LEY DE HOOKE. T r. r r. m g r. Figura 1. Si la elongación no es demasiado grande, la fuerza que ejerce el muelle es

Transcripción

1 LEY DE HOOKE 1. OBJETIVOS Esta práctica persigue básicamente dos objetivos: por una parte, comprobar experimentalmente la ley de Hooke, constatando que la fuerza que ejerce un muelle sobre un objeto unido a su extremo es proporcional a la deformación del muelle y en segundo lugar, obtener la constante elástica de un muelle. Para este segundo objetivo se seguirán dos métodos diferentes: en el primero se utilizará la relación experimental entre la deformación del muelle y la fuerza que ejerce sobre un objeto ligado a su extremo. Utilizando este método, también se comprobará experimentalmente la relación entre las constantes elásticas de dos muelles colocados en paralelo y la constante equivalente del conjunto. El segundo método para obtener la constante elástica consiste en medir el periodo de las pequeñas oscilaciones de un objeto sujeto en el extremo del muelle. Para terminar, se compararán los resultados obtenidos mediante los dos procedimientos. 2. INTRODUCCIÓN TEÓRICA Cuando un muelle ligero (de masa muy pequeña) se cuelga de un extremo, su longitud es la longitud natural, l o. Si del otro extremo se cuelga una masa, el sistema alcanza su posición de equilibrio para una longitud l del muelle, diferente de l o. Se define la deformación del muelle como la diferencia entre su longitud l y la longitud natural, l 0, l- l 0. En esta situación de equilibrio, la masa colgante está sometida a dos fuerzas del mismo módulo y de sentidos opuestos: su peso y la fuerza que ejerce el muelle (Fig. 1) T r m g r r r T + mg = 0 Figura 1 Si la elongación no es demasiado grande, la fuerza que ejerce el muelle es 1

2 proporcional a la deformación (Ley de Hooke). La constante de proporcionalidad, k, es la llamada constante elástica del muelle: r T = k l l 0 (1) Si se cuelgan masas diferentes, las posiciones de equilibrio corresponderán a elongaciones diferentes. r T = mg = kl l 0 ; l l = 1 0 mg k (2) Como se ve en la expresión anterior, la deformación total del muelle en el equilibrio es una función lineal del peso que cuelga, de pendiente 1/k. A partir de la medida de la deformación para diferentes masas, se puede obtener la constante elástica del muelle. Si en lugar de utilizar un muelle, colocamos dos en paralelo (fig. 2), el sistema puede considerarse equivalente a otro con un solo muelle, a cuya constante llamaremos constante equivalente k o. k 1 k 2 k 0 Figura 2 Si conocemos las constantes de ambos muelles (k 1 y k 2 ), se puede calcular la constante del muelle equivalente k o. Utilizando la ley de Hooke, suponiendo que se cuelga una masa m y teniendo en cuenta que la elongación de ambos muelles debe ser la misma (x = l - l o ), en el equilibrio tenemos que k 1 x +k 2 x= mg= k 0 x por tanto, k 1 +k 2 =k 0 (3) Si ahora el sistema se saca del equilibrio, estirando o comprimiendo el muelle, la fuerza gravitatoria sigue teniendo el mismo valor pero la fuerza elástica no, ya que la deformación del muelle ha cambiado. Si la deformación está dentro del límite elástico se puede demostrar que el sistema oscilará con un movimiento armónico simple entorno a la 2

3 posición de equilibrio, con un periodo que está relacionado con el valor de la masa que oscila y con la constante elástica del muelle: τ=2π(m/k) 1/2 (4) 3. MÉTODO EXPERIMENTAL a) Material * Dos muelles * Un platillo * Una pieza para unir el platillo al muelle * 4 pesos de 10 gramos. * 2 pesos de 50 gramos. b) Método de las masas colgantes en equilibrio En esta parte de la práctica obtendremos la constante elástica del muelle midiendo la posición del platillo para distintas masas colgantes en el equilibrio. El muelle se cuelga de un punto fijo y en el otro extremo se acopla el platillo, sobre el que se irán colocando masas diferentes. La deformación se medirá en la escala vertical (fig. 3). En esta parte de la práctica supondremos desconocida la masa del platillo. Figura 3 Colgamos el platillo y medimos la posición de su borde inferior en la escala vertical. A continuación colocamos la pesa de 10 gr. y medimos de nuevo la posición del borde 3

4 inferior del platillo. Seguimos añadiendo pesas de (10 en 10 gr hasta alcanzar los 70 gr.) y tomando las lecturas sobre la escala vertical. Repetiremos el proceso con el otro muelle y después con los dos en paralelo (colgando los dos muelles del mismo punto fijo y enganchando los otros dos extremos al platillo. En este último caso partiremos de 20 y llegaremos hasta 140 gr. añadiendo 20 gr. cada vez. Para cada serie de medidas, se completará en la hoja del informe una tabla con los pesos que se han colocado sobre el platillo (incluido el peso cero, sólo el platillo) y las lecturas correspondientes en la escala vertical, especificando las unidades que se utilizan. Notar que, como se ha explicado en la ec. (2), al estar el sistema en el equilibrio la fuerza que ejerce el muelle es igual al peso que cuelga de él. mg: El peso de la masa que hemos colocado en el platillo. l: La lectura en la escala vertical. mg l Para cada tabla de pesos y elongaciones, representar las medidas (posición en función del peso) en un gráfico en papel milimetrado. Las tres representaciones gráficas deben corresponderse con líneas rectas. Notar que esas rectas no pasan por el origen de coordenadas. Mediante este procedimiento, no estamos midiendo la deformación del muelle (la diferencia entre la longitud del muelle y su longitud natural), pero conseguimos una secuencia de datos en la que vemos a qué ritmo cambia la deformación con los cambios en la masa que se cuelga. Esto nos permite obtener la constante elástica del muelle a partir de la pendiente de la recta que dibujan los puntos experimentales, aunque ésta no pase por el origen ni tampoco conozcamos la masa del platillo. En los tres casos, dibujar a ojo la recta que mejor ajuste a los puntos experimentales. Utilizando la Ley de Hooke, escribir la ecuación que relaciona la distancia l que estamos midiendo con el peso que colocamos sobre el platillo. Obtener a partir de las rectas y=mx+b dibujadas, el valor de la pendiente (m) y de su ordenada en el origen (b). De acuerdo con la ecuación obtenida, calcular, a partir de la pendiente, el valor de la 4

5 constante de los muelle k 1, k 2 y k o. Por qué para calcular k utilizamos la pendiente de la recta dibujada en lugar de dividir la ordenada entre la abscisa de cualquier punto experimental?, con qué magnitud está relacionado el valor de la ordenada en el origen? Comparar el valor experimental de k o obtenido a partir de la pendiente de la recta que ajusta las medidas con los dos muelles, con el que se obtendría a partir de las constantes individuales k 1 y k 2 y la ecuación teórica (3). c) Método del período de las pequeñas oscilaciones Ahora vamos a medir la constante elástica del muelle sabiendo que ésta está relacionada con el periodo de las pequeñas oscilaciones del sistema (ec. 4). Para ello colgaremos un solo muelle, y de él una masa de 50 g en el platillo, que dejaremos en el equilibrio. Alargando con la mano 1 cm aproximadamente el muelle lo sacamos de su posición de equilibrio y lo soltamos, teniendo cuidado para minimizar el movimiento lateral. El sistema comenzará a oscilar y mediremos el tiempo que tarda en completar 20 oscilaciones, repitiendo la medida otras cuatro veces. A partir de estas medidas, deducir el periodo correspondiente a cada medida, la media de los períodos obtenidos y el error. Mediremos igualmente el período de las pequeñas oscilaciones del mismo muelle y una masa de 10 g y además, el de esta masa y los dos muelles en paralelo. A partir de estos periodos medidos y conociendo la masa total que cuelga del muelle (la del platillo está apuntada en la parte inferior) calcular las constantes correspondientes. Comparar los valores de k obtenidos mediante los dos métodos. PRECAUCIONES 1) NUNCA se han de poner más de 70 g en un muelle y 140 con los dos. 2) Al colocar las masas en el platillo, hay que hacerlo sin brusquedad y sujetando el mismo con la otra mano. 3) Para medir bien, el platillo no debe tocar la escala vertical. 5

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7 RESULTADOS DE LA PRÁCTICA: LEY DE HOOKE Nombres: Grupo: Fecha: Objetivos de la práctica 1.- Método de la elongación Muelle 1 mg l Muelle 2 mg l Muelles 1 y 2 mg l 7

8 Adjuntar gráficas con los datos experimentales (posición frente al peso que se coloca en el platillo) y las rectas que mejor ajustan. Deducir la ecuación que relaciona la distancia medida con el peso que hay sobre el platillo: Por qué no pasan las rectas por el origen de coordenadas?, con qué magnitud está relacionado el valor de la ordenada en el origen? Muelle 1: m 1 = b 1 = k 1 = Muelle 2: m 2 = b 2 = k 2 = Muelles 1 y 2: m 0 = b 0 = k 0 = 8

9 Por qué para calcular k utilizamos la pendiente de la recta dibujada en lugar de dividir la ordenada entre la abscisa de cualquier punto experimental? k 0exp = k 0teór = Comentar los resultados 9

10 2. Método del periodo de las pequeñas oscilaciones Masa 50 gr. y un muelle 20τ τ <τ> = τ= k= Masa 10 gr. y un muelle 20τ τ <τ> = τ= k= Masa 10 gr. y los dos muelles en paralelo 20τ τ <τ> = τ= k 0 = Comparar los dos métodos k k 0 elongaciones oscilaciones Comentar los resultados 10