el número de pasos de rosca.. Dí de qué tipo es cada una de estas variables.

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1 TEMA 10: ESTADÍSTICA POBLACIÓN Y MUESTRA Población. Es el conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento nos interesa y que serían objeto de nuestro estudio. Muestra es un subconjunto extraído de la población, cuyo estudio sirve para inferir características de toda la población. Individuo es cada uno de los elementos que forman la población o la muestra. Ejercicios. 1. Un fabricante de tornillos desea hacer un control de calidad. Para ello, recoge 1 de cada 100 tornillos producidos y lo analiza. a) Cuál es e s la población? b) Cuál es la muestra? c) Cuáles son los individuos? VARIABLES ESTADÍSTICAS Los valores que damos a los caracteres que estudiamos se llaman variables y estas pueden ser de dos tipos: - Variable cuantitativa si toman valores numéricos. Estas a su vez se dividen en dos tipos: Discretas si solo toman valores aislados. Por ejemplo Continuas si pueden tomar cualquier valor de un intervalo. Por ejemplo - Variable cualitativa si toman valores no numéricos. Por ejemplo.. Ejercicios. 2. El fabricante de tornillos descrito en el ejercicio 1 estudia en cada tornillo se es correcto o defectuoso,, su longitud y el número de pasos de rosca.. Dí de qué tipo es cada una de estas variables. 3. Di, en cada caso, cuál es la población y cuál la variable que se quiere estudiar. Especifica si es una variable cualitativa o cuantitativa, determinando, en este último caso, si es discreta o continua: a) Tiempo dedicado a las tareas domésticas por los hombres y las mujeres que trabajan an fuera del hogar. b) Estudios que quieren hacer las alumnas y los alumnos de un centro escolar al terminar la ESO. c) Intención de voto en unas elecciones autonómicas. d) Horas que dedican a ver televisión los estudiantes de la ESO en España. e) Número de aparatos de radio que hay en los hogares españoles.

2 PROCESO QUE SIGUE LA ESTADÍSTICA Los pasos que sigue un estudio estadístico son los siguientes: 1º Qué queremos estudiar? Por ejemplo las aficiones deportivas de los alumnos de un centro escolar. 2º Selección de las variables que se van a analizar. Hemos de tener claro la información que queremos y formular las preguntas de manera clara y con todas las respuestas posibles señaladas. 3º Recolección de datos. Se efectúan las medidas o se realizan las encuestas. 4º Organización de datos. Se ordenan, se pasan a unos papeles o se introducen en el ordenador. Los pasos siguientes son la elaboración de tablas y gráficas y el cálculo de parámetros para poder extraer las conclusiones de nuestro estudio. A esta parte dedicaremos este tema. Ejercicios. 4. Se quiere hacer una encuesta para estudiar las aficiones de los jóvenes en la lectura. Dí, justificadamente, cuáles de las preguntas siguientes te parecen razonables y cuales no. a) Dí cuales son tus lecturas favoritas. b) De los géneros literarios siguientes, señala aquellos que has leído más de una hora en el último mes. NOVELA HISTORIA BIOGRAFIA POESÍA TEATRO FILOSOFIA c) Lees periódicos? Si es así, de qué tipo? d) A cuál o cuales de las siguientes publicaciones periódicas dedicas más de dos horas semanales: DIARIOS DE ACTUALIDAD Y POLÍTICA IARIOS DEPORTIVOS REVISTAS CIENTÍFICAS REVISTAS DE SOCIEDAD (DEL CORAZÓN) OTROS. INDICA CUÁLES. CONFECCIÓN DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS Con datos aislados. Veamos un ejemplo: Al contar el número de asignaturas suspendidas por cada alumno y alumna en la primera evaluación de un grupo de 3-º de la ESO, hemos obtenido estos datos: Ahora hemos de hacer el recuento y rellenar una tabla como esta. En la columna x i pondremos, ordenados, los valores que toma la variable; y en la columna f i, las veces que se repite cada valor.

