Problemes de Mecànica Racional. Titulació: Enginyeria Civil. Departament de Física Aplicada. Curs 2010/2011. J. Sánchez A. Falqués

Transcripción

1 Problemes de Mecànica Racional. Titulació: Engineria Civil. Departament de Física plicada. Curs 2010/2011. J. Sánchez. Falqués 10 de gener de 2011

2 Índe 1 Problemes. 3 0 Vectors Cinemàtica de la partícula Dinàmica de la partícula Sistemes de forces Estàtica Estàtica d estructures Canvis de sistema de referència Cinemàtica del sòlid rígid Cinemàtica 2D del sòlid rígid Cinemàtica 3D del sòlid Dinàmica de sistemes de partícules Moment lineal Moment angular i dinàmica 2D del sòlid Treball i energia per a una partícula Treball i energia per a sistemes de partícules Geometria de masses i tensor d inèrcia Dinàmica 3D del sòlid rígid Oscil.lacions Sistemes de massa variable Respostes Vectors Cinemàtica de la partícula Dinàmica de la partícula Sistemes de forces Estàtica Estàtica d estructures Canvis de sistema de referència Cinemàtica del sòlid rígid Cinemàtica 2D del sòlid rígid Cinemàtica 3D del sòlid Dinàmica de sistemes de partícules Moment lineal Moment angular i dinàmica 2D del sòlid Treball i energia per a una partícula Treball i energia per a sistemes de partícules Geometria de masses i tensor d inèrcia Dinàmica 3D del sòlid rígid Oscil.lacions Sistemes de massa variable

3 2 ÍNDEX Dimensions i unitats. 79 B Taules Moments d inèrcia Moments d inèrcia d àrees Centres de gravetat de formes geomètriques usuals Recolzaments usats en aplicacions bidimensionals Recolzaments usats en aplicacions tridimensionals

4 Capítol 1 Problemes. 3

5 4 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 0 Vectors. 1. El vector resultant de la suma de dos vectors té 10 unitats de longitud i forma un angle de 35 o amb un dels vectors components, que té 12 unitats de longitud. Calculeu la magnitud de l altre vector. Comproveu que el mòdul del vector suma no és la suma dels mòduls dels altres dos vectors. 2. Donats els vectors a = (5,3,4) i b = (6, 1,2). Calculeu: a) el mòdul de cadascun d ells b) a b c) l angle entre ells d) els cosinus directors de cadascun e) a + b f) a b g) a b. 3. Trobeu un parell de vectors de mòduls 2 i 5 tal que la seva suma tingui mòdul La suma de dos vectors a, b és un vector c de mòdul 24 i de cosinus directors: 1/3, -2/3, 2/3. més, el vector 3 a 2 b té per components (7,9,3). Calculeu les components de a i b. 5. Un triangle té els seus vèrte en els punts = (1, 0, 2), B = (0, 2, 2) i C = (1, 1, 1). Trobeu l àrea del triangle i els seus angles. 6. Donat el vector a = 9 i + 12 j + 20 k i el vector unitari u = 0.6 i k, determineu: a) la component de a en la direcció de u. b) la component de a en la direcció normal a u. 7. Donats els vectors a = 2 i + 10 j 4 k, b = 3 i j i c = 2 i + 5 j + 3 k, calculeu: a) l àrea del triangle determinat per a i b c, suposats concurrents. b) les components del vector de mòdul 8 perpendicular al pla del triangle anterior i sentit donat per la regla del cargol al portar a sobre b c. c) el vector de mòdul 8 coplanari amb a i b tal que el seu etrem està alineat amb el d aquests. 8. Trobeu la distància del punt P = (4,5, 7) a la recta que passa pel punt Q = ( 3,6,12) i és paral.lela al vector v = 4 i j + 3 k. Trobeu també la distància del punt P al pla que passa per Q i és perpendicular a v. 9. Trobeu el volum d un tetraedre que té un vèrte en (0, 1, 1), un altre en (2, 1, 2) i les altres dues arestes que surten d aquest punt són a = 2 i 3 j + k i b = 4 k. 10. Trobeu el valor de l epressió següent: ( a b) 2 + ( a. b) Donats dos vectors a, b, i essent s = a + b i d = a b. Dir quines condicions han de verificar a i b si: a) s = a + b b) s = d, c) s 2 = a 2 + b 2 d) s = d e) s d = 0.

6 0. VECTORS Siguin a, b dos vectors coneguts i O un punt fi. Trobeu el conjunt dels punts P de l espai que satisfan les següents equacions vectorials: a) OP a = constant b) ( OP a) OP = 0 c) OP a = b 13. Siguin a,b i c els costats d un triangle, α = ang(b,c), β = ang(a,c) i γ = ang(a,b) els angles interiors que formen els costats i S la seva àrea. Demostreu que: a) c 2 = a 2 + b 2 2abcos γ (Teorema del cosinus). b) sinα/a = sinβ/b = sin γ/c = 2S/abc (Teorema del sinus). (Indicació: Considereu els vectors que uneien els vèrte del triangle, orientats de forma que el corresponent al costat c sigui la suma dels altres dos. Calculeu llavors el seu mòdul fent servir el producte escalar. Calculeu també l àrea del triangle fent servir el producte vectorial de les tres formes que és possible.) 14. Sigui p un punt de R 3, = q + λ v una recta i = q + λ u + µ v un pla. Fent servir els productes escalar i vectorial demostreu que la distància del punt a la recta val d = qp v v i que la distància del punt al pla val d = det( qp, u, v). u v Veieu que aquesta última equació pot donar també la distància entre dos plans paral.lels. 15. Demostreu les identitats cos(α + β) = cos αcos β sin α sin β cos(α β) = cos αcos β + sin α sin β sin(α + β) = sinαcos β + cos α sinβ sin(α β) = sinαcos β cos α sinβ cos 2α = cos 2 α sin 2 α sin 2α = 2cos αsin α. (Indicació: Considereu dos vectors de mòdul 1 que formin angles α i β amb l ei de les en sentit adequat i considereu els seus productes escalar i vectorial.)

7 6 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 1 Cinemàtica de la partícula. 1. Les equacions del moviment d una partícula venen donades (en m) per: (t) = t 3 t 2 1 r(t) (t) = 2t 2 6 z(t) = 4t Trobeu la velocitat instantània per t = 2s, la velocitat mitjana en el període de temps entre t = 0s i t = 2s, i l acceleració per t = 3s. 2. Un mòbil té en cada instant de temps t la posició indicada per les coordenades: = a cos kt; = a sin kt; z = bt. La trajectòria descrita és una hèlice cilíndrica de la que es demana el pas. Determineu també, per cada instant de temps t, els vectors velocitat i acceleració demostrant que els seus mòduls són constants i que formen amb l ei z angles també constants. Trobeu la curvatura. 3. La velocitat d una partícula ve donada pel següent vector: v = (3t 2) i+(6t 2 5) j+(4t 1) k (m/s), i el vector posició a l instant inicial és: r o = 3 i 2 j+ k (m). Calculeu: a) el vector posició a qualsevol instant de temps b) el vector acceleració c) el mòdul de les acceleracions tangencial i normal per t = 1s. 4. L acceleració d un coet ve donada per la relació a = Ct, on C és una constant. a) Trobeu la posició en funció del temps. b) Si C = 3m/s 3, troba la posició i la velocitat quan t = 5s amb les condicions inicials: v = 0 i = 0 per t = 1s. 5. El soroll del oc d una pedra que cau sense velocitat inicial en un pou, se sent després de t segons. Trobeu la fondària h del pou sabent que la velocitat del so és v m/s i negligint la resistència de l aire. 6. El maquinista d un tren de viatgers que es mou a 30 m/s veu un tren de mercaderies que es troba a 180 m davant d ell i que avança amb el matei sentit a 9 m/s. El maquinista del tren de viatgers frena aconseguint una desacceleració de 1.2m/s 2 mentre que l altre tren continua amb velocitat constant. Hi haurà oc? En el cas que sí, on es produirà el oc?, en cas contrari, quina és la mínima distància a la que arribarà aquest? 7. Un motorista s aproima amb velocitat v o a un semàfor que està verd. En un cert instant el llum canvia a groc. a) Si el seu temps de refle és τ (temps que transcorre des de la percepció del groc fins a iniciar la frenada), i la màima acceleració de frenada és a, quina és la mínima distància s min a la que pot trobar-se del semàfor en l instant en que el llum canvia a groc per aturar-se sense creuar? b) Si el groc dura un temps t 0 abans de canviar a vermell, quina és la màima distància a la que es pot trobar el motorista de la cruïlla en el moment en que el verd canvia a groc per tal que, mantenint la velocitat v o, passi el semàfor abans que canviï a vermell? c) Demostreu que si la velocitat inicial v o és més gran que v ma = 2a(t 0 τ) hi ha un interval de distàncies a la cruïlla tal que ni es pot frenar a temps ni passar abans de que canviï a vermell. d) Feu una estimació de t 0, τ i a i calculeu v ma en km/h. Si v o = 2/3.v ma, determineu les distàncies màima i mínima de l enunciat.

