AULAS DIBUJO TÉCNICO Y MATEMÁTICAS: UNA CONSIDERACIÓN INTERDISCIPLINAR DE VERANO. Instituto Superior de Formación del Profesorado

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1 AULAS DE VERANO Instituto Superior de Formación del Profesorado DIBUJO TÉCNICO Y MATEMÁTICAS: UNA CONSIDERACIÓN INTERDISCIPLINAR

2 DIBUJO TÉCNICO Y MATEMÁTICAS: UNA CONSIDERACIÓN INTERDISCIPLINAR

3 MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA SECRETARÍA GENERAL DE EDUCACIÓN Instituto Superior de Formación del Profesorado Edita: SECRETARÍA GENERAL TÉCNICA Subdirección General de Información y Publicaciones N.I.P.O.: I.S.B.N.: Dep. Legal: M Imprime: TARAVILLA S.L.

4 Colección: AULAS DE VERANO Serie: Ciencias DIBUJO TÉCNICO Y MATEMÁTICAS: UNA CONSIDERACIÓN INTERDISCIPLINAR La ingeniería y la Arquitectura son ejemplos de áreas técnicas en las que participan de forma destacada las disciplinas de Matemáticas y Dibujo Técnico. Estos dos saberes no solamente tienen muchos contenidos comunes, sino que a veces es difícil, y poco deseable, establecer fronteras entre ellos. En este curso se presentarán algunos tópicos que abarcan ambas disciplinas, pero tratados desde diferentes perspectivas. Se prestará especial atención a lo que puede aportar, en este contexto, las nuevas tecnologías en el quehacer diario del profesorado. El volumen está dirigido a profesores de Dibujo Técnico y Matemáticas interesados en explorar las posibilidades conjuntas en el currículo de Bachillerato. Dirección editorial del volumen Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar: ANTONIO NEVOT LUNA Coordinación: ROBERTO RODRÍGUEZ DEL RÍO Autores: AGUIRRE ESTIBÁLEZ, Julián ARTAMENDI FRANCO, Eduardo GARCÍA GARCÍA, Isabel GARCÍA LÓPEZ, Alfonsa NEVOT LUNA, Antonio PERALTA CORONADO, Javier RODRÍGUEZ DEL RÍO, Roberto SANTA CRUZ ASTORQUI, Jaime VALERO BURGUETE, Fernando

5 Nombre del autor ÍNDICE Fractales. De la Naturaleza al Arte pasando por las Matemáticas Julián Aguirre Estibález El número π: de la Geometría al Cálculo Numérico Roberto Rodríguez del Río Las matemáticas y las artes liberales Javier Peralta Coronado Problemas geométricos: una visión sintética y analítica Alfonsa García López Cónicas y otros lugares geométricos Alfonsa García López Un ejemplo de utilización de las TIC en la enseñanza de la geometría Isabel García García Espacio europeo de Educación Superior, una utopía? Antonio Nevot Luna Índice Geometría del pensamiento Eduardo Artamendi Franco MATERIAL COMPLEMENTARIO El dibujo asistido por ordenador en la enseñanza Jaime Santa Cruz Astorqui Software de geometría dinámica Fernando Valero Burguete Ediciones del Instituto Superior de Formación del Profesorado

6 Julián Aguirre Estibález FRACTALES. DE LA NATURALEZA AL ARTE PASANDO POR LAS MATEMÁTICAS Julián Aguirre Estibález Catedrático de Análisis Matemático Universidad del País Vasco / Euskal Herriko Unibertsitatea 1. FRACTALES EN LA NATURALEZA 2. MATEMÁTICAS DE LOS FRACTALES 2.1. Ejemplos clásicos Gráficas de funciones El conjunto de Cantor El triángulo de Sierpinski La curva de Koch Curvas que llenan el plano 2.2. Autosemejanza Simetría Semejanza Conjuntos autosemejantes 2.3. Dimensión Dimensión topológica Dimensión de Haussdorff Dimensión de Minkowski Dimensión fractal Dimensión autosemejante 2.4. Definición de fractal 3. ARTE DE LOS FRACTALES 3.1. Sistemas de funciones iterados Funciones entre conjuntos Algoritmo determinista Algoritmo probabilista Ejemplos 9

