2. Unidad 1, part. 2 (tercero)

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1 Descargar versión para imprimir 2. Unidad 1, part. 2 (tercero) 2.1. Movimiento Como primera definición de movimiento, podríamos decir que: Un cuerpo esta en movimiento, respecto a otro cuerpo tomado como referencia, si la distancia entre ellos cambia en el tiempo. Porqué tenemos que elegir otro cuerpo que sirva de referencia? Por que sino no tendría sentido hablar de movimiento. Siempre tenemos que indicar de antemano respecto a que se mueven las cosas. Por ejemplo, mientras leen estos apuntes seguramente están en reposo respecto a la Tierra, pero la Tierra y todo lo que hay en ella se está moviendo respecto al Sol a una velocidad de km/h!... nada construido por el hombre supera esta velocidad, aunque a escala astronómica la Tierra gatea por el sistema solar. Ahora, según la definición anterior, la distancia entre el cuerpo de referencia que se asume esta fijo y el móvil, esta distancia debe estar cambiando a medida que el tiempo transcurre. Pero puede ocurrir que un cuerpo este en movimiento respecto a otro sin que la distancia entre ellos cambie. Es lo que ocurre por ejemplo cuando un cuerpo pesado (la plomada) suspendido por una tanza se mueve respecto a los dos dedos por donde se sostiene el otro extremo de la tanza: La distancia entre la plomada y los dedos no cambia y sin embargo la plomada se mueve. Lo que en realidad cambia es la posición que ocupa el cuerpo en el espacio en cada instante de tiempo, que en algunos casos implica un cambio de distancia, siempre tomando como referencia a otro cuerpo. Por lo tanto diremos que: 1

2 Un cuerpo esta en movimiento, respecto a otro tomado como referencia, si su POSICIÓN cambia en el tiempo Velocidad media e instantánea Para simplificar las cosas, en lugar de elegir un cuerpo de referencia, podría marcar en el piso con una tiza una X. Esta claro que si camino en cualquier dirección y sentido, respecto a la X, me estoy moviendo. Para simplificar aun más las cosas, supongamos que trazo una línea recta que pase por la X, de tal manera de que solo tenga permitido caminar en la dirección de esa línea, ya sea acercándome ó alejándome de la X. Queda claro que la trayectoria seguida por mí es rectilínea, pero qué tan rápida recorro un tramo cualquiera de esa línea? Para responder a esta pregunta se introduce el concepto de velocidad. Supongamos ahora que la línea esta orientada en la dirección Norte-Sur y que mis pasos son uniformes, siempre igualitos. Si camino hacia el Norte y doy 20 pasos en un minuto (60 segundos), se podría decir que mi velocidad (respecto a la X) es igual a: 20 pasos = 0,33 pasos/s 60 s Y si ahora doy 30 pasos en 1 minuto mi velocidad será: 30 pasos = 0,50 pasos/s 60 s De lo anterior se deduce que en el mismo tiempo (un minuto) recorrí más distancia en la segunda caminata que en comparación con la primera, y por lo tanto se puede concluir que en la primera caminata mi velocidad fue menor que en la segunda. Ahora, como mis pasos difícilmente son uniformes, es decir, siempre miden la misma longitud, en su lugar como unidad de longitud podemos elegir al metro. Supongamos que en promedio cada paso mío tiene una longitud igual a 40 cm o 0,40 m, y por lo tanto 20 pasos = 20 0,40 m = 8 m y 30 pasos = 30 0,40 m = 12 m. Así la velocidad en la primera caminata sería igual a: 2

3 8 m/60 s = 0,13 m/s, y en la segunda caminata la velocidad sería igual a 12 m/60 s = 0,20 m/s. En definitiva, diremos que: La velocidad media de un cuerpo es igual al cociente que resulta de dividir la distancia recorrida, entre el tiempo consumido para recorrerla. Si d representa la distancia recorrida, y t el tiempo empleado por el cuerpo para recorrer dicha distancia, entonces la velocidad media, v m, se da por: v m = d t que es la expresión matemática de la definición recuadrada más arriba. De la última ecuación se deducen las dos siguientes ecuaciones: d = v m t, y: t = d v m La unidad internacional de la velocidad es el metro por segundo (=m/s) (prestar atención a la última ecuación recuadrada). Otra unidad ampliamente difundida es el kilómetro por hora (=km/h), y su relación con el metro por segundo se muestra en el siguiente diagrama: El diagrama anterior se entiende de esta manera: si la velocidad está expresada en kilómetros por hora, para convertirla a metros por segundo hay que dividirla 3