8 1. CINEMÀTIC DE L PRTÍCUL L acceleració d un punt és a = k/(b s), on k i b són constants i s és la distància recorreguda. Epresseu l espai i l acceleració en funció de la velocitat v. En l instant inicial s = 0 i v = Un punt material de massa m és atret per un altre punt material fi de massa m 1 amb una força inversament proporcional al cub de la distància i directament proporcional al producte de les masses. La constant d atracció és K. Determineu el temps que li cal al primer punt per arribar al segon, essent d la separació inicial i la velocitat inicial zero. 10. Un mòbil es mou en una línia recta, la seva posició donada per (t) = a bt 2 + ct 4. En el SI els valors de a,b i c són 12, 15 i 3 respectivament. Trobeu: a) les dimensions de a,b i c b) els instants en que el mòbil està en l origen c) els valors del temps pels que la velocitat s anul.la d) l acceleració instantània 11. L acceleració màima d un tren és a i la desacceleració màima és b. Quin és el temps mínim que pot emprar el tren en recórrer una distància d si imposem que la velocitat inicial i final siguin nul.les? 12. Un cos submergit en un fluid t una desacceleració proporcional a la velocitat, de constant de proporcionalitat 3µ. Si la velocitat inicial és v o, troba el temps que tarda en recórrer una distància L. Quina distància recorrerà en total abans d aturar-se? 13. Després d aturar el motor d una canoa, aquesta té una desacceleració en sentit oposat a la velocitat i directament proporcional al quadrat d aquesta dv/dt = kv 2 on k és una constant. Suposem que el motor s atura quan la velocitat és v o = 6m/s i la velocitat disminuei fins a 3 m/s en 15 s a) calculeu el valor de k b) trobeu l epressió de la velocitat en funció del temps c) demostreu que la distància recorreguda en un temps t és : (t) = 1/k ln(v o kt + 1) d) doneu l epressió de la velocitat en funció de l espai 14. Indiqueu si les següents afirmacions són correctes o no, i justifiqueu la teva resposta: a) Una partícula pot realitzar una trajectòria plana curvilínia fins i tot si la seva acceleració té sempre la mateia direcció. b) Una partícula pot tenir acceleració no nul.la en un instant en el que la velocitat és nul.la. c) Una partícula pot variar la direcció de la seva velocitat quan la seva acceleració és constant. d) Una partícula pot variar la direcció de l acceleració quan la direcció de la velocitat es manté constant. 15. Determinar les components del vector velocitat i del vector acceleració en coordenades polars planes. 16. Un obstacle de 10m d alçada es troba a una distància de 30m. Quina és la mínima velocitat amb la que hem de llençar un objecte perquè passi per sobre l obstacle?

9 8 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 17. Una cinta transportadora B de 7m de longitud està articulada en i pot tenir qualsevol inclinació. La cinta descarrega sorra en B i aquesta cau lliurement fins que arriba al terra en el punt C. Sabent que la cinta té una velocitat constant de 3m/s, calculeu la màima distància possible entre i C i l angle α corresponent. Suposeu que la sorra surt amb la mateia velocitat que la de la cinta i formant amb l horitzontal també l angle α. B α C 18. Un noi és a 4 m d una paret vertical i llença una pilota contra ella amb una velocitat inicial de 10 m/s i amb un angle de 45 o respecte a l horitzontal. La pilota és llençada amb la mà, a 2 m per sobre del nivell del terra. quina distància de la paret caurà la pilota? (Quan la pilota oca contra la paret la component horitzontal de la seva velocitat canvia de signe, però la vertical no canvia) 19. Quant valen les components intrínseques de l acceleració (acceleració normal i tangencial) en cada un d aquests moviments: a) circular uniforme b) rectilini uniforme c) rectilini uniformement accelerat d) harmònic simple d amplitud i una freqüència de 5 vibracions per segon. 20. Dos blocs i B estan connectats per una corda inetensible que passa per tres politges C, D i E tal com es mostra en la figura. Les politges C i E estan fies, però la D és mòbil i baia verticalment amb una velocitat constant de 1.5 m/s. En l instant t = 0 el bloc es comença a moure des de la posició indicada en el dibui baiant amb acceleració constant 0.5m/s 2. Determineu en aquest instant la velocitat i l acceleració del bloc B. C E K D B 4 m 1,5 m/s 21. En un instant donat d un moviment els vectors velocitat i acceleració formen un angle de 60 o. Els seus mòduls valen respectivament 6m/s i 8m/s 2. Calculeu les acceleracions tangencials i normals i el radi de curvatura. 22. Una partícula es mou sobre una circumferència de radi r = 2m segons la llei θ = 3t 2 2t, θ en rad i t en s. Calculeu per després de 4s d haver-se iniciat el moviment l angle, l arc, la velocitat lineal i l angular, l acceleració normal, la tangencial i l angular 23. Un punt es mou sobre una circumferència de radi 1m de manera que l arc recorregut ve donat per s = 2t 2 + 3t on s són metres i t són segons. Calculeu per t = 3s la velocitat lineal i angular aií com les components tangencial i normal de l acceleració.

10 1. CINEMÀTIC DE L PRTÍCUL Un sistema de referència S es mou respecte a un altre S amb acceleració constant a = 2 i(m/s 2 ). La posició inicial de S respecte S és r 0 = 2 i + 3 j (m) i la velocitat inicial és nul.la. El vector de posició d una partícula respecte S és r (t) = 3t 2 i + 2t 2 j (m). Determineu la posició, la velocitat i l acceleració de la partícula en el sistema S en funció del temps. 25. El pilot d un avió que vola a 300 km/h respecte de l aire vol anar cap al Nord. Bufa un vent de l Oest de 50 km/h. Trobeu la direcció en que ha de dirigir l avió i la seva velocitat respecte a terra. 26. Una pissarra cau verticalment amb l acceleració de la gravetat. Es llença un tros de gui a velocitat c, horitzontal. Quina forma te la ratlla que fa el gui damunt la pissarra? 27. En un dia de pluja, una noia camina a 2 km/h i veu que cau l aigua verticalment. Quan augmenta la seva velocitat a 4 km/h veu que l aigua cau amb un angle de 45 o cap a ella. Calculeu la direcció i la velocitat real de l aigua. 28. Quan un veler navega en direcció quasi oposada al vent la velocitat del vent relativa a les veles (vent aparent) és més gran que la del vent real. En canvi, quan navega a favor del vent és més petita. Per quin angle entre el vent real i la direcció d avenç del vaiell té lloc la transició entre ambdós comportaments? Calculeu l angle de transició en funció de les celeritats absolutes del veler i del vent. Vent Vent v v 29. El destructor de la figura es desplaça a 55.6 km/h i llença un coet amb un angle α de retard respecte de la visual de l objectiu, que està fi. La velocitat de llançament és de 76 m/s respecte al vaiell i té un angle d elevació de 30 o sobre l horitzontal. Suposant que el coet seguei movent-se en el pla vertical determinat per la seva velocitat absoluta de llançament, calculeu α, per θ = 60 o. 30. Un cote recorre una corba de 60 m de radi a una celeritat constant de 48 km/h. Quan passa per la posició indicada, el cote B està a 30 m de la cruïlla i està accelerant cap al sud a raó de 1.2m/s 2. Determineu l acceleració de respecte B en aquest instant. Objectiu 60 m α θ 30 m B Un avió ultralleuger passa per sobre d una sínia( atracció de fira). Un observador situat damunt una cistella de la sínia medei, a l instant en que es troba en el punt més alt, la velocitat i l acceleració de l avió, que en aquest instant està en la seva vertical, 100 m per sobre d ell. Les mesures de l observador són epressades respecte un sistema de referència que t l origen al centre de la sínia, l ei perpendicular al pla que la conté, l ei z vertical i l ei horitzontal: v = 50 i + 40 j 10 k (m/s), a = 2 i j(m/s 2 ). Trobeu la velocitat i l acceleració mesurades des de terra. El radi de la cistella és de 8m, la seva velocitat angular val 0.1 rad/s en sentit antihorari i l acceleració angular 0.05rad/s 2.

11 10 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 2 Dinàmica de la partícula. 1. Un ren estira horitzontalment un trineu amb una força T. El fregament del trineu amb el terra és F. Si el ren arrossega el trineu amb velocitat constant, digueu quines de les següents afirmacions són correctes: a) La força que fa el trineu sobre el ren és igual a T. b) La força que fa el terra sobre el trineu és igual a T. Considereu ara que el trineu avança amb acceleració, digueu de nou si les següents afirmacions són correctes: c) La força que fa el trineu sobre el ren és igual a T. d) La força que fa el terra sobre el trineu és igual a T. 2. Dos blocs estan en contacte sobre una taula sense fregament. pliquem una força horitzontal a m 1. Si m 1 = 2kg, m 2 = 3kg i F = 10N, trobeu F la força de contacte entre els 2 blocs. Si s aplica la mateia força en sentit contrari sobre m 2, la força de contacte és diferent. Per què? 3. Un bloc de 4kg està col.locat sobre un altre de 5kg. Per fer que el bloc superior patini sobre l inferior s ha d aplicar una força de 12N sobre el bloc superior mantenint l inferior aturat. Suposant que la taula no té fregament, trobeu: a) La màima força que aplicada al bloc inferior permet que els dos blocs es moguin junts. b) L acceleració amb què es mou el sistema en aquest cas. 4. Un senor de massa M està dins d una cabina de massa m. El senor estira de la corda per pujar. a) mb quina força ha d estirar la corda per pujar amb una acceleració a? b) Quina força haurà de fer per pujar amb velocitat constant?. Si el senor està sobre una bàscula de massa negligible, quina seria la lectura de la bàscula en aquesta situació?. I en el cas de l apartat a)?. 5. Calculeu la magnitud de la força constant que ha de fer l individu de la figura sobre la corda per pujar 10m en 1/4 minuts, partint del repòs. La massa del conjunt senor+cadira és de 70kg. 6. Una pilota lligada a una corda es posa en rotació en una circumferència vertical. Demostreu que la tensió de la corda en el punt més bai ecedei la tensió en el punt més alt en sis cops el pes de la pilota. m 1 m 2

