Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

Transcripción

1 Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos E ste bloque de actividades tiene dos propósitos: (1) presentarte una propuesta alternativa para el estudio del álgebra, con el fin de refrescar los conocimientos matemáticos adquiridos durante el bachillerato, y (2) someter a tu análisis una propuesta didáctica en la que se aplican las ventajas de un procesador algebraico que facilite el aprendizaje del álgebra como un lenguaje para expresar y justificar generalizaciones sobre el comportamiento de patrones numéricos. Las actividades de este bloque y todos los que conforman el libro, están diseñadas de acuerdo con un precepto teórico desarrollado por el psicólogo Jerome Bruner, el cual consiste en el establecimiento de un formato de comunicación entre el que enseña y el que va a aprender. Este formato, aparentemente rígido, ofrece una flexibilidad que permite introducir sutilmente nuevos elementos del código de comunicación (en nuestro caso, del código algebraico). La presentación de las actividades parece repetitiva, pero no lo es, ya que siempre hay algún nuevo elemento matemático en cada hoja de trabajo, ya sea del tipo de valores numéricos que se emplean, o de algún nuevo elemento en la estructura algebraica. Por ejemplo, se transita de las funciones de la forma f(x) = x + a, f(x) = ax y f(x) = ax + b, a las inversas de esas funciones, o bien, del ámbito de las funciones lineales al de la ecuaciones lineales con una incógnita; inclusive, del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al de la lectura de esas expresiones. Te invitamos a que analices estas actividades bajo la perspectiva del tipo de aprendizaje matemático que pueden desarrollar los alumnos de educación básica. Nuestra mayor expectativa es que tu análisis se vea enriquecido cada vez que concluyas un bloque de actividades, con lo que desarrollarás competencias que en un futuro cercano pondrás en práctica como docente de educación básica. 69

2 70 Desarrollo del pensamiento algebraico Hoja de trabajo 1 Patrones numéricos: es y salida Un estudiante escribió en su calculadora una expresión algebraica que produce la siguiente tabla Si el valor es 1, el programa da por resultado 5; si introduce 2, da por resultado 6, y así sucesivamente 1. Qué resultado dará la calculadora si escribes 6 como valor? Si escribes 10? Y si el valor fuera 0? Explica qué operación hiciste para obtener esos resultados. 2. Construye en tu calculadora una expresión algebraica que produzca los mismos resultados. Escribe tu expresión en el siguiente recuadro. 3. Usa tu programa para encontrar los números que faltan en la siguiente tabla Explica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores asociados a 511 y Comprueba que el valor que obtuviste para 511 es el correcto y explica tu procedimiento.

3 Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos 71 Hoja de trabajo 2 es proporcionales (1) Un estudiante escribió en su calculadora una expresión algebraica que produce la siguiente tabla Qué resultado dará la calculadora si el valor es 5? Si es 25? Y si fuera 17? Indica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener esos resultados. 2. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla. Escribe tu programa en el siguiente recuadro. 3. Utiliza tu programa para encontrar los valores que faltan en la siguiente tabla Indica qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores 551 y Comprueba que el valor para es correcto y explica cómo lo obtuviste.

4 72 Desarrollo del pensamiento algebraico Hoja de trabajo 3 es proporcionales (2) 1. Completa la siguiente tabla Indica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores que faltan. 3. Programa tu calculadora para encontrar los valores y escribe tu programa en el siguiente recuadro. 4. Comprueba que tu programa obtenga los mismos valores de la tabla. 5. Completa la siguiente tabla usando tu programa Explica qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores asociados a 89.1 y Comprueba que el valor para 92.4 es correcto y explica cómo lo obtuviste.

5 Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos 73 Hoja de trabajo 4 Reglas de dos pasos (1) Un estudiante creó un programa que produjo la siguiente tabla Qué valor dará la calculadora si el valor es 50? Si es 81? Y si fuera 274? 2. Indica qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos resultados. 3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla, luego escribe tu programa en el siguiente recuadro. 4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla Ese estudiante afirma que puede usar el programa que hiciste para comprobar que 88.2 es el valor de salida correcto Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento. 6. Explica con la mayor precisión posible cómo puedes usar tu programa para comprobar que el valor que obtuviste para 95.4 es el correcto.

