Cálculo de Probabilidades I

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1 Cálculo de Probabilidades I Cuaderno de Ejercicios Ernesto Barrios Z. Montserrat Heiras G. 27 de enero de 217 Versión 1.11 Índice Prefacio 2 1. Espacios de Probabilidad 3 2. Técnicas de Conteo - Análisis Combinatorio 5 3. Teorema de Probabilidad Total y Regla de Bayes 6 4. Variables aleatorias 7 5. Tasa de riesgo o falla 9 6. Momentos de una distribución de probabilidades Distribuciones Discretas Distribuciones continuas 14 Referencias 15 Respuestas 17 1

2 Ejercicios y respuestas 2 Prefacio Los ejercicios en este documento consisten en problemas teóricos y de cálculo de probabilidades seleccionados de varios textos para apoyar el curso de Cálculo de Probabilidades I impartido en ITAM. La mayoría de los problemas tienen la referencia a los libros de donde fueron tomados. La ficha bibliográfica completa se incluye al final del documento. Aquellos que no tienen referencia es porque no recordamos de dónde fueron extraídos o bien son de nuestra autoría. Al final de los problemas se han incluido las respuestas y en algunos casos ayudas en la solución de los mismos. Cualquier comentario y/o sugerencia será bienvenido. Diríjalo a Ernesto Barrios <ebarrios@itam.mx>. Ciudad de México, 27 de enero de 217

3 Ejercicios y respuestas 3 1. Espacios de Probabilidad 1:1. ([3] Ej. 1.1 Sea (Ω, S, Pr un espacio de probabilidad donde S es una σ-algebra de subconjuntos de Ω y Pr es una medida de probabilidad que asigna probabilidad p(> a cada uno de los puntos de Ω. a Muestre que Ω debe tener un número finito de puntos. (Sugerencia: muestre que Ω no puede tener más de 1/p puntos. b Muestre que si n es el número de puntos de Ω, entonces p debe ser 1/n. 1:2. ([3] Ej. 1.2 Un modelo de una ruleta puede construirse tomando un espacio de probabilidad uniforme sobre una circunferencia de radio 1, de manera que la probabilidad de que el apuntador caiga en una arco de longitud s es s/2π. Suponga que el círculo se divide en 37 zonas numeradas 1, 2,..., 37. Calcule la probabilidad de que la ruleta caiga en una zona par. 1:3. ([3] Ej. 1.8 Suponga que los eventos A y B son tales que Pr(A = 2/5, Pr(B = 2/5, Pr(A B = 1/2. Encuentre Pr(A B. 1:4. ([3] Ej. 1.9 Si Pr(A = 1/3, Pr(A B = 1/2 y Pr(A B = 1/4, encuentre Pr(B. 1:5. ([3] Ej. 1.1 Suponga que se elige un punto al azar del cuadrado unitario. Sea A el evento que determinado por el triángulo formado por las líneas y =, x = 1, x = y, y sea B el evento definido por el rectángulo de vértices (,, (1,, (1, 1/2, (, 1/2. Calcule Pr(A B y Pr(A B. 1:6. ([3] Ej Una caja tiene 1 bolas numeradas 1, 2,..., 1. Una bola se elige al azar y una segunda bola se elige de las 9 restantes. Encuentre la probabilidad de que los números de las 2 bolas difiera en 2 o más. 1:7. ([3] Ej Si se sabe que un punto seleccionado al azar en el cuadrado unitario está en el triángulo acotado por x =, y = y x + y = 1, encuentre la probabilidad de que el punto esté también en el triángulo acotado por y =, x = 1 y x = y. 1:8. ([6] Ej. 2.2 Un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado hasta que salga un 6. En ese momento el experimento termina. Cuál es el espacio muestral del experimento? Sea E n el evento de n lanzamientos son necesarios para completar el experimento. Qué puntos del espacio muestral pertenecen a E n? Qué es ( n=1e n c? 1:9. ([6] Ej. 2.4 Los jugadores A, B, C lanzan una moneda por turnos. El primero en obtener un águila gana. El espacio muestral del experimento puede ser definido por { 1, 1, 1, 1,... Ω =... a Interprete el espacio muestral Ω. b Defina los siguientes eventos en términos de Ω: i A={A gana} ii B={B gana} iii (A B c 1:1. ([6] Ej. 2.5 Un sistema consiste de 5 componentes, las cuales están trabajando apropiadamente o están fallando. Considere el experimento de observar el estado de cada una de las componentes y sea la salida del experimento un vector de la forma (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, donde x i es ó 1, dependiendo de que la componente i-ésima (i = 1,..., 5 ha fallado o está trabajando, respectivamente. a Cuántos elementos hay en el espacio muestral? b Suponga que el sistema trabaja si 1 y 2 trabajan, o si las componentes 3 y 4 están ambas trabajando, o bien, si las componentes 1, 3 y 5 están todas trabajando. Sea W el evento el sistema funciona. Especifique todos los elementos de W. c Sea A el evento las componentes 4 y 5 han fallado. Cuántos elementos tiene el evento A?