4 entre 3,6, y al contrario, para convertir la velocidad expresada en metros por segundo a kilómetros por hora hay que multiplicar por 3,6. Ejercicio 1. Usando el diagrama anterior, según sea el caso, convertir metros por segundo a kilómetros por hora, o, convertir kilómetros por hora a metros por segundo. 20 m/s = 103 km/h = 45 m/s = 60 km/h = 1 km/h = 1 m/s = A continuación se muestra un diagrama (que funciona igual al anterior) que muestra la relación entre las unidades de tiempo más usadas. Ejercicio 2. Usando el diagrama convertir un segundo a una hora. Ejercicio 3. Usando el resultado del ejercicio anterior, y sabiendo que 1 m = 0,001 km, deducir que 1 m/s = 3,6 km/h. 4

5 Ahora voy a tratar de mejorar la ecuación anterior. Supongamos que la trayectoria rectilínea se hace coincidir con el eje real o de las abscisas 1, y la posición del cuerpo de referencia la hacemos coincidir con la del origen de coordenadas. Supongamos que un cuerpo cualquiera se mueve a lo largo del eje real y en el instante t i (que marca el cronómetro) ocupa la posición inicial x i, o dicho de otra forma, cuando el cronometro marca t i, por ejemplo, segundos, la distancia del cuerpo al origen de coordenadas es igual a x i, por ejemplo, metros. Supongamos ahora que en el instante t f la posición final del cuerpo es x f, tal como se muestra en la siguiente figura. Así la distancia recorrida por el cuerpo, en el intervalo de tiempo t = t f t i, se da por: d = x f x i = x, y por lo tanto la velocidad media del cuerpo esta dada por: v m = x t = x f x i t f t i donde la i significa inicial y la f significa final. En particular, si iniciamos el cronómetro cuando el cuerpo pasa por el origen de coordenadas, entonces se cumple que en t i = 0 s y x i = 0 m, y por lo tanto la ecuación anterior se reduce a: donde se puede suprimir la f. v m = x f 0 t f 0 = x f t f = x t 1 Que conocen del curso de matemática. 5

6 El instrumento de medida destinado para medir el valor de la velocidad en una determinada unidad, se denomina velocímetro. Ahora, el velocímetro por si solo no da toda la información sobre la velocidad a la que se mueve el cuerpo. El velocímetro del tablero de un auto, nada indica hacia donde se mueve el auto. Para completar la información se podría usar una brújula. Así por ejemplo, el auto se esta moviendo con una rapidez o celeridad igual a 80 km/h en la dirección Este-Oste y en sentido Este. De aquí se deduce que la velocidad es una magnitud vectorial. Es importante tener en cuenta que las ecuaciones anteriores solo sirven (salvo que oportunamente se diga lo contrario) para calcular la velocidad media del cuerpo. En general, la velocidad de un cuerpo puede variar permanentemente en el tiempo, es decir, el vector velocidad, o en particular, su rapidez (=módulo) para cada instante de tiempo puede cambiar. Así por ejemplo, el velocímetro de un auto indica que su rapidez para un cierto instante de tiempo vale 72 km/h. A esta velocidad se le denomina, para distinguirla de la velocidad media, velocidad instantánea. En definitiva: La velocidad instantánea es la que tiene un cuerpo en movimiento aquí y ahora Movimiento rectilíneo uniforme De todos los movimientos que puede tener un cuerpo, el más simple de todos, pero difícil de conseguir salvo quizás en condiciones de laboratorio, sea el movimiento rectilíneo uniforme, de aquí en más, MRU. Un MRU se caracteriza por el hecho de que el vector velocidad permanece constante en el tiempo... no cambia nada en el vector velocidad! Esto significa que: 6

7 Durante un MRU la rapidez (=modulo), la dirección, y el sentido del vector velocidad, permanecen constantes en el tiempo. De lo anterior se deduce, como es lógico, que al no cambiar la dirección del vector velocidad, que es en definitiva la dirección del movimiento, la trayectoria seguida por el cuerpo sea rectilínea... siempre derichito! A continuación se muestra una gráfica típica de velocidad contra tiempo para un MRU. Según esta gráfica el cuerpo, por ejemplo, un auto, se mueve constantemente con una rapidez igual a 60 km/h durante un intervalo de tiempo igual a 0,40 h. Pregunta 1. A cuantos minutos equivalen 0,40 h? El área sombreada representa la distancia recorrida por el auto en ese intervalo de tiempo. Pregunta 2. Qué distancia recorrió el auto? y en qué unidades está expresada dicha distancia? Notar que las unidades para la velocidad, kilómetros por hora, y para el tiempo, horas, son compatibles entre sí. 7

