Semana 7 La adición y sustracción Semana 7

Transcripción

1 Orden de las fracciones. Semana La adición y sustracción Semana Bienvenido y bienvenida a nuestro séptimo encuentro. En esta ocasión, trabajaremos en base a lo aprendido en la sesión anterior, las fracciones. Al igual que los números naturales y enteros, las fracciones se pueden ordenar, bien sea creciente o decrecientemente, así como también se definen algunas operaciones que, a su vez, cumplen con ciertas propiedades. El objetivo de esta semana es que puedas ordenar un grupo de fracciones dadas, en orden creciente o decreciente, además de reconocer el significado de las operaciones de adición y sustracción de las fracciones en problemas cotidianos. Para esta semana, es necesario que tengas claras las nociones de fracciones que trabajaste en el encuentro pasado, incluyendo los sistemas de representación. Si aún presentas algunas dudas con respecto a ese tema, acude a tu facilitador para aclararlas. Además de esto, es necesario que repases las operaciones y propiedades de los números naturales y enteros que ya hemos estudiado en sesiones anteriores, como encontrar el máximo común divisor entre dos o más números. Teniendo estas ideas claras, podrás terminar con éxito este nuevo tema. Responde cada una de las siguientes preguntas individualmente y luego, discútelas con tus compañeros en el CCA.. María compró en el supermercado un cuarto de kg de queso, y Martha compró cuartos de kg de queso. Cuál de las dos compró más queso?. Entre María y Martha, cuánto queso compraron?

2 Semana. La señora Cecilia fue al supermercado y compró un cuarto de kg de ajo, kilogramo y medio de papas y tres cuartos de kg de tomate. Cuánto peso llevó la señora Cecilia en su bolsa?. Qué pesa más, cinco cuartos de un kg u ocho novenos de un kg?. Se desea preparar una torta con los siguientes ingredientes: kgs de harina de trigo, ½ litro de leche, ¼ kg de mantequilla y kg y medio de azúcar Cuántos kgs suman estos ingredientes? Orden de las fracciones Consideremos el siguiente conjunto de números {,,,, }. Como puedes notar, estos números pertenecen al conjunto de los números naturales. Ahora bien, si quisiéramos ordenar este conjunto, lo podríamos hacer, bien sea en orden creciente o decreciente, de la siguiente manera: {,,,, } o bien, {,,,, } respectivamente. Ordenar el conjunto de esta forma nos da una idea sobre una relación de orden entre sus elementos. Para ordenarlos, simplemente seguimos la idea de la relación mayor que ( > ) o menor que ( < ). Gráficamente, podríamos saber cuándo un número es mayor o menor a otro, ubicándolos sobre la recta numérica y viendo cuál está más cerca del cero. La regla la podemos resumir así: Mientras más se aleje el número hacia la derecha del cero, mayor será, y mientras más se aleje el número hacia la izquierda, menor será. Cualquier número que esté a la derecha del cero siempre será mayor a alguno que esté a la izquierda del cero. De la gráfica que se muestra, podemos decir: El es mayor que el porque está más lejos del cero hacia la derecha que el mismo. El - es menor que el - porque está más lejos del cero hacia la izquierda que el menos uno. El - es menor que el porque éste está a la derecha y el - está a la izquierda

3 Semana Las mismas relaciones se cumplen en el caso de las fracciones. Sin embargo, para el caso de las fracciones no siempre es fácil detectar cuando una fracción es mayor o menor a otra. Consideremos los siguientes casos:. Fracciones de igual denominador: si tenemos dos fracciones de igual denominador, la mayor será aquella que tenga el mayor numerador, o del mismo modo, la menor será la que tenga el menor numerador. Por ejemplo: Si María compra ¼ kg de café y Martha compra ¾ kg de café, entonces decimos que Martha compró más café que María, pues ambas fracciones tienen el mismo denominador, pero el numerador de ¾ es mayor al de ¼, es decir, es mayor que. Luego, escribimos que ¼ < ¾ o bien, ¾ > ¼. Fracciones de diferente denominador: si tenemos fracciones de diferente denominador, entonces, podemos determinar cuál es mayor, usando un gráfico continuo o un método más aritmético. Supongamos que María ha comprado ½ kg de café y Martha ¾ de café. Para saber quién compró más, podemos acudir a un gráfico continuo: María Martha Ambas gráficas representan el todo, es decir kg de café. En el lado izquierdo, hemos dividido la barra en dos partes para tomar una, es decir ½ kg de café. Del lado derecho, dividimos la barra en cuatro partes iguales, y de ellas tomamos tres, es decir, ¾ de café. Si observamos detalladamente ambos gráficos, vemos que en la barra de la derecha se ha sombreado un poco más que en la barra de la izquierda, lo cual nos lleva a concluir que ¾ > ¼ o bien, ¼ < ¾ Otro método más aritmético, y en muchas ocasiones, más eficaz, se denomina producto cruzado, que consiste en lo siguiente: cuál número es mayor ¾ ó ¼? El producto cruzado consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción y comparar el resultado con el producto que se obtiene al multiplicar el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda Así tenemos, y entonces, al multiplicar x = y al multiplicar x =, tenemos que >, por lo tanto, >