7 Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar 3.2. Superficies fractales 3.3. Fractales complejos Conjuntos de Julia Conjunto de Mandelbrot Añadiendo color Visualización 3D 3.4. Arte fractal Visual Musical REFERENCIAS 1. FRACTALES EN LA NATURALEZA En 1623, Galileo escribía: La filosofía está escrita en el gran libro del Universo, siempre abierto ante nuestros ojos, pero imposible de leer si uno no domina el idioma en que está escrito. Ese idioma es el de las Matemáticas, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras Geométricas, sin las que es humanamente imposible comprender una sola palabra; sin ellas, vagamos por un laberinto oscuro. Este texto es probablemente el denominador común de todas las conferencias y todos los cursos que tienen entre sus objetivos explicar la necesidad de las Matemáticas para entender el mundo que nos rodea. Se exponen en él algunas de las premisas básicas de la ciencia occidental moderna: Para comprender, simular o dominar la naturaleza es preciso comprender el idioma en que se expresa. El lenguaje en el que la naturaleza escribe el gran libro del Universo es el lenguaje matemático. El dialecto que nos permite describir y manipular las formas naturales es la geometría, más concretamente la geometría euclídea, y su alfabeto, las figuras Geométricas. Pero Galileo no acierta con el dialecto. La incapacidad de la geometría euclídea para describir el mundo que nos rodea no se ha puesto de mani- 10

8 Julián Aguirre Estibález fiesto hasta hace muy poco 1. Y sin embargo, resulta obvio, como dice Benôit Mandelbrot 2 Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, la corteza de un árbol no es suave y la luz no viaja en línea recta.... Esferas, conos, curvas y superficies regulares, rectas, y en general los objetos de la geometría euclídea son adecuados para representar las invenciones del hombre, y son los que se usan en planos y maquetas para diseñar maquinaria, piezas o edificios. Pero no son capaces de reproducir la sutil complejidad de las irregularidades de la naturaleza. El propio Mandelbrot concibió un nuevo dialecto, la geometría fractal, apropiado para la descripción de la Geometría de la Naturaleza, con todas sus irregularidades. Los caracteres con que se escribe ese dialecto son los conjuntos fractales, o simplemente los fractales. Esta nueva geometría fractal proporciona los medios para estudiar científicamente los bordes de una nube, el perfil de una cadena montañosa, la forma de una costa, el patrón de ramificación de una planta, el crecimiento de cristales, la turbulencia de un fluido, la estructura de los bronquios o el ritmo de los latidos del corazón. Es un nuevo lenguaje que permite crear modelos precisos de estructuras físicas desde galaxias a helechos. Mandelbrot tomó el nombre fractal del adjetivo latino fractus, participio del verbo frangere, que significa romper, crear fragmentos irregulares. Además, el término fractal nos recuerda a la palabra fracción, siendo una de las características de los fractales que tienen dimensión fraccionaria. Las líneas anteriores nos hablan de la presencia de los fractales en la naturaleza. A continuación se expone una galería de imágenes en la que quedan patentes las peculiaridades de esos objetos que llamamos fractales. 1 No nos referimos aquí a las geometrías no euclídeas y su uso por ejemplo en cosmología. 2 MANDELBROT, M. The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Co. San Francisco, Página X. 11

9 Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar Ampliaciones sucesivas de la costa de Inglaterra. Árboles. Montañas. Romanesco. Bacterias. Cascada. Nubes. Rayo. Olas. 12

10 Julián Aguirre Estibález Cuencas de ríos (Noruega). Atmósfera de Júpiter. Estalactitas. No sólo la naturaleza produce objetos fractales. Aunque los objetos manufacturados están en su mayoría formados por figuras euclídeas, algunas industrias han comenzado a explotar las formas fractales, como puede apreciarse en los siguientes ejemplos. Antena fractal. Distribuidor de fluidos. Camuflaje. 2. MATEMÁTICAS DE LOS FRACTALES En esta parte estudiamos la definición matemática de fractal en términos de dimensión, debida originalmente a Mandelbrot. Antes presentamos a través de ejemplos las características que diferencian a un conjunto fractal, y que se han podido apreciar en las imágenes de fractales naturales. 1. Un fractal tiene una estructura fina, es decir, tiene estructura en todas las escalas, por pequeñas que sean. 2. Un fractal es demasiado irregular como para ser descrito mediante las figuras de la geometría clásica, tanto a escalas grandes como pequeñas. 3. Un fractal tiene alguna autosemejanza, es decir, sus partes son parecidas al total. 4. La dimensión fractal (todavía por definir) de un conjunto fractal es mayor que su dimensión topológica. 13

