TEORÍA DEL CAOS. Marzo 19 de Pre - Unal. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
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- Rafael Sosa Roldán
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1 TEORÍA DEL CAOS Ana María Beltrán Pre - Unal Marzo 19 de 2013 Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
2 1 Qué es el caos? Caos matemático 2 Fractales Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
3 Qué es el caos? Qué es el caos? Según la RAE se define caos como Confusión, desorden. Estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la ordenación del cosmos. Comportamiento aparentemente errático e impredecible de algunos sistemas dinámicos, aunque su formulación matemática sea en principio determinista. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
4 Qué es el caos? Qué es el caos? Según la RAE se define caos como Confusión, desorden. Estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la ordenación del cosmos. Comportamiento aparentemente errático e impredecible de algunos sistemas dinámicos, aunque su formulación matemática sea en principio determinista. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
5 Qué es el caos? Qué es el caos? Según la RAE se define caos como Confusión, desorden. Estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la ordenación del cosmos. Comportamiento aparentemente errático e impredecible de algunos sistemas dinámicos, aunque su formulación matemática sea en principio determinista. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
6 Caos matemático Qué es el caos? Caos matemático Definición En matemáticas se llama caótico a todo sistema determinista que es sensible a las condiciones iniciales. Donde por sistema determinista se entiende a un sistema dinámico (en movimiento) cuya evolución está perfectamente descrita por ecuaciones - principalmente diferenciales - y por condiciones iniciales interpretamos a las variables que intervienen en la evolución del sistema. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
7 Caos matemático Qué es el caos? Caos matemático Definición En matemáticas se llama caótico a todo sistema determinista que es sensible a las condiciones iniciales. Donde por sistema determinista se entiende a un sistema dinámico (en movimiento) cuya evolución está perfectamente descrita por ecuaciones - principalmente diferenciales - y por condiciones iniciales interpretamos a las variables que intervienen en la evolución del sistema. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
8 Efecto mariposa Qué es el caos? Caos matemático Propuesto por el matemático y metereólogo estadounidense Edward Lorenz durante el invierno de 1961 y que en pocas palabras lo convierte en el padre de la teoría del caos. El movimiento de una simple ala de una mariposa en China, hoy produce un diminuto cambio en el estado de la atmósfera. Después de un cierto período de tiempo, el comportamiento de la atmósfera diverge del que debería haber tenido. Así que, en el período de un mes, un tornado que habría devastado la costa de América no se forma. O quizás uno que no se iba a formar, se produce. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
9 Efecto mariposa Qué es el caos? Caos matemático Propuesto por el matemático y metereólogo estadounidense Edward Lorenz durante el invierno de 1961 y que en pocas palabras lo convierte en el padre de la teoría del caos. El movimiento de una simple ala de una mariposa en China, hoy produce un diminuto cambio en el estado de la atmósfera. Después de un cierto período de tiempo, el comportamiento de la atmósfera diverge del que debería haber tenido. Así que, en el período de un mes, un tornado que habría devastado la costa de América no se forma. O quizás uno que no se iba a formar, se produce. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
10 Aplicaciones Qué es el caos? Caos matemático Los fenómenos cuya modelación obedece a un sistema dinámico caótico son muy comunes y por eso el ámbito en el que se puede aplicar esta teoría es supremamente amplio. Las temas de estudio que mejor se pueden comprender a través del caos matemático están distribuidos en metereología, biología, medicina, física, ingenería de redes, comunicaciones y claro está: matemáticas. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
11 Fractales La geometría euclidiana nos provee figuras demasiado regulares como para encontrarlas en la naturaleza; nunca veremos algo totalmente recto o completamente circular; al contrario, lo que observamos son estructuras más bien irregulares muchas de las cuales tienen algo en común: son autosimilares. La noción de autosimilaridad hace referencia al hecho de que al observar a cualquier escala un objeto vemos que éste se repite una y otra vez al infinito. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