4 Semana Fracciones equivalentes La mamá de Juancito tiene una barra de chocolate y le dijo a su hijo que le podía dar la mitad de la barra o bien dos cuartos de la barra, que él eligiera. Cuál es la mejor opción de Juancito? Tratemos de graficar las dos fracciones de chocolate para ver con cuál de ellas le toca más chocolate a Juancito. La primera opción es un medio (/ ) de la barra, es decir, dividimos la barra en dos partes iguales y tomamos una. Con un gráfico de barras tenemos lo siguiente: Ahora bien, la segunda opción es tomar dos cuartos ( ) de la barra de chocolate, esto significa dividir la barra en cuatro partes y tomar dos de ellas. Gráficamente tenemos: Si observamos las dos barras, vemos que es indiferente la decisión que pueda tomar Juancito, pues en ambos casos le tocará tomar la misma cantidad de chocolate. Cuando esto ocurre, decimos que las fracciones consideradas son fracciones equivalentes, y escribimos = Además, existen otras fracciones que también son equivalentes a estas dos. Por ejemplo, la fracción que gráficamente representa la misma cantidad de los casos anteriores. El gráfico correspondiente sería: La pregunta natural que nos puede surgir ahora es cómo encontrar una fracción equivalente a otra? Para esto, sólo tenemos que multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el mismo número natural. A este procedimiento se le llama amplificación de fracciones. Por ejemplo,. = =. Asi, hemos multiplicado el (numerador) por, y a su vez, multiplicamos el (denominador) por el mismo número.. = =. En el ejemplo anterior, multiplicamos el numerador y el denominador por el factor.

5 Semana También, se pueden encontrar fracciones equivalentes, dividiendo por un divisor común para el denominador y el numerador distinto de la unidad. A este proceso se le llama simplificación de fracciones. Por ejemplo, si tenemos la fracción, podemos encontrar una fracción equivalente, dividiendo el y el por algún divisor común diferente de uno, es decir, el ó el. Si usamos el para dividir, tenemos: = = Dividamos ahora la fracción equivalente que hemos obtenido por el divisor común que nos queda. Entonces tenemos, = = Observa que el proceso de amplificación lo podemos repetir las veces que queramos, porque podemos usar cualquier número, mientras que el proceso de simplificación sólo puede aplicarse un número limitado de veces, porque los divisores comunes entre dos números son limitados. La fracción ha sido reducida, aplicando el proceso de reducción dos veces, obteniendo la fracción equivalente. Esta última fracción no puede seguir siendo redu- cida porque el y el no tienen divisores comunes distintos de la unidad. A este tipo de fracciones, se les llama fracciones irreducibles. De ahora en adelante, cada vez que resolvamos un problema que involucre fracciones, daremos la respuesta final con una fracción reducida. Operaciones con fracciones Al igual que en el caso de los números naturales y enteros, las fracciones también pueden ser relacionadas por medio de algunas operaciones. Adición de fracciones Cuando vamos a sumar fracciones, se nos pueden presentar dos situaciones diferentes: que ambas fracciones sean de igual denominador, o, que ambas fracciones sean de distinto denominador. Veamos cómo abordar cada caso. Suma de fracciones de igual denominador Consideremos el siguiente problema: María ha preparado un dulce de lechosa y un dulce de durazno. Para el dulce de lechosa, ha usado kg de azúcar, y para el dulce de durazno ha usado kg de azúcar. Deseamos saber cuántos kgs de azúcar ha gastado María. 9

6 Semana Si usamos un diagrama de barras para ilustrar la situación, tendríamos lo siguiente: + = + = La barra completa (el todo) representa un kg de azúcar. Observa que el resultado obtenido es una nueva fracción impropia que tiene como numerador la suma de los respectivos numeradores de las fracciones originales, mientras el denominador se mantiene igual. Esto lo podemos resumir en el siguiente enunciado: Para sumar dos fracciones de igual denominador, se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador. Veamos los siguientes ejemplos: a) + + = = b) = = = c) = = = Suma de fracciones con distinto denominador Eduardo y María han salido al supermercado. María ha comprado kg de papa y Eduardo, por su lado, ha comprado kg de papa. Cuántos kgs de papa han comprado entre los dos? 90