12 2. DINÀMIC DE L PRTÍCUL El pilot d un avió es llença en picat a una velocitat de 400km/h i acaba el descens, descrivint amb aquesta mateia velocitat un arc de circumferència situat en el pla vertical. Quin serà el mínim radi possible de la circumferència per tal que l acceleració de l avió no sigui més gran que 7g (on g és l acceleració de la gravetat)?. Quina força eercirà l avió sobre el pilot a l instant en què la trajectòria sigui tangent a l horitzontal?. 8. Trobeu la força F necessària per tal que el cos de 200kg es comenci a moure cap a la dreta. El coeficient de fregament és de 0.35 en totes les superfícies. 9. Calculeu l acceleració del sistema i la tensió del fil del conjunt representat a la figura. Dades: F = 250N, l = 30 o, µ = 0.2, m 1 = 20kg i m 2 = 30kg. o Kg 200 Kg F m1 m2 F λ 10. Un bloc baia lliscant amb velocitat constant per un pla inclinat 30 o respecte l horitzontal. mb quina acceleració baiarà sobre el matei pla si l inclinació augmenta fins a 45 o?. 11. Determineu la tensió del fil del sistema: a) sense fregament, b) amb fregament µ = 0.1. Dades: m 1 = 100kg, m 2 = 50kg, λ 1 = 30 o, λ 2 = 45 o. 12. Dos cossos de pesos P 1 i P 2 estan units per un fil perfectament elàstic i llisquen sobre dos plans inclinats α i β respectivament. Determineu l acceleració del moviment tenint en compte la resistència del fregament. Dades: P 1 = 5kp, P 2 = 8kp, α = 60 o, β = 30 o i µ = 0.2. considereu els tres casos possibles; que P 2 pugi, que baii o que inicialment estigui en repòs. 13. Dues masses de 8kg i 16kg estan unides per una corda i llisquen sobre un pla inclinat de 30 o. El coeficient de fregament cinètic entre la massa de 8kg i el pla és de 0.25 i entre l altre massa i el pla és de 0.5. Tenint en compte que la massa de 8kg està inicialment més baia que l altra: a) Calculeu l acceleració del conjunt. b) Trobeu la tensió de la corda. c) Compareu els resultats amb l acceleració de cada bloc si aquests no estiguessin units per la corda. P m1 m2 λ 1 λ 2 P 14. Sigui R el radi de la Terra, g l acceleració de la gravetat a la superfície terrestre i T la duració del dia. Determineu, en funció d aquestes dades, l alçada a la que ha d orbitar un satèl.lit artificial per tal que sempre es trobi sobre el matei punt de la superfície terrestre (geostacionari). 15. Quina és la màima velocitat constant que pot portar un cote al passar per un canvi de rasant com el de la figura sense que s aiequi del terra?

13 12 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 16. Quina acceleració ha de tenir el carretó perquè el bloc no caigui si el coeficient de fregament entre aquest i el carretó és µ? Com descriuria el comportament del bloc un observador situat sobre el carretó? v α/2 r a 17. Si el pla inclinat de la figura s accelera cap a la dreta amb una acceleració a = 3m/s 2, el bloc m s accelerarà cap amunt o cap avall? Trobeu la seva acceleració relativa al pla inclinat. Menspreeu els fregaments. m 37º a = 3 m/s Un bloc llisca per un pla inclinat sense fregament. El pla forma un angle de 30 o amb el terra d un ascensor. Trobeu l acceleració del bloc respecte el pla inclinat quan: a) L ascensor puja amb velocitat constant v. b) L ascensor puja amb acceleració constant a. c) L ascensor baia amb acceleració constant a. d) Es trenca el cable de l ascensor. 19. Un bloc de 8kg està unit a una barra vertical mitjançant dues cordes de 1.5m. Calculeu la velocitat amb què ha de girar per tal que la tensió de la corda superior sigui de 15kp. Quina és la tensió de la corda inferior? 20. Una pilota de ping-pong està unida mitjançant un fil al tap d un ampolla plena d aigua que està invertida. Es proporciona a l ampolla una acceleració a cap a la dreta. Epliqueu el comportament de la pilota submergida. Quin angle formarà amb l horitzontal? 2m a 21. Una plataforma gira al voltant d un ei perpendicular a ella amb una acceleració d 1rad/s 2. Sobre la plataforma i a una distància de l ei d 1m, es col.loca un cos d 1kg. Si la força màima de fregament estàtic entre el cos i la plataforma és de 25N; després de quants segons d haver-se iniciat el moviment des del repòs surt foragitat el cos?

14 2. DINÀMIC DE L PRTÍCUL El sistema de la figura està inicialment en repòs i les politges són de massa negligible. Quan s allibera el sistema s observa que el cos 1 es queda en repòs. Trobeu: B a) Les tensions en les cordes. 3 m b) La massa del cos 3. c) El mòdul i el sentit de l acceleració del centre de la politja. d) Els mòduls i els sentits de les acceleracions dels cossos 2 i 3. 2 m =2 kg 2 1 m =1 kg Dos blocs de la mateia massa m estan un sobre l altre en un pla horitzontal. El bloc inferior està unit mitjançant una corda (inetensible i sense massa) a un tercer bloc de massa M que penja tal com mostra la figura. El coeficient de fregament entre els blocs i el pla és µ (0 < µ < 1). Es demana: a) El valor de M necessari perquè s inicïi el moviment. 1 2 m m b) Les acceleracions dels blocs i la tensió de la corda suposant que els blocs 1 i 2 es mouen solidàriament. c) Les acceleracions dels blocs i la tensió de la corda suposant que l 1 llisca sobre el 2. 3 M d) Trobeu la condició sobre m, M i µ perquè es verifiqui el cas b). e) Calculeu l acceleració de M si µ = 0.1, M = 8kg i m = 1kg. 24. La part superior del carret de la figura constituei un pla inclinat, d angle α sobre el qual llisca sense fregament el cos petit de massa m. El carret pot desplaçar-se també sense fregament i la seva massa val M. Inicialment els dos es troben en repòs en la posició indicada en la figura. a) Calculeu el temps que triga el cos de massa m a baiar l alçada h i sortir per l etrem dret. b) Calculeu el desplaçament del carret durant aquest temps. c) Determineu el valor de la força mútua que es fan els dos cossos. d) Calculeu la força resultant que fa el terra sobre el carret. e) Indiqueu quin tipus de moviment tenen cadascun dels cossos després d haver-se separat. m M α

15 14 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 25. La força F del vent sobre la vela depèn de l àrea de la vela S, la densitat de l aire ρ, l angle entre el vent i la vela θ, i la velocitat del vent respecte de la vela v. Per anàlisi dimensional trobeu la forma de la funció: F = F(θ,ρ,S,v) 26. La NS està estudiant la possibilitat de col.locar un satèl.lit captiu, tal com mostra la figura. El sistema constarà d un satèl.lit de massa M, situat en òrbita geoestacionària, del que surt un fil de longitud l que suporta al satèl.lit captiu B, de massa m. Es pot suposar que m M, que l h i que el fil és inetensible i sense massa. òrbita geoestacionària significa que el satèl.lit sempre està sobre el matei punt de la Terra. Dades: radi de la Terra, R = 6400Km. Gravetat a la superfície, g = 9.8m/s 2. a) Calculeu quina ha de ser la velocitat angular del conjunt perquè el fil que unei i B apunti sempre cap al centre de la Terra. b) Calculeu l alçada, h, perquè el conjunt estigui en òrbita geoestacionària. c) Calculeu la tensió que suporta la corda que unei i B. M m B R h l

16 3. SISTEMES DE FORCES Sistemes de forces. 1. Epliqueu en quins casos cada un dels sistemes de la figura és equivalent a: a) Una força única. b) Un parell. c) El sistema nul L ei central d un sistema de forces és la recta = /2 = z/2. El mòdul de la resultant val R = 6 i les seves components són positives. El trinomi invariant val 18. Trobeu la resultant, el moment mínim i el moment respecte a l origen. 3. Tres forces formen els costats O, BC, DE del cub, d aresta unitat, de la figura. Determineu la resultant i l equació de l ei central del sistema. 4. Trobeu l ei central, la resultant i el moment mínim del sistema de forces definit per les 6 arestes del tetràedre de la figura, O, OB, OC, B, BC, C, on O = OB = OC = 1. z z E D C C O B O B 5. Donat el sistema de forces format pels vectors a = 3 i j + 2 k, b = i + j + k, c = 4 k i d = i 3 j, aplicades en els punts = (2,0,0), B = (0,2,0), C = (0,0, 2) i D = (2,2, 2), i un parell de moment M = 4 i + 7 j + 5 k, resoleu les següents qüestions: a) Caracteritzeu el sistema. b) Trobeu un punt de l espai respecte del qual el moment resultant sigui mínim. Quan val aquest moment? c) Determineu un sistema equivalent al donat, format com a màim per tres forces. d) Es pot trobar un sistema equivalent format només per una sola força? Per què? 6. Un sistema de forces ve donat per la força a = i + 2 j + 3 k aplicada al punt (2,1,1) i un parell de moment M = 4 i + 2 j. Si és possible, reduïu aquest sistema a una força única i determineu les coordenades del punt de la recta suport més proper a l origen. 7. Un sistema de forces té la resultant R = (1,0,0), el trinomi invariant igual a 3 i l ei central que passa pel punt (0,1,1). Trobeu un sistema de tres forces que sigui equivalent a l anterior. Trobeu,

17 16 CPÍTOL 1. PROBLEMES. també, el parell necessari per tal que afegit al sistema descrit, en resulti un nou sistema reduïble a una única força. 8. Donat un sistema de forces, responeu breument a les següents qüestions: a) En quin cas el moment resultant és igual al moment de la resultant? b) Si el sistema equival a una sola força, és cert que el punt d aplicació d aquesta força és arbitrari? c) Si el moment és nul, és cert que l ei central no eistei? 9. Un sistema de forces té trinomi invariant nul. Què es pot dir d aquest sistema? Considereu totes les possibilitats. 10. Dos sistemes de forces estan caracteritzats per les seves resultants, R 1 = 2 i+ j k, R 2 = i k, i els seus respectius moments resultants, M1 = i j respecte al punt P 1 = (1,0,1), i M 2 = j+2 k respecte al punt P 2 = (0,0,2). Caracteritzeu el sistema format per l agrupació d aquests dos sistemes. 11. Els eios centrals de dos sistemes de forces es tallen. Demostreu que l ei central del sistema equivalent a la unió dels dos inicials està contingut en un pla paral.lel al pla determinat pels seus eios. 12. Dos sistemes de forces tenen els eios concurrents en un punt. Trobeu la condició per que l ei central del sistema equivalent a la unió dels dos concurreii, també, en el matei punt. 13. Donades les distribucions de forces següents sobre un segment, calculeu la resultant i la posició on s ha de colocar per tenir un sistema de forces equivalent. F F l l F 1 F 2 F 2 F 2 F 1 l l/2 l/2 2 F()=F 1 +(/l) F 2 F 1 F 2 F 1 F()=F (l ) 1/2 / l l l