3 Con datos agrupados en intervalos. Cuando la variable toma muchos valores, conviene agruparlos en intervalos. Veamos un ejemplo. Estas son las horas de estudio semanal de un grupo de alumnas y alumnos: Reparte estos datos en los intervalos: 1,5-6,5 6,5-11,5 11,5-16,5 16,5-21,5 21,5-26,5 Hemos de rellenar una tabla donde en la columna INTERVALO pondremos los intervalos anteriores y en la columna f i pondremos el número de datos que hay en ese intervalo. GRÁFICO ADECUADO AL TIPO DE INFORMACIÓN Hay muchos tipos de gráficos estadísticos. Para que cumplan su función tienen que ser de fácil lectura, es decir, que de un solo vistazo podamos entender y asimilar la información que se nos da. Vamos a comentar algunos tipos de gráficos. Diagrama de barras. Se utiliza para representar tablas de frecuencias correspondientes a variables cuantitativas discretas. También se puede utilizar con variables cualitativas. Histograma de frecuencias. Se utiliza para distribuciones de variable continua. Por eso se utilizan rectángulos tan anchos como los intervalos.

4 Polígono de frecuencias. Se utiliza en los mismos casos que el histograma. Se construye uniendo los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos y prolongando, al principio y al final, hasta llegar al eje. Diagrama de sectores. En estos diagramas, el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia correspondiente. Se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa más para las variables cualitativas. Ejercicios. 5. Dibuja los gráficos de los ejemplos del epígrafe CONFECCIÓN DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS.

5 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS DE CENTRALIZACIÓN Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica. Los parámetros de centralización nos indican en torno a que valor se distribuyen los datos. Media. La media aritmética es la suma de todos los valores dividida por el número de datos y se designa por x x x 1 + x2 + + xn i x = = n n Mediana. Si ordenamos los valores de menor a mayor, la mediana, M e, es el valor que está en medio. Es decir, tiene el 505 de los valores por debajo y el otro 50%, por encima. Si el número de valores es par, se toma como mediana la media de los dos centrales. Moda. La moda, M o, es el valor que más se repite, es decir, el de mayor frecuencia. Ejercicios. 6. Las notas de un examen han sido 2, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 10 Calcula las medidas de centralización. 7. Cuál seria la mediana en el ejercicio anterior si añadimos un 10? PARÁMETROS ESTADÍSTICOS E DE DISPERSIÓN Estas medidas nos informan de lo dispersos que están los datos. Recorrido o rango. Es la diferencia entre el dato mayor y el menor. Desviación media. Es la media aritmética de las distancias de cada dato a la media. DM = x x + 1 x 2 x + x n n x xi x = n Varianza. Es la media aritmética de los cuadrados de las distancias de los datos a la media. Varianza = ( x x) + ( x x) + + ( x x) ( xi x) 1 2 x Esta fórmula es equivalente a Varianza = n 2 i n x 2 n = n 2 Desviación típica. Es la raíz cuadrada de la varianza σ = var ianza

6 Ejercicios. 8. Calcular las medidas de dispersión de la siguiente distribución de notas 2, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 10 CÁLCULO DE x Y σ EN LAS TABLAS DE FRECUENCIAS Para calcular x añadimos la columna x i.f i a la tabla de frecuencias. Veamos un ejemplo. Para calcular σ añadimos la columna x i.f i 2 a la tabla anterior Si los datos están agrupados en intervalos añadimos la columna de la marca de clase que hará las veces de la columna de x i.