4 Ejercicios y respuestas 4 1:11. ([6] Ej. 2.1 Sesenta por ciento de los estudiantes de cierta escuela no usa ni anillos ni collares. Veinte por ciento usa anillo y treinta por ciento usa collar. Si un alumno es elegido al azar, indique la probabilidad de que: a use un anillo o un collar. b use un anillo y un collar. 1:12. ([5] Ej En una batalla sangrienta luchaban 27 hombres. 9 de ellos perdieron un ojo; 9 un brazo y 9 una pierna; 3 perdieron un ojo y un brazo; 3 un brazo y una pierna; 3 una pierna y un ojo; y 1 perdieron un ojo, un brazo y una pierna. a Cuántos hombres no perdieron nada? b Cuántos tuvieron exactamente una lesión?, dos?, tres? c Cuántos tuvieron al menos una lesión?, dos?, tres? d Cuántos tuvieron no más de una lesión?, dos?, tres? 1:13. ([6] Ej Una escuela ofrece clases de tres idiomas: inglés, francés y alemán. Las clases están abiertas a todos los 1 estudiantes en la escuela. Hay 28 alumnos en la clase de inglés, 26 en la de francés y 16 en la de alemán. Hay 12 estudiantes llevando inglés y francés, 4 llevando inglés y alemán y 6 cursando alemán y francés. Hay además 3 estudiantes llevando los 3 idiomas. a Si se elige al azar un estudiante, cuál es la probabilidad de que no esté llevando ninguno de los idiomas? b Si se selecciona aleatoriamente un estudiante, cuál es la probabilidad de que esté estudiando un idioma exactamente? c Si 2 estudiantes se seleccionan al azar, calcule la probabilidad de que al menos uno esté llevando una clase de idiomas. 1:14. ([6] Ej a Se lanzan un par de dados. Cuál es la probabilidad de que la salida del segundo dado sea mayor que la del primero? b Se lanzan un par de dados hasta que sale un 5 ó un 7. Cuál es la probabilidad de que salga primero el 5? 1:15. ([6] Ej En un bosque hay 2 alces, de los cuales 5 fueron capturados, marcados y liberados. Cierto tiempo después 4 de los 2 alces fueron capturados. Cuál es la probabilidad de que 2 de estos 4 alces hayan sido marcados anteriormente? Qué supuesto está haciendo para sus cálculos? 1:16. ([6] Ej Una chica tiene n llaves, de las que una de ellas abrirá la puerta de su casa. a Si elige al azar las llaves, sin considerar las que ya ha probado, cuál es la probabilidad de que finalmente abra la puerta hasta el k-ésimo ensayo? b Y cuál si ella no descarta las llaves que ya ha probado? 1:17. ([6] Theo. Ej. 2.9 Suponga que un experimento se realiza n veces. Para cualquier evento E del espacio muestral, sea n(e el número de veces que E ocurre, y defina f(e = n(e/n. Muestre que f es una medida de probabilidad. (Es decir, satisface los Axiomas de la Probabilidad. 1:18. ([6] Theo. Ej Si Pr(E =.9 y Pr(F =.8, muestre que Pr(E F.7. En general, pruebe la desigualdad de Bonferroni, Pr(E F Pr(E + Pr(F 1 1:19. ([6] Theo. Ej. 2.2 Considere un experimento cuyo espacio muestral consiste en un número infinito contable de puntos, Ω = {ω 1, ω 2,...}. Muestre que no todo ω i puede ser igualmente probables. Puede suceder que cada uno de los puntos tenga una probabilidad positiva? 1:2. ([6] Self test 2.14 Pruebe la desigualdad de Boole. ( Pr A n n n Pr(A n 1:21. ([6] Self test 2.15 Considere una sucesión de eventos A 1, A 2,... Muestre que si Pr(A i = 1, para todo i > 1, entonces Pr( i=1 A i = 1.

5 Ejercicios y respuestas 5 2. Técnicas de Conteo - Análisis Combinatorio 2:1. a Cuántas placas de automóvil de 7 posiciones son posibles si las primeras 2 posiciones son para letras (26 y las últimas 5 posiciones para dígitos (1? b Repita el inciso anterior si no es posible repetir letras o dígitos en la misma placa. 2:2. ([6] Ex. 1.1 De cuántas maneras se pueden sentar 8 personas en una fila si: a No hay ninguna restricción. b Si la personas A y B se deben sentar juntas. c Si son 4 hombres y 4 mujeres, y 2 hombres o 2 mujeres no se deben sentar juntos. d Si hay 5 hombres y ellos se deben sentar juntos. e Si son 4 parejas casadas y ellas se deben sentar juntas. f Si X y Y no pueden quedar juntos. 2:3. ([6] Ex Una clase de baile consiste de 22 alumnos, 1 mujeres y 12 hombres. Si 5 hombres y 5 mujeres son elegidos y se hacen parejas, cuántas distintas parejas se pueden formar? 2:4. ([6] Ex. 1.2Una persona tiene 8 amigos de los cuales 5 serán invitados a una reunión. a Cuántas distintas elecciones hay si 2 de los amigos están molestos entre ellos y no asistirían juntos? b Cuántas distintas elecciones hay si 2 amigos asistirían solamente si ambos son invitados? 2:5. Considere un juego de poker. Hay cuatro tipos de cartas: corazones, diamantes, tréboles y espadas. Hay 13 números: 2, 3,..., 9, 1, J, Q, K, A. Una corrida de 5 cartas puede ser: A, 2, 3, 4, 5; 2, 3, 4, 5, 6;... ; 1, J, Q, K, A. Calcule la probabilidad de cada una de las siguientes manos: a Royal flush: (1, J, Q, R, A del mismo tipo. b Straight flush: 5 cartas consecutivas del mismo tipo. c Poker: (x, x, x, x, y, con x y. d Full house: de la forma (x, x, x, y, y, con x y. e Flush: 5 cartas del mismo tipo. f Straight: 5 cartas consecutivas independientemente del tipo. g Tercia: (x, x, x, y, z, con x y, z; y z. h Dos pares: (x, x, y, y, z, con x y, z; y z. i Un par: (x, x, y, z, w, x y, z, w; y z, w; z w. 2:6. a ([6] Ex Considere la red de puntos mostrada a la derecha. Suponga que comenzando en el punto A usted puede ir hacia arriba o la derecha paso por paso. Esto se continúa hasta que alcanza el punto B. Cuántas trayectorias A-B distintas existen? Sugerencia: Note que para alcanzar el punto B desde A debe dar 4 pasos a la derecha y 3 hacia arriba. b Cuántas trayectorias distintas A-B que pasen por el punto señalado existen? A B 2:7. ([6] Ex. 1.3 Delegados de 1 países, incluyendo Rusia, Francia, Inglaterra y E.E.U.U. se sentarán en una fila. De cuántas maneras distintas pueden sentarse si los delegados de Francia e Inglaterra deben sentarse juntos y los de Rusia y E.E.U.U. no deben estar juntos? 2:8. ([3] Ex Suponga que de una población de r elementos se toma una muestra aleatoria de tamaño n. Encuentre la probabilidad de que ninguno de k elementos específicos estén en la muestra si el método usado es:

6 Ejercicios y respuestas 6 a muestreo con reemplazo. b muestreo sin reemplazo. 2:9. Determine el número de distintos arreglos (x 1,..., x n, tales que x i es ó 1 y 2:1. ([3] Ex. 2.2 Muestre que ( n k 2:11. a ([6] Theo. Ex. 1.8 Muestre que ( n + m = k n x i k i=1 ( r n m k ( = r m ( n ( m k + ( m k ( r m n k ( r n ( ( n m k 1 ( n k ( m Sugerencia: Considere un grupo de n hombres y m mujeres. Cuántos distintos grupos de tamaño k son posibles? b Use el inciso anterior para probar que ( 2n = n n k= ( 2 n k 3. Teorema de Probabilidad Total y Regla de Bayes 3:1. ([8] Ej En una planta de manufacturas hay tres líneas de producción A, B y C que producen 3 %, 45 % y 25 % de la producción total. Se sabe por experiencia de los últimos años que las líneas tienen una tasa de defectuosos del 2 %, 3 % y 2 % respectivamente. Suponga ahora que se elige de la planta un artículo al azar. Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? 3:2. ([8] Ej Una firma farmaceútica utiliza tres planes analíticos para el diseño y desarrollo de un producto en particular. Por razones de costos, los tres planes son usado en distintos tiempos. De hecho, los planes 1, 2 y 3 son usados en 3 %, 2 % y 5 % de los productos respectivamente. La tasa de defectuosos son diferentes para las distintas planes. A saber, Pr(D E 1 =.1, Pr(D E 2 =.3, Pr(D E 3 =.2 donde Pr(D E j es la probabilidad de un producto defectuoso bajo el j-ésimo plan. Si se selecciona un producto al azar y se ve que es defectuosos, bajo cuál de los planes es más posible que haya sido producido? 3:3. ([2] Ej Para clientes que han comprado un juego de llantas completo considere los siguientes eventos: A = {Las llantas fueron producidas en E.U.}; B = {Se hizo balanceo}; C = {Se hizo alineación}. Suponga las siguientes probabilidades: Pr(A =.75, Pr(B A =.9, Pr(B A c =.8, Pr(C A B =.8, Pr(C A B c =.6, Pr(C A c B =.7, Pr(C A c B c =.3. Calcule a Pr(A B C. b Pr(B C. c Pr(C. d Calcule Pr(A B C. Interprete el resultado. 3:4. ([2] Ej. 2.76,2.81 Los siguientes diagramas consideran distintas configuraciones de componentes.