18 4. ESTÀTIC Estàtica. 1. Una placa de 2 m per 1 m i 300 kg es manté horitzontal suspesa del sostre per tres cables verticals. Els cables estan units a tres dels vèrtes de la placa. Calculeu la tensió que suporta cada un d ells. 2. El coeficient de fregament a totes les superfícies és de Es fa una força P sobre el cos de 20 kg tangencialment al pla inclinat. Entre quins valors màim i mínim pot variar aquesta força perquè no hi hagi moviment? 3. La barra homogènia de la figura té longitud a i pes P. Està recolzada sobre el terra, horitzontal, i la paret, vertical, ambdós perfectament llisos. Determineu la tensió de la corda que la suporta. 10 kg P 30º 20 kg α β 4. El cilindre, el pla inclinat i la paret de la figura són perfectament llisos. Calculeu l angle β amb què s ha de col.locar el cilindre superior perquè els dos cilindres estiguin en equilibri. 5. Dues esferes iguals de radi r i pes G es recolzen mútuament entre sí i es recolzen, a més a més, contra les parets d un cilindre de radi R obert per la part inferior. El cilindre es recolza en un pla horitzontal. Trobeu el pes mínim Q que ha de tenir el cilindre per a no ser bolcat per les esferes. Què passaria si el cilindre no estigués obert per la part inferior (és a dir si tingués base)? β θ 6. Una escala uniforme de 10 m de longitud es recolza en una paret llisa amb l etrem inferior separat 6 m de la paret. L escala pesa 40 kg i el coeficient de fregament amb el terra és de 0.4. Un home pesa 75 kg. Quina distància pot pujar sense que l escala rellisqui?

19 18 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 7. Calculeu la força F necessària perquè el cos de 200 kg comenci a moure s cap a la dreta. El coeficient de fregament en totes les superfícies és Un tractor fa pujar un tronc de 1000 kg per un pla inclinat de 20 o. Quina força ha de fer en la direcció normal a la pala? El coeficient de fregament entre el tronc i la pala i entre el tronc i el terra és º 100 kg 200 kg F 20º 9. La caia quadrada i homogènia de la figura pesa 200 kp. Es vol fer-la pujar pel pla inclinat aplicant una força horitzontal T mitjançant una corda unida a una aresta. El coeficient de fregament és 0.4 i l angle del pla inclinat és de 10 o. Determineu la força T necessària per iniciar el moviment, ja sigui bolcant o lliscant. Raoneu perquè es produei una cosa i no l altre. 10. Es vol fer pujar la roda de moto per el graó de la figura. El motor li eercei un parell de moment M. El radi de la roda és r i ha de suportar un pes P. L altura del graó és h i el coeficient de fregament entre totes les superfícies és µ. Determineu: a) El mínim valor de µ necessari perquè la moto pugui pujar. b) El valor de h per sobre del qual la moto no pot pujar. c) El moment M necessari per iniciar el moviment, i valor de les forces de fregament, per al cas µ = 1.5µ min. d) Idem. per al cas µ = 0.5µ min. M T 10º h

20 4. ESTÀTIC Dues barres iguals de pes P i longitud 2a estan articulades en el seu punt mig, els seus etrems inferiors es recolzen en el terra horitzontal llis, i els etrems superiors estan units per una corda. les barres s hi recolza un rodet de radi r i pes W. Calculeu la tensió de la corda en funció de l angle α. 12. Una biga es recolza a dos carrils en la forma indicada per la figura. Calculeu la mínima força Q que s ha d aplicar per fer moure la biga i determineu la força de fregament en el punt en iniciar-se el lliscament. El coeficient de fregament val µ. a b a α B Q 13. Es fa servir el tascó de la figura per elevar un cilindre de 500 kg. El coeficient de fregament en totes les superfícies és de Calculeu la força P necessària per a moure el cilindre. 14. Calculeu la força Q vertical que és necessari aplicar al tascó de la figura per tal de que superi la resistència de la força horitzontal de 500 kp aplicada a. L angle de fregament a totes les superfícies és de 18 o (µ = tg 18 o ). Q 500 Kp 30º C B α=5º α P

21 20 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 15. Dos cilindres idèntics es col.loquen segons la figura. Calculeu les forces en els recolzaments si el pes de cadascuna val P i es negligeien els fregaments. 16. S estira la roda de la figura amb una corda que forma un angle α amb la vertical. Determineu l angle per al qual la roda no roda ni cap a la dreta ni cap a l esquerra. El coeficient de fregament val µ i P és el pes de la roda. Per a l angle calculat, trobeu el valor de la tensió de la corda, T, per al qual la roda comença a lliscar. α T 20º r1 r2 45º 17. Tres cilindres idèntics estan apilats de la forma indicada a la figura. Totes les superfícies en contacte tenen el matei coeficient de fregament. Trobeu el mínim valor µ per evitar que el sistema es desmunti. 18. Uns fulls de paper estan col.locats segons indica la figura. Els parells enganats al cartró vertical B i els senars al cartró vertical. La massa de cada full és de 6 g i hi ha 200 fulls. El coeficient de fregament entre els fulls i amb la taula val 0.2. Suposant que un dels grups es manté immòbil, calculeu la força horitzontal mínima per moure l altre grup. B 19. Una vareta homogènia de pes P està damunt d una superfície horitzontal. El coeficient de fregament és µ. a) Quina força perpendicular horitzontal mínima F m s ha de fer per a moure-la? b) Trobeu l equació de la que s obtindrien a cm i α si F > F m.

22 4. ESTÀTIC Donades les distribucions de forces següents sobre un segment, calculeu la resultant i la posició on s ha de col.locar per tenir un sistema de forces equivalent. 21. Un dipòsit de radi r té forma semicilíndrica. Està ple d un líquid de densitat ρ. Calculeu la força que eercei el líquid sobre cadascuna de les parets semicirculars. 22. Per al mur d una petita presa es considera la possibilitat d una secció triangular (a) o bé rectangular (b). Suposeu que no hi ha adherència entre la base del mur i el terra, i que la tendència del mur a bolcar al voltant del punt C degut a la pressió de l aigua és únicament compensada per el seu propi pes. Calculeu les dimensions mínimes a i b a cada cas perquè el mur no bolqui. Quina secció necessitarà mens formigó? Quina diferència en pes de formigó per metre de longitud del mur hi ha entre les dues opcions? La densitat del formigó és kg/m r c a 7.2 m c b 23. Un canal rectangular d amplada 1.2 m té en un etrem una comporta vertical segons la figura. La comporta està articulada pel punt (ei perpendicular al pla de la figura, que passa per ). Calculeu la força F que ha d eercir la molla per limitar la profunditat de l aigua a h = 1.8 m. 24. El mur d una presa té forma de sector cilíndric, segons la figura, amb radi r = 180 m i angle 60 o. L alçada és de 60 m. Calculeu la força total que fa l aigua sobre el mur. h m 1.5 m 180 m 60 º 60 m

23 22 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 25. La comporta que tanca un canal té forma de quart de cilindre, de radi r. L amplada del canal és de b. La comporta està articulada pel punt (és a dir, pot girar lliurement al voltant d un ei perpendicular al pla de la figura, que passa per ). Sense considerar el pes de la comporta, calculeu la força F mínima necessària per mantenir-la tancada h r F Una boia cilíndrica de 6 m d alçada i 20 cm de diàmetre pesa 175 kp. Està enganada per un etrem al fons d un llac d aigua dolça amb una corda de 3.6 m. La fondària de l aigua és de 8 m. Calculeu l angle que forma la boia amb l horitzontal. 27. El tauló de la figura té 3 m de longitud, 30 cm d amplada i 10 cm de grui. La seva densitat és de 0.8 g/cm 3. Es col.loca, tal com s indica a la figura, sobre la vora d un dipòsit d aigua. El coeficient entre el tauló i la vora és de 0.8. Calculeu la força de fregament a la vora i l angle que forma el tauló amb l horitzontal. 15 cm

24 5. ESTÀTIC D ESTRUCTURES Estàtica d estructures. 1. El mecanisme de la figura consta de dues bieles B i BC, ambdues de longitud l. B està articulada en el punt del terra i en el punt B de la biela BC. El punt C llisca sense fregament sobre el terra. El mecanisme servei per portar un pes P que actua a B. Quina és la relació entre el pes P i la força F a aplicar a C? 2. Per a l armadura de la figura, calculeu les reaccions en els punts i F en funció de L. Tots els angles aguts són de 30 o ó 60 o. Trobeu l esforç que suporta la vareta BD. B P θ C F 3. Trobeu la força en els membres EF, KL i GL de la cintra representada. (Suggeriment: Observeu que les forces en BP, PC, DN, etc., són nul.les). P 45º 4. Trobeu les forces a les bigues a i b de l entramat, en funció de les càrregues eteriors P i Q. Indiqueu si són traccions o compressions. Suposeu a a l estructura sense pes. 45º 45º b Q b

25 24 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 5. Per a l armadura de la figura, determineu la força a cada membre. 6. Determineu la força en el membre BF de l armadura de la figura formada per triangles equilàters. D C B 3 m D E F P B C E 1000 Kp 1500 Kp G 7. Determineu les reaccions en i B i les forces que suporten els membres de la cintra de la figura. 8. La marquesina de la figura es troba sota les càrregues P 1 = 2 Tm, P 2 = 4 Tm i P 3 = 2 Tm, totes elles verticals. La reacció a és horitzontal. Determineu les reaccions i les forces en els diversos membres. P 3 P 2 2 m E P 1 B 2 m C 2 m D 9. La figura esquematitza una grua. Determineu les forces a les diferents barres si la càrrega a l etrem superior és de 4 Tm. 10. la biga de pont de la figura determineu les forces en els diferents membres. D C 4 Tm 3 m 2 m B

