MULTIPLE SHOOTING: UNA TÉCNICA DE OBTENCIÓN DE PARÁMETROS EN MODELOS NO LINEALES

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1 MULTIPLE SHOOTING: UNA TÉCNICA DE OBTENCIÓN DE PARÁMETROS EN MODELOS NO LINEALES Iván López Instituto de Ingeniería Química, Facultad de Ingeniería, Universidad de la República J.Herrera y Reissig 565, Montevideo, Uruguay Palabras claves: multiple shooting, modelado, parámetros, Monte Carlo Resumen - Cuando el número de parámetros es elevado y/o el modelo es altamente no lineal, puede ser virtualmente imposible ubicar cuál es el óptimo global con los métodos de optimización tradicionales. La técnica del multiple shooting o adaptaciones de ella, permiten aprovechar mejor la información contenida en los datos experimentales y de este modo sus resultados son más confiables. En general el modelo está definido por un sistema de ecuaciones diferenciales que definen su dinámica. La resolución de dichas ecuaciones diferenciales presupone el conocimiento del valor que toman los parámetros. Es habitual entonces que se integre (numéricamente) la ecuación desde el valor a tiempo cero hasta el tiempo final y se comparen los valores obtenidos por el modelo con los valores experimentales (normalmente minimizando como función objetivo la suma de cuadrados de los errores). De esa optimización surgirá un conjunto de parámetros que constituyen un óptimo local, no necesariamente cercano al óptimo global. En la técnica de multiple shooting la integración se hace en una primera etapa a partir de todos los puntos experimentales, subdividiendo la trayectoria en los trozos correspondientes. Dado un primer conjunto de valores de parámetros se realiza la integración y se optimiza el conjunto de parámetros de modo que el punto final de cada integración n esté lo más cerca posible del punto experimental n+1. Este conjunto óptimo en esta primera etapa es el punto de partida para la siguiente, en la que la integración se hace abarcando todos los puntos experimentales. Complementariamente la aplicación de métodos de tipo Monte Carlo permite realizar una estimación del intervalo de confianza de cada parámetro. El procedimiento es aplicado y verificado con un modelo sencillo de un ensayo de biodegradabilidad anaerobia de lodo. INTRODUCCIÓN El modelado de sistemas biológicos es una tarea en mucho más compleja que los sistemas puramente químicos, debido a la multiplicidad de reacciones bioquímicas, a la multiplicidad de microorganismos y a la incidencia de múltiples factores ambientales (Angelidaki et al., 1993; Mata-Alvarez et al., 2000). Por lo tanto los modelos a plantear en general necesariamente incurren en simplificaciones por más que pretendan dar cuenta de los fenómenos fundamentales. En general desde el punto de vista matemático los modelos consisten en un conjunto de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo (eventualmente en derivadas parciales si también hay variación en el espacio) que nos dan la evolución de las variables de estado.

2 Pero aún con modelos simplificados el número de parámetros suele ser elevado y su determinación engorrosa. Conspiran contra la tarea de identificar parámetros la alta no linealidad de los sistemas y el generalmente escaso número de variables que se pueden medir. Es importante entonces encontrar caminos confiables que nos permitan hallar el valor de los parámetros y además estimar el rango de confianza de los mismos. Los métodos más utilizados de búsqueda consisten en la minimización de una función objetivo, usualmente la minimización de los cuadrados entre los puntos experimentales y los valores que predice el modelo (Donoso-Bravo et al., 2011). Con este tipo de búsquedas se corre el riesgo de caer en mínimos locales y no dar con el mínimo global. En general se depende mucho del punto de partida con el que se inicia la búsqueda. El set de parámetros que se obtiene de un mínimo local puede llegar a reproducir en forma aparente el comportamiento del sistema, pero el valor de sus parámetros probablemente no tenga entonces mayor significado físico, reduciéndose a un mero ajuste matemático (Noykova et al., 2002). Los métodos de multiple shooting, intentan extraer mayor información de los datos experimentales que la que se podría obtener de una optimización habitual. Normalmente a partir de un vector de valores iniciales de las variables de estado se integran las ecuaciones del modelo obteniendo así los puntos del modelo a distintos tiempos que se comparan con los N valores experimentales. Luego se minimiza la suma del cuadrado de los errores, por ejemplo. En cambio en el multiple shooting se realizan N integraciones, partiendo en cada caso de un punto experimental (Müller et al., 2002; Müller y Timmer, 2004). Así, el punto de partida para iniciar la búsqueda no tiene tanta importancia pues se subdivide el problema en N problemas de menor longitud pero que tienen que dar una respuesta armónica entre si. Este primer set de parámetros obtenido de la optimización de la N integraciones, constituye ahora un buen punto de partida para la integración global a partir de las condiciones iniciales y por todo el período de la experiencia. Obtenido el conjunto de parámetros óptimo se puede hacer una evaluación del rango que podrían abarcar los parámetros recurriendo a ensayos de tipo Monte Carlo (Landau y Binder; 2005; Dimov, 2008). En estos ensayos puede suponerse que cada punto experimental corresponde a una distribución normal centrada en el valor que predice el modelo (determinado con el conjunto óptimo de parámetros) y con una desviación estándar determinada. Se generan aleatoriamente puntos pseudo-experimentales pertenecientes a esa distribución y con ellos se optimiza nuevamente el modelo encontrando nuevos conjuntos de parámetros. Se puede hallar así la función de distribución de cada parámetros y el rango de variación (López y Borzacconi, 2010).