7 Ejercicios y respuestas a En el panel de la izquierda, las componentes 1 y 2 constituyen un arreglo paralelo, así el subsistema trabaja si alguna de las componentes trabaja. Las componentes 3 y 4 constituyen un arreglo en serie, así el subsistema trabaja si y solo si todos los componentes trabajan. Si las componentes trabajan independientemente una de otra y la probabilidad de que trabaje es de.9, encuentre la probabilidad de que el sistema funcione. b Bajo las mismas condiciones del inciso anterior, cuál es la probabilidad de que funcione el sistema que se muestra en el panel de la derecha? 3:5. ([6] Ej. 3.5.b Una chimpancé ha parido un cachorro y no se sabe de cuál de los 2 chimpancés machos sea el padre. Se cree que el macho 1 es el padre con una probabilidad p y del macho 2 con probabilidad 1 p. Se toman muestras del DNA de ambos macho y la madre. Un marcador genético muestra que la madre tiene la pareja de genes (A, A. El macho 1 tiene la pareja (a, a y el macho 2 la pareja (A, a. Si resultase que el cachorro tiene la pareja de genes (A, a, muestre que la probabilidad de que el macho 1 sea el padre es de 2p/(1 + p. 4. Variables aleatorias 4:1. ([3] Ej. 3.1 Cualquier punto en el intervalo [,1 puede ser representado por su expansión decimal.x 1 x Suponga que un punto de este intervalo es escogido al azar. Sea X el primer dígito de la expansión decimal que representa al punto. Determine la función masa de probabilidad (f. m. p. de X. 4:2. ([3] Ej. 3.3 Considere una caja que tenga 6 bolas rojas y 4 bolas negras. Una muestra aleatoria de tamaño n es seleccionada. Sea X el número de bolas rojas seleccionadas. Calcule la f. m. p. de X si la muestra se toma: a Sin reemplazo, donde n 6. b Con reemplazo, para n = 1, 2,... 4:3. ([3] Ej. 3.4 Sea N un entero positivo fijo y sea { c2 x, x = 1, 2,..., N, f(x =, en otro caso Encuentre el valor c, tal que f sea una función de probabilidad. 4:4. ([3] Ej. 3.5 Suponga X como una variable aleatoria que tiene función masa de probabilidad f dada por: x f(x Calcule las siguientes probabilidades: a X es negativa; b X es impar(incluye negativos; c X toma valores entre 1 y 8, incluyéndolos; d P (X = 3 X ; e P (X 3 X >. 4:5. ([3] Ej. 3.7 Sea X uniformemente distribuida en, 1,..., 99. Calcule: a Pr(X 25

8 Ejercicios y respuestas 8 b P (2.6 < X < 12.2 c P (8 < X 1 3 < X 32 d P (25 X 3 4:6. ([3] Ej. 3.8 Considere una caja que tiene 12 bolas marcadas con los números 1, 2,..., 12. Dos realizaciones independientes son hechas del experimento de seleccionar una bola de la caja al azar (selección con reemplazo. Sea X el mayor de los números de las bolas seleccionadas. Calcule la f. m. p. de X. 4:7. ([3] Ej. 3.9 Suponga la misma situación del ejercicio anterior, pero ahora se efectúa una selección sin reemplazo. Calcule la f. m. p. de X. 4:8. ([3] Ej Suponga una caja que tiene r bolas enumeradas 1, 2,..., r. Una muestra aleatoria de tamaño n es seleccionada sin reemplazo. Sea Y el mayor de los números de las bolas seleccionadas y sea Z el menor de estos números. a Calcule la probabilidad P (Y y. b Calcule la probabilidad P (Z z. 4:9. ([6] Ej. 4.5, 4.6 Sea X la diferencia entre el número de soles y el número de águilas obtenidos mediante n volados de una moneda justa. a Cuáles son los valores posibles de X? b Para n = 3, calcule la f. m. p. de X. 4:1. ([6] Ej. 4.7, 4.8 Suponga que un dado justo es lanzado dos veces. Muestre los valores posibles de las siguientes variables aleatorias y calcule su correspondiente f. m. p. a El valor máximo de las caras obtenidas. b El valor mínimo de las caras obtenidas. c La suma de las caras obtenidas. d El valor de la primera cara obtenida, menos el valor de la segunda cara obtenida. 4:11. ([6] Ej. 4.2 Un libro de apuestas recomienda la siguiente estrategia para ganar en el juego de la ruleta: En principio, apostar $1 al rojo. Si el rojo aparece (lo cual ocurre con una probabilidad de 18 38, entonces tomar la ganancia y retirarse. En caso que el rojo no aparezca (lo cual ocurre con una probabilidad de 2 38, se debe hacer una apuesta adicional de $1 al rojo durante las siguientes dos rondas y después retirarse. Sea X la variable aleatoria que denota la ganancia del jugador cuando éste se retira (en caso de que sea una pérdida, X será negativa. a Calcule P (X >. b Estaría usted convencido de que ésta es una buena estrategia para ganar? Discuta. 4:12. ([6] Theo. Ej. 4.1 Suponga que hay N distintos tipos de cupones. Un cupón de tipo i tiene probabilidad p i, i = 1, 2,..., N de ser electo, independientemente de las elecciones que hayan ocurrido anteriormente. Sea T el número (aleatorio de elecciones necesarias para obtener al menos un cupón de cada tipo. Calcule P (T = n. 4:13. ([6] Self Test 4.23 Una urna tiene inicialmente N bolas blancas y M bolas negras. Las bolas son sacadas al azar sin reemplazo. Encuentra la probabilidad de que n bolas blancas sean sacadas antes de haber sacado m bolas negras, n N, m M. 4:14. ([3] Ej. 5.2 Suponga un punto elegido al azar del interior de un disco de radio R situado en el plano. Sea X una variable aleatoria (v. a. que denota el cuadrado de la distancia que existe entre el punto escogido y el centro del disco. Encuentre la función de probabilidad acumulada (f. p. a. y la función de densidad de probabilidades (f. d. p. de X. 4:15. ([3] Ej. 5.6 Considere un triángulo equilátero cuyos lados tienen longitud l. Suponga un punto elegido al azar en uno de los lados del triángulo. Sea X la v. a. que denota la distancia entre el punto elegido y el vértice opuesto. Encuentre la f. p. a. y la f. d. p. de X.

