' d.- El coeficiente de variación. Están los datos dispersos? S: CV = 69'33%. Sí Realiza un diagrama de barras con los datos y traza el polígono de frecuencias correspondiente. 2.- Las faltas de puntualidad en la clase de 4º E, a lo largo de los 5 días lectivos de una semana, son las siguientes: Nº de faltas Nº de alumnos Calcular la media y la desviación típica. S: media: 2'68; desviación típica: 1'4062 Hacer una representación gráfica adecuada. 3.- La relación entre el gasto de calefacción en euros (Y) y la temperatura media del día (X) en un edificio viene marcado por la siguiente tabla X Y Calcula la media de cada variable Calcula la desviación típica de cada variable. Calcula el coeficiente de variación de cada una e interpreta el resultado.. Hay más dispersión en el gasto. Calcular el coeficiente de correlación e interpretar el resultado.. Hay mucha correlación negativa entre el gasto de calefacción y la temperatura ambiente Halla la recta de regresión de Y sobre X. S: y=-1' '562 Si hubiese habido 20 grados de temperatura media, qué gasto se hubiese esperado? S: 6'38 i Representación adecuada de los datos 4.- Un grupo de 12 atletas responde sobre el número de veces que entrena a la semana (X) y el número de medallas que ha conseguido la última temporada (Y). Los datos son los que aparecen en la siguiente tabla:

13 13 X Y a.- Calcular el coeficiente de correlación. S: r=0' b.- Halla la recta de regresión de Y sobre X. S: y=0'63x-0'5289 c.- Qué número de medallas se hubiera esperado si un deportista entrenase todos los días de la semana? S: 3'92 c.- Representación adecuada de datos (nube de puntos, recta de regresión con ecuación...) TEMA 13: PROBABILIDAD 1.- En una universidad en la que no hay más que estudiantes de Ingeniería, Ciencias y Letras, acaban la carrera el 5% de Ingeniería, el 10% de Ciencias y el 20% de Letras. Se sabe que el 20% estudian Ingeniería, el 30% Ciencias y el 50% Letras. Tomando un alumno al azar, se pide: a.- Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de Ingeniería. R: 0'01 b.- Nos dice que ha acabado la carrera. Probabilidad de que sea de Ingeniería. R: 1/ Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es 0'6. La probabilidad de que pase la segunda es 0'8, y la de que pase ambas es 0'5. a.- Probabilidad de que al menos pase una prueba. R: 0'9 b.- Probabilidad de que no pase ninguna prueba. R: 0'1 c.- Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado la primera. R: 0' El 20% de los empleados de una empresa son Ingenieros y otro 20% son Economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los No Ingenieros y No Economistas sólo el 20% ocupan un puesto directivo. Cuál es la probabilidad de que un empleado Directivo elegido al azar sea Ingeniero? R: 15/ Un 10% de las personas que viven en cierta ciudad han padecido determinada enfermedad. Si se examinan tres personas al azar, cuál es la probabilidad de que alguna de ellas haya padecido esta enfermedad? R: 0' Se tiran dos dados. a.- Calcular la probabilidad de obtener dos números pares. R: 1/4 b.- Calcular la probabilidad de obtener un número par y un número impar. R: ½ 6.- Un dominó consta de 28 fichas, de las cuales 7 son dobles. Escogidas 3 fichas al azar, calcular la probabilidad de que alguna sea doble si a.- se extraen las tres simultáneamente. R: 0'594 b.- se extraen de una en una con reemplazamiento. R: 0' Una fábrica dispone de tres máquinas, A, B y C que fabrican arandelas. Se sabe que la máquina A produce un 1% de arandelas defectuosas, la B un 3% y la C un 2%. La A produce el 25% del total de unidades, la B el 40% y la C el 35%. Al cabo de un día, se toma una arandela al azar de la producción total. a.- Calcular la probabilidad de que sea defectuosa. R: 0'0215

14 b.- Si resultó defectuosa, calcular la probabilidad de que pertenezca a la máquina A. R: 5/ Un equipo de fútbol tiene dos guardametas. El habitualmente titular recibe un solo gol el 20% de los partidos, 2 goles el 10% y más de dos goles el 5%. El resto de los partidos consigue dejar su meta a 0. El segundo es un poco más manta y recibe un solo gol el 35% de los partidos, 2 goles el 15% y más de dos goles el 10%. El resto de los partidos consigue mantener su meta imbatida. Durente la semana, el entrenador ha tenido problemas en el vestuario y ha dudado entre alinear un portero u otro. El partido se ha jugado y el equipo ha encajado un gol. Calcula la probabilidad de que haya salido el portero reserva, sabiendo que el entrenador, al final, se jugó a cara o cruz el portero que debía sacar de titular. R: 0'636 Todos los problemas siguientes se hacen en clase. El alumno se preocupará de anotar las soluciones. 9.- La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0'6, la de que apruebe Lengua es 0'5 y la de que apruebe las dos es 0'2. a.- Cuál es la probabilidad de que apruebe por lo menos una materia? b.- Y la de que no apruebe ninguna? c.- Y la de que apruebe Matemáticas y no Lengua? 10.- Una caja A contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Otra caja B contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Sacamos una bola de la caja A y la introducimos en la caja B. Si a continuación se extrae una bola de la caja B, cuál es la probabilidad de que sea blanca? 11.- En una ciudad el 40% de los habitantes tienen teléfono, el 70% tienen radio y el 30% ambas cosas. Cuál es la probabilidad de que un habitante seleccionado al azar no tenga ninguna de las dos cosas? 12.- Se dispone de tres cajas con lámparas. La primera contiene 10 lámparas, de las cuales hay 4 fundidas; en la segunda hay 6 lámparas, estando una fundida, y en la tercera caja hay tres lámparas fundidas de un total de 8. Cual és la probabilidad de que al tomar una lámpara al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida? 13.- En una ciudad el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene los ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar. Calcular: a.- Si tiene cabellos castaños, cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños? b.- Si tiene ojos castaños, cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? c.- Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños? 14.- En un curso de 2º de BAC hay 120 alumnos. 50 estudian Francés, 80 Química y 20 estudian Francés y Química. Se elige en ese curso un estudiante al azar. Qué probabilidad hay de que no estudie ninguna de las dos materias? 15.- Ante un examen, un alumno sólo estudió 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Halla la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. 14