7 Semana Evidentemente, la respuesta es la suma de ambas compras, pero cómo sumamos estas fracciones, si sus denominadores no son iguales? Veamos tres métodos para hacerlo:. Haciendo uso de las fracciones equivalentes La suma que debemos resolver es +. Para ello, hagamos una representación gráfica de cada una de las fracciones: La barra completa representa un kg de papas. La idea en este método es encontrar dos fracciones que tengan el mismo denominador y así estaríamos en el caso anterior. Luego, tenemos por un lado = y por otro lado =, amplificando por y por, respectivamente. Haciendo los gráficos correspondientes y sumando fracciones de igual denominador, tenemos: / / / / / / / / / / / / / / + = Por lo tanto, entre Eduardo y María han comprado kg de papa.. Haciendo uso del mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo entre dos números, que has aprendido en la semana Nº, es muy útil para sumar fracciones. Veamos cómo sumar la cantidad de papas que han comprado María y Eduardo, es decir, +. La idea en este método es llevar las fracciones a un mínimo denominador común y luego sumar las fracciones resultantes. El primer paso, es hallar el mínimo común múltiplo entre los denominadores, que para nuestro caso es. Este número será el denominador de la fracción suma. El numerador de la fracción, se obtiene de la siguiente manera: 9

8 Semana. Primero dividimos el m.c.m. obtenido antes por cada denominador.. El resultado de esta división lo multiplicamos por su respectivo numerador y luego los sumamos. Esta suma será el numerador de la fracción suma. Para nuestro ejemplo, tenemos: a) = dividimos el m.c.m. entre el denominador de la primera b) x = multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la primera c) = dividimos el m.c.m. entre el denominador de la segunda d) x = multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la segunda e) + = sumamos los resultados obtenidos en b) y d). El resultado final es: + = =, por lo tanto, entre María y Eduardo han comprado kg de papa. Este método es muy útil cuando tenemos que realizar una adición de más de una Por ejemplo, supongamos que Martha también va al supermercado y compra kg de papa. Cuántos kgs han comprado entre los tres? + Debemos encontrar la suma + + Hallemos el m.c.m. (,, ). = = = Luego, m.c.m. (,, ) =. = Con esto, hemos hallado el denominador de la fracción suma. Ahora, encontremos el numerador: a) = dividimos el m.c.m. entre el denominador de la primera b) x = multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la primera c) = dividimos el m.c.m. entre el denominador de la segunda d) x = multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la segunda 9 e) = dividimos el m.c.m. entre el denominador de la tercera

9 Semana f) x = multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la tercera g) + + = 9 sumamos los resultados obtenidos en b), d) y f). El resultado final es: + + = = ++ 9 Por lo tanto entre María, Martha y Eduardo, habrían comprado 9 kg de papa.. Método de la multiplicación cruzada Este último método es muy útil para sumar dos fracciones. Usémoslo para nuestro problema original. Debemos resolver la suma + El método de la multiplicación cruzada consiste en lo siguiente:. Multiplicamos el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción, Para nuestro caso: =. Multiplicamos el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda En nuestro ejemplo: =. Multiplicamos los dos denominadores, es decir, = La fracción suma tiene como numerador la suma de los resultados obtenidos en los primeros dos pasos, y el denominador es el producto obtenido en el tercer paso, es + decir, + = = Por lo tanto, entre María y Eduardo han comprado kg de papa. Resolvamos la siguiente suma, aplicando este método: + En la práctica, hacemos lo siguiente: = = = =. Lo último que hemos hecho ha sido llevar la fracción a una fracción irreducible. 9