9 Ejercicios y respuestas 9 4:16. ([3] Ej. 5.7 Considere el punto P = (u, v elegido al azar en el cuadrado u 1, v 1. Sea X la v. a. que se calcula a partir del punto P como X = u + v. a Encuentre la f. p. a. de X. b Encuentre la f. d. p. de X. 4:17. ([3] Ej. 5.2 Sea X distribuida uniformemente en el intervalo (, 1. Encuentre la f. d. p. de Y = X 1/β, donde β. 4:18. ([3] Ej Sean X una v. a., g una función de densidad con respecto a la integración y ϕ una función diferenciable estrictamente creciente en el intervalo (,. Suponga que P (X x = ϕ(x Muestre que la v. a. Y = ϕ(x tiene función de densidad g. g(zdz, < x <. 4:19. ([6] Ej. 5.5 Considere una gasolinera que es abastecida una vez por semana. Suponga que el volumen de ventas semanal, medido en miles de galones, es una v. a. cuya f. d. p. es f(x = 5(1 x 4 I (,1 (x Cuál debería ser la capacidad del tanque para lograr que la probabilidad de que el evento en el que la gasolinera queda desabastecida ocurra con una probabilidad de.1? 4:2. ([6] Ej. 5.1 Los trenes asignados al destino A llegan a la estación en un intervalo de 15 minutos iniciando a las 7: hrs. mientras que los trenes asignados al destino B arriban a la estación en intervalos de 15 minutos iniciando a las 7:5 hrs. Si un pasajero determinado arriba a la estación en un tiempo uniformemente distribuido entre las 7: y las 8: hrs. y se sube al primer tren que arriba, qué proporción de tiempo irá al destino A? Cuál sería la proporción si el pasajero arriba a la estación en un tiempo uniformemente distribuido entre las 7:1 y las 8:1 hrs.? 4:21. ([6] Ej Un punto es escogido al azar de un segmento de recta de longitud L. Encuentre la probabilidad de que la proporción del segmento más corto contra el más largo sea menor a :22. ([6] Ej. Self Test 5.7 Considere un juego en el cual para ganarlo debe de tener éxito en tres rondas consecutivas. El juego depende del valor de U, que es una v. a. distribuida uniformemente en el intervalo (, 1. Si U >.1, entonces se gana la primera ronda; si U >.2, se gana la segunda ronda; y si U >.3, entonces se gana la tercera ronda. a Calcule la probabilidad de éxito en la primera ronda. b Calcule la probabilidad condicional de tener éxito en la segunda ronda, dado que tuvo éxito en la primera ronda. c Calcule la probabilidad condicional de tener éxito en la tercera ronda, dado que tuvo éxito en la primera y segunda ronda. d Calcule la probabilidad de ser un ganador en el juego. 5. Tasa de riesgo o falla Sea T una variable aleatoria (v. a. positiva que denota el tiempo de falla de algunos sistemas, F denota la función de distribución de T y suponga que F (t < 1 para < t <. Entonces se puede escribir F (t = 1 e Λ(t, t >, para alguna función Λ. Suponga además que existe Λ (t = λ(t para t >.

10 Ejercicios y respuestas 1 5:1. ([3] Ej. 5.4 Muestre que T tiene una densidad f que satisface: f(t 1 F (t = λ(t, < t < La función λ es conocida como tasa de riesgo o tasa de fallo, pues de manera heurística se tiene que Pr(t T t + dt T > t 5:2. ([3] Ej. 5.4 Muestre que para s > y t >, f(tdt 1 F (t = λ(tdt Pr(T > t + s T > t = e t+s t λ(udu. (1 5:3. ([3] Ej. 5.4 Muestre que el sistema mejora con el tiempo, es decir, para s > fijo, la expresión (1 es creciente en t si λ es una función decreciente, y que el sistema se deteriora con el tiempo si λ es una función creciente. 5:4. ([3] Ej. 5.4 Muestre que λ(udu = 5:5. ([3] Ej. 5.4 Discuta cómo se comporta la función tasa de riesgo λ si la v. a. T sigue una distribución exponencial. Es decir, si F T (t = 1 e βt, para algún β > y consecuentemente f T (t = βe βt, con t. 5:6. ([3] Ej. 5.4 Si Λ(t = βt α para t >, para qué valores de α el sistema mejora, se deteriora o se mantiene igual en el tiempo? 5:7. ([6] Ej Suponga ahora una función de tasa de fallo lineal λ(t = a + bt. Muestre entonces que la correspondiente función de distribución está dada por F (t = 1 e (at+bt2 /2, t > y por diferenciación, se tiene la correspondiente función de densidad. f(t = (a + bte (at+bt2 /2, t > Qué significa cuando se dice que los fumadores tienen una tasa de mortalidad dos veces mayor que el de los no-fumadores? Sean λ S (t y λ N (t que denoten la tasa de riesgo a la edad t de un fumador y un no-fumador respectivamente. Entonces, la afirmación anterior, se puede expresar como λ S (t = 2λ N (t Considere T N y T S las variables aleatorias que representan la edad de una persona no-fumadora y una fumadora con funciones de distribución F N y F S, respectivamente. Entonces, la probabilidad de que un no-fumador sobreviva a la edad t 2 dado que ha alcanzado una edad t 1, estaría dado por Pr{Un no fumador de edad t 1 alcance la edad t 2 } = Pr{T N > t 2 T N > t 1 } = 1 F N(t 2 1 F N (t1 = exp{ t 2 λ N(tdt} exp{ t 1 λ N(tdt} { t2 } = exp λ N (tdt t 1

