Universidad acional del Litoral - Argentina.

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1 T 5 LA CO STRUCCIÓ DE FRACTALES GEOMÉTRICOS. SU RELACIÓ CO OTROS TEMAS MATEMÁTICOS 1 Lina Mónica OVIEDO, 2 Ana María KA ASHIRO 1 Facultad de Ingeniería Química - Facultad de Bioquímica y Ciencias Biológicas - Universidad acional del Litoral - Argentina 2 Escuela de Enseñanza Media 442 Juana del Pino de Rivadavia - Santa Fe - Argentina loviedo@fiq.unl.edu.ar akanashi@fiq.unl.edu.ar ivel Educativo: Nivel Medio. Palabras Clave: Fractales, iteración, autosimilaridad, funciones. RESUME El campo de los fractales geométricos es un área de investigación matemática que exhibe la particularidad de ser accesibles para los no matemáticos. El trabajo con ciertos fractales geométricos, la construcción de los mismos en sus primeras etapas, el análisis de sus propiedades permite trabajar de una manera intuitiva el concepto de límite de una sucesión, la idea de convergencia o no de la misma y, en consecuencia, la noción de infinito. En este taller proponemos un acercamiento a los fractales geométricos (Iteración Geométrica) a través de actividades que pueden llevarse directamente al aula. I TRODUCCIÓ Los Fractales acercan las estructuras analíticas a formaciones gráficas que muestran procesos iterativos que tienen una característica en común, repiten procesos infinitos, por lo tanto podemos concebir una construcción Fractal como una figura auto similar, es decir, todas sus partes tienen repetición a diferentes escalas. Lejos de ser vistos como monstruos o figuras raras, los mismos tienen propiedades específicas de alto valor matemático: 1. son construcciones que se generan a través de iteraciones sucesivas; la construcción de un fractal implica la ejecución de un algoritmo que se repite indefinidamente. 2. son objetos que se identifican gráficamente y brindan un acercamiento analítico que posibilita explicar su comportamiento. 3. tienen dimensión fraccionaria. Estos objetos pueden ser analizados a través de la visualización, entendiendo a esta operación como una herramienta que permite acercarse a comprender procesos ocultos como los patrones de cambio. Es decir se pueden entender los procesos de cambio en los fractales de acuerdo a la transformación de la misma figura, identificar por qué cambió, así como controlar ese mismo cambio. 43

2 Según el Dr. Santaló existen dos tipos de fractales: 1. Clásicos: son conjuntos que se obtienen mediante un proceso geométrico euclídeo, por ejemplo el copo de nieve de Von Koch y el triángulo de Sierpinski. 2. Modernos: son conjuntos que se obtienen iterando infinitas veces una función de variable compleja, donde no se utiliza la geometría euclídea, por ejemplo el Conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia. Desde la perspectiva de la enseñanza, los programas de estudio y los libros de textos, en general, nos ofrecen, para el tratamiento de temas matemáticos, un predominio del escenario algebraico con algunos indicios de enfoques numérico y geométrico. Esto trae como consecuencia que se tenga una visión parcial del tema considerado pues para comprenderlo totalmente se necesita establecer articulaciones entre los diferentes enfoques. Consideramos que la presentación de ciertos temas matemáticos como la noción de límite e infinito, en la escuela media, puede hacerse a partir de la construcción de fractales geométricos, por ejemplo: el conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpinski, las curvas de Von Koch: Fractal Copo de Nieve y Cruz de von Koch, el fractal de Gosper, el pentágono de Durero, etc. OBJETIVOS GE ERALES Los objetivos generales de este taller son: o Presentar a los docentes una serie de actividades que involucran la construcción de Fractales geométricos a partir de un determinado algoritmo y que permitan introducir intuitivamente las nociones de límites, infinito, sucesión, convergencia, etc. o Descubrir la riqueza matemática que implica trabajar con Fractales. o Encontrar las conexiones que existen entre los Fractales y otros conceptos matemáticos. o Seleccionar actividades de aula que estimulen el pensamiento crítico y creativo. A partir de la construcción de los Fractales, los objetivos particulares son: o Analizar la variación de áreas y perímetros en cada etapa de la construcción o Generar las sucesiones de las áreas y los perímetros. o Encontrar una expresión del área y del perímetro en la etapa enésima. o Concluir acerca del comportamiento para un valor de n grande. o Determinar la convergencia o no de las sucesiones. o Descubrir el concepto de auto similaridad. o Encontrar la dimensión Fractal. o Tomar contacto con determinadas curiosidades, relativas a Fractales, como ser: el juego del caos, el helecho Barnsley, etc. ÚCLEO TEMÁTICO Los contenidos a abordar serán los siguientes: 1. Conjunto de Cantor: Construcción del fractal de Cantor. Elaboración del Conjunto del tercio medio y del quinto medio. Encontrar el algoritmo de construcción para cada caso. Determinación de la longitud de cada intervalo en las distintas etapas. Los objetivos son: o Encontrar el algoritmo para la construcción del fractal de Cantor. o Analizar la variación de la longitud del segmento en cada etapa de la construcción. 44