15 16.- En una casa hay tres llaveros A, B y C, el primero con 5 llaves, el segundo con 7 y el tercero con 8, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero, y de él una llave para intentar abrir el trastero. Pídese: a.- Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? b.- c.- Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el 3º y la llave no abra? Y si la llave escogida es la correcta, cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A? 17.- En un cierto edificio se usan dos ascensores: el 1º lo usan el 45% de los inquilinos, y el resto usa el 2º. El porcentaje de fallos del 1º es del 5%, mientras que el del 2º es del 8%. Si un cierto día un inquilino queda "atrapado" en un ascensor, hallar la probabilidad de que sea en el 1º Para la señalización de urgencia de un hospital se instalaron dos indicadores que funcionan independientemente. La probabilidad de que el indicador A se accione durante la avería es de 0'99, mientras que para el indicador B la probabilidad es 0'95. a.- b.- Calcula la probabilidad de que durante una avería se accione un solo indicador. Calcula la probabilidad de que durante una avería no se accione ninguno de los dos indicadores Una encuesta dice que el 35% de los habitantes de una ciudad leen el periódico A, el 28% leen B y un 10% leen ambos periódicos. Si se elige al azar un ciudadano, calcular la probabilidad de que a.- lea ambos periódicos, sabiendo que lee A b.- lea ambos periódicos, sabiendo que lee por lo menos uno c.- no lea B, sabiendo que lee A d.- lea A, sabiendo que no lee B 20.- En cierto hotel, el 40% de los huéspedes del año 2004 fueron hombres y el resto mujeres. Del total de mujeres, el 65% fueron extranjeras y el resto, nativas. Si se elije al azar un huésped del hotel, cuál es la probabilidad de que sea mujer y nativa? 21.- Un cazador tiene una escopeta de 5 tiros. La probabilidad de acertar a una perdiz es 0'2. Cuál es la probabilidad de que dé a la perdiz en el tercer disparo? Y en tres disparos? 22.- Un juego consiste en tirar un dado y gana quien saca un 6. Si sabemos que un jugador ganó, cuál es la probabilidad de que haga trampa? Se sabe que el 40% de los jugadores son tramposos, y que un jugador tramposo siempre gana Tres amigos juegan con un dado de la siguiente forma: cada uno lo lanza como máximo una vez. Si el primero en lanzar saca un 6, gana y se acaba la partida; si no, lanza el segundo, que gana si obtiene un 4 ó un 5, acabando la partida. Si tampoco gana éste, lanza el dado el tercero, que gana si obtiene 3, 2 ó 1. Si no gana el tercero, la partida finaliza. Halla las probabilidades de ganar que tiene cada uno y la probabilidad de que la partida acabe sin ganador Los números de teléfono de una ciudad son todos de 6 cifras (descontando el prefijo) que empiezan por 1 ó por 2. Se elige un número de teléfono al azar. Se pide: 1º - Probabilidad de que el número elegido no contenga la cifra 5. 2º - Probabilidad de que el número elegido empiece por 1 y acabe en 2. 15

16 25.- Juanito quiere gastar una broma a los fumadores de su casa. En el paquete de su padre, que contiene 5 cigarros, coloca petardos en 4 de ellos, y en el paquete de su abuela, que contiene 12, pone petardos en 5. Al cabo de un momento se oye la explosión de uno de los petardos. Qué probabilidad hay de que el cigarro que explota sea de la abuela? ( Se supone que el consumo de tabaco es el mismo en ambos fumadores) En una competición de tiro con arco cada tirador dispone, como máximo, de tres intentos para hacer diana. En el momento en que lo consigue, deja de tirar y supera la prueba, y si no lo consigue en ninguno de los tres intentos, queda eliminado. Si la probabilidad de hacer blanco con cada flecha, para un determinado tirador, es 0'8 a.- b.- calcular la probabilidad de no quedar eliminado. Si sabemos que superó la prueba, cuál es la probabilidad de que lo consiguiese en el segundo intento? 27.- En una máquina se fabricaron 100 piezas, de las cuales 15 presentaron algún defecto. a.- Calcular la proporción de piezas que no son defectuosas. b.- Calcular la probabilidad de que si examinamos dos piezas, ambas resulten defectuosas. c.- Si comprobamos dos piezas y la primera es defectuosa, cuál es la probabilidad de que la segunda no lo sea? 16