11 Ejercicios y respuestas 11 Mientras que la probabilidad de sobrevivencia de un fumador es, siguiendo el mismo procedimiento, Pr{Un fumador de edad t 1 alcance la edad t 2 } = Pr{T S > t 2 T S > t 1 { t2 } = exp λ S (tdt { = exp 2 = [ { exp t 1 t2 t 1 t2 t 1 } λ N (tdt }] 2 λ N (tdt En otras palabras, para dos personas de la misma edad, una fumadora y la otra no fumadora, la probabilidad de que la persona fumadora sobreviva cierta edad es el cuadrado, que no la mitad, de la correspondiente probabilidad de sobrevivencia de una persona no-fumadora. Por ejemplo, si λ N (t = 1 3, 5 t 6, entonces, la probabilidad de que una persona de 5 años no fumadora alcance la edad de 6 años es de e 1/3.7165, mientras que la correspondiente probabilidad de que una persona fumadora de 5 años alcance los 6 es de e 2/ Momentos de una distribución de probabilidades 6:1. ([1] Ej. 3.1 Considere la v. a. X que denota las desviaciones sobre el peso neto en un proceso de llenado con cierta máquina y sea su función de densidad de probabilidad (f. d. p. dada por Determine: f X (x = 1 1 I (,1(x a E[X] = µ X y var(x = σ 2 X. b Los coeficientes de asimetría y curtosis dados respectivamente por ν 3 (X = E[(X µ X 3 ] [E[(X µ X 2 ] 3/2, ν 4(X = E[(X µ X 4 ] [E[(X µ X 2 ] 2 6:2. ([1] Ej Suponga que la duración aleatoria T en minutos de una conversación de negocios por teléfono sigue una f. d. p. dada por Determine: f(t = 1 4 e t/4 I (, (t a La función generadora de momentos (f. g. m. M T (w = E[e wt ]. b E[T ] y var(t. c Los coeficientes de asimetría ν 3 (T y curtosis ν 4 (T. d Comparado con el ejercicio anterior, qué distribución tiene menor dispersión relativa? 6:3. ([4] Ej Sea X v. a. con tercer momento finito. Grafique las siguientes funciones de densidad y muestre que están respectivamente: sesgada a la izquierda, no sesgada y sesgada a la derecha, y con su coeficiente de asimetría ν 3 negativo, cero y positivo. a f(x = (1 + x/2 I ( 1,1 (x. b f(x = 1/2 I ( 1,1 (x. c f(x = (1 x/2 I ( 1,1 (x. 6:4. ([4] Ej Grafique las siguientes funciones de densidad y muestre que la primera tiene un coeficiente de curtosis menor que la segunda. a f(x = 1/2 I ( 1,1 (x. b f(x = 3(1 x 2 /4 I ( 1,1 (x.

12 Ejercicios y respuestas 12 6:5. ([1] Ej La calificación promedio en una prueba de Estadística es de 62.5 con una desviación estándar de 1. El profesor considera que el examen ha sido demasiado largo y/o difícil. En consecuencia él desea ajustar las calificaciones X de manera que el promedio sea ahora de 7 con una desviación estándar de 8 puntos. Qué ajuste del tipo a + bx debería utilizar? 6:6. ([1] Ej Sea X una v. a. con media µ y varianza σ 2. a Evalúe E[(X c 2 ] en términos de µ y σ 2, donde c es una constante. b Para qué valores de c es mínimo E[(X c 2 ]? 6:7. ([1] Ej Con referencia al problema 6:2, muestre que la v. a. Y = (T 4/4, tiene media cero, varianza 1, pero los mismos coeficientes de asimetría y curtosis que la v. a. T. 6:8. ([1] Ej Suponga que el ingreso semanal Y (en miles de pesos de un consultor es aleatorio con f. d. p. dada por f(y = 1 1 e y/1 I (, (y a Determine la media y la mediana del ingreso. b Determine la desviación estándar y el rango intercuartílico. c Determine el 9-percentil de la distribución. d Cuál es la probabilidad de que el ingreso de una semana exceda el valor medio más una desviación estándar? Esto es, determine Pr(Y > µ Y + σ Y. 6:9. ([7] Ej Sea Y v. a. con f. g. m. dada por M Y (t = E[e ty ] y sea W = a+by, con a y b constantes. Muestre que la f. g. m. de W está dada por M W (t = e at M Y (bt, t R. 6:1. ([4] Sec 1.1, Ej. 3 Dado que la serie { 1 1 2, 1 2 2, 1 3 2,... } converge a π 2 /6, entonces, f(x = 6 π 2 x 2 I {1,2,... }(x es la f. m. p. de una v. a. entera positiva X. Muestre que no existe la correspondiente f. g. m. M X (t pues no hay algún δ > tal que M X (t exista para todo δ < t < δ. 6:11. ([7] Ej Use el resultado del problema 6:9 para mostrar que si W = a + by, entonces, E[W ] = a + be[y ] y var(w = b 2 var(y. 6:12. ([7] Ej Sea X una v. a. que representa en número de éxitos en n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito < p < 1. Sea Y = n X. a Muestre que X sigue la distribución binomial. Esto es, su f. m. p. está dada por: ( n P (X = x = p x q n x I {,1,...,n} (x x donde q = 1 p. b Encuentre la f. g. m. M X (t. c Muestre que E[Y ] = nq y var(y = npq. d Muestre que M Y (t = (p + qe t n. e Con base al inciso anterior, cuál diría que es la distribución de la v. a. Y? f Qué representa Y? g Con base en el inciso anterior, por qué resultan las respuestas del b d obvias? 6:13. ([7] Ej Considere a < b. Muestre que la f. g. m. de la v. a. U distribuida uniformemente en el intervalo (a, b, es M U (t = ebt e at (b at, t < 6:14. ([7] Ej Considere Y distribuida uniformemente en (, 1.

13 Ejercicios y respuestas 13 a Encuentre su f. g. m. M Y. b Sean a y b constantes, y V = a + by. Cuál es la distribución de V? Justifique su respuesta. 6:15. ([4] Ej. 1.1 Sea X v. a. con f. g. m. M X (t, y defina ψ X (t = ln M X (t. Muestre que ψ X( = µ X, ψ X( = σ 2 X 6:16. ([4] Ej Sea b > y X v. a. continua con soporte en el intervalo (, b. Muestre que E[X] = b [1 F X (u]du 6:17. Sea Z distribuida normal estándar. Verifique que E[Z 3 ] = y E[Z 4 ] = 3. 6:18. ([3] Ejem. 8.7 Suponga que X N(, σ 2. Use la f. g. m. de X para mostrar que los momentos impares de X son cero y los pares están dados por 7. Distribuciones Discretas µ (2n X = (2n!σ2n 2 n (n! 7:1. Sea X v. a. entera positiva tal que P (X = k = p k, k =, 1, 2,.... Muestre que p k+1 = λ k + 1 p k, k =, 1,... si y solo si X sigue una distribución Poisson parámetro λ. (Sugerencia: muestre que p k = λk k! p y use el hecho que p i = 1. 7:2. Aproximación de la distribución binomial por la distribución Poisson. Considere X Bin(n, p y Y Po(λ. Verifique algunas entradas de la tabla siguiente donde se ha aproximado la distribución binomial por la Poisson considerando λ = np. n = 1, p =.5 n = 2, p =.25 n = 3, p =.25 n = 3, p =.167 n = 3, p =.125 n = 5, p =.1 λ = 5. λ = 5. λ = 7.5 λ = 5. λ = 3.6 λ = 5. w F X (w F Y (w F X (w F Y (w F X (w F Y (w F X (w F Y (w F X (w F Y (w F X (w F Y (w :3. ([6] Ej Suponga que el número de accidentes que suceden en un carretera cada día se distribuye Poisson con parámetro λ = 3. a Calcule la probabilidad que 3 o más accidentes ocurran hoy. b Repita el inciso sabiendo que al menos un accidente ocurre hoy. 7:4. ([6] Ej Compare la aproximación Poisson con la correcta probabilidad binomial para los siguientes casos: a Pr(X = 2 cuando n = 8 y p =.1 b Pr(X = 9 cuando n = 1 y p =.95 c Pr(X = cuando n = 1 y p =.1 d Pr(X = 4 cuando n = 9 y p =.2 7:5. ([6] Ej Suponga que existen 3 carreteras en una ciudad. El número de accidentes diario que ocurren en estas carreteras se distribuyen Poisson con parámetros.3,.5 y.7 respectivamente. Encontrar el número esperado de accidentes en cualquiera de las carreteras.