3 o Encontrar la expresión para cada uno de los sub-intervalos en cada etapa de la construcción. o Encontrar la expresión general para determinar el número de sub-intervalos. o Calcular la longitud de cada sub-intervalo. o Analizar qué ocurre con la longitud cuando el número de sub-intervalos aumenta indefinidamente. o Discutir acerca de la importancia del Conjunto de Cantor. 2. a) Triángulo de Sierpinski: Construcción del triángulo siguiendo un determinado algoritmo. Determinación de las sucesiones de las áreas. Nociones del Juego del Caos. Carpeta Sierpinski. o Realizar la construcción del fractal siguiendo un determinado algoritmo. o Determinar el número de triángulos remanentes en cada etapa. o Analizar la variación del área en cada etapa de la construcción. o Generar las sucesiones de las áreas. o Encontrar la expresión general para el cálculo de las áreas. o Analizar los distintos comportamientos. b) La curva de Von Koch: Construcción del fractal copo de nieve hasta n = 3. Análisis de la variación del perímetro y el área. Determinación de las sucesiones respectivas. Convergencia o divergencia de las mismas. o Analizar la variación de áreas y perímetros en cada etapa de la construcción. o Generar las sucesiones de los perímetros y las áreas. o Encontrar una expresión para determinar el valor del perímetro y del área en la etapa enésima. o Concluir acerca del comportamiento de dichos valores para un valor de n grande. o Determinar la convergencia o no de las sucesiones. 3. Nociones de dimensión fractal: Calcular la dimensión fractal de los fractales trabajados en las secciones anteriores. Autosemejanza. 1. Analizar el significado de autosemejanza. 2. Reconocer fractales autosemejantes y estrictamente autosemejantes. METODOLOGÍA Al comenzar este taller se introducirán brevemente los conceptos básicos involucrados en la propuesta y, posteriormente se presentarán las hojas de Trabajo en las que los asistentes deberán realizar las actividades. Dichas hojas están estructuradas de la siguiente manera: o Construcción del Fractal, siguiendo un determinado algoritmo. o Estudio de las particularidades del mismo. o Análisis de la dimensión. o Clasificación de la Autosimilaridad. o Presentación de curiosidades relacionadas con los Fractales. o Determinación de conexiones con otros temas del currículo matemático. ACTIVIDADES Se presenta aquí una de las actividades a trabajar en el cursillo: 45

4 El triángulo de Sierpinski Ejercicio 1: El siguiente proceso de construcción, cuando se repite una y otra vez, genera el fractal conocido como el triángulo de Sierpinski: Partiendo de un triángulo equilátero, una los puntos medios de los lados, obteniendo 4 sub- triángulos. Deseche el triángulo central (inferior), guardando solamente los tres subtriángulos de las esquinas. Repita en cada sub-triángulo el proceso y deseche nuevamente el triángulo central inferior. Cuántos triángulos remanentes quedan? Repita nuevamente el algoritmo dos veces más. Cuántos triángulos remanentes obtuvo en cada etapa? Recuerde que para realizar esta actividad Ud. dispone de hojas rayadas diseñadas para tal fin. a Qué ocurriría si se repite el proceso una y otra vez? Cómo cambia la figura? Si el proceso continuara indefinidamente obtendríamos el triángulo de Sierpinski. b. Explique qué pasaría si en lugar de conservar los tres triángulos de las esquinas, se aplica el algoritmo para el triángulo central inferior hasta la etapa 5. c. Repita el algoritmo desde la etapa 1 a la 3 para un triángulo rectángulo e isósceles e informe lo qué observa. RESULTADOS ESPERADOS El trabajo con fractales permite un acercamiento a la construcción de infinito ya que la aproximación geométrica puede dar lugar a situaciones en las que pueden estar presentes las características que definen y dan marco a la noción de infinito como un estado. Los alumnos pueden encontrar en las hojas de trabajos presentadas y a través de ciertas preguntas planteadas la conexión con la noción de límite e infinito y la idea de convergencia o no de determinadas sucesiones. BIBLIOGRAFÍA Albert Huerta, J., Cázares Serrano, M., Castañeda Alonso, A Construcción del infinito a través de fractales en estudiantes de secundaria. En: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. V12, (1) 1-6. Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C. V.- México. Devaney, Robert L Chaos, Fractals, And Dynamics- Computer Experiments In Mathematics- Addison- Wesley Publishing Company Inc.- U.S.A. Oviedo, Kanashiro, Colombini Fractales. Un universo poco frecuentado- Ediciones UNL- Santa Fe- Argentina. 46

5 Oviedo, Kanashiro, Colombini Los Procesos Iterativos En Matemática: Fractales. Iteración Geométrica. Ediciones UNL- Santa Fe- Argentina. Peitgens, Jürgens y Saupe Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. Editorial Springer Verlag- New York- U.S.A. Peitgens, Heinz O., Jürgens, Hartmut, Saupe, Dietmar y otros Fractals For The Clasroom- Strategic Activities- Vol. 1- Vol. 2- Editorial Springer- Verlag-New York- U.S.A. Santaló, L Conjuntos Fractales- Elementos de Matemática. Publicación didáctica científica de la Universidad CAECE. Buenos Aires- Argentina Stewart, I Juega Dios A Los Dados? Editorial Crítica Barcelona España. 47