6 74 Desarrollo del pensamiento algebraico Hoja de trabajo 5 Reglas de dos pasos (2) Un estudiante construyó un programa que presenta los valores de la siguiente tabla Qué resultado dará la calculadora si el valor es 6? Si es 7? Si es 15? 2. Indica qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores. 3. Programa tu calculadora para que produzca la misma tabla que el estudiante. Escribe tu programa en el siguiente recuadro. 4. Escribe detalladamente cómo compruebas que tu programa produce los mismos valores que se muestran en la tabla. 5. Usa tu programa para completar la siguiente tabla Comprueba que el valor para 137 es correcto y explica cómo lo obtuviste.

7 Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos 75 Hoja de trabajo 6 Patrones con valores negativos (1) 1. Completa la siguiente tabla Programa tu calculadora para que complete la tabla, luego escribe el programa en el siguiente recuadro. 3. Completa la siguiente tabla usando tu programa Usa tu programa para comprobar que los valores que obtuviste para 10.3 y 0 son correctos. Obtuviste los mismos resultados? Si no, modifica tu programa e intenta de nuevo.

8 76 Desarrollo del pensamiento algebraico Hoja de trabajo 7 Patrones con valores negativos (2) 1. Encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar los valores que faltan en la tabla. Ofrece un ejemplo usando uno de los valores. 3. Programa tu calculadora para reproducir los valores de la tabla. 4. Escribe tu programa en el siguiente recuadro. Asegúrate de que permita encontrar los mismos valores que se muestran en la tabla. 5. Completa la siguiente tabla usando tu programa Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor que obtuviste para 9.72 es correcto.

9 Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos 77 Hoja de trabajo 8 Constante de proporcionalidad fraccionaria (1) Un grupo de estudiantes construyó la siguiente tabla usando un programa Qué resultado producirá la calculadora si el valor es 6? Si es 19.3? Si es 56? Y si fuera 177? 2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que todos tus compañeros lo entiendan. 3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla y escribe tu programa en el siguiente recuadro. 4. Comprueba que tu programa obtiene los mismos valores de la tabla y explica cómo lo hiciste.

10 78 Desarrollo del pensamiento algebraico Hoja de trabajo 9 Constante de proporcionalidad fraccionaria (2) Un estudiante produjo la siguiente tabla usando un programa en su calculadora Qué resultado dará la calculadora si el valor es 10? Si es 13.4? Y si fuera 15.6? 2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que todos tus compañeros lo entiendan. 3. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos valores de la tabla y escribe en el siguiente recuadro el programa correspondiente. 4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor que encontraste para 57 es el correcto.

11 Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos 79 Hoja de trabajo 10 Constante de proporcionalidad fraccionaria (3) 1. Encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla y escríbelos en los espacios correspondientes Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que todos tus compañeros lo entiendan. 3. Programa tu calculadora para obtener los valores de la tabla y escribe tu programa en el siguiente recuadro. Comprueba que tu programa produce los mismos números de la tabla. De lo contrario, modifícalo e intenta de nuevo. 4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para es el correcto.

12 80 Desarrollo del pensamiento algebraico Hoja de trabajo 11 Lectura de expresiones algebraicas (1) 1. Sin usar la calculadora, encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla y escríbelos en la columna correspondiente Un estudiante dice que va a usar el programa b para completar la tabla anterior. 2. Introduce el programa b en tu calculadora y comprueba que coincidan tus respuestas. De lo contrario, corrígelas y explica a qué se debió el error. 3. Con el programa a completa, sin usar la calculadora, la siguiente tabla Introduce el programa en tu calculadora y úsalo para comprobar tus respuestas. Coincidieron con los resultados de la calculadora? Si no fue así, a qué crees que se deba? 5. Escribe en tu calculadora el programa (3 + 5) a y completa la siguiente tabla Compara tus resultados con los de la tabla anterior. A qué crees que se deban las diferencias? Explícalo con un ejemplo.