12 Fractales La geometría euclidiana nos provee figuras demasiado regulares como para encontrarlas en la naturaleza; nunca veremos algo totalmente recto o completamente circular; al contrario, lo que observamos son estructuras más bien irregulares muchas de las cuales tienen algo en común: son autosimilares. La noción de autosimilaridad hace referencia al hecho de que al observar a cualquier escala un objeto vemos que éste se repite una y otra vez al infinito. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
13 Fractales Un ejemplo sencillo de esta idea son los helechos de cuero comunes que vemos en las azoteas de las casas Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
14 Fractales O el triángulo de Sierpinski Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
15 Fractales O el copo de Koch Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
16 Dinámica compleja Fractales Dentro del estudio de los sistemas dinámicos en matemáticas hay uno muy particular y es el análisis del comportamiento de ciertas funciones en el plano complejo. El plano complejo es la representación visual de los números complejos (los de la forma a+bi) y es semejante a un plano cartesiano en el que se ubica la parte real en el eje x y la parte imaginaria en el eje y. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
17 Dinámica compleja Fractales Dentro del estudio de los sistemas dinámicos en matemáticas hay uno muy particular y es el análisis del comportamiento de ciertas funciones en el plano complejo. El plano complejo es la representación visual de los números complejos (los de la forma a+bi) y es semejante a un plano cartesiano en el que se ubica la parte real en el eje x y la parte imaginaria en el eje y. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
18 Iteración Fractales Dada una función f con dominio y rango complejo f : C C hablamos de la órbita de f en el punto c como el conjunto de las imágenes que se obtienen al iterar f en c O c (f) = {f(c),f(f(c)),f(f(f(c))),...} Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
19 Interpretación visual Fractales Ahora bien, si observamos el plano complejo como un arreglo de números en el que a cada entrada se le hace corresponder la coordenada x +iy respectiva e iteramos la función f en cada una de ellas hay dos opciones: La órbita se aleja cada vez más del origen tendiendo al infinito, o, La órbita va rápidamente hacia el cero complejo El siguiente paso es asignar a cada punto del arreglo el número de iteradas que se necesitaron para decidir hacia dónde iba la órbita. Por último, asignamos escalas de color según el número de iteradas correspondiente a cada entrada compleja. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
20 Interpretación visual Fractales Ahora bien, si observamos el plano complejo como un arreglo de números en el que a cada entrada se le hace corresponder la coordenada x +iy respectiva e iteramos la función f en cada una de ellas hay dos opciones: La órbita se aleja cada vez más del origen tendiendo al infinito, o, La órbita va rápidamente hacia el cero complejo El siguiente paso es asignar a cada punto del arreglo el número de iteradas que se necesitaron para decidir hacia dónde iba la órbita. Por último, asignamos escalas de color según el número de iteradas correspondiente a cada entrada compleja. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
21 Interpretación visual Fractales Ahora bien, si observamos el plano complejo como un arreglo de números en el que a cada entrada se le hace corresponder la coordenada x +iy respectiva e iteramos la función f en cada una de ellas hay dos opciones: La órbita se aleja cada vez más del origen tendiendo al infinito, o, La órbita va rápidamente hacia el cero complejo El siguiente paso es asignar a cada punto del arreglo el número de iteradas que se necesitaron para decidir hacia dónde iba la órbita. Por último, asignamos escalas de color según el número de iteradas correspondiente a cada entrada compleja. Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
22 Qué pintamos? Fractales Según la función que usemos obtenemos distintos gráficos; sin embargo, todos son FRACTALES y todos tienen caos en la frontera. A continuación veremos una pequeña galería de algunos de ellos Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
23 Qué pintamos? Fractales Según la función que usemos obtenemos distintos gráficos; sin embargo, todos son FRACTALES y todos tienen caos en la frontera. A continuación veremos una pequeña galería de algunos de ellos Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
24 Fractales Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
25 Fractales Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
26 L-Sistemas Fractales Existe un método un poco más sencillo que genera otro tipo de fractales en el que la iteración no es de una función sino de un conjunto de reglas sobre una cadena inicial. Si las reglas son de tipo geométrico; es decir, rotaciones, desplazamientos y traslaciones obtenemos esquemas similares a los siguientes Ana María Beltrán (Matemáticas) TEORÍA DEL CAOS Marzo 19 de / 17
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