Optimización Robusta de Planes de Extracción Minera

Transcripción

1 Optimización Robusta de Planes de Extracción Minera Juan Pablo Vielma University of Pittsburgh Trabajo conjunto con Daniel Espinoza, Guido Lagos y Eduardo Moreno Universidad de Antofagasta, 2011 Antofagasta, Chile

2 Introducción Modelo Programación Entera Estocástica Medidas de Riesgo Experimentos Computacionales Conclusiones 2/27

3 Introducción Modelo de Bloque Mina de Rajo Abierto 3/27

4 Introducción Paso 1: Que bloques extraer? 4/27

5 Introducción Paso 2: Cuales Bloques Proceso? 5/27

6 Introducción Programa entero: extraer y Procesar x i = 1 si el bloque i es extraido 0 si no p i x i i p i = 1 si el bloque i es procesado 0 si no 6/27

7 Introducción Extraer = Reglas de Precedencia x i x j j P i 7/27

8 Introducción Formulación 0-1 λ i Ley del bloque max (A i λ i B i )p i +E i x i p i x i i {1,...,n} n n x i x j D i x i D 0 F i p i F 0 i P j Capacidad de Extracción Capacidad de Procesamiento x i,p i {0,1} i {1,...,n} 8/27

9 Programación Entera Estocástica Que pasa con ley incierta? cástica ción finta uniforme: k escenarios das con simulación condicional 9/27

10 Programación Entera Estocástica Simulacion Condicional v/s Kriging Kriging Simulación Condicional 10/27

11 Programación Entera Estocástica Kriging = Tomar el Promedio Múltiples Modelos Modelo Promedio Optimización Plan de Extracción 11/27

12 Programación Entera Estocástica Podemos Evaluar Escenarios Múltiples Modelos Optimización Múltiples Planes Mejor Plan 12/27

13 Programación Entera Estocástica Programación Estocástica Múltiples Modelos Optimización Plan de Extracción 13/27

14 Programación Entera Estocástica Ley es un vector aleatorio Ley Estocástica Distribución finta uniforme: k escenarios Obtenidas con simulación condicional λ U λ j } k j=1 P( λ = λ j )= 1 k j {1,...,k} P λ1 = λ j 1... λ = λ j = 1 k j {1,...,k} 14/27

15 Programación Entera Estocástica Programa estocástico de 2 etapas max z(x,p):= E i x i + x X {0,1} λ i p i p P {0,1} p i x i i {1,...,n} 15/27

16 Programación Entera Estocástica Programa estocástico de 2 etapas max z(x,p):= E i x i + x X {0,1} λ i p i p P {0,1} p i x i i {1,...,n} Etapa 2 15/27

17 Programación Entera Estocástica Programa estocástico de 2 etapas max z(x,p):= E i x i + x X {0,1} λ i p i p P {0,1} p i x i i {1,...,n} Etapa 1 Etapa 2 15/27

18 Programación Entera Estocástica Programa estocástico de 2 etapas max z(x,p):= E i x i + x X {0,1} λ i p i p P {0,1} p i x i i {1,...,n} Etapa 1 Etapa 2 p 15/27

19 Programación Entera Estocástica Programa estocástico de 2 etapas max z(x,p):= E i x i + x X {0,1} λ i p i p P {0,1} p i x i i {1,...,n} p p λ Etapa 1 Etapa 2 15/27

20 Programación Entera Estocástica Programa estocástico de 2 etapas max z(x,p):= E i x i + x X {0,1} λ i p i p P {0,1} p i x i i {1,...,n} p p λ Etapa 1 Etapa 2 p j j {1,...,k} 15/27

21 Programación Entera Estocástica Programa estocástico de 2 etapas max z(x,p):= E i x i + x X {0,1} λ i p j i p j P {0,1} p j i x i i {1,...,n} p p λ Etapa 1 Etapa 2 p j j {1,...,k} j {1,...,k} 15/27

22 Programación Entera Estocástica Programa estocástico de 2 etapas max z(x,p):= E i x i + x X {0,1} λ i p j i p j P {0,1} p j i x i i {1,...,n} j {1,...,k} Etapa 1 Etapa 2 15/27

23 Programación Entera Estocástica Programa estocástico de 2 etapas max z(x,p):= E i x i + x X {0,1} λ i p j i p j P {0,1} p j i x i i {1,...,n} j {1,...,k} Etapa 1 Etapa 2 λ i p j i 15/27

24 Programación Entera Estocástica Programa estocástico de 2 etapas max z(x,p):= E i x i + x X {0,1} λ i p j i p j P {0,1} p j i x i i {1,...,n} j {1,...,k} Etapa 1 Etapa 2 λ i p j i E λ i p j i 15/27

25 Programación Entera Estocástica Programa estocástico de 2 etapas max z(x,p):= E i x i + x X {0,1} λ i p j i p j P {0,1} p j i x i i {1,...,n} j {1,...,k} Etapa 1 Etapa 2 λ i p j i E λ i p j i 1 k k j=1 λ j i pj i 15/27

26 Programación Entera Estocástica Programa estocástico de 2 etapas max z(x,p):= E i x i + 1 k k j=1 λ j i pj i x X {0,1} p j P {0,1} p j i x i i {1,...,n} j {1,...,k} Etapa 1 Etapa 2 λ i p j i E λ i p j i 1 k k j=1 λ j i pj i 15/27

27 Medidas de Riesgo Esperanza sin control de riesgo? z(x,p) U {z j (x,p)} k j=1 16/27

28 Medidas de Riesgo Esperanza sin control de riesgo? z(x,p) U {z j (x,p)} k j=1 z(x A,p A ) z(x B,p B ) 50% 33% 17% % 16/27

29 Medidas de Riesgo Medidas de Riesgo 1 z U {z j } k j=1 k E( z)= 1 k j=1 z j k min z j = z (1) z (2)... z (k) = max k j=1 j=1 z j VaR j k( z)= z (j) j CVaR j k(z)= 1 j z (i) 17/27

30 Medidas de Riesgo VaR ε ( z)=sup{t : P( z t) 1 ε} 18/27

31 Medidas de Riesgo CVaR ε (z)=e z z VaR (z) 19/27

32 Medidas de Riesgo Medidas de Riesgo 2 E( z)= 1 k k j=1 z j, k min z j = z (1) z (2)... z (k) = max k j=1 j=1 z j VaR j k( z)= z (j) CVaR j k(z)= 1 j j z (i) MCH (z)=(1 )E( z)+ k min j=1 z j (1 )CVaR 1 ( z)+cvar 1 ( z) k 20/27

33 Medidas de Riesgo CVaR y MCH: Optimización Robusta 21/27

34 Experimentos Computacionales Experimentos Computacionales Minas de y bloques 50, 100 y 1,000 escenarios Experimento 1: Una etapa Efecto de diferentes medidas de riesgo Efecto de uso restringido de escenarios Experimento 2: Efecto de usar dos etapas Problemas Resueltos con CPLEX 12 22/27

35 Experimentos Computacionales bloques y 100 escenarios Profits histogram using in sample ore grades Histogram (probability) Max E profit VaR ε = 10% CVaR ε = 10% MCH ε = 10% Max worst profit Profit 23/27

36 Experimentos Computacionales Si evaluamos con 1000 escenarios? Profits histogram using full sample ore grades Histogram (probability) Max E profit VaR ε = 10% CVaR ε = 10% MCH ε = 10% Max worst profit Profit 24/27

37 Experimentos Computacionales CVaR: 2728 bloques y 50 escenarios 25/27

38 Experimentos Computacionales CVaR: 2728 bloques y 50 escenarios 1 etapa 2 etapas 70.00% 52.50% 35.00% 17.50% [-500,100] [100,780] [780,2000] [2000,4000] 0% 25/27

39 Conclusiones Conclusiones Medidas de Riesgo: Diferentes comportamientos Sensible al uso restringido de escenarios Ley de corte variable ayuda. Problemas reales: no basta CPLEX: Chicoisne, Espinoza, Goycoolea, Moreno y Rubio (2010),Bienstock y Zuckerberg (2011) 26/27