13 Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos 81 Hoja de trabajo 12 Lectura de expresiones algebraicas (2) La siguiente tabla se produjo con un programa de la calculadora Un estudiante dice que el programa b le permite producir los valores de la tabla anterior. Estás de acuerdo? Escribe un ejemplo que justifique tu respuesta. 2. Otra estudiante dice que el programa 2 + b + b 2 también produce los valores de la tabla. Estás de acuerdo? Escribe un ejemplo que justifique tu respuesta. 3. Una tercera estudiante dice que el programa 5 a a también produce los valores de la tabla. Estás de acuerdo? Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta. 4. Escribe otros programas que permitan obtener los valores de la tabla. Anota todos los que encuentres.

14 82 Desarrollo del pensamiento algebraico Hoja de trabajo 13 Reglas de dos pasos (3) Una estudiante hizo un programa que produce la siguiente tabla Si el valor es 10, cuál será el? Si el valor es 12, cuál será el? 2. La calculadora dio 17.5 como valor, cuál es el valor? Explica detalladamente qué hiciste para encontrar el valor asociado a Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla anterior. Escribe el programa en el siguiente recuadro. 4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla

15 Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos 83 Hoja de trabajo 14 Constante de proporcionalidad fraccionaria (4) Una estudiante hizo en su calculadora un programa que produce los siguientes valores Si el valor es 56, cuál será el? 2. Si la calculadora da 87 como valor, cuál será el? 3. Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro. 5. Usa tu programa para completar la siguiente tabla

16 84 Desarrollo del pensamiento algebraico Hoja de trabajo 15 Constante de proporcionalidad fraccionaria (5) Un estudiante hizo en su calculadora un programa que produce los siguientes valores Si el valor es 6, cuál será el? 2. Y si el valor fuera 7, cuál valor nos daría? Y si fuera 55? 3. La calculadora dio 35 como valor, cuál es el valor? 4. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro. 6. Usa tu programa para completar la siguiente tabla

17 Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos 85 Hoja de trabajo 16 Constante de proporcionalidad fraccionaria (6) Esta tabla resultó de utilizar un programa que se hizo en una calculadora Si el valor es 10, qué valor dará? 2. Si la calculadora da 37 como valor, cuál debe ser el valor? 3. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a Comprueba que el valor asociado a 37 es el correcto y explícalo detalladamente. 5. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro. 6. Usa tu programa para completar la siguiente tabla

18 86 Desarrollo del pensamiento algebraico Actividades sugeridas para el futuro docente 1. Con base en tu experiencia al realizar las actividades de este bloque, explica el papel que desempeñan las tablas de valores en este acercamiento didáctico. Puede sustituirse con otro tipo de recurso? Analiza ampliamente tu respuesta con tus compañeros. 2. Del mismo modo, explica el rol de un procesador algebraico en este acercamiento didáctico. Puede sustituirse con otro recurso? Analiza ampliamente tu respuesta con tus compañeros. 3. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas se transita del ámbito de las funciones lineales al de la ecuaciones lineales con una incógnita. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros. 4. También se afirma que se transita de las funciones de la forma f (x) = x + a, f (x) = ax y f (x) = ax + b, a las inversas de esas funciones. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros. 5. Hay otra aseveración, según la cual se transita del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al de la lectura de esas expresiones. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esta afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 6. En la presentación de este bloque se mencionan las funciones de la forma f (x) = x + a, f (x) = ax y f (x) = ax + b. Indaga en fuentes bibliográficas o en Internet las definiciones de los siguientes conceptos: 2) Dominio de una función. 3) Contradominio de una función. 4) Imagen de una función. 5) Regla de correspondencia de una función. Ejemplifica esos conceptos con extractos de las actividades que hayas realizado en este bloque.