26 6. CNVIS DE SISTEM DE REFERÈNCI Canvis de sistema de referència. 1. Un tren circula a 120km/h en un punt de latitud 45 o Nord. Quina força horitzontal eercei sobre la via dreta a conseqüència de la força de Coriolis? Epresseu el resultat en newtons per tona. 2. Una vareta cau des del repòs, girant en un pla vertical a velocitat angular ω, i el seu centre de masses es desplaça amb l acceleració de la gravetat. Una formiga es desplaça a velocitat constant cap al centre de la vareta. Calculeu la velocitat i l acceleració de la formiga respecte al terra a l instant en què es troba a una distància s del centre i la vareta forma un angle θ amb l horitzontal. 3. El disc de la figura gira al voltant de l ei z amb velocitat angular constant ω i la pe a corredissa oscil-la en la seva ranura amb un desplaçament s(t) = s 0 sin 2πnt, on n és la freqüència d oscil-lació. Determineu el vector acceleració de la pe a corredissa respecte al terra: a) Quan arriba a la posició etrema, s 0, amb s < 0. b) Quan passa per la posició s = 0 amb ṡ > Un satèl-lit artificial descriu una òrbita polar circular a una altura de 644km sobre la superfí cie de la Terra i es mou a una velocitat de km/h respecte a uns eios no giratoris amb origen al centre de la Terra. Un observador es troba damunt la superfí cie de la Terra, a un punt de latitud 30 o Nord. Calculeu les components horitzontals de la velocitat i l acceleració que mesurarà l observador quan el satèl-lit passa per la seva vertical. Especifiqueu el mòdul, direcció i sentit. El radi de la Terra és de 6380 km. ω β ω z s h R 5. Un trineu eperimental té una velocitat de 610 m/s constant en direcció cap el nord-est per una pista rectilínia en un punt a 30 o de latitud Nord. Calculeu la component horitzontal de l acceleració del trineu perpendicular a la pista deguda a la rotació de la Terra. El radi de la Terra és de km. 6. Es llença una pedra cap amunt amb una velocitat tal que arriba a una altura de 100 m. Calculeu la desviació respecte de la vertical del punt de llançament en els següents casos: a) l punt més alt de la trajectòria. b) l horitzontal de partida després del moviment de descens Dades: latitud 41 o 23, g = 9.8 m/s 2.

27 26 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 7. El disc gran de la figura gira al voltant del seu ei vertical a velocitat angular constant ω en el sentit indicat. Els discs petits giren al voltant dels seus respectius eios horitzontals en els sentits indicats i amb velocitat angular constant respecte al disc gros. Trobeu les acceleracions dels punts i B respecte de l eterior, a l instant representat, i referides als eios de la figura. z B p c 8. L ei de gir del plat d un giradiscs està situat a 5 m de l ei d uns cavallets que giren a π/60 rad/s en sentit antihorari vistos des de dalt. El giradiscs està funcionant a 33 rpm (en sentit horari) i un insecte s està passejant per la perifèria del disc, girant en sentit contrari al disc i amb una velocitat de 4 m/s. El radi del disc és de 20 cm. Trobeu l acceleració de l insecte que mesuraria un observador fi a terra. Epresseu els resultats en un sistema de referència que tingui per ei la recta que unei el centre de la plataforma i el centre del disc, l ei z vertical, i a l instant en que la posició de l insecte forma un angle θ amb l ei. ω

28 7. CINEMÀTIC DEL SÒLID RÍGID Cinemàtica del sòlid rígid. 7.1 Cinemàtica 2D del sòlid rígid. 1. El disc de la figura roda sense lliscar entre les plaques i B que es mouen paral.lelament en sentits oposats a velocitats v = 2m/s i v B = 4m/s. Localitzeu el centre instantani de rotació del disc i calculeu la velocitat del punt D a l instant representat. 2. Els cables i B estan fermament enrotllats al voltant de la perifèria i del coll de la politja de la figura, i es mouen cap amunt a velocitats de 1.2m/s i 0.9m/s, respectivament. Calculeu la velocitat del centre, O, la velocitat angular de la polit-a i la posició del centre instantani de rotació. Els radis interior i eterior de la polit-a són de 23cm i 46cm. 3. La vareta B es mou de tal manera que es manté sempre tangent a una circumferència de centre O i el seu etrem es mou a velocitat v per una recta que passa per O. El radi de la circumferència es r. Trobeu la velocitat angular de la vareta en funció de X = O,v,r. 4. En el mecanisme de la figura el volant gira amb velocitat angular ω al voltant del seu centre en O i totes les varetes tenen la mateia longitud l. El moviment té lloc en el pla de la figura. Les articulacions en D i E són fies, mentre que les articulacions en, B i C són mòbils. Determineu el Centre Instantani de Rotació de cadascuna de les varetes en la configuració del diagrama.

29 46 cm 28 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 5. El sistema de sòlids articulats de la figura es mou de tal manera que el punt es desplaça cap a la dreta en moviment rectilini uniformement accelerat, partint del repòs quan = 0. La longitud de les barres és b. Determineu la velocitat angular de la barra B en funció de l acceleració de, a i de. 6. La figura representa el típic mecanisme biela-cigonal. Sabent que el cigonal gira a velocitat angular constant ω 0, trobeu la velocitat i l acceleració angulars de la biela en funció de l angle θ. La longitud de la biela és l i el radi del cigonal és r. 7. l instant representat la càrrega L té una acceleració cap amunt de 3m/s 2 i el punt del cable té una velocitat de 2m/s en el matei sentit. Calculeu l acceleració del punt superior de la llanta de la politja, B, en aquest instant. 8. La barra de la figura es mou mantenint el contacte amb la paret i amb el terra, per i per B, respectivament. Calculeu l acceleració del centre de la barra quan θ = 45 o en els casos: a) el punt B es mou a velocitat constant de 2m/s cap a l esquerra. b) el punt B té una acceleració cap a la dreta de 1.2m/s 2 i en aquest instant té velocitat nul.la. va B 20 cm L θ vb B 9. La roda de radi r de la figura roda sense lliscar a velocitat angular constant, ω. El punt P de la perifèria de la roda es troba a l origen de coordenades (0,0,0) per t = 0. Trobeu: a) els valors màim i mínim de la celeritat de P i indiqueu en quin instant té lloc. b) els vectors posició, velocitat i acceleració de P en funció del temps. c) les acceleracions normal i tangencial quan es troba en el punt més alt de la seva trajectòria. d) Calcular la longitud de la corba que descriu P entre dos punts consecutius de contacte amb el terra. ω P

30 7. CINEMÀTIC DEL SÒLID RÍGID Cinemàtica 3D del sòlid. 1. En un instant donat, un sòlid rígid té una velocitat angular ω = 3 i+4 j rad/s i el punt del sòlid que ocupa l origen de coordenades té una velocitat v O = 25 i 50 j + 50 k m/s. Trobeu l ei instantani de rotació i lliscament. 2. En un instant donat, les velocitats de tres punts d un sòlid que ocupen els punts de coordenades (0,0,0),(0,1,0) i (1,0,0) són v = i 2 j + k, v B = 2 j, v C = i j + k (en m i m/s). Trobeu la velocitat angular del sòlid i l equació de l ei instantani en aquest instant. 3. Considerem quatre punts d un sòlid rígid que en un instant donat ocupen les posicions: O = (0,0,0), = (1,0,0), B = (0,1,0), C = (0,0,1)(m). Poden quatre vectors arbitraris representar sempre les velocitats d aquests punts en un possible moviment del sòlid? Per eemple, se ns diu que els vectors v O = 3 i + 4 k, v = 3 i + 3 j, v B = 4 k, v C = 7 i + 4 k (m/s) son les mesures de les velocitats dels quatre punts del sòlid: a) Comproveu que, efectivament, aquestes velocitats corresponen a un moviment possible del sòlid. b) Calculeu el vector velocitat angular. c) Determineu l equació de l ei instantani. d) Epresseu la velocitat d un punt genèric del sòlid de coordenades (,,z). 4. Un sòlid rígid es mou, en un instant donat, segons la superposició de dues rotacions: una al voltant d un ei que passa pel punt (3,2,0) i de velocitat angular ω 1 = (3,2, 1) i l altre al voltant d un ei que passa per B (2,0,0) i de velocitat angular ω 2 = (2,1,4). Calculeu la velocitat del punt del sòlid que en aquest instant ocupa l origen de coordenades, (0, 0, 0). Determineu si aquest moviment és equivalent a una sola rotació instantània. Les distàncies són en metres i les velocitats angulars en rad/s. v p = ω 1 P + ω 2 BP 5. El con de la figura roda sense lliscar sobre un pla horitzontal amb el seu vèrte V en repòs, de manera que el centre de la seva base, O, dóna una volta sencera al voltant de la recta vertical E en un temps T. El seu radi és R i l alçada és h = 2R. a) Trobeu l ei instantani de rotació i lliscament. b) Calculeu la velocitat angular del sòlid. c) Determineu el punt que té màima celeritat i calculeu-la. d) Quantes voltes al voltant de O dóna el punt P durant un temps T? e) Calculeu l acceleració del punt P a l instant en què arriba al punt més alt de la seva trajectòria (representat en la figura). E P V O 6. Un cilindre roda sense lliscar damunt d una pista cilíndrica que gira al voltant de l ei vertical z a raó de n voltes per segon. Calculeu el vector velocitat angular del cilindre en funció de la derivada temporal de l angle θ(t) especificat a la figura adjunta. El radi de la pista és R i el del cilindre r.

31 30 CPÍTOL 1. PROBLEMES. z z θ R r 7. El conductor d un camió gira el volant cap a la dreta. En un cert instant de la maniobra, el centre de la roda davantera dreta té una velocitat horitzontal cap endavant de 5 m/s i el gir del volant li produei una rotació d 1 rad/s respecte a un ei vertical que passa pel centre. No hi ha lliscament i el radi de la roda val 0.5 m. Trobeu l ei instantani de rotació i lliscament i el vector velocitat angular de la roda en aquest instant.