7 Ejercicios. 9. Calcular x y σ en la siguiente distribución. INTERPRETACIÓN CONJUNTA NTA DE x Y σ. COEFICIENTE DE VARIACIÓN. Conociendo los valores de x y σ, podemos tener una visión más clara de cómo es la distribución. La media nos da una idea de dónde está su centro y la desviación típica nos indica cómo de dispersos están los datos, es decir, cómo de alejados de la media están. Si la desviación es grande los datos están dispersos y alejados de la media. Ejercicios 10. En un club deportivo-recreativo recreativo municipal se practican las siguientes actividades: 1. Atletismo 3. Mus 5. Ajedrez 2. Gimnasia rítmica 4. Golf 6. Fútbol Las distribuciones de las edades e de los ciudadanos que participan en ellas son, dadas en otro orden, las siguientes:

8 Los parámetros x y σ, correspondientes a estas distribuciones en otro orden son: Asocia a cada actividad la gráfica y los parámetros x y σ que le correspondan: Coeficiente de variación. Para comparar la dispersión de dos poblaciones heterogéneas, se define el coeficiente de variación, CV, así: σ CV = x Al dividir la σ entre la x estamos relativizando la dispersión. El resultado, a veces, se da en % Ejercicios. 11. Los pesos de los toros de lidia de una ganadería se distribuyen con una media x =500 kg y una desviación típica σ =40 kg. Por otro lado los perros de una exposición canina tienen una media de x =20 kg y una desviación típica de σ =10 kg. Calcula el CV y compara la dispersión relativa de los dos grupos de animales. EJERCICIOS 1. Indica, para cada uno de los cinco casos propuestos: Cuál es la población. Cuál es la variable. Tipo de variable: cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua. a) Peso al nacer de los bebés que se alumbraron en Murcia a lo largo del año pasado. b) Profesiones que quieren tener los estudiantes de un centro escolar. c) Número de animales de compañía que hay en los hogares españoles. d) Partido al que se va a votar en las próximas elecciones generales. e) Tiempo semanal que dedican a la lectura los estudiantes de la ESO en España. f) Número de tarjetas amarillas mostradas en los partidos de fútbol de la temporada pasada. 2. El porcentaje de vehículos matriculados durante el mes de octubre de 2006 viene recogido en esta tabla (los datos son aproximados): a) Halla el tanto por ciento de motocicletas que se matricularon. b) Calcula cuál fue el número total de vehículos matriculados, sabiendo que se matricularon exactamente 279 autobuses. c) El conjunto de los vehículos matriculados es población o muestra? d) Di qué tipo de variable es.

9 3. La forma de conducir un vehículo influye mucho en el consumo de combustible, en la seguridad y en las emisiones contaminantes. Estas últimas, además de ser nocivas para la salud, influyen en el cambio climático (efecto invernadero). Aplicando el protocolo de Kyoto, la Unión Europea impone una reducción de los principales gases de efecto invernadero (por ejemplo, para el año 2010 se pretende que las emisiones de CO2 se hayan reducido a 120 g/km). Se han medido las emisiones de CO2 en un recorrido urbano con tres coches del mismo tipo, pero que usan distintos carburantes. Observa la gráfica y responde a las cuestiones que se te plantean. a) Cómo influye la forma de conducir en las emisiones de CO2? b) Cómo influye el tipo de carburante en las emisiones de CO2? (Aparte del CO2, los coches emiten más partículas contaminantes. Por ejemplo, el diésel en las ciudades contamina más, en general, que la gasolina). c) Alguna de las opciones estudiadas es próxima a la reducción de emisiones de CO2 que se espera en la Unión Europea para el año 2010? Cuál? d) Cuál es la opción que más se aleja de las recomendaciones de la Unión Europea para el año 2010? 4. En una determinada región se ha hecho un estudio sobre los accidentes mortales producidos en el trabajo, según el sector de actividad. Aquí se muestran los resultados: a) Cuál es el porcentaje de accidentes mortales producidos en el sector de la construcción? b) Si hubo 135 accidentes mortales en el sector agrario, cuál fue el número total de accidentes mortales en la región? c) Cuántos accidentes mortales hubo en cada uno de los sectores? 5. En estos dos diagramas se muestra la composición del organismo en dos edades distintas (aproximadamente): a) Cómo varía el porcentaje de agua corporal, de masa ósea, de tejido graso y de músculos, órganos? b) Si una persona de 25 años pesa 75 kg, cuál es la cantidad de agua que compone su organismo? Y de tejido graso? c) Responde a las preguntas del apartado anterior para el caso de una persona de 75 años con el mismo peso.

