2. POTENCIAS Y RAÍCES

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Dolores Contreras Valverde
hace 6 años
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1 2. POTENCIAS Y RAÍCES POTENCIAS Intenta calcular con tu calculadora el resultado de Es un proceso pesado, verdad? Pero podemos simplificar el cálculo con las potencias. Observa la operación que tienes que realizar y puedes comprobar que hay que calcular el producto de 7 por sí mismo 11 veces. Escribimos = 7 11 Calcula ahora el resultado con tu calculadora, es más sencillo y rápido? A la expresión 7 11 la llamamos potencia. Toda potencia a b tiene dos partes, la base a y el exponente b 1.- Calcula, sin usar la calculadora: 3 3 = 4 2 = 2 4 = 3 1 = 4 3 = 5 2 = 10 5 = 6 3 = 2 6 = 5 3 = 8 2 = 10 3 = 1

2 2.- Escribe en forma de potencia y calcula: El cubo de 5 El cuadrado de 10 El cubo de 25 El cuadrado de Completa la siguiente tabla: Producto Base Exponente Potencia Se lee 3 x 3 x 3 x elevado al cubo Observa la siguiente sucesión de números 1, 4, 9, 16, 25, 36 a) Escribe tres números más de esta sucesión b) Podrías indicar cuál es el número que está en el lugar 11 c) Y qué valor tiene el número que ocupa el lugar 23? 5.- Busca en la tabla de la evolución de la población en Torrejón de Ardoz el número de habitantes al comenzar el año Aproxima dicha cantidad a una potencia de base Cuántos tatarabuelos tiene una persona? Expresa el número como potencia de 2. Haz lo mismo con el número de bisabuelos y abuelos. 2

3 8.- Construimos un cubo de arista 10 cm utilizando cubos de arista 1 cm. Expresa en forma de potencia el número de cubos que necesitamos. 9.- Escribe estos números como potencias de 10: MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS No siempre se pueden multiplicar potencias. Necesitamos que tengan la misma base o el mismo exponente: a n a m = a n+m a n b n = ( a b) n Es decir:.- Para multiplicar potencias de la misma, dejamos la base común y los exponentes..- Para multiplicar potencias del mismo, dejamos el exponente común y las bases. 3

4 1.- Cuándo se pueden multiplicar potencias? Pon un ejemplo de dos potencias que se puedan multiplicar y otro ejemplo de dos potencias que no se puedan multiplicar. 2.- Realiza las siguientes operaciones, expresando el resultado como una única potencia: = = = = = = = = 3.- Dispongo de un espacio de 40 GB de capacidad para almacenar música. Podemos suponer que una canción en formato mp3, como media, va a ocupar 2 2 Mb. Cuántas canciones puedo almacenar, aproximadamente, en mi espacio. 1 GB = 2 10 MB DIVISIÓN DE POTENCIAS Tampoco es posible dividir siempre potencias. base o el mismo exponente: Es necesario que tengan la misma a n : a m = a n m a n n : b = ( a : b) n Es decir :.- Para dividir potencias de la misma, dejamos la base común y los exponentes..- Para dividir potencias del mismo, dejamos el exponente común y las bases. 4

5 1.- Cuándo se pueden dividir potencias? Pon un ejemplo de dos potencias que se puedan dividir y no tengan la misma base. Escribe ahora un ejemplo de dos potencias que no se puedan dividir. 2.- Realiza las siguientes operaciones, expresando el resultado como una única potencia: 25 3 : 5 3 = 3 6 : 3 3 : 3 = 7 4 : 7 3 = 10 6 : 10 4 : 5 2 = 27 3 : 9 3 = 6 5 : 6 5 = 54 2 : 8 2 = 3 4 : 3 = 3.- Completa: 4. Calcula el resultado de las siguientes operaciones: (2 + 4 ) 2 = = (5 2 ) 3 = = 15 3 : = = 8 3 = ( 3 3 ) : ( ) : = 5

6 POTENCIA DE UNA POTENCIA Siempre podemos elevar una potencia a otra potencia: n (a ) m = a n m 1.- Indica cómo elevamos una potencia a otra potencia. 2.- Realiza las siguientes operaciones: ( 3 2 ) 4 = ( 5 2 ) 3 = ( 2 2 ) 3 2 = 3. Imagina que tenemos un tablero de ajedrez y dejamos un grano de arroz en una casilla. Luego dejamos el doble en otra casilla. Y después, dejamos otra vez el doble de la nueva cantidad en otra casilla. Y repetimos la operación tantas veces como casillas tiene el tablero. Escribe en forma de potencia el número de granos de arroz que deberíamos dejar en la última casilla. 4. Juan manda un mensaje a 10 personas, con el aviso de que cada uno de ellos debe reenviar ese mismo mensaje a otras 10 personas, con el mismo aviso. Supongamos que nunca se cruzan mensajes ( cada persona recibe sólo un mensaje). Supongamos además que cada acción tarda un día en completarse. Cuánto tiempo es necesario para que reciban el mensaje 10 6 personas. 5. Calcula el número de bytes que contiene un disco de 100 GB sabiendo que 1 GB = 2 10 MB, 1 MB = 2 10 KB, 1 KB = 2 10 bytes. Escribe el resultado en forma de potencia. 6

hora. 7. Resuelve el siguiente crucigrama: 8. Calcula: 10 2 = 10 3 = 10 6 = 10 4 = 10 8 = 10 12 = 9.

7 6. Las células se reproducen por bipartición (cada célula tiene 2 células hijas ). Calcula el tiempo que tarda esa célula en formar una colonia de células, si cada célula se reproduce cada hora. 7. Resuelve el siguiente crucigrama: 8. Calcula: 10 2 = 10 3 = 10 6 = 10 4 = 10 8 = = 9. Observa la siguiente descomposición : 500 = = Ahora, realiza tú la descomposición de los siguientes números: 20 = 300 = 60 = 7000 = = 4 = 7

8 10. La siguiente descomposición se denomina descomposición polinómica: 7465 = Realiza la descomposición polinómica de los números: 875 = = = 8432 = = 3004 = RAÍZ CUADRADA Para calcular la a, buscamos un número b tal que b 2 = a Por ejemplo: 16 = 4 porque 4 2 = = 11 porque 11 2 = Calcula :

9 2.- Completa : = 25 = 16 = Calcula el valor de las siguientes expresiones: a) 12 9 = b) = c) d) 15 ( 6 25) 64 = Ahora intenta resolver el siguiente problema: Queremos reforestar una zona quemada de un monte. Disponemos de 54 árboles y los vamos a distribuir en filas y columnas iguales. La separación entre los árboles va a ser de 10 metros. Cuál es la distribución que nos permite utilizar la mayor cantidad posible de árboles? Cuántos árboles sobrarían con la distribución anterior? Se llama raíz cuadrada entera de un número al número natural que elevado al cuadrado más se aproxima por defecto a dicho número Vamos a ver un ejemplo: queremos calcular la raíz cuadrada entera de 67 Como 8 2 = 64 y 9 2 = 81 el número natural que elevado al cuadrado más se aproxima a 67, sin pasarlo, es 8. Luego, la raíz cuadrada entera de 67 es Calcula la raíz cuadrada entera de los siguientes números: a) 35 b) 90 c) 800 d) 270 e) 24 f) Tengo 260 azulejos cuadrados para hacer un mosaico. Cuántos puedo emplear como máximo para formar un cuadrado? Cuántos sobrarían? 3.- Tengo un número que termina en 2. Puede ser su raíz cuadrada exacta? 9

Si tienen 36 baldosas y el baño también es cuadrado, cuántas baldosas hay que poner en cada lado? 6.

10 Y si terminara en 3? 4.- Por qué un número que termine en 7 no puede tener raíz cuadrada exacta? 5.- En los baños del colegio quieren poner baldosas cuadradas en el suelo. Si tienen 36 baldosas y el baño también es cuadrado, cuántas baldosas hay que poner en cada lado? 6.- Itziar va a realizar un puzzle de 500 piezas, cuántas piezas aproximadamente va a colocar en cada lado? Recuperación de Matemáticas 1º ESO por Francisco Javier García, Juan José López, Alicia Marín y Olga Pereda se distribuye bajo una licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0. Elaborado durante el curso

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a) 25 b) 81 c) d) 8 e) 16 f) 8 g) 16 Solución: Calcula: a) 33 2 b) 2,5 2 c) 0,7 3 d) 1,2 3 Solución: Solución: Potencias y raíces. Potencias de exponente entero Calcula mentalmente las siguientes potencias: a) 5 2 b) 4 c) 0 6 d) ( 2) e) ( 2) 4 f) 2 g) 2 4 a) 25 b) 8 c) 000 000 d) 8 e) 6 f) 8 g) 6 P I E N S A Y