32 8. DINÀMIC DE SISTEMES DE PRTÍCULES Dinàmica de sistemes de partícules. 8.1 Moment lineal. 1. Una bomba en repòs eplota trencant-se en tres fragments. Dos dels fragments, que tenen masses iguals, surten disparats en direccions perpendiculars i amb la mateia velocitat de 30m/s. El tercer fragment té una massa tres vegades més gran que la dels anteriors. Quina és la seva velocitat (mòdul, direcció i sentit) immediatament després de l eplosió? 2. Un gos de 10kg està parat sobre una barca plana que està a 6.1m de la riba. Camina 2.5m sobre la barca cap a ella i s atura. La barca té una massa de 50kg i se suposa que el seu fregament amb l aigua és nul. quina distància de la riba estarà la barca en acabar el recorregut? 3. Es dispara un projectil de 20kg a 100m/s amb un angle de 30 o respecte l horitzontal (en el pla i des del punt (0,0,0)). En el punt més alt de la trajectòria eplota en dos fragments, un de 15kg i l altre de 5kg. Els dos fragments cauen al matei temps. El de 5kg cau en el punt (1200,0,100)m; on cau l altre fragment? 4. Una partícula d 1kg es mou al llarg d una recta a 5m/s. Se li aplica una força horitzontal F perpendicular a la direcció inicial del moviment. Si la força varia en la forma indicada en la gràfica, mantenint-se constant en direcció i sentit i és l única força aplicada al cos, trobeu la velocitat del cos a l instant t = 2s. F(N) t(s) 5. Un vehicle espacial de 350kg de massa es desplaça amb una velocitat de 29000km/h en la direcció fora de l atracció de qualsevol cos celest. El vehicle té la seva rotació estabilitzada a l entorn de l ei z amb una velocitat angular constant θ = π/10 rad/s. Durant un quart de gir, des de θ = 0 fins a θ = π/2, s activa un propulsor que proporciona una empenta de valor constant de 225N. Determineu la velocitat del vehicle quan θ = π/2. z θ u T θ

33 32 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 6. Es dispara un projectil que pesa 170g amb una velocitat de 550m/s en el centre d un disc de 907g que es troba en repòs sobre un suport llis. Si el projectil passa a través del disc i surt amb una velocitat de 275m/s com s indica en la figura; determineu la velocitat v del disc immediatament després que el projectil passi a través seu. 7. Una nau que aterra a la Lluna té 204kg de massa i està equipada amb un coet que produei una empenta constant T cap amunt capaç de produir un impuls total de 180kNs durant 10s. Si l aparell estava a 305m d alçada i tenia una velocitat de descens vertical de 46m/s quan va engegar el coet, trobeu el temps necessari per reduir la velocitat de descens a 1,5m/s. L acceleració de la gravetat a la Lluna és de 1,62m/s m/s 275 m/s v' 46 m/s T 8. La tercera i quarta etapes d un coet volen a 8000km/h quan s ehaurei el combustible de la tercera, anul.lant-se la seva empenta. Immediatament s engega la quarta etapa i la seva empenta sobre la tercera provoca la seva separació, sense cap altra força d interacció entre ambdues. En aquesta situació, la tercera etapa buida pesa 60kg i la quarta plena, 30kg. Si la velocitat relativa de separació és de 12m/s i la separació es produei 1/4 de segon després d haver-se engegat la quarta etapa, determineu la velocitat d aquesta en abandonar la tercera i l empenta mitjana de l engegada del motor. 9. Sobre la coberta d un porta-avions aterra un avió que s atura per l efecte d un cable i els frens aplicats a les rodes. La força retardadora eercida pel cable és igual a k t 2, on k és una constant i t és la variable temps. La força dels frens és igual a k t, on k és una altra constant. Si m és la massa de l avió i v és la velocitat amb què s inicia l aterratge, demostreu que el temps què l avió tarda en aturar-se és una arrel de la següent equació: 2k t 3 + 3k t 2 6mv = Una bola de billar es mou a 2,2m/s. Toca fregant a una bola idèntica en repòs, de manera que la seva velocitat passa a ser de 1,1m/s formant un angle de 60 o amb la direcció inicial del moviment. Trobeu la magnitud i direcció de la velocitat de la segona bola després del oc.

34 8. DINÀMIC DE SISTEMES DE PRTÍCULES Moment angular i dinàmica 2D del sòlid. 1. Dues masses puntuals m 1 i m 2 ( m 1 = 100g,m 2 = 200g) estan unides per un fil inetensible damunt d un pla horitzontal sense fregament, de manera que el fil està rectilini. Es dóna un impuls inicial a m 2, de manera que adquirei una velocitat v 0 = 1m/s que forma un angle de 30 o amb l ei. El fil es destensa una estona i es torna a tensar finalment a l instant t = t 1. partir d aquest instant ja no es destensa més. a) Calculeu la velocitat del centre de masses. b) Trobeu com serà el moviment del sistema per a 0 t t 1 i per a t > t 1. c) Calculeu les velocitats de les dues partícules just després de t 1 ( t t + 1 ). m 1 v o 30º m 2 2. Dos cossos puntuals de masses m i 3m estan units per una corda inetensible de longitud l i poden lliscar sense fregament damunt d un pla horitzontal. l instant inicial es troben en els punts ( l, 0) i (0,0), movent-se a velocitats v = 2v 0 i i v = v 0 j respectivament. a) Calculeu el temps que triga la corda en tornar-se a tensar, i la posició de les partícules quan aiò succeei. b) Trobeu la posició, velocitat i acceleració del centre de masses del sistema en funció del temps. c) Calculeu la velocitat angular de la corda quan es torna a tensar, suposant que ja no es destensa més. d) Mireu si l energia cinètica del sistema varia amb el temps. 3. Dos patinadors de 50kg cadascú s apropen seguint camins paral.lels separats 3m, amb velocitats d igual direcció, sentits oposats i mòduls de 10m/s. El primer patinador porta una pera lleugera i, quan passa pel costat del segon patinador, aquest s hi agafa per l altre etrem. a) Descriviu el moviment dels patinadors després d haver-se unit amb la pera. b) Un d ells va estirant la pera fins a reduir a 1m la seva distància a l altre. Quin és llavors el seu moviment? c) Compareu les energies cinètiques corresponents a les situacions a) i b). 4. Tres cossos, B i C amb velocitats indicades en la figura, s apropen a una regió R de l espai on hi interactuen. Finalment s observa que els cossos B i C abandonen R, mentre que hi queda en repòs. Si B té la velocitat i la trajectòria indicades a la figura, quina ha de ser la velocitat i la trajectòria de C? 2 cm m = 2g B v =10 cm/s B R 26,8º 1 cm m = 0,5g v =20 cm/s 1 cm m = 1g C v = 22,4 cm/s C m = 2g B v =50 cm/s B

35 34 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 5. Sobre una roda que pot girar lliurement respecte un ei vertical fi s hi munta una via circular de massa m 1 = 1.5kg i radi R = 0.5m. La massa de la roda és negligible i el sistema està inicialment en repòs. Sobre la via, un tren de joguina de massa m 2 = 0.5kg arrenca i arriba a una velocitat de 2m/s respecte al terra. a) Quina serà la velocitat angular de la roda? b) Posteriorment, el tren frena fins a aturar-se. Quina és la velocitat angular de la roda quan el tren s ha aturat? c) En lloc de mantenir la roda en posició amb l ei fi se la recolza simplement damunt d una superfície llisa de tal forma que pot girar i traslladar-se lliurement. Quin serà ara el moviment del sistema quan arrenca el tren? 6. La roda de la figura té un radi de 0.5m i una massa de 25kg i pot girar lliurement respecte a un ei horitzontal. Una corda enrotllada per la perifèria té a l etrem una massa de 10kg. Calculeu: a) L acceleració angular de la roda. b) L acceleració lineal del cos que penja de la corda. c) La tensió de la corda. Si substituïm el cos per una força constant de 10kp, com varien els resultats anteriors? 7. Un cilindre massís es deia anar per un pla inclinat d angle θ, partint del repòs. Calculeu la velocitat angular ω i la velocitat lineal v del centre de masses després de baiar 3 m pel pla inclinat. El radi és de 15cm i el coeficient de fregament és µ = 0.3. Considereu dues situacions: a) θ = 30 o b) θ = 60 o 8. En absència de gravetat, una esfera homogènia massissa gira a l entorn d un ei que passa pel seu centre amb una velocitat angular ω constant. Si dividim l esfera en dues parts iguals mitjançant un pla ideal que contingui l ei, quina força fa un hemisferi sobre l altre? 9. Considereu la Terra homogènia de radi R i massa M. Demostreu que el període T de rotació a l entorn de l ei és, T = (4πM/5L)R 2

36 8. DINÀMIC DE SISTEMES DE PRTÍCULES. 35 on L és el moment angular de la Terra degut a la rotació. Suposeu que per efecte intern (per eemple per dilatació tèrmica) augmenta el radi; quin seria l efecte sobre la rotació de la Terra? Demostreu que la variació relativa del període és aproimadament el doble de la variació relativa del radi. (Suggeriment: preneu fins el segon terme del desenvolupament de Talor) 10. S enrotlla un fil al voltant d un cilindre de radi R i massa M, mantenint fi el seu etrem. Com serà el moviment d aquest o-o si el sostenim en repòs i després el deiem anar? Calculeu l acceleració del centre de masses, l acceleració angular del o-o i la tensió de la corda. R 11. Sobre un superfície horitzontal llisa es llença una bola que llisca sense rodar amb v = 28 m/s. Sobtadament la superfície horitzontal és rugosa amb un coeficient de fregament de 0, 4. Determineu: a) La velocitat del centre de la bola quan roda sense lliscar. b) El camí recorregut fins que deia de lliscar. 12. Considereu un cilindre de massa m i un paral.lelepípede de massa M situats com mostra la figura. El coeficient de fregament entre el cilindre i el paral.lelepípede és µ i el del paral.lelepípede i la superfície horitzontal és negligible. El paral.lelepípede comença a moure s amb una velocitat inicial v o constant. Doneu les equacions que descriuen el moviment del cilindre i el del paral.lepípede. Quina condició ha de complir-se perquè el cilindre pugui rodar sense lliscar? Quan temps trigarà en aconseguir-ho? 13. la caia rectangular homogènia de pes P li apliquem una força horitzontal F. Si el coeficient de fregament és µ, determineu els valors límits de h tals que facin que la caia llisqui sense bolcar ni cap endavant ni cap enrera. c r v o b F h l