10 Semana Sustracción La sustracción de las fracciones se resuelve de la misma forma que se hace la adición, pero teniendo en cuenta, en este caso, si los números son positivos o negativos. Sustracción de fracciones de igual denominador La hacienda de Don Iván tiene de su terreno con una siembra de plátano y del terreno con yuca. Qué parte del terreno hay sembrada de plátano más que de yuca? Para responder a esta pregunta, debemos restar -. El resultado vendrá dado por una fracción, cuyo numerador es la resta de los numeradores de los sumandos y el denominador es el mismo de los sumandos; esto es: - - = = = Simplificando el resultado tenemos que en la hacienda hay de plátano más que de maíz. Gráficamente, tenemos lo siguiente: del terreno sembrado / / / / / / / / / / _ = = Sustracción de fracciones de diferentes denominadores La sustracción entre fracciones que tienen distinto denominador, se puede resolver con los mismos métodos que hemos visto en la suma. Sólo debemos tener en cuenta el signo menos (-) en el momento de efectuar la operación. Consideremos el siguiente problema: Un vendedor gana de su inversión en su primer mes de trabajo, en el segundo mes pierde de la inversión original. En los dos meses, qué fracción de su inversión ha ganado? Abordemos el problema usando los tres métodos que vimos en el caso de la suma. La respuesta a la pregunta es la diferencia de la ganancia que obtuvo en el primer mes, menos la pérdida que tuvo en el segundo mes, es decir, - 9

11 Semana. Usando fracciones equivalentes La idea es encontrar una fracción equivalente para y otra para, buscando que ambas tengan el mismo denominador. Esto significa que debemos colocar como denominador un múltiplo común para y. Aunque no es obligatorio, se suele usar el menor de los múltiplos, es decir, el m.c.m. En este caso, tenemos que m.c.m. (, ) = 0. Así que multiplicamos el numerador y denominador de y por y respectivamente, para así obtener dos fracciones equivalentes con el número 0 como denominador común. Esto es, y. =. 0. =. Luego, restamos las fracciones obtenidas, como ya hemos visto antes: = 0 0 Por lo tanto, el vendedor ha ganado 0 de su inversión original.. Usando el mínimo común múltiplo - Para restar las fracciones y con este método hacemos lo siguiente:. Primero, dividimos el m.c.m. obtenido entre los denominadores por cada denominador.. El resultado de esta división lo multiplicamos por su respectivo numerador y luego los restamos. Esta resta será el numerador de la fracción suma. En nuestro problema, sabemos que m.c.m. (, ) = 0 y aplicando el proceso descrito antes, resulta: a) 0 = dividimos el m.c.m. entre el denominador de la primera b) x = multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la primera c) 0 = dividimos el m.c.m. entre el denominador de la segunda d) x = multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la segunda e) - = restamos los resultados obtenidos en los pasos b) y d). - El resultado final es: - = =. Por lo tanto, el vendedor ha ganado de su inversión original. 9

12 Semana. Usando la multiplicación cruzada Debemos encontrar la resta -. Para usar este método, hacemos lo siguiente: a) Multiplicamos el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda Para nuestro caso: = b) Multiplicamos el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda En nuestro ejemplo: = c) Multiplicamos los dos denominadores; es decir, = 0 La fracción resta tiene como numerador la diferencia de los resultados obtenidos en los primeros dos pasos, y el denominador es el producto obtenido en el tercer paso, - es decir, - = = 0 0 Por lo tanto, el vendedor ha ganado 0 de su inversión original. Saber más Si quieres complementar estas ideas, puedes visitar esta dirección web: El señor Pablo tiene de su parcela invertido en la cría de ganado, y de 9 la parcela en la siembra de maíz. a) En qué ocupa la mayor parte de su terreno? b) Qué fracción de la parcela tiene en producción?. Carlos se ha comido dos quintos de un pan y Juan ha comido un octavo del pan. a) Quién ha comido más pan? b) Cuánto pan han comido entre los dos?. Alfonso fue al mercado y compró kg de zanahoria, kg de papa y kg de tomate Cuántos kgs de verduras ha comprado Alfonso?. Carla ha comprado tres cuartos de una patilla y ha gastado media patilla en un jugo Cuánta patilla le quedó? 9

13 Semana. Raúl recorrió la mitad del camino para llegar a Cabimas, y luego se regresó la tercera parte del camino Qué distancia recorrió?. En el abasto de la señora María habían ocho paquetes de azúcar de medio kg. De éstos, vendió cinco paquetes, pero luego le devolvieron uno. Cuántos kilos de azúcar quedaron en el abasto?. En los siguientes problemas, usa los tres métodos que hemos visto para sumar o restar fracciones, dando tu respuesta en fracciones irreducibles. a) - b) + c) - 9 d) + e) -. Coloca en orden decreciente las siguientes fracciones: 9 a),, b),, c),, 9 Esta semana, hemos aprendido a ordenar fracciones a través del producto cruzado. Además, hemos estudiado cómo sumar o restar fracciones de igual o distinto denominador, con ayuda de tres métodos: fracciones equivalentes, mínimo común múltiplo y multiplicación cruzada. 9