8 Ejercicio 4. Un carrito de laboratorio se mueve sobre el piso con MRU, y experimentalmente se obtuvieron los datos resumidos en la siguiente tabla: Tiempo transcurrido Posición 10 s 6 m 20 s 12 m 30 s 18 m 40 s 24 m 50 s 30 m Graficar los datos de la tabla en la siguiente cuadrícula. Si se unen los puntos graficados, la gráfica posición-tiempo para un MRU resulta ser (como puede comprobarse) un segmento de recta. A partir de esta gráfica se puede determinar la velocidad (rapidez) del carrito. La pendiente, es decir, la inclinación de la gráfica, se relaciona con la velocidad media. Más aún, gráficamente se tiene que: A mayor pendiente mayor velocidad media, e inversamente, a menor pendiente menor velocidad media. 8

9 Para determinar la velocidad media a partir de la gráfica del MRU, basta con elegir dos puntos de la gráfica tal como se muestra en la siguiente figura. A partir de estos dos puntos cualesquiera de la gráfica, se puede construir un triángulo rectángulo, donde uno de los catetos es x y el otro es t, y se sabe además que: v m = x t Pregunta 3. Usando la gráfica anterior cuánto vale la velocidad del carrito del laboratorio? Problema 1. A partir de la siguiente gráfica calcular la velocidad media del cuerpo. Expresar el resultado final en metros por segundo. 9

10 Problema 2. En la siguiente gráfica se representa el movimiento de un auto, que supondremos, se mueve con MRU. En la gráfica se pueden distinguir tres intervalos de tiempo. Calcular para cada intervalo de tiempo la velocidad media del auto. En el tercer intervalo (contando de izquierda a derecha) la velocidad media queda negativa. Qué significa el signo negativo en la velocidad? Cuál es la posición final del auto? Problema 3. Hacer el problema anterior pero con la siguiente gráfica. Problema 4: En la siguiente gráfica se representa el MRU de dos autos A y B. 10

11 Uno de ellos tiene mayor rapidez que el otro, cual de ellos? Calcular la velocidad media de cada uno. En un determinado instante los autos chocan En que momento y en que lugar (posición) se produce el choque? Cómo se produce el choque frontal o de atrás? Problema 5. Hacer el problema anterior pero con la siguiente gráfica. Pregunta 4. La siguiente gráfica, representa una situación física real? Justificar la respuesta. 11

12 Los MRUS son la excepción a la regla: para conseguirlos, el cuerpo en movimiento debe estar libre de los efectos de cualquier fuerza, y si hay fuerzas actuando sobre el cuerpo, estas deben equilibrase entre sí. Además, notar que la velocidad media e instantánea coinciden para este movimiento, y por lo tanto no hay necesidad de distinguir entre ellas Primera ley de Newton La primera ley de Newton 2 establece que: Si sobre un cuerpo no se ejerce ninguna fuerza, éste permanecerá en reposo o se mueve en línea recta con rapidez constante (=MRU). Las fuerzas son la causa de todo movimiento, salvo que se trate de un MRU. Por lo tanto, para conseguir un MRU hay que anular los efectos de todas las posibles fuerzas que puedan actuar sobre el cuerpo... ahora se entiende porque es tan difícil conseguir que un cuerpo tenga un MRU, aun en condiciones de laboratorio? Esto implicaría, por ejemplo, eliminar la fuerza de rozamiento que surge entre el cuerpo y el piso sobre el que se mueve, pues la 2 Aunque en realidad esta ley (o principio) fue enunciada antes por Galileo Galilei. 12

13 fuerza de rozamiento tiende a frenar el movimiento de dicho cuerpo. Por lo tanto, la tendencia natural y espontanea de todo cuerpo cuando esta libre de la acción de toda fuerza, es de encontrarse en reposo o MRU. Cuando esto ocurre se dice que el cuerpo está en estado de inercia. A su vez, la inercia esta relacionada con la masa del cuerpo. Cuanto mayor es la masa de un cuerpo, tanto más intensas deberán ser las fuerzas que actúen sobre dicho cuerpo para cambiar su movimiento. Por ejemplo, qué es más fácil frenar, un tren o un auto? Evidentemente será más fácil frenar al auto, pues su masa es mucho menor que la del tren, y en consecuencia, la inercia es menor en el auto que en el tren. La inercia es un indicador de la tendencia que tiene un cuerpo de seguir de largo y derechito si esta en movimiento o quedarse en reposo. Problema 6. A continuación se muestra una gráfica de velocidad contra tiempo. 1. Qué intervalos de tiempos se reconocen en la gráfica? 2. Según la gráfica la unidad del tiempo es la hora, a cuantos minutos equivale cada intervalo de tiempo? 3. Qué velocidad tiene el cuerpo en cada intervalo de tiempo? 13

14 4. Cómo es el movimiento del cuerpo en cada intervalo de tiempo? 5. Como se puede observar, la velocidad del cuerpo cambia de un intervalo de tiempo a otro. Esta situación representada en la gráfica es posible en la realidad? Justificar la respuesta usando la primera ley de Newton. 14