14 Ejercicios y respuestas 14 7:6. ([6] Theo. Ej. 4.9 Muestre que la derivación de la probabilidad binomial ( n Pr(X = i = p i (1 p n i i para i =, 1,..., n te lleva a la demostración de teorema del binomio (x + y n = n i= ( n x i y n i i cuando x y y son no negativas. Sugerencia: tome p = ( x x+y. 7:7. ([6] Self Test 4.8 Sea X que representa una variable aleatoria binomial con parámetros n y p. Demuestre que Pr{X i} = 1 Pr{Y n i 1} donde Y B(n, 1 p. Considere, a qué argumento sobre el número de fracasos es equivalente el número de éxitos menores o iguales que i? 7:8. ([6] Self Test 4.9 Si X es una variable aleatoria binomial con E[X] = 6 y var(x = 2.4. Encontrar Pr(X = 5. 7:9. ([6] Self Test 4.21 Suponga que Pr(X = a = p y que Pr(X = b = 1 p. a Muestre que X b a b es una variable aleatoria Bernoulli. b Calcule la var(x. 7:1. ([3] Ej. 3.2 Considere la f. m. p. de X distribuida binomial negativa dada por: ( α f(x = p α ( 1 x (1 p x I {,1,2,... } (x x con α = r. Calcule la correspondiente f. m. p. de Y = X + r. 7:11. ([3] Ej. 3.6 Suponga que X tiene una distribución geométrica con p =.8. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos: a X > 3. b 4 X 7 ó X > 9. c 3 X 5 ó 7 X 1. 7:12. ([3] Ej. 3.1 Sea X una variable aleatoria distribuida geométrica con parámetro p. Sea Y = X si X < M y sea Y = M si X M; esto es, Y = mín(x, M. Calcule la f. m. p. de Y. 7:13. ([3] Ej Sea X distribuida geométrica con parámetro p. Calcule la f. m. p. de las siguientes variables aleatorias: a U = X 2. b V = X Distribuciones continuas 8:1. ([6] Ej Una persona llega a la parada del camión a las 1 en punto sabiendo que el camión va a llegar en algún tiempo uniformemente distribuido entre las 1: y las 1:3. a Cuál es la probabilidad de que esa persona tenga que esperar más de 1 minutos? b Si a las 1:15 el camión no ha llegado, cuál es la probabilidad de que esa persona tenga que esperar por lo menos otros 1 minutos más? 8:2. ([6] Ej Suponga que X es una variable aleatoria distribuida normal con media 5. Si Pr(X > 9 =.2 aproximadamente, cuál es la varianza de X?

15 Ejercicios y respuestas 15 8:3. ([6] Ej El tiempo (medido en horas que se necesita para componer una máquina se distribuye exponencialmente con parámetro λ = 1/2. Determine: a la probabilidad de que la reparación tarde más de 2 horas. b la probabilidad condicional de que la reparación tarde al menos 1 horas dado que se sabe que excede las 9 horas. 8:4. ([6] Ej En número de años que un radio funciona se distribuye exponencialmente con un valor medio de 8 años. Si Juan compra un radio usado, cuál es la probabilidad de que el radio siga funcionando después de 8 años? 8:5. ([6] Self Test 5.9 Suponga que el tiempo que utiliza para viajar de su casa a su oficina está distribuido normal con media 4 y desviación estándar de 7 minutos. Si usted desea estar 95 por ciento seguro de que no llegará tarde a una cita a la 1 P.M., cuál es la hora más tarde a la que usted debería salir de su casa? 8:6. ([6] Self Test 5.16 Muestre que si X es una variable aleatoria distribuida Cauchy entonces 1/X también se distribuye Cauchy. 8:7. ([3] Ej. 5.2 Sea X distribuida uniformemente en el intervalo (, 1. Encuentre la f. d. p. de Y = X 1/β, donde β. 8:8. ([3] Ej Sea t p un número tal que Φ(t p = p, < p < 1. Sea X N(µ, σ 2. Muestre que, para < p 1 < p 2 < 1, P (µ + t p1 σ X µ + t p2 σ = p 2 p 1 8:9. ([3] Ej Sea X una v. a. distribuida exponencialmente con media 1/λ. Sea Y la v. a. definida en términos de X como Y = m si m X < m+1, donde m es un entero no negativo. Cómo se distribuye Y? Esto es, determine la f. m. p. f Y. 8:1. ([6] Ej La precipitación pluvial anual medida en pulgadas de una región específica sigue aproximadamente una distribución N(µ = 4, σ 2 = 16. Cuál es la probabilidad de que, comenzando este año, tengan que pasar más de 1 años para que ocurra una precipitación pluvial anual de más de 5 pulgadas? Qué supuestos tiene que hacer? 8:11. ([6] Theo Ej La mediana de una v. a. continua que tiene una función de distribución F es aquel valor m tal que F (m = 1/2. Esto es, una v. a. puede ser mayor o menor a su mediana con igual probabilidad. Encuentre la mediana de X, donde: a X unif(a, b. b X N(µ, σ 2. c X Exp(λ. 8:12. ([6] Theo. Ej La moda de una v. a. continua que tiene función de densidad f es el valor x para el cual f(x alcanza su máximo. Calcule la moda de X en los casos del ejercicio anterior. Referencias [1] G. C. Canavos. Applied Probability and Statistical Methods. Little, Brown and Company, Boston, [2] J. L. Devore. Probability and Statistics for Engineering and the Sciences. Duxubury, Pacific Grove, 4th edition, [3] P. G. Hoel, S. C. Port, and C. J. Stone. Introduction to Probability Theory. Houghton Miffling Company, Boston, [4] R. V. Hogg and A. T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics. Macmillan Publishing Co., Inc., New York, 4 edition, [5] E. Parzen. Modern Probability Theory and Its Applications. John Wiley & Sons, New York, 196.