37 36 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 14. Un cote es mou amb una velocitat de 20m/s. La distància entre els eios és de l = 3m. El seu centre de masses està a h = 60cm sobre la calçada i 1.2m darrera l ei davanter. El coeficient de fregament per lliscament entre el pneumàtics i la calçada és de 0, 75. Els frens traven les rodes, determineu la distància que recorrerà el cote si: a) Només frenen les rodes del darrera. b) Només frenen les rodes del davant. c) Si frenen les quatre rodes. 15. Un bloc de massa m llisca sense fregament per un pla horitzontal. Està unit mitjançant un cable sense massa a un volant de massa M i radi R. La politja té un massa menspreable i la massa del volant es pot considerar concentrada a la perifèria. El cable està fi a la llanta del volant i enrotllat sobre ell donant moltes voltes. Suposant que es partei del repòs, trobeu la tensió del cable durant el moviment i l acceleració de cada cos. m l h M R 16. En el sistema de la figura està representat un cilindre homogeni que està unit a una massa m mitjançant una corda enrotllada a ell. L inèrcia de la politja es pot negligir. El sistema partei del repòs. La massa del cilindre és M = 1kg i el seu radi r = 0,2; la massa m val 0,2kg. Calculeu l acceleració de m, l acceleració angular del cilindre i la tensió de la corda en el dos casos següents: a) Considerant que no hi ha fregament. b) Considerant que el cilindre roda sense lliscar. En aquest cas calculeu també el valor mínim que ha de tenir el coeficient de fregament entre el cilindre i la superfície horitzontal. 17. Dos discs homogenis de massa M i radi r estan units per una vareta de longitud l i massa m que passa pels seus centres i els deia girar lliurement, com mostra la figura. L aparell baia rodant sense lliscar per un pla inclinat d angle θ. Es demana: a) L acceleració de l aparell. b) El coeficient de fregament necessari perquè no hi hagi lliscament. c) Determineu totes les forces que actuen sobre la barra. M M r m M m θ 18. Una barra rígida de pes P es deia caure a partir del repòs a la posició indicada en la figura. Calculeu la força normal N que la superfície fa sobre el corró a l instant inicial.

38 8. DINÀMIC DE SISTEMES DE PRTÍCULES Una vareta homogènia de massa m i longitud l, està en contacte amb un pla llis inclinat, mitjançant un petit corró. Deiem anar la vareta en repòs i en la posició indicada a la figura. Calculeu la força que fa el pla a i l acceleració angular de la vareta a l instant inicial. θ θ 20. Una placa quadrada d aresta a, està penjada per dos punts mitjançant fils verticals, tal com es veu en la figura. Si es talla un dels fils, quina serà la tensió de l altre fil just al iniciar-se el moviment? 21. Un bloc rectangular, massís i homogeni de massa m, d alçada h i ample b està suportat pels seus vèrtes per uns petits corrons que descansen sobre superfícies horitzontals llises. Si la superfície que suporta B es suprimei bruscament, trobeu la força que fa el corró del vèrte i la seva acceleració inicial. B 22. Es dóna un impuls J amb un angle θ respecte l horitzontal a una bola en repòs, que adquirei una velocitat en el seu centre v o. L impuls es fa a una alçada h i el coeficient de fregament és µ. a) Quan val J? b) Calcular ω just després de la percussió. c) Temps durant el qual la bola es desplaça lliscant. d) v cm i ω en l instant en que deia de lliscar. e) En quines condicions la bola retrocedei al final?

39 38 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 23. Quan dues persones fan un pols, per acció i reacció, la força d interacció és la mateia. Com és que guana un dels dos? Hem idealitzat el sistema, simplificant al màim, però sense eliminar el que és essencial. Primer, mirem la cinemàtica. El possible moviment serà una rotació al voltant de la recta que passa per els dos colzes. tots el efectes el sistema es pot idealitzar per dos sòlids rígids que es mouen solidàriament. 24. Un cub de massa m i aresta l es deia en repòs sobre un pla inclinat que forma un angle θ amb l horitzontal. El coeficient de fregament entre pla i cub és µ. a) Calculeu les condicions perquè es quedi en repòs. b) Suposant que es comença a moure lliscant sense rodar calculeu l acceleració del cub i les condicions que s han de verificar per tenir aquest cas. c) Suposant que bolca pel punt p mantenint-se aquest immòbil, calculeu l acceleració angular inicial i les condicions per tenir aquest cas. d) Suposem que, simultàniament, bolca i llisca per p. Trobeu l acceleració del centre de masses del cub, la seva acceleració angular i les condicions per tenir aquest cas. e) Dibuieu un diagrama tgθ µ distingint les regions del diagrama en las que es donen cadascun dels casos anteriors.

40 9. TREBLL I ENERGI PER UN PRTÍCUL Treball i energia per a una partícula. 1. La peça corredissa de la figura pot lliscar sense fregament damunt d una guia corba, sota l acció del seu pes (1.5Kp) i d una força eterior constant que en els eios indicats s epressa com F = ( 10,15,10)N. Si surt del punt amb velocitat nul.la, quina és la velocitat en arribar a B? 2. Un collaret de 2.5kg de massa està unit a una molla i es mou lliscant damunt d una barra fia des de fins a B. Eistei fregament entre el collaret i la barra. La velocitat del collaret al punt és de 1.8m/s i quan arriba a B val 2.4m/s. Calculeu l energia perduda per fregament. La constant de la molla és de 30N/m i la longitud natural val 0.9m. z B z B 75 cm 90 cm 3. La peça corredissa de la figura pot lliscar sense fregament damunt d una guia circular, sotmesa a la força del cable, de 300N de mòdul. La seva massa és de 15kg. Si surt del punt amb velocitat nul.la, quina és la velocitat en arribar a B? 4. Llencem un cos de 10g per una pista circular de 2cm de radi. El cos llisca per la pista de la figura sense fregament. Calculeu: a) La velocitat crítica al punt perquè doni la volta sense caure. b) El matei en els punts B i C. c) La força que fa la pista sobre el cos en els punts, B, C. d) Si substituïm la pista per un tub, també sense fregament, trobeu la velocitat crítica i la força al punt. B 0,5 m 15 kg 30º B 300 N 2,4 m C

41 40 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 5. Un cos puntual pot moure s damunt d un pla inclinat descrivint una circumferència, lligat a una corda de longitud 1m. L angle d inclinació del pla és de 30 o, la massa és de 2Kg i el coeficient de fregament amb el pla és µ = 0.1. La velocitat en el punt més bai,, és de 10m/s. Calculeu la velocitat i la tensió de la corda en el punt més alt, B. 6. Un objecte de massa m es llença des del punt pel pla inclinat cap amunt amb velocitat v 0. Un instant després de passar pel punt B, la força normal de contacte entre l objecte i la superfície es reduei a la meitat del valor que tenia abans de passar per B. El coeficient de fregament entre l objecte i el pla és 0.3. Determineu v 0. B B 1,2 m 1,2 m 30º 2,4 m v o 7. L esport conegut com puenting consistei en llençar-se des d un pont lligat amb una corda. Suposem que una persona de massa m (considerada puntual) es llença amb velocitat horitzontal v 0 (veure figura), lligat amb una corda inetensible de longitud l. a) Calculeu la posició i velocitat de m just abans de tensar-se la corda. b) Calculeu la seva velocitat just després de tensar-se la corda (suposant que aquesta queda tibant). Quin moviment tindrà lloc després? c) Calculeu la màima velocitat i la màima alçada assolides per la persona un cop tibant la corda. v o l<h 8. Considereu el camp de forces del pla F = ( 2 2,3). Calculeu el treball que fa aquesta força sobre una partícula que va des del punt (0,0) al (2,4) en els casos següents: a) El camí és paral.lel a l ei fins al punt (2,0), i després paral.lel a l ei fins a (2,4). b) El camí és paral.lel a l ei fins al punt (0,4), i després paral.lel a l ei fins a (2,4). c) El camí està sobre la recta = 2. d) El camí seguei la paràbola = 2. És conservativa aquesta força? Té energia potencial associada? 9. Una pedra de 2Kg dóna voltes lligada a una corda de 2m a raó de 180 voltes per minut. Estirem la corda fins que només quedi lliure una longitud de 1m. Quin treball hem fet? Quina és la llei de variació de la força en funció de la longitud de la corda?. ( El moviment té lloc en un pla horitzontal sense fregament ).

42 9. TREBLL I ENERGI PER UN PRTÍCUL Un petit satèl.lit descriu una òrbita circular de radi r 0 al voltant de la Terra. Es fa canviar la direcció de la velocitat de tal forma que l òrbita passi a ser el.líptica. El canvi en la velocitat es fa de manera que el moment angular es reduei a la meitat però l energia es manté constant. Calculeu en funció de r 0 la distància del satèl.lit al centre de la Terra en l apogeu i en el perigeu per a la nova òrbita.