11 Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar 5. Pese a su complejidad, un fractal se construye de manera sencilla, generalmente mediante la repetición de un proceso simple. Es inevitable que en esta descripción se haga necesaria una cierta sofisticación matemática, pero se ha procurado mantener en unos niveles asequibles para quien tenga un conocimiento de los fundamentos del cálculo Ejemplos clásicos Los fractales son una invención moderna, pero tienen antecedentes en algunas construcciones patológicas de finales del siglo XIX y principios del XX, fundamentalmente curvas con propiedades contrarias a toda intuición. A continuación se estudian algunos de esos ejemplos, y en cada caso se destacan aquellas propiedades que los convierten en fractales Gráficas de funciones La gráfica de una función diferenciable es una curva suave, con tangente en todos sus puntos, y con una longitud bien definida que puede calcularse mediante el cálculo integral. Tales curvas no son fractales. Para obtener fractales, debemos considerar funciones continuas pero no diferenciables. En los cursos de cálculo diferencial es usual ver ejemplos de funciones continuas que no tienen derivada en un punto. Probablemente el ejemplo más utilizado es el valor absoluto. Incluso pueden verse ejemplos más sofisticados con infinitos puntos de no derivabilidad, como. Pero sus gráficas no tienen ninguna de las características de los objetos fractales vistos anteriormente. Para obtener gráficas fractales debemos recurrir a funciones continuas no derivables en ningún punto. Bernhard Riemann ( ) propuso la función como un ejemplo de función continua que no es derivable en ningún punto. Ni Riemann ni Karl Weirstrass ( ) fueron capaces de demostrarlo. El matemático inglés G. H. Hardy 3 ( ) demostró que f no es derivable en los irracionales ni en los racionales de la forma 3 HARDY, G. H. Weierstrass s non-differentiable function. Trans.-Amer.-Math.-Soc.,

12 Julián Aguirre Estibález En 1970, casi un siglo después de que Riemann propusiera el ejemplo que hoy lleva su nombre, J. Server probó que existen infinitos puntos, concretamente los racionales de la forma en los que f es derivable. Weierstrass fue el primero en dar un ejemplo de una función continua en un intervalo pero no derivable en ninguno de sus puntos. En 1872 definió una función dependiente de dos parámetros ω > 1 y 0 < α < 1, que tras una ligera modificación se escribe como Como ω > 1, la serie es absolutamente convergente y f es continua. Weirstrass demostró que para ciertos valores de ω y α f no es derivable. Posteriormente, Hardy probó, en el mismo artículo citado anteriormente, que f no es derivable si ω > 1 y 0 < α < 1. Es muy difícil hacerse una idea de cómo es la gráfica de una de esas funciones, pues no tiene tangente en ningún punto. A lo más que podemos llegar es a representar mediante un ordenador la gráfica de la suma de un número finito de los términos que componen la serie que define la función. En la siguiente figura se muestra la gráfica de la suma de los 36 primeros términos f para los valores ω = 2,15 y α = 0,68 en dos intervalos distintos: de 0 a 5 y de 1,2 a 1,5. Obsérvese como las dos gráficas son muy parecidas. Es una manifestación de la autosemejanza o invarianza por cambio de escala. Resulta interesante comparar esas gráficas con las de la evolución de la cotización de las acciones de bolsa. 15

13 Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar Gráfica de la función de Weirstrass para ω = 2,15 y α = 0,68 en los intervalos y [0,5] y [1,2, 1,5]. Tales curvas propiciaron el siguiente comentario de Charles Hermite ( ): El análisis matemático te quita con una mano lo que te da con la otra. Huyo con miedo y espanto de ese deplorable mal, funciones continuas sin derivada El conjunto de Cantor Además de idear la teoría de conjuntos, Georg Cantor ( ) inventó, o quizás sería más correcto decir descubrió, un conjunto que lleva su nombre 4 y es la pesadilla de muchos estudiantes de análisis y de topología. Para construirlo se parte del intervalo cerrado C 0 = [0,1], y se procede de la siguiente manera. 1. Se divide C 0 en tres partes iguales y se elimina la del medio, obteniendo así un conjunto C 1 formado por dos intervalos cerrados disjuntos de longitud 1/3. 4 CANTOR, Georg. Ubre unendliche, lineare Puntmannigfaltigkeite V. Mathematishe Annalen,