16 Ejercicios y respuestas 16 [6] S. Ross. A First Course in Probability. Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 7th edition, 26. [7] D. D. Wackerly, W. Mendenhall III, and R. L. Scheaffer. Mathematical Statistics with Applications. Thomson, Australia, 7 edition, 28. [8] R. E. Walpole, R. H. Myers, L. Myers, S, and K. Ye. Probability & Statistics for Engineers and Scientists. Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 8th edition, 27.

17 Ejercicios y respuestas 17 Respuestas 1. Espacios de Probabilidad 1:1. 1:2. Pr({par} = :3. Pr(A B = 3 1 1:4. Pr(B = :5. Pr(A B = 5 8 Pr(A B = 3 8 1:6. Pr(A = :7. Si se sabe que ocurrió el evento A, el espacio muestral se restringe y Pr A (B = Pr(A B Pr(A = 1/4 1/2 = 1 2 1:8. {(6, (1, 6, (2, 6, (3, 6, (4, 6, (5, 6, (1, 1, 6,...} ( n=1e n c es el evento en que el 6 no cae. 1:9. A = {1, 1, 1,...} B = {1, 1, 1,...} C = {1, 1, 1,...} 1:1. a 2 5 b c 2 3 1:11. a Pr(A C =.4 b Pr(A C =.1 1:12. a 8 b 12, 6, 1 c 19, 7, 1 d 2, 26, 27 1:13. a 49/1 b 35/1 c 1 49/1 48/99 1:14. a 15/36 b 4/1 1:

18 Ejercicios y respuestas 18 n 2 1:16. a Pr(E k = n 1 n n 1 ( b Pr(E k = 1 n 1 1 k 1 n 1:17. 1:18. Se tiene que luego, n k n k+1 1 n k Pr(A B 1 Pr(A B 1 Pr(A B = Pr(A + Pr(B Pr(A B Pr(A + Pr(B 1 1:19. Considere el espacio muestral Ω = {w 1, w 2,... } y suponga que P ({w n } = p n = δ, para todo n 1. Entonces, 1 = Pr(Ω = Pr ( {w n } = δ = δ lím n n 1:2. n=1 Luego, si δ > se sigue una contradicción, de la misma forma si δ =. Por lo tanto, P ({w n } = p n no puede ser constante. Por otro lado, considere p n = 2 n, para n 1. En ese caso, se satisface que n=1 n=1 1 = Pr(Ω = Pr({w n } = 1:21. Si Pr(A n = 1, para toda n y Pr(A c n =.De la desigualdad de Boole se sigue que n=1 2 n Pr( n=1a c n Pr(A c n = = Pero, por De Morgan, ( A c n c = (A c n c = A n. Luego, Pr( A n = 1 Pr(( A n c = 1 Pr( A c n = 1 2. Técnicas de Conteo - Análisis Combinatorio 2:1. a b (26 2 (1 5 2:2. a = 8! b 2 7! c 2 4! 4! d 4 5! 3! e 4! 2 4 f 8! 2(7! 2:3. ( ( ! 2:4. a 36 b 26 2:5. Sea p = ( a ( 4 1 p b ( 4 1 1p

19 Ejercicios y respuestas 19 c ( p d ( ( p ( 4 ( ( 13 e ( 4 1 f p 5 p ( 12 g ( ( p h ( ( ( 11 ( p i ( ( 13 4 ( p. 2:6. a ( b ( 4 3 2( 2 2:7. 2(9 28! 2:8. a Sin reemplazo: p = (r kn (r n b Con reemplazo: p = ( 1 k r 2:9. Sea A j = {j 1 s exactamente}. Luego, n(a j = ( n j. Entonces, 2:1. 2:11. i=1 n { n } n n x i k = n {al menos k 1 s} = n j=k A j = 3. Teorema de Probabilidad Total y Regla de Bayes 3:1. Pr(artículo defectuoso =.245 n j=k n(a j = 3:2. Es más probable que dado que salió uno defectuoso haya sido producido con el plan 3. 3:3. a Pr(A B C =.54. b Pr(B C =.68. c Pr(C =.74. d Pr(A B C = :4. Sea A = {el sistema funciona}. a Pr(A = b Pr(A = :5. Pr((a, a (A, a = 2p (1 + p. 4. Variables aleatorias 4:1. R X = {, 1,, 9}, Pr(X = x = 1 1 I R X (x n j=k ( n j 4:2. a b f X (x = ( 6 4 f X (x = x( n x I {RX }(x ( 1 n ( ( x ( n x n 6 4 I {RX }(x x 1 1 4:3. c = 1 2 n+1 2

20 Ejercicios y respuestas 2 4:4. a.3 b.7 c.55 d.222 e.45 4:5. a Pr(X 25 = 3 4 b P (2.6 < X < 12.2 = 1 1 c P (8 < X 1 3 < X 32 = 1 25 d P (25 X 3 = 3 5 4:6. R X = {1, 2,..., 12}, Pr(X = n = (2n para n R x 4:7. R X = {1, 2,..., 12}, Pr(X = n = (2n para n R x 4:8. a P (Y y = (y n( r y ( n r b P (Z z = (r z+1 n ( n r 4:9. a R X = { n, 2 n, 4 n,..., n 4, n 2, n} b 4:1. a R X = {1, 2,..., 6} b R X = {1, 2,..., 6} c R X = {2, 3,..., 12} d R X = { 5, 4, 3,..., 3, 4, 5} 4:11. a Pr(X > =.5918 b 1 4:12. 4:13. Entonces tenemos que: Pr(T > n = N 1 i=1 ( N i ( n N i ( 1 i+1 Pr(T > n 1 = Pr(T = n + Pr(T > n Y así notamos que Pr(T = n = Pr(T > n 1 Pr(T > n Pr(X n = n+m 1 i=n N ( N ( M i n+m 1 i ( N+M n+m 1 4:14. F X (x = x r 2, f X (x = 1 r 2 I (,r 2 4:15. F X (x = 4x 2 3s 2 s, f X (x = 4x s 4x 2 3s 2 I {R X } 4:16. 4:17. Si β > F Y (y = y β f Y (y = βy β 1 I (,1 Si β < F Y (y = 1 y β f Y (y = βy β 1 I (,1 F X (x = { x 2 2 I x 1 (x 1 (2 x2 2 I x>1 (x f X (x = xi (,1 (x + (2 xi (1,2 (x

