Diagramas de Veitch y Karnaugh

Transcripción

1 Diagramas de Veitch y Karnaugh Estos diagramas permiten simplificar en forma sistemática las funciones Booleanas sin aplicar las propiedades propias del álgebra de Boole. Para entender como aplicar estos diagramas supondremos que se dispondrá de un conjunto universal de botones con distintas características. Si llamamos A al grupo de botones Antiguos B al grupo de botones Bordados C al grupo de botones Cuadrados D al grupo de botones Dorados Supóngase que el conjunto universal de botones con que se trabajará, estará representado por un cuadrado y hay que tener en cuenta que una línea sobre una variable indica la negación de la misma o sea el complemento de ella. Inicialmente trabajaremos con los botones Antiguos y los Bordados: El diagrama de Veitch quedaría de la siguiente manera: En este caso Grupo de botones Antiguos Grupo de botones no Antiguos Grupo de botones Bordados Grupo de botones no Bordados Este elemento corresponde a botones no antiguos y no bordados Este elemento corresponde a botones no antiguos y bordados Este elemento corresponde a botones antiguos y no bordados Este elemento corresponde a botones antiguos y bordados A A A A B B B B Si se agrupa por ejemplo el conjunto de botones con el conjunto se formará el conjunto de los botones Esta agrupación de elementos se podrá simbolizar analíticamente como: Electrónica Digital I hoja 1 de 8

2 O sea que en vez de aplicar las leyes del álgebra de Boole se puede resolver una simplificación de funciones utilizando la agrupación de conjuntos. Para simplificar una expresión por este método se deberá tener en cuenta algunas consideraciones. Para entender un poco mejor este proceso, se agregará al conjunto universal anterior un tipo de botón más o sea en éste caso se agrega el grupo de botones Cuadrados. Ahora no se sombrearán los grupos para no crear confusión La ubicación de las variables obedece a que las mismas forman un grupo compacto tanto sea para esa variable como para lo que no corresponde a ella o sea para la variable y para su complemento. Para entender mejor esto, se supondrá que el conjunto universal será un rectangulo que puede considerarse como un cilindro desplegado que estaría dividido en los siguientes sectores: El sector inferior para el conjunto A y el superior para su complemento, el sector de atrás para el conjunto B y el de adelante para su complemento y el sector de la derecha para el conjunto C y el de la izquierda para su complemento. Como ejemplo se analizará la siguiente expresión: S = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Esta correspondería a un conjunto con los siguientes elementos: a Botones no antiguos, no bordados y cuadrados. b Botones no antiguos, bordados y cuadrados. c Botones no antiguos, bordados y no cuadrados. d Botones antiguos, no bordados y cuadrados. e Botones antiguos, bordados y cuadrados. Se colocará un 1 indicando que este elemento pertenece al conjunto y un 0 si el mismo no pertenece. Si ahora se agrupan los elementos que pertenecen a un mismo conjunto se encontrará que en este caso el conjunto estará formado por los elementos a, b, d y e formando el conjunto de botones Cuadrados ( C ), pero quedaría sin considerar el elemento c, y para tenerlo en cuenta se podría considerarlo junto con el elemento b como pertenecientes al subconjunto formado por los botones No Antiguos y Bordados; ambos grupos formados están indicados por líneas de trazos en el diagrama. Electrónica Digital I hoja 2 de 8

3 Si ahora se escribe la expresión anterior por los grupos obtenidos mediante el método citado se obtendrá: Para obtener el mismo resultado aplicando el método tradicional de simplificación de funciones mediante el álgebra de Boole, se podrían realizar las siguientes operaciones: Partiendo de la expresión original. Sacando factor común la variable C, la expresión queda: Si ahora dentro del paréntesis se saca por ejemplo factor común por grupos la variable A y su complemento y teniendo presente que la suma de una variable con su complemento da como resultado 1, la expresión queda ahora: Teniendo en cuenta ahora que el producto de una variable con 1 da, como resultado la misma variable, la expresión queda: Aplicando la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto, podría escribirse la expresión de la siguiente manera: Finalmente la expresión queda igual que la que se obtuvo mediante el diagrama de Veitch explicado mas arriba. Como puede observarse, el proceso de simplificación por el método del álgebra de Boole es largo y a veces engorroso, por lo que el método propuesto resulta mas operativo. Electrónica Digital I hoja 3 de 8

