Suma y resta algebraica. Expresiones algebraicas

Transcripción

1 Suma y resta algebraica En una panadería se tienen varias charolas, en ellas se encuentran 35 bolillos, 15 donas, 18 conchas y 12 cuernitos entre otra variedad de panes. En un momento determinado llega Juan y se lleva 5 bolillos, 3 donas y 1 cuernito, María se lleva 8 bolillos y 4 donas y Lupe toma 5 conchas y dos cuernitos, después de la compra de estos tres clientes. Cuántos panes quedan en cada charola? Para comenzar a resolver nuestro problema, es conveniente representar cada uno de nuestras variables (tipos de pan) con una letra, de esta forma, no tendrás que escribir la palabra cada vez que necesites nombrarla. Así, se dice que y b d c f representa el bolillo, las donas, las conchas los cuernitos. Expresiones algebraicas Puedes ordenar la información como se muestra en la siguiente tabla: Si sumas el pan que se llevó Juan, María y Lupe podrás saber qué cantidad de cada pan se llevaron en total, así que, se suman bolillos con bolillos, conchas con conchas y así sucesivamente cada tipo de pan con el que le corresponde: Pan de Juan+ pan de María + Pan de Lupe= pan vendido El resultado anterior indica que se vendieron 13 bolillos, 7 donas, 5 conchas y 3 cuernitos. Si se resta esta expresión a la expresión que representa el pan que tenía en un inicio la panadería se obtendrá el pan que sobró.

2 Pan de la panadería pan vendido= pan sobrante El resultado anterior indica que sobraron 22 bolillos, 8 donas, 13 conchas y 9 cuernitos. Como pudiste darte cuenta en el problema anterior, cuando se realiza una suma o resta de expresiones algebraicas, solamente se suman los términos que identifican una misma variable, es decir, bolillos con bolillos, donas con donas, y así sucesivamente, ya que no se pueden sumar todos a la vez, porque tienen características distintas, en este caso podría ser el precio. A los términos que identifican una misma variable se les denomina términos semejantes. Recuerda que Los términos semejantes son aquellos que poseen la misma parte literal y el exponente, sin importar el coeficiente y el signo. La suma o resta de expresiones algebraicas puede realizarse sumando o restando cada uno de sus términos semejantes. Debe considerarse: Reglas de los signos para la SUMA a) Signos iguales se suman y se escribe el resultado con el mismo signo 2x + 3x = 5x 2x 3x = 5x b) Signos diferentes se restan y se escribe el resultado con el signo del mayor 2x + 3x = x 2x 3x = x

3 Ejemplos de sumas algebraicas 1) Se quitan los paréntesis Se identifican términos semejantes Se suman sólo los coeficientes de cada término semejante. 2) Se quitan los paréntesis Se identifican términos semejantes Se suman sólo los coeficientes de cada término semejante. 3) En algunas ocasiones, para facilitar la suma de expresiones algebraicas, se acostumbra ordenarlos de tal manera que formen columnas de términos semejantes. Observa cómo quedaría el ejemplo anterior: 3x + 2y 4z 8x + 5y 6z 6x + y + 4z 5x + 8y 6z

4 Cuando resuelvas una suma algebraica tú puedes escoger el método que más se te facilite. Para efectuar la resta de dos expresiones algebraicas, se cambia el signo a todos los términos del polinomio que será el sustraendo, debido a que se realiza una multiplicación del signo menos por los signos del polinomio del sustraendo, y se suma la expresión resultante al polinomio que es el minuendo Minuendo Sustraendo = Diferencia Reglas de los signos para la MULTIPLICACIÓN a) Signos iguales el resultado es positivo b) Signos diferentes el resultado es negativo Ejemplos de restas algebraicas 1) Se quitan los paréntesis y se cambian los signos del sustraendo Se identifican términos semejantes Se suman algebraicamente, sólo los coeficientes de cada término semejante

5 2) Se quitan los paréntesis y se cambian los signos del sustraendo Se identifican términos semejantes Se suman sólo los coeficientes de cada término semejante (3x 2 y! 8xy 2 + 5xy)! ( 4x 2 y! 7xy + 9xy 2 ) =!x 2 y!17xy +12xy 2 Al igual que en la suma se puede efectuar la resta algebraica acomodando los términos semejantes, sin olvidar los cambiar los signos del sustraendo. Observa el ejemplo anterior: Puedes observar que es el mismo resultado, así que el método que prefieras será correcto, siempre y cuando no olvides que al restar un polinomio, el sustraendo siempre se le modifica los signos y que sólo se pueden sumar o restar términos semejantes. Las sumas o restas algebraicas las puedes aplicar en diferentes situaciones, algunas tan simples como en la panadería que viste al inicio.

6 A continuación verás algunos ejemplos en donde se pueden aplicar. Ejemplos 1) Encuentra una expresión algebraica que represente el perímetro de un triángulo cuya base es el doble de sus lados menos 3. Solución De acuerdo al los datos que se tienen, se establecen los lados del triángulo. En este caso los lados no son conocidos, por eso se les asigna una variable y la base depende de los lados Como el perímetro de un triángulo es la suma de sus lados se tiene: perímetro = lado + lado + base perímetro = x + x + 2x 3 perímetro = 4x 3 La expresión, 4x 3 es la expresión algebraica que representa el perímetro del triángulo 2) Encuentre una expresión para encontrar el perímetro de la siguiente figura Solución: El perímetro de cualquier cuadrilátero es la suma de sus lados. Perímetro = (5x! 2) + (2x + 3) + (x 2 + 4) + (x 2 + 2x + 5) Perímetro = 5x! 2 + 2x x x 2 + 2x + 5 Perímetro = 2x 2 + 9x +10 La expresión que representa el perímetro del cuadrilátero es 2x 2 + 9x + 10

7 3) La Utilidad de una empresa se determina restando sus costos de sus ingresos. Determine una expresión algebraica que represente la utilidad de una empresa si se sabe que el ingreso de la empresa, cuando se venden x artículos. Está representada por I( x) = 2x 2 50x y el costo es C( x) = x Solución: Como en el problema lo indica, la utilidad es igual a los ingresos menos el costo. por lo tanto se establece que la expresión algebraica que representa la utilidad de la empresa es 2x x 9500 Solución: El perímetro de cualquier cuadrilátero es la suma de sus lados. 4) Una compañía que vende tractores después de un análisis matemático realizado en el periodo Enero-Diciembre del 2008 ha determinado que sus ingresos se encuentran representados por la siguiente expresión I( x) = 8x x. De la misma forma determinó que la expresión de costos es C( x) = x, donde x representa el número de tractores vendidos y las expresiones se encuentran en dólares. El gerente llama a su administrador y le comenta que no esperaba los resultados de las utilidades del último trimestre y el administrador no sabe por qué le está diciendo esto. Le puedes ayudar al administrador a determinar porqué el gerente le hizo el comentario de que él no esperaba estos resultados con base en la tabla de tractores vendidos en el último trimestre? Periodo de venta Numero de tractores vendidos Octubre Noviembre Diciembre Solución: El problema indica que se debe analizar la utilidad de la empresa, así que lo primero que se debe encontrar es una expresión algebraica que represente la utilidad.

8 Como viste en el ejemplo anterior, la utilidad es igual a los ingresos menos el costo por lo tanto se establece que La expresión algebraica que representa la utilidad de la empresa con base en el 2 número de tractores vendidos es la siguiente U ( x) = 8x + 284x 275 Sin embargo, la expresión por si misma no dice nada y en el problema indican que los resultados no fueron los esperados, por lo que se tiene que calcular que utilidad hubo en cada mes. Comienza con el mes de octubre: el número de tractores vendidos fue 12, por lo que debes sustituir la x (que representa el número de tractores) en la expresión de la utilidad. Observa cómo se resuelve: Sustituir significa que en el lugar de la x se tiene que colocar el número de tractores vendidos y realizar las operaciones que indica la expresión algebraica. U U U = 8(12) (12) 275 = = 8(144) + 284(12) 275 = = = 1981 De la misma forma se sabe que las utilidades de la venta de 16 y 25 tractores y los resultados se muestran en la siguiente tabla.

9 Ahora te das cuenta porqué los resultados no eran los que se esperaban? En octubre se tiene una ganancia de $ dólares, luego en noviembre se venden 16 tractores y la ganancia aumenta a $ como es de esperarse, ya que al aumentar las ventas aumentan las ganancias. Esto implicaría que en diciembre, que aumentaron las ventas a 25 tractores, se esperaría un aumento en las ganancias, sin embargo, las ganancias disminuyeron a $1825. Que te parecen los resultados? son interesantes verdad? Ahora, el administrador tendrá que analizar qué factores fueron los que en diciembre no permitieron ganancias superiores; puede ser que se gastara más en publicidad, o en mano de obra, materiales o cualquier otro factor que aumentara los costos y redujera las ganancias, pero ese tipo análisis lo realizarás en otros cursos.