43 42 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 10 Treball i energia per a sistemes de partícules. 1. Una bomba inicialment en repòs s escindei en dues parts de masses m 1 i m 2. Calculeu quin percentatge d energia cinètica correspon a cada fragment. 2. Un cos de massa 8Kg es mou a velocitat de 12 m/s aïllat de qualsevol agent eterior. En un instant donat té lloc una eplosió interna, i el cos es separa en dos fragments de 4Kg cadascun. Com a conseqüència de l eplosió, l energia cinètica total augmenta en 100J. Si la direcció del moviment és la mateia que la inicial, determineu la velocitat i el sentit del moviment de cada fragment. 3. Les masses puntuals m 1, m 2, m 3 es troben en repòs damunt d una taula horitzontal al final de la qual tenim un bucle de radi r. La massa m 1 està comprimint una molla elàstica, de constant k. La compressió val 0. Deiem anar aquesta massa m 1 (que no está fiada a la molla). Si totes les col.lisions són elàstiques: a) Trobeu les velocitats finals de les tres masses abans d entrar en el bucle. Suposeu que no hi ha fregament i que m 1 = m 2 = m 3 = m. b) Calculeu l acceleració tangencial i normal de m 3 en el punt del bucle. c) Considereu de nou la situació inicial. Suposeu ara que m 1 és menor que m 2 i que eistei un fregament de les masses amb la taula, essent µ el coeficient. Trobeu la velocitat de m 1 just abans de la col.lisió amb m 2. Trobeu la longitud que recorrerà m 1 després de col.lisionar amb m 2 (considereu totes les col.lisions perfectament elàstiques). m 1 m 2 m 3 d 4. Pot un sistema tenir energia cinètica no nul.la si el seu moment lineal és nul? I a l inrevés? Epliqueu-ho. 5. Dues partícules de masses m i M estan inicialment en repòs separades una distància infinita. Demostreu que en un instant qualsevol la seva velocitat relativa d acostament atribuïble a la gravetat, en funció de la separació, d, és 2G(m + M)/d. 6. Un disc de massa 50Kg i radi 1.8 m pot girar respecte al seu ei. pliquem una força constant de 19.6 N, tangent al disc i continguda al pla que conté el disc durant 5 s. Calculeu: a) La seva acceleració angular. b) L angle descrit. c) El seu moment angular final. d) La seva energia cinètica final.

44 10. TREBLL I ENERGI PER SISTEMES DE PRTÍCULES El sistema de la figura comença a moure s partint del repòs. El cos B arriba al terra després de baiar una alçada d, queda en repòs i la corda s afluia. Calculeu aquesta distància d sabent que el bloc s atura després de recórrer una distància total de 10m. La massa de cada bloc és de 100Kg i el coeficient de fregament entre i la superfície horitzontal és µ = kg 10 m µ=1 100 kg B d 8. L esfera de massa m, sostinguda per una vareta de massa negligible, està girant a l entorn del seu ei horitzontal en O. La distància entre O i el centre de l esfera és r. Si l esfera es deia anar partint del repòs amb un angle θ = 0 o, determineu el valor de θ pel qual la força de la vareta canvia de compressió a tracció. θ r m O 9. Un cilindre, una esfera i un anell, tots tres de massa M i radi R, baien rodant sense lliscar per un pla inclinat d angle θ, a partir d una mateia alçada h e inicialment en repòs. Quin dels tres cossos arribarà abans al del pla inclinat? Calculeu la velocitat amb la qual arriba a bai cada cos. 10. Un cilindre homogeni de radi r i massa m es mou en una pista de secció circular de radi R. Partei del repòs en la posició horitzontal i roda sense lliscar fins al punt B. partir de B la pista és perfectament llisa. Trobeu: a) La velocitat angular que té el cilindre a l arribar a B. b) L alçada a la qual puja en direcció cap a C. C m r R B

45 44 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 11. Una corda està enrotllada en un cilindre massís i homogeni de massa m i radi r. Estirem la corda cap amunt per tal d impedir que baii el centre de masses del cilindre al desenrotllar-se la corda. Quina és la tensió de la corda? Quin treball s ha fet sobre el cilindre quan s ha arribat a una velocitat angular ω? Quina longitud de la corda s ha desenrotllat? 12. Dues varetes uniformes de la mateia secció, formen angle recte en el punt C. més el sòlid aií format pot girar al voltant d un ei perpendicular que passa per C. Si C = 2a i BC = 2b, determineu l angle α corresponent a la posició d equilibri. Si des de la posició i B es deia anar partint del repòs, quin recorregut angular φ màim efectuarà el costat C? 13. El sistema de la figura està format per dos cilindres homogenis iguals de massa M i radi R. El cilindre superior pot girar lliurement sostingut pel seu centre. S enrotlla una corda a l entorn dels dos cilindres i es deia caure el de bai. Entre la corda i els cilindres hi ha suficient fregament per tal que els dos puguin girar sense lliscar. a) Quina és l acceleració del centre de masses del cilindre inferior? b) Quina és la tensió de la corda? c) Calculeu la velocitat del cilindre inferior quan ha baiat una distància 10R. C α B B

46 11. GEOMETRI DE MSSES I TENSOR D INÈRCI Geometria de masses i tensor d inèrcia. 1. Trobeu el centre de masses d una taula quadrada d 1 m de costat amb potes de 60 cm d alçada. El tauler és homogeni i la seva massa és 10 kg. Les potes són també homogènies i la massa de cadascuna és 1.5 kg. 2. Trobeu el centroide d un arc de circumferència d un angle de 60 o. 3. Trobeu el centroide de la figura plana indicada, essent el seu costat corb de forma parabòlica. 4. Considereu el cos pla format per un quadrat sobre el que s ha realitzat un forat en forma de triangle equilàter tal i com es mostra a la figura. Trobeu el seu centroide. 5. Trobeu el centre de masses d un cilindre tal que la seva densitat varia linealment amb l alçada des d un valor ρ 0 fins a ρ Trobeu els centroides de les dues figures planes de la figura. 8 m 10 m 3 m r 7. Trobeu el centre de masses d un con recte de base el.líptica format per un material homogeni. 8. Trobeu el centroide de la figura engendrada per un quadrant de circumferència que gira a l entorn de la tangent a un dels seus etrems.

47 46 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 9. Una vareta prima d 1m de llarg, té una massa de 0,2kg. Col.loquem 5 cossos al llarg d ella, cadascun amb una massa d 1kg, i situats a 0, 25, 50, 75 i 100 cm d un etrem. Calculeu el moment d inèrcia del sistema respecte d un ei perpendicular a la vareta, el qual passa per: a) Un etrem. b) La segona massa. c) El centre de masses. Calculeu també el radi de gir en cada cas. 10. Trobeu el moment d inèrcia respecte l ei del disc homogeni de la figura de radi R = 10cm, que té quatre forats circulars de radis r = 2cm, amb centres situats a R/2 del centre del disc. X 11. Trobeu el moment d inèrcia d una esfera de radi 2R que té una cavitat esfèrica al seu interior de radi R/2, amb centre situat a una distància R del de l esfera gran, respecte al diàmetre de l esfera gran perpendicular a la recta que unei el seu centre amb el de la cavitat. 12. Calculeu el moment d inèrcia d un triangle isòsceles, de base b i alçada h, respecte d un ei perpendicular al triangle que passi pel vèrte. 13. Trobeu el moment d inèrcia d un tronc de con recte homogeni de massa m, de bases circulars de radis r 1 i r 2, i alçada H, respecte al seu ei de simetria. 14. La distància entre els centres de dos cercles de radi R i r és e. Determineu la distància de O a O 1 amb la condició de que els dos cercles tinguin el matei moment d inèrcia a) respecte a un ei perpendicular al pla que formen que passa per O. b) respecte d un ei perpendicular a la recta O 1 O 2 que passa per O continguda al pla. 15. Trobeu el radi de gir del carret de la figura respecte al seu ei longitudinal de simetria. Quina longitud de fil de 3mm de diàmetre pot enrotllar-se en aquest carret? 10 cm e 45º 5 cm 15 cm O 1 O O Un cos pla està format per dos rectangles de dimensions 2L L tal i com es mostra a la figura. Calculeu els moments d inèrcia respecte als eios X, Y i Z de la figura. Hi ha algun d aquests eios que sigui un ei principal d inèrcia? Per què?

48 11. GEOMETRI DE MSSES I TENSOR D INÈRCI Per al perfil de la biga de la figura en forma de H, determineu l amplada b de la seva ala per tal que els moments d inèrcia respecte als eios X i Y (que estan centrats en el centre de masses) siguin iguals. b 2.5 cm z O 2L L cm 18. Determineu el moment d inèrcia del cercle representat a la figura respecte a: a) L ei. b) Un ei que sigui normal al pla de la superfície i passi per l origen de coordenades. 19. Determineu el moment d inèrcia de la superfície de la figura respecte a: a) L ei. b) L ei. c) Un ei que passi per l origen O del sistema de coordenades i sigui normal al pla de la superfície. R 60 mm 60 mm 30 mm 60 mm 60 mm 20. Determineu els moments d inèrcia de la superfície de la figura respecte als eios (horitzontal) i (vertical) que passen pel centroide de la superfície. 21. Determineu el producte d inèrcia de la secció Z representada a la figura respecte als eios i que passen pel centroide.

49 48 CPÍTOL 1. PROBLEMES. 100 mm 150 mm 40 mm 25 mm 150 mm 150 mm 40 mm 250 mm 25 mm 150 mm 40 mm 150 mm 22. Un cub està format per dotze varetes iguals, de longitud a i massa m, que són les arestes, tal com mostra la figura. Calculeu: a) El tensor d inèrcia del cub respecte al centre de masses. b) El moment d inèrcia del cub respecte d una diagonal (B, per eemple). c) El tensor d inèrcia del cub respecte d un vèrte (B per eemple) i respecte d uns eios que coincideiin amb les arestes. 23. Calculeu el producte d inèrcia I del paralel.lepípede homogeni de la figura. B z L h b 24. Calculeu els productes d inèrcia I z, I z del semicilindre homogeni de la figura. 25. Un projectil té la forma d un cos de revolució, amb la secció representada en la figura. La velocitat en la direcció de l ei és C i dóna n voltes per segon a l entorn d aquest matei ei. El pes específic és ρ. Calculeu l energia cinètica del projectil. z r L r l h n C