4 Las primeras consideraciones que se debe tener en cuenta para la formación de los grupos de elementos del diagrama de Veitch son las siguientes: C1 Los grupos deben estar formados por elementos que deben ser vecinos entre sí o sea que entre un elemento y el otro sólo cambie una variable, por lo que no se pueden elegir elementos vecinos que estén en diagonal. C2 Se puede observar que los elementos de los extremos del diagrama de Veitch, difieren en una sola variable, por lo que son considerados vecinos y pueden ser agrupados entre sí. C3 Estos grupos deben poseer 2 n elementos, ( grupos de 1, 2, 4, 8, 16,... elementos). C4 El valor n indica la cantidad de variables que se simplifican en dicha agrupación. C5 La(s) variable(s) que se simplifican son las que para el grupo elegido no poseen las mismas características o sea son las que cambian de valor dentro del grupo. C6 Un elemento puede formar parte de más de un grupo. Si al diagrama de Veitch anterior se le agrega el valor numérico que adopta cada variable es lo que se da en llamar el diagrama de Karnaugh. El diagrama quedaría: Se puede observar que en el caso de tener 2 variables su numeración sigue una secuencia de tipo Gray donde se evidencia que un elemento y su vecino solo difieren en el valor de una variable, incluido los extremos. Si lo que se quiere hallar es la expresión simplificada de una función de la que conoce su tabla de verdad, la aplicación de este método es muy conveniente. Sea por ejemplo la función dada según la siguiente tabla: La expresión original será: La expresión simplificada quedará: Es importante destacar que si en la expresión original existe algún término en el que falte alguna variable, al volcar la misma al diagrama, este término tendrá más de un elemento debido a que la variable faltante debe considerarse con sus dos estados posibles. Por ejemplo si el término fuese A C Se debería escribir en el diagrama los elementos A B C y A B C en donde B adopta sus 2 estados posibles. Electrónica Digital I hoja 4 de 8

5 Para resolver una función con cuatro variables como la expresada en la tabla siguiente, se reordenarán las mismas en el diagrama para tener 2 variables por lado y el diagrama quedará: La expresión original será: Se puede observar en el diagrama que con los 3 grupos indicados con línea de trazos se cubren todos los estados de la expresión, los mismos se pueden expresar de la siguiente manera: El primer grupo [ D ], está formado por 8 elementos, y como se indicara antes (condición C3 ) 8 = 2 3 de donde se puede inferir que se eliminaran 3 variables y estas son A, B y C pues estas adoptan sus 2 valores, en cambio D para todo el grupo adopta el valor 0. El segundo grupo [ A C ], está formado por 4 elementos, y como 4 = 2 2 lo que indica que se eliminaran 2 variables y estas son B y D pues estas adoptan sus 2 valores, en cambio para todo el grupo, A adopta el valor 1 y C el valor 0 El tercer grupo [ A B C ], está formado por 2 elementos, y como 2 = 2 1 solo se eliminará 1 variable, D pues adopta sus 2 valores, en cambio para todo el grupo, A adopta el valor 0 en cambio B y C adoptan el valor 1 Por lo que la expresión final será: Electrónica Digital I hoja 5 de 8

6 Una particularidad que suelen presentar estos diagramas Obsérvense ahora distintas expresiones ya volcadas en los siguientes diagramas con sus soluciones: Obsérvese que en los cuatro diagramas inferiores se han omitido las letras de las variables (Veitch) y sólo se dejaron sus referencias y los valores numéricos correspondientes (Karnaugh) porque por lo general, por comodidad, se suele adoptar un solo tipo de notación al plantear estos diagramas, quedando a criterio del usuario que notación utilizará. En adelante se adoptará esta notación. De los diagramas anteriores se puede inferir lo siguiente: Todos los diagramas representan a una expresión cuya solución tiene una estructura diagonal o lo que comúnmente se denomina tablero de damas o tablero de ajedrez. Cuando se cumple la condición anteriormente mencionada, la solución de la expresión es del tipo de una OR exclusiva. Las variables que componen la OR exclusiva se pueden determinar observando cualquiera de los grupos que componen la solución pues todos estos están formados por las mismas variables no importando si estas están negadas dentro del grupo. Si el elemento A B C ( ABC = 000 ) pertenece a la expresión, o sea su valor en el diagrama es 1 ; el resultado será una NOR exclusiva con las mismas variables anteriores. Electrónica Digital I hoja 6 de 8

7 Este mismo análisis puede extenderse a diagramas con más de 3 variables y en ellos las condiciones anteriormente mencionadas se siguen teniendo validez. Como ejemplo se muestran algunos diagramas con 4 variables y sus soluciones En algunos casos suele ser más conveniente simplificar un expresión por medio de los ceros de la misma, el procedimiento a seguir es similar al anterior pero se debería tener presente algunas consideraciones: El resultado de la simplificación será el complemento de la función de salida de la misma. Para obtener la función de salida de la expresión se deberá aplicar el postulado de De Morgan. El desarrollo de este método se muestra en el siguiente ejemplo: Supóngase que una expresión determinada está representada por el siguiente diagrama de Karnaugh y teniendo en cuenta las consideraciones anteriores para su simplificación se obtendrá la expresión mostrada al pié del diagrama. Se muestra además la simplificación de la expresión por el método tradicional anteriormente visto. Electrónica Digital I hoja 7 de 8

8 Al aplicar los postulados de De Morgan se obtiene la siguiente expresión. Si se aplica ahora la propiedad distributiva del álgebra de Boole se obtiene: Al sacar factor común y teniendo en cuenta que X X = X, la expresión queda: Por último sabiendo que 1 + X =1 se obtiene la misma expresión que se obtuvo al simplificar aplicando el método con los unos. Electrónica Digital I hoja 8 de 8