21 Ejercicios y respuestas 21 4:18. F X(x = f X (x = g(ϕ(x g( = g(ϕ(x = g(y Por lo tanto G Y (y = g(y 4:19. F (x = 1 (1 x 5, x = =.619 4:2. Pr(A = 2 3 ; Pr(A = 2 3 4:21. Pr(X < 1 4 = 2 5 4:22. a Pr(U >.1 =.9 b Pr(U >.2 U >.1 =.888 c Pr(U >.3 U >.1 U >.2 =.875 d Pr({U >.3} {U >.1} {U >.2} =.7 5. Tasa de riesgo o falla 5:1. Despejando λ(t, F (t = 1 e Λ(t f(t = F (t = e Λ(t ( Λ (t = e Λ(t (λ(t λ(t = f(t e = f(t Λ(t 1 F (t Para interpretar λ(t suponga que un artículo que ha sobrevivido por un tiempo t y deseamos la probabilidad de que no sobreviva por un tiempo adicional dt. por esto consideramos Pr(t T t + dt T > t Ahora, Pr(t T t + dt T > t = = Pr(t T t + dt, T > t Pr(T > t Pr(t T t + dt Pr(T > t f(t F (t dt Entonces, λ(t representa la probabilidad condicional que una unidad que ha vivido t-tiempo falle. 5:2. 5:3. 5:4. Consideremos v = 1 F (u, entonces dv = f(udu λ(udu = f(u 1 F (u du = 1 v dv = ln(vi = 5:5. λ(t = β Recordemos que la función exponencial tiene la propiedad sin memoria, lo que significa que la probabilidad de que el artículo siga funcionando dado que ya sobrevivió hasta el tiempo t es la misma que la de un artículo nuevo. Entonces la tasa de fallo de una función de distribución exponencial es constante. 5:6. F T (t = 1 e βtα f(t = (βαt α 1 e βtα 5:7.

22 Ejercicios y respuestas Momentos de una distribución de probabilidades 6:1. a E[X] = 5 var(x = 8.33 b ν 3 (X = ; ν 4 (X = :2. a M T (w = (1 4w 1 b E[T ] = 4 var(t = 16 c ν 3 (T =.771; ν 4 (T = 6 6:3. a Sesgada a la izquierda b No sesgada c Sesgada a la derecha d 6:4. a ν 4 (X = 1.2 b ν 4 (X = :5. El ajuste debe de ser del tipo 2 +.8X 6:6. a b E[(X c 2 ] es mínimo para c = µ. 6:7. E[Y ] =, var(y = 1, ν 3 (Y = 2, ν 4 (Y = 9 6:8. a E[Y ] = 1, y.5 = b var(y = 1, σ Y = 1, y.25 = , y.75 = , RI = c y.9 = d Pr(Y > µ Y + σ Y = :9. M W (t = e at M Y (bt 6:1. Note que de existir la función generadora de momentos f. g. m., ésta estaría dada por la serie pero, k=1 6 π 2 etk k 2 = k=1 ( 2 a k+1 k = e t e t, cuando k a k k + 1 Luego, por la prueba del cociente para la convergencia de series, si t >, se sigue que lím k a k+1 a k > 1, por lo que la serie diverge. Entonces no existe δ >, para el cual la serie converge con δ t t. Por lo tanto no existe la función generadora de momentos de la v. a. X. 6:11. n! 6:12. a Pr(X = x = (n x!x! px (1 p n x = ( n x p x (1 p n x b E[e tx ] = (pe t + q n c E[Y ] = nq var(y = npq d M Y (t = (p + qe t n e f g 6:13. M U (t = etb e ta (b at 6:14. a M Y (t = et 1 t a k

23 Ejercicios y respuestas 23 6:15. b M V (t = e(a+bt e at (b+a at V se distribuye uniforme parámetros (a, a + b. 6:16. E[X] = = = = = b b b b b x f X (xdx ( x du f X (xdx ( b f X (xdx u Pr(X > udu [1 F X (u]du du 6:17. 6: Distribuciones Discretas 7:1. 7:2. 7:3. a Pr(X 3 = :4. b Pr(X 3 X 1 =.672 7:5. E[X] = 1.5 7:6. Sumando de los dos lados Entonces Pr(X = i = = = = = n Pr(X = i = i=1 ( n p i (1 p n i i ( ( i ( n x 1 x i x + y x + y ( ( i ( n x x + y x i x + y x + y ( ( i ( n x y i x + y x + y ( n x i y n i i (x + y n 1 = (x + y n = n i=1 ( n x i y n i i (x + y n n 1 (x + y n n i=1 i=1 ( n i ( n x i y n i i n i n i n i x i y n i

24 Ejercicios y respuestas 24 7:7. Sea Y la variable aleatoria Binomial con parámteos (n, 1 p que representa el números de fracasos. Entonces tenemos que Y = n X y por lo tanto X = n Y. 7:8. Pr(X = 5 =.26 Pr(X i = Pr(n Y i = Pr(n i Y = Pr(Y n i = 1 Pr(Y < n i = 1 Pr(Y n i 1 7:9. a Y = X b a b = a b a b = 1 b b a b = Y es una variable aleatoria Bernoulli con parámetro p. b var(x = (a b 2 pq 7:1. f Y (y = p r( y r ( 1 y r (1 p y r I SY (y 7:11. a Pr(X > 3 =.16 b Pr(4 X 7 + Pr(X > 9 = c Pr(3 X 5 + Pr(7 X 1 = :12. Pr(X x = q x Y = mín(x, M Pr(X = y = pq y, Pr(Y = y = Pr(X m = q m, si X = a si X = b si y < M si y = M 7:13. a f U (u = pq u b f V (v = f X (v 3 = pq v 3 8. Distribuciones continuas 8:1. a Pr(X 1 = 2 3 b Pr(X > 25 X > 15 = 1 3 8:2. σ 2 = :3. a Pr(X > 2 =.3678 b Pr(X > 1 X > 9 =.665 8:4. Pr(X > 8 = :5. Debería dejar su casa a más tardar a las 12:8:28.8 PM. 8:6. si y F Y (y = 3 2 F X( 1 y, si y < F Y (y = 1 F X ( 1 y y aplicando regla de la cadena f Y (y = ( f X ( 1 y 1 1 y = 2 π(y :7. sup β >, por lo tanto S Y = (, 1. Sea y (, 1 F Y (y = y β, f y (y = βy β 1 I (,1 (y 8:8. sup β <, S Y = (1,. Sea y > 1 F Y (y = 1 F X (y β = 1 y β, f y (y = βy β 1 I (1, (y 8:9. Y se distribuye Geométrica parámetro (1 e λ. 8:1. N 1 = número de veces que llueve más de 5 pulgadas en 1 años. Pr(N 1 = =.94

25 Ejercicios y respuestas 25 8:11. a x = b+a 2 b x = µ c x = ln(1/2 λ 8:12. a La f. d. p. es una constante, luego tiene una infinidad de modas o bien no tiene moda. b La moda es X = µ. c La moda es X =.