10 6. Observa esta gráfica en la que aparece la tasa de paro en España desde el año 1995 hasta el año 2000: Ahora observa esta otra gráfica en la que lo único que ha variado es la escala que se ha tomado en el eje vertical (en la primera iba de 14 a 23, y en la segunda, de 0 a 24): a) Dan la misma sensación de decrecimiento? b) Cuál crees que elegiría el gobierno y cuál la oposición para representar la tasa de paro? 7. Al preguntar por el número de libros leídos en el último mes a los estudiantes de un grupo de 3. de ESO, hemos obtenido los datos siguientes: a) Haz la tabla de frecuencias absolutas. b) Realiza el diagrama de barras correspondiente. 8. En un estudio sobre las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) realizado en los hogares españoles se han obtenido los resultados siguientes (los datos son aproximados): Realiza un diagrama de barras que resuma los datos de la tabla.

11 9. El color elegido por los españoles, en un momento concreto, al comprar un coche, viene dado en la tabla siguiente: Elabora un diagrama de sectores que refleje la situación mostrada. 10. Hemos consultado, en diferentes comercios, el precio (en euros) de un determinado modelo de impresora, obteniendo los datos siguientes: a) Calcula el precio medio. b) Cuál es la mediana? c) Halla la desviación media y el recorrido. d) Halla la desviación típica. 11. En la familia Fernández, el salario mensual del padre es de 950, y el salario de la madre, En la familia Torres, el padre gana al mes, y la madre 750. a) Cuál es el sueldo medio de cada familia? b) En cuál de ellas es mayor la dispersión? Cuál es el rango en cada familia? Sol: a) Familia Fernández: ez: 1275 y Familia Torres: 1275 b) La dispersión es mayor en la familia Torres. 12. Contando el número de erratas por página en un libro concreto, David ha obtenido los datos siguientes: a) Halla la media y la desviación típica. b) Cuál es la moda? Sol: a) x = 1,008 y σ 1,159 b) 0 erratas. 13. En un control de velocidad en carretera se obtuvieron los siguientes datos: a) Haz una tabla reflejando las marcas de clase y las frecuencias. b) Calcula la media y la desviación típica. c) Qué porcentaje circula a más de 90 km/h? Sol: b) x = 93,8 km/h y σ 13,303 km/h c) 62,4% 14. Los puntos conseguidos por Teresa y por Rosa en una semana de entrenamiento, jugando al baloncesto, han sido los siguientes: a) Halla la media de cada una de las dos. b) Calcula la desviación típica y el coeficiente de variación. Cuál de las dos es más regular? Sol: a) x TERESA = 22, x ROSA = 22 TERESA ROSA b) Teresa: σ 4,106 Rosa: σ = 2 CV T = 0,19 CV R = 0,09 Es más regular Rosa.