3 EL CASO A RESOLVER Como ejemplo de aplicación se tomará un ensayo de biodegradabilidad anaerobia de sólidos biológicos. El ensayo se realiza por triplicado en recipientes cerrados herméticamente en ausencia de oxígeno, habiendo introducido el sustrato sólido, el lodo biológico y eventualmente buffer y nutrientes (Figura 1). El seguimiento se realiza midiendo la producción de metano a lo largo del tiempo. La cantidad total acumulada a lo largo del tiempo cuando se ha alcanzado una asíntota horizontal da cuenta de la cantidad de sustrato metanizada. Fig. 1 Ensayos de biodegradabilidad en discontinuo. Se postula un modelo simplificado que implica que la materia orgánica sólida biodegradable (X b ) se hidroliza a sustrato líquido (S), que es consumido por los microorganismos (X) para producir metano (M) y CO 2, además de su propio crecimiento. Podemos incluir los siguientes procesos con sus respectivas cinéticas: - Hidrólisis del sólido biodegradable: donde k h es la constante de hidrólisis - Crecimiento de la biomasa: donde m es la velocidad máxima de crecimiento específica, y K s la constante de semisaturación de la cinética de Monod. - Decaimiento celular: donde m es la constante de decaimiento

4 - Consumo de sustrato soluble: donde Y es el coeficiente de rendimiento celular. De modo que las ecuaciones diferenciales que definen al modelo son: El modelo tiene entonces cuatro variables de estado (X b, S, X, M) y cinco parámetros (k h, m, K s, Y, m). Lamentablemente, solo es posible medir la producción de metano durante la corrida y de las otras tres variables de estado se conoce solamente el valor inicial. Observemos que el modelo no da cuenta de diferentes mecanismos de hidrólisis (Mynt et al., 2007), ni de diferentes poblaciones de microorganismos, ni de diferentes sustratos sólidos y solubles, y toma como cinéticas las más tradicionales: primer orden para la hidrólisis y Monod para el crecimiento celular. Aún así es relativamente complejo y no lineal por lo que la determinación de los parámetros no es trivial, más si se tiene en cuenta que solo se cuenta con una variable de salida. RESULTADOS Y DISCUSIÓN Se implementó el modelo en el paquete de cómputo Scilab ( utilizando la rutina de optimización fminsearch, que utiliza un método de búsqueda directa sin restricciones basado en Nelder y Mead. Se introdujeron mediante funciones de penalización las siguientes restricciones: todas las variables tienen que ser positivas; el coeficiente de rendimiento no puede ser mayor a 1 ni menor a 0.05 (valores muy pequeños no condicen con lo esperable de acuerdo a la literatura); la constante de semisaturación K s no puede tener un valor menor a 10 mgdqo/l (esto último en forma arbitraria para que siguiera teniendo sentido la cinética de Monod). La función objetivo consistió en la suma de cuadrados de la diferencia entre el valor experimental de metano y el valor predicho por el modelo. Partiendo originalmente del siguiente vector de parámetros x0 = [ ] se realizaron las integraciones tomando como valor inicial cada uno de los puntos experimentales (Figura 2). En la optimización se llegó al siguiente vector x1 = [ ], con lo cual las integraciones quedan tal como muestra la Figura 2 (derecha).

5 Fig.2 Izquierda: primeras integraciones realizadas a partir de cada uno de los puntos experimentales. Derecha: resultado de la optimización de las integraciones que parten de los puntos experimentales. Partiendo del vector obtenido anteriormente se optimizó ahora la integración tomando el valor inicial de la experiencia y comparando los resultados de todos los puntos experimentales. En esta nueva integración se llegó al vector óptimo [ ] y los resultados de la integración se muestran en las Figuras 3 y 4. Los parámetros serían entonces k h = d -1 m = d -1 K s = 60 mg/l Y = m = d -1 Fig. 3 Curva de metano acumulado, valores experimentales y resultado del modelo.

