Capítulo. Números Racionales y Razonamiento proporcional. Introducción. Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

Transcripción

1 Capítulo 6 Números Racionales y Razonamiento proporcional Introducción Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

2 Definición Números Racionales El conjunto de números Q, tal que numerador número de partes de igual tamaño que hemos seleccionado denominador número de partes de igual tamaño en que se ha dividido el entero Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

3 Significado de una fracción Qué parte del círculo está coloreada? Cuando cuantificamos cantidades menores que el todo, dividimos en partes equitativas se lee tres octavos. Dra. Yuitza T. Humarán Martínez Cantidad de partes coloreadas. Cantidad total de partes iguales que forman el todo, este caso, el círculo.

4 Numerador y denominador A m se le llama numerador y al número n se le llama denominador. m n numerador denominador Si tenemos dos números naturales m y n m n se llama fracción de naturales. Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

5 Fracciones en palabras Cantidad de partes equitativas en que se divide el todo Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve Diez Once Nombre de las partes Mitades o medios Tercios Cuartos Quintos Sextos Séptimos Octavos Novenos Décimos Onceavos A partir de once se añade el sufijo avos a la palabra correspondiente a la cantidad total de partes en que se divide el todo.

6 Ejemplo Para cada una de las siguientes figuras, escriba un número que represente la parte de la región que está coloreada y la que no está coloreada. Área coloreada 5 6 Cinco sextos Área no coloreada 1 6 Un sexto 2 5 Dos quintos 3 5 Tres quintos Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

7 Significados de los números racionales Para entender el concepto de la fracción, es importante considerar diferentes representaciones que se le pueden atribuir, así como las relaciones entre éstas. El modelo cognitivo de Kieren, propone al menos cinco de estas representaciones: Parte de un todo Razón Cociente Medida Operador Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

8 Parte de un todo La relación entre cierta cantidad de partes de un todo divido equitativamente y el total de las partes. Ejemplos: Modelo continuo (área) Modelo discreto (conjunto de objetos) 3 8 del círculo está pintado del conjunto son manzanas verdes. Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

9 Razón Una razón es una relación entre dos cantidades. Ejemplos: Un nuevo automóvil tiene un rendimiento de 30 millas por galón. 30 millas: 1 galón Tres de cada cinco dentistas prefieren la pasta de dientes Sincaries Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

10 Cociente Representación de la operación de división. El enunciado de división a b es equivalente a a b Ejemplo: Si dividimos una manzana entre dos personas en partes iguales, esto es 1 2. Cada una tendrá media manzana. 1 2 = 1 2 Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

11 Medida Representación en la recta numérica y la cuantificación de longitud. Ejemplos: La coordenada del punto A es La longitud entre -2 y A es. Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

12 Operador Función o correspondencia que transforma conjuntos o regiones. Ejemplo: La operación de multiplicación con fracciones. 1 Cuánto es una tercera parte de 2 enteros? Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

13 Definición Fracción propia Una fracción,, en la cual Ejemplos: y Fracción impropia Una fracción,, en la cual Ejemplos: y Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

14 Enteros subconjunto de los Racionales Considere las siguientes fracciones de enteros: a) 10 2 b) c) 3 d) Los enteros positivos y los negativos son números racionales. Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

15 Enteros subconjunto de los Racionales Tomemos como numerador al 0. Por ejemplo, También el cero es un número racional. Por qué no podemos usar a cero como denominador? Por ejemplo, Como = 12 0, y la división entre 0 no está definida, 0 No podemos usar a cero como denominador un número racional. a 0 no está definida,, incluyendo a 0 0 Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

16 Resumen El conjunto de los números racionales consiste de cocientes a b donde a y b son enteros para b 0. Por lo tanto, este conjunto consiste de: Fracciones de naturales Opuestos de las fracciones de naturales Enteros Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

17 Modelo de la recta numérica Cuáles números se han representado en la siguiente recta numérica? Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

18 Fracciones equivalentes Fracciones equivalentes son numeros que representan el mismo punto sobre una recta numérica. Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

19 Fracciones equivalentes Fracciones equivalentes son numeros que ocupan la misma área de un entero. Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

20 Manipulativos tangibles Piezas de círculos 1 CM Piezas de rectángulos Franjas de fracciones Barras de cuisenaire Bloques de patrones Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

21 Ejemplos 1. Si la barra anaranjada es el todo, qué parte representa la barra amarilla? 2. Si la barra verde representa el todo, qué parte representan dos barras rojas? Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

22 Ejemplo Si la siguiente figura representa el todo, qué parte representa un trapecio? 1 4 Si el hexágono representa el todo, qué parte representa un rombo? 1 3 Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

23 1 Ejemplo Si representa 3 del todo, dibuje una posible representación del todo. Con un modelo de área Con un modelo de conjuntos Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

24 Barras de fracciones 1 2 = 3 6 = 6 12 Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

25 Ley fundamental de fracciones Sea cualquier fracción y n natural, entonces Ejemplo Hallar el valor para x tal que, por lo tanto x = 60 Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

26 Simplificación de fracciones Un número racional esta en su estado más simple en su forma mínima reducido completamente si a y b no tienen un factor común mayor que 1. Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

27 Ejemplo Escribir cada fracción en su forma más simple: a. b. c = = = = Es irreducible, no simplifica más. 10 d. 3a ab = 3 b d. 7x (x + 1) = 7 = x + 1 Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

28 Igualdad de Fracciones Demostrar que Método 1: Simplificar ambas fracciones a su estado más simple. Si reducen a la misma fracción, son iguales = = = = 2 7 Como las fracciones son iguales, las originales son equivalentes. Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

29 Igualdad de Fracciones Método 2: Convertir ambas fracciones a fracciones equivalentes con el mismo denominador usando el mínimo común múltiplo. Si las nuevas fracciones son iguales, las originales eran equivalentes. Demostrar que 6 20 = = MCM(20, 50) = = Como las fracciones son iguales, las originales son equivalentes. Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

30 Igualdad de Fracciones Método 3: Escribir ambas fracciones con un denominador común, aunque no sea el mínimo. Un común múltiplo a dos números es el producto de los dos. Por lo tanto, un común múltiplo es = Demostrar que 30 = = Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc = Como las fracciones son iguales, las originales son equivalentes.

31 Igualdad de Fracciones Dos fracciones y, d 0 son iguales si y sólo si ad = bc. Demostrar que = = = 432 Como los productos son iguales, las fracciones son equivalentes. Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

32 Ordenamiento de Números Racionales Si a, b, c, y d son enteros donde b > 0 y d > 0, entonces si y solo si ad > bc. Ejemplo: Como 4 12 = 48 y 5 11 = 55 Entonces, < ó > 5

33 Densidad de los números racionales Dado números racionales cualesquiera, a b y c d, existe otro número racional entre estos dos números. Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

34 Ejemplo Hallar dos fracciones entre. Primero, determinamos dos fracciones equivalentes a mayores y y 1 2 pero con denominadores 5 12 =? =? = = , 22 23, y están entre 5 12 y 1 2 Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.