12 15. A la pregunta: cuántas personas forman tu hogar familiar?, 40 personas respondieron esto: a) Haz la tabla de frecuencias y el diagrama correspondiente. b) Calcula la media, la mediana, la moda y la desviación típica. Sol: b) x = 4,125, Me = 4, Mo = 3 y 4 y σ 1, En un test de inteligencia realizado a una muestra de 200 personas, se han obtenido los resultados siguientes: a) Dibuja un histograma para representar gráficamente los datos y haz también el polígono de frecuencias. b) Calcula la media y la desviación típica. Sol: b) b x = 60,4; σ = 10, Estas son las horas de estudio semanal de un grupo de alumnas y alumnos: a) Reparte estos datos en los intervalos: 1,5-6,5; 6,5-11,5; 11,5-16,5; 16,5-21,5; 21,5-26,5 Haz la tabla de frecuencias y el histograma. b) Calcula la media y la desviación típica. Sol: x = 13,25 h; σ = 5, Al medir el peso al nacer en una determinada especie de animales, hemos obtenido los datos siguientes: a) Representa estos datos con el gráfico adecuado. b) Calcula la media y la desviación típica. c) Qué porcentaje de animales pesó entre 5,5 kg y 6,5 kg? Y entre 4,5 kg y 8,5 kg? Sol: b) x = 6,638; σ = 0,997 c) 35% de los animales pesa entre 5,5 kg y 6,5 kg. 97,5% de los animales pesa entre 4,5 kg y 8,5 kg. 19. Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de y una desviación típica de En otra empresa más pequeña B, la media es 9 000, y la desviación típica, Calcula, mediante el coeficiente de variación, cuál de las dos tiene más variación relativa. Sol: Tiene mayor variación relativa la empresa B. 20. El número de palabras de cada una de las frases de un artículo de economía es: a) Haz una tabla de frecuencias agrupando los datos en los intervalos: 7-13, 14-20, 21-27, 28-34, 35-41, Representa estos datos en un histograma. b) Calcula su media y su desviación típica. Sol: b) x = 30,432; σ = 10,343.

13 21. Se ha estudiado el grupo sanguíneo de 200 personas, así como el Rh. Algunos de los resultados vienen en la tabla siguiente, aunque nos la han dado incompleta: a) Una tabla de este tipo se llama tabla de contingencia. Complétala. b) Qué porcentaje de la población estudiada tiene el grupo B con Rh+? c) Cuál es el porcentaje de la población estudiada que tiene Rh? d) Se llama donante universal al grupo que puede dar sangre a todos los demás; es el 0 con Rh. Qué porcentaje de donantes universales hay en la población estudiada? e) Dentro de los del Rh+, qué porcentaje tienen el grupo sanguíneo A? f) Haz un diagrama de sectores para los distintos grupos sanguíneos. Sol: b) 6% tienen grupo B y Rh+. c) 19% tiene Rh.. d) 8% de donantes universales. e) 8% de donantes universales. 22. Para hallar la nota de una evaluación, se hace la media de cuatro exámenes. Si en los tres primeros tengo una media de 4,2, qué nota tengo que sacar en el último para aprobar? Sol: 7,4 como mínimo. 23. Para hallar la nota de una asignatura, el segundo examen vale el doble que el primero, y el tercero, el triple que el primero. a) Cuál es la nota final de una alumna que sacó un 5, un 6 y un 4? b) Y si esas notas son el 10%, el 40% y el 50% de la nota final, respectivamente? Sol: a) 4,83333 b) 4, Estas tres distribuciones tienen la misma media. Cuál es? Sus desviaciones típicas son 3,8; 1,3 y 2,9. Asocia a cada distribución uno de estos valores. (Hazlo observando las gráficas, sin hacer cuentas). 25. Se ha pasado una prueba de 25 preguntas a los 120 estudiantes de un centro escolar. Los resultados obtenidos se recogen en la tabla siguiente: a) Calcula el número de alumnos que respondió correctamente a todas las preguntas. b) Halla la media de aciertos de la población. c) Calcula la desviación típica. Sol: a) 20% b) x = 17,25 c) σ 5, Se ha hecho un mismo examen a dos clases. Los resultados fueron estos: Sabiendo que hay una clase con 6 sobresalientes y 8 suspensos y otra con 2 suspensos y 3 sobresalientes, averigua cuál es la clase que tiene más sobresalientes. 27. Qué le ocurre a x y a σ si a todos los datos les sumamos un mismo número? Y si los multiplicamos por el mismo número? Comprueba tus conjeturas con estos datos: 3, 5, 6, 3, 4, 2, 3, Si restas la media de una distribución a cada dato y sumas esas diferencias, qué resultado obtendrías? Justifica tu respuesta y compruébala con los datos de la siguiente distribución:

14 29. Si dos distribuciones tienen la misma media, y la desviación típica de la primera es mayor que la de la segunda, en cuál de los dos casos es mayor el coeficiente de variación? 30. Si dos distribuciones tienen la misma desviación típica, y la media de la primera es mayor que la de la segunda, en cuál de los dos casos es mayor el coeficiente de variación? 31. Se ha pasado el mismo examen a los alumnos de 3. A y de 3. B. Las notas medias obtenidas en cada clase son las siguientes: 3 A = 6,2 3 A = 4 Calcular la nota media de los alumnos de las dos clases juntas sabiendo que en 3 A hay 15 estudiantes y en 3 B, 35 estudiantes. Sol: La media global es 4, Completa la tabla de esta distribución, de la que sabemos que su media es 2,7: 33. En una empresa de mensajería trabajan 34 empleados y 6 directivos. El sueldo medio de todos ellos es de 909. Cuál será el sueldo medio de los directivos si sabemos que el del resto de los empleados es de 780? Sol: El sueldo medio de los directivos es Un jugador de baloncesto tiene una media de 17 puntos y una desviación típica de 9 puntos. Otro jugador del mismo equipo tiene una media de 20 puntos y una desviación típica de 3 puntos. Si en el próximo partido es necesario que el equipo consiga muchos puntos, a cuál de los dos jugadores debe seleccionar el entrenador con la expectativa de que alcancen una puntuación en torno a 30 puntos? Razona tu respuesta. 35. Organiza un estudio estadístico siguiendo cada uno de estos puntos: a) Variable: Decide una característica que quieras estudiar; elige una variable cuantitativa discreta (por ejemplo: número total de personas que viven en tu casa). b) Recogida de datos: Obtén 20 datos sobre la característica que has decidido estudiar (por ejemplo, preguntando a 20 personas). Recuerda que la pregunta no puede dar lugar a duda en la respuesta (por ejemplo, cuántas personas viven en tu casa, contándote a ti). c) Haz una tabla de frecuencias para organizar la información. d) Dibuja un diagrama de barras. e) Calcula la media, la mediana, la moda y la desviación típica. f) Resume las conclusiones de tu estudio. AUTOEVALUACIÓN 1. Di, en cada caso, cuál es la población y cuál la variable que se quiere estudiar especificando de qué tipo es. En qué caso es necesario elegir una muestra para realizar el estudio? a) El tipo de música preferido por los adolescentes españoles. b) La estatura de los alumnos que cursan 3. ESO de tu centro escolar. c) El número de móviles que hay en cada una de las viviendas de cierta urbanización. d) El número de libros leídos anualmente por las personas que trabajan fuera de casa. 2. Para estudiar el número de almendras que hay en cada tableta de chocolate de una cierta producción, se analiza una de cada 200 producidas en cierto día, las tabletas analizadas son población o muestra? 3. En una empresa de telefonía están interesados en saber cuál es el número de aparatos telefónicos (incluidos teléfonos móviles) que se tiene en las viviendas. Se hace una encuesta y, hasta ahora, han recibido las siguientes respuestas: a) Elabora una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución.

15 4. El peso medio de una especie de animales, A, es de 21,3 kg y la desviación típica es de 2,5 kg. En otra especie de animales, B, el peso medio es de 125 kg y la desviación típica es de 13 kg. Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos especies tiene mayor variación relativa en los pesos. 5. Halla la media y la desviación típica correspondientes a la siguiente distribución de edades: Intervalo Frecuencia Qué porcentaje tienen menos de 15 años? 6. La nota final de curso es la media de las tres evaluaciones. Si entre las dos primeras tienes una media de 8,6 qué tienes que sacar en la 3ª evaluación para que tu media sea de 9? Completa la tabla de esta distribución de la que sabemos que su media es 7: x i f i