6 Los valores hallados se encuentran en el rango de los habitualmente encontrados en la literatura. Puede observarse que el ajuste logrado es relativamente bueno. Si no se obtuvo un mejor ajuste probablemente se debió a que el modelo es demasiado simple y no llega a captar totalmente los fenómenos que están ocurriendo. En todo caso es un problema de la estructura del modelo y no del método de optimización. Se observa que la concentración de sustrato soluble desciende inmediatamente a valores muy bajos (de hecho no se ve en la gráfica de la Figura 4) lo cual está mostrando claramente que la etapa limitante es la hidrólisis del sólido. Otro resultado interesante que se observa en la Figura 4 es que la concentración de biomasa permanece prácticamente constante; esto es el crecimiento es prácticamente compensado por el decaimiento celular, más allá de que el coeficiente de decaimiento es bastante pequeño. Fig.4 Curvas de las variables de estado predicha por el modelo luego del ajuste de parámetros. Para estimar el intervalo de confianza de los parámetros se recurrió a una metodología de tipo Monte Carlo. La idea es generar conjuntos de datos pseudo-experimentales y a partir de ellos realizar la optimización nuevamente y obtener un nuevo vector óptimo de parámetros. Esto se hace un número elevado de veces y de esta forma es posible generar la función de distribución del parámetro. Para generar los puntos pseudo-experimentales se consideró que en cada tiempo de medida existía una distribución normal centrada en el

7 punto que predijo el modelo con los parámetros óptimos hallados y con una desviación estándar del 2.5% del valor experimental (esta era aproximadamente la desviación experimental de los triplicados). En forma automática se van generando aleatoriamente esos conjuntos de puntos y se realizaron 300 simulaciones en total y con los valores de parámetros obtenidos en cada una de ellas se pueden construir los histogramas que representan las funciones de distribución de cada parámetro (Figura 5). Fig. 5 Distribuciones de valores de los parámetros obtenidas con la aplicación de un método de Monte Carlo. Puede observarse que la constante de hidrólisis presenta una distribución aproximadamente normal, con un valor medio de d -1 y una desviación estándar de d -1. La distribución del parámetro m parecería apartarse de la normal. Su valor medio es d -1 y la desviación estándar d -1. Los demás parámetros muestran distribuciones muy recostadas hacia el cero, lo cual refleja las restricciones que se impusieron en la optimización. En cualquier caso parecería que el parámetro que puede determinarse con más fiabilidad es la constante de hidrólisis. Este resultado coincide con el hecho de que la etapa de hidrólisis es la etapa más lenta, que determina la velocidad global del proceso. Por lo tanto, la determinación precisa de los

8 parámetros de las etapas siguiente no tiene tanta incidencia en el resultado de la optimización. CONCLUSIONES La metodología del multiple shooting permite obtener una aproximación a un primer punto de partida para realizar una optimización utilizando los métodos tradicionales de búsqueda directa. De esta manera se extrae mayor información de todos los puntos experimentales, reduciendo los riesgos de caer en un mínimo local no representativo de la realidad. Si se complementa con un método de Monte Carlo se puede evaluar la probabilidad de distribución de los parámetros y con ello tener una certeza mayor respecto al resultado. En la aplicación seleccionada, se pudo ajustar los parámetros del modelo obteniendo un comportamiento de las variables coherente con la experiencia en el área. De los cinco parámetros determinados el que presenta mayor importancia y del que se pudo determinar mejor su rango de validez fue la constante de hidrólisis, proceso que determina la velocidad global. REFERENCIAS Angelidaki, I., Ellegaard, L., Ahring, B.K. (1993) A mathematical model for dynamic simulation of anaerobic digestión of complex substrates: focusing on ammonia inhibition, Biotech. and Bioeng., 42 (2), p Dimov, I.T. (2008) Monte Carlo Methods for Applied Scientist, Ed. World Scientific. Donoso-Bravo, A., Mailier, J., Martin, C., Rodríguez, J., Aceves-Lara, C.A., Vande Wouwer, A. (2011) Model selection, identification and validation in anaerobic digestion: a review, Water Research, 45(17), Landau, D.P., Binder, K. (2005) A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Second Edition, Cambridge University Press. López, I., Borzacconi, L. (2010) Modelling of slaughterhouse solid waste anaerobic digestion: determination of parameters and continuous reactor simulation, Waste Management, 30, Mata-Alvarez J., Macé S., Llabrés, P. (2000). Anaerobic digestion of organic solid wastes. An overview of research achievements and perspectives, Bioresource Technology, 74, Müller, T.G., Noykova, N., Gyllenberg, M., Timmer, J. (2002) Parameter identification in dynamical models of anaerobic waste water treatment, Mathematical Biosciences, 177&178, Müller, T.G., Timmer, J. (2004) Parameter identification techniques for partial differential equations, International J. of Bifurcation and Chaos, 14 (6), Myint, M., Nirmalakhandan, N., Speece, R.E. (2007) Anaerobic fermentation of cattle manure: modeling of hydrolysis and acidogenesis, Water Research, 41, Noykova, N., Müller, T.G., Gyllenberg, M., Timmer, J. (2002) Quantitative analyses of anaerobic wastewater treatment processes: identifiability and parameter estimation, Biotechnology and Bioengineering, 78 (1), Agradecimiento: a la Ing.Gabriela Nieves, que obtuvo los datos experimentales.