14 Julián Aguirre Estibález 2. Se repite el proceso con cada uno de los intervalos que constituyen C 1, obteniendo así un conjunto C 2 formado por cuatro intervalos cerrados disjuntos de longitud 1/9. 3. Se repite el proceso, de manera que en el k-ésimo paso se obtiene un conjunto C k formado por 2 k intervalos cerrados disjuntos de longitud 1/3 k. La medida lineal (la longitud) del conjunto C k es por tanto (2/3) k, y tiende a cero cuando k tiende a infinito. El conjunto de Cantor es lo que queda después de repetir ese proceso hasta el infinito. Los seis primeros pasos en la construcción del conjunto de Cantor. Se define como Es un conjunto en cierto sentido pequeño, pues su medida lineal es cero. Sin embargo tiene tantos puntos como el intervalo [0,1]. Esto resulta claro cuando uno se da cuenta de que el conjunto de Cantor puede describirse alternativamente como el conjunto de puntos del intervalo [0,1] cuya representación decimal en base tres tiene sólo ceros y doses. En lenguaje matemático Sus características topológicas son: C es cerrado y acotado, es decir, C es compacto. Todos los puntos de C son de acumulación. C no contiene ningún intervalo. La existencia de un conjunto con estas propiedades resultaba paradójica, y durante mucho tiempo el conjunto de Cantor no fue más que una curiosidad 17

15 Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar académica, uno más en el zoo de conjuntos excepcionales. Hoy vuelve a jugar un papel importante en varias ramas de las Matemáticas, en especial en la teoría de sistemas dinámicos caóticos. Tratemos de explicar esto último. Definimos la función Su gráfica es como una tienda de campaña. Gráfica de T. Elegimos un punto cualquiera x 0 en [0,1] y calculamos la sucesión definida de manera recurrente como La sucesión se conoce como la órbita de x 0. El objeto de la teoría de sistemas dinámicos discretos es el comportamiento de la órbita cuando n tiende a infinito. Los casos más típicos e interesantes son: 1. la órbita tiende a un valor, que representa un punto de equilibrio del sistema, 2. la órbita tiene un comportamiento periódico. 18

16 Julián Aguirre Estibález En nuestro caso, las órbitas permanecen en el intervalo [0,1] o escapan al infinito. Por ejemplo, si x 0 e (1/3,2/3), entonces T (x 0 ) > 1, y decimos que el punto se escapa en un paso son precisamente el conjunto que antes hemos llamado C 1. Si x 0 e (1/9, 2/9) ó x 0 e (7/9, 8/9), entonces T (x 0 ) e (1/3, 2/3) y T(T(x 0 )) > 1, y otra vez el punto se escapa, pero esta vez en dos pasos. Los puntos que no se escapan en dos pasos son precisamente C 2. En general, C k es el conjunto de puntos que no escapan en k pasos, y el conjunto de Cantor es el conjunto de puntos que no escapa nunca, ni siquiera en un número infinito de pasos. En símbolos matemáticos. Esta construcción puede repetirse para otras funciones, dando lugar a conjuntos con propiedades equivalentes a las del conjunto de Cantor. La definición de órbita de un punto bajo la acción de una función es un ejemplo de retroalimentación (más comúnmente conocido por su nombre inglés: feedback). El mismo proceso se repite una y otra vez, usando el output de una iteración como input de la siguiente. Proceso de feedback. La retroalimentación es un mecanismo que permite pasar de lo sencillo a lo complejo. Aunque el proceso básico sea muy sencillo, la iteración puede producir patrones extremadamente complejos, como los fractales. Comparado con algunas de las imágenes de fractales naturales, el conjunto de Cantor no resulta visualmente muy atractivo. No es más que un conjunto de puntos dispersos en el intervalo [0,1]. Qué es lo que lo convierte en un fractal? Dos propiedades que son comunes a (casi) todos ellos: Es un conjunto autosemejante: es la unión de dos copias disjuntas de sí mismo, cada una de ellas reducidas a la tercera parte: Su dimensión fractal, que definiremos más adelante, es fraccionaria.. 19

17 Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar El triángulo de Sierpinski Nuestro siguiente ejemplo es una generalización de la construcción del conjunto de Cantor al plano bidimensional. Su inventor fue el matemático polaco Waclaw Sierpinski 5 ( ). Para construirlo se procede de la siguiente manera: 1. Se parte de un triángulo en el plano. 2. Se divide el triángulo en cuatro triángulos congruentes, semejantes al inicial, uniendo los puntos medios de sus lados. 3. Se elimina el triángulo del medio, obteniendo un conjunto formado por tres triángulos iguales, cada uno de ellos una copia del original, y cuya área es 3/4 el área del triángulo original. 4. Se repite este proceso con cada uno de los tres triángulos que quedan, obteniéndose una figura formada por 9 copias de triángulo original, de área 9/16 de la original. 5. Este proceso se repite hasta el infinito. Al igual que con el conjunto de Cantor, observamos lo siguiente: 1. El triángulo de Sierpinski tiene área nula. 2. Es autosemejante: es la unión de tres copias de si mismo reducidas a la mitad. 3. Tiene dimensión fractal no entera. Los seis primeros pasos en la construcción del triángulo de Sierpinski. 5 SIERPINSKI, Waclaw. «Sur une courbe dont tout point est un point de ramification». C. R. Acad., 160. Paris,

18 Julián Aguirre Estibález Otro conjunto similar es la alfombra de Sierpinski. Se parte de un cuadrado, se divide en 9 cuadrados iguales, y se elimina el del medio. El proceso se repite hasta el infinito con los cuadrados que quedan. La línea horizontal que pasa por el centro del cuadrado reproduce el conjunto de Cantor. Si el mismo proceso se realiza en un cubo en el espacio tridimensional, se obtiene un fractal denominado esponja de Sierpinski. La alfombra de Sierpinski La curva de Koch La esponja de Sierpinski. El siguiente ejemplo es debido al matemático sueco Helgen von Koch ( ), que definió lo que hoy conocemos como curva de Koch 6. Es una curva no rectificable (de longitud infinita) y que no tiene tangente en ningún punto. Es de una complejidad similar a la de una línea de costa. Se construye comenzando con un segmento rectilíneo, que sin pérdida de generalidad podemos suponer que tiene longitud 1, y se procede así: 1. Se divide el segmento en tres partes iguales. 2. Se sustituye la parte central por un triángulo equilátero del que se ha suprimido la base, obteniéndose una línea quebrada formada por cuatro segmentos de longitud 1/3, por lo que su longitud es 4/3. 3. Se repite el proceso con cada uno de los cuatro segmentos, obteniéndose una línea quebrada formada por 16 segmentos de longitud 1/9, por lo que su longitud es 16/9. 6 VON KOCH, Helgen. «Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géometrique élémentaire». Arkiv för Matematik

19 Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar 4. Se itera el proceso hasta el infinito, obteniéndose en el límite la curva de Koch. Los seis primeros pasos en la generación de la curva de Koch. Las características que hacen de la curva de Koch un fractal son: 1. Tiene longitud infinita. En efecto, en la k-ésima iteración se tiene una poligonal formada por 4 k segmentos de longitud 3 k, y de longitud total (4/3) k. Como 4/3 > 1, esa cantidad tiende a infinito con k. 2. Es autosemejante: es la unión de cuatro copias de sí misma reducidas una tercera parte. 3. Es una curva continua, pero no tiene tangente en ningún punto. 4. Tiene dimensión fractal no entera mayor que 1, como veremos más adelante. Si se juntan tres copias de la curva de Koch, se obtiene una curva cerrada conocida, por razones evidentes, como el copo de nieve de Koch o a veces la estrella de Koch. Es una figura con área finita pero perímetro infinito. La construcción de la curva de Koch se puede variar introduciendo elementos aleatorios. En cada paso podemos elegir al azar el triángulo que sustituye al segmento medio, por ejemplo eligiendo su altura mediante un generador de números (pseudo)aleatorios. A su vez, puede usarse ese triángulo para todas las sustituciones en un paso, o elegirlo distinto para cada segmento dentro de un mismo paso. Resulta imposible predecir el aspecto de las curvas resultantes. Alguna de las características de los fractales, como la autosemejanza, la verifican de manera estadística. 22

20 Julián Aguirre Estibález El copo de nieve de Koch y un copo de nieve real. Cuatro pasos en la construcción de una curva de Koch aleatoria. Una forma alternativa de describir la construcción de la curva de Koch y que puede generalizarse para obtener toda una plétora de curvas fractales es la siguiente. Se parte de dos curvas llamadas el iniciador y el generador. En este caso el iniciador es un segmento rectilíneo, y el generador la primera poligonal obtenida por el procedimiento anterior. Construida la poligonal en el paso k, para construir la siguiente se sustituye cada segmento que la forma por una copia del generador reducida de manera adecuada. Cambiando el iniciador y o el generador, se obtienen distintos fractales